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2024年12月09日(月)
複素解析幾何セミナー
10:30-12:00 数理科学研究科棟(駒場) 128号室
鈴木 良明 氏 (新潟大学)
The spectrum of the Folland-Stein operator on some Heisenberg Bieberbach manifolds (Japanese)
https://forms.gle/gTP8qNZwPyQyxjTj8
鈴木 良明 氏 (新潟大学)
The spectrum of the Folland-Stein operator on some Heisenberg Bieberbach manifolds (Japanese)
[ 講演概要 ]
Heisenberg Bieberbach多様体とは、Heisenberg群とユニタリ群との半直積における離散かつ捩れの無い部分群によってHeisenberg群を割って得られるコンパクト商のことである。この商多様体は、Heisenberg群を自身の離散部分群で割ったコンパクト商(Heisenberg冪零多様体)をさらに有限群で割った空間になっている。この講演では3次元Heisenberg Bieberbach多様体上のFolland-Stein作用素と呼ばれるCR幾何由来の微分作用素の固有値と固有空間について考察する。Heisenberg Bieberbach多様体の被覆空間であるHeisenberg冪零多様体に対しては、2004年にFollandが表現論の手法を用いてFolland-Stein作用素の固有値と固有関数が明示的に求めている。Follandの結果を応用し、3次元Heisenberg Bieberbach多様体のいくつかの例に対してもFolland-Stein作用素の固有値と固有関数を求めることができることを紹介する。特に固有空間の次元も求めることができ、Weylの法則が成り立つことも紹介したい。
[ 参考URL ]Heisenberg Bieberbach多様体とは、Heisenberg群とユニタリ群との半直積における離散かつ捩れの無い部分群によってHeisenberg群を割って得られるコンパクト商のことである。この商多様体は、Heisenberg群を自身の離散部分群で割ったコンパクト商(Heisenberg冪零多様体)をさらに有限群で割った空間になっている。この講演では3次元Heisenberg Bieberbach多様体上のFolland-Stein作用素と呼ばれるCR幾何由来の微分作用素の固有値と固有空間について考察する。Heisenberg Bieberbach多様体の被覆空間であるHeisenberg冪零多様体に対しては、2004年にFollandが表現論の手法を用いてFolland-Stein作用素の固有値と固有関数が明示的に求めている。Follandの結果を応用し、3次元Heisenberg Bieberbach多様体のいくつかの例に対してもFolland-Stein作用素の固有値と固有関数を求めることができることを紹介する。特に固有空間の次元も求めることができ、Weylの法則が成り立つことも紹介したい。
https://forms.gle/gTP8qNZwPyQyxjTj8
東京確率論セミナー
16:00-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 126号室
15:15〜 ２階のコモンルームでTea timeを行います。ぜひこちらにもご参加ください。
須田 颯 氏 (東京科学大学（旧東京工業大学）)
Scaling limits of a tagged soliton in the randomized box-ball system
15:15〜 ２階のコモンルームでTea timeを行います。ぜひこちらにもご参加ください。
須田 颯 氏 (東京科学大学（旧東京工業大学）)
Scaling limits of a tagged soliton in the randomized box-ball system
[ 講演概要 ]
The box-ball system (BBS) is a cellular automaton that exhibits the solitonic behavior. In recent years, with the rapid progress in the study of the hydrodynamics of integrable systems, there has been a growing interest in BBS with random initial distribution. In this talk, we consider the scaling limits for a tagged soliton in the BBS starting from certain stationary distribution. This talk is based on a joint work with Stefano Olla and Makiko Sasada.
The box-ball system (BBS) is a cellular automaton that exhibits the solitonic behavior. In recent years, with the rapid progress in the study of the hydrodynamics of integrable systems, there has been a growing interest in BBS with random initial distribution. In this talk, we consider the scaling limits for a tagged soliton in the BBS starting from certain stationary distribution. This talk is based on a joint work with Stefano Olla and Makiko Sasada.
2024年12月04日(水)
代数学コロキウム
17:00-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 117号室
Kieu Hieu Nguyen 氏 (University of Versailles Saint-Quentin)
On categorical local Langlands for GLn (English)
Kieu Hieu Nguyen 氏 (University of Versailles Saint-Quentin)
On categorical local Langlands for GLn (English)
[ 講演概要 ]
Recently, Fargues-Scholze and many other people realized that there should be a categorical version which encodes great information of the local Langlands correspondence. In this talk, I will describe the objects appearing in their conjectures and explain some relations with the local Langlands correspondences for GLn.
Recently, Fargues-Scholze and many other people realized that there should be a categorical version which encodes great information of the local Langlands correspondence. In this talk, I will describe the objects appearing in their conjectures and explain some relations with the local Langlands correspondences for GLn.
日仏数学拠点FJ-LMIセミナー
14:00-15:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
Jonathan Ditlevsen 氏 (The University of Tokyo)
Symmetry breaking operators for the pair (GL(n+1,R), GL(n,R)) (英語)
https://fj-lmi.cnrs.fr/seminars/
Jonathan Ditlevsen 氏 (The University of Tokyo)
Symmetry breaking operators for the pair (GL(n+1,R), GL(n,R)) (英語)
[ 講演概要 ]
In this talk, we construct explicit symmetry breaking operators (SBOs) between principal series representations of the group GL(n+1,R) and its subgroup GL(n,R). Using Bernstein–Sato identities, we find a holomorphic renormalization of a meromorphic family of SBOs. Finally, we identify certain differential SBOs as residues of this holomorphic family.
[ 参考URL ]In this talk, we construct explicit symmetry breaking operators (SBOs) between principal series representations of the group GL(n+1,R) and its subgroup GL(n,R). Using Bernstein–Sato identities, we find a holomorphic renormalization of a meromorphic family of SBOs. Finally, we identify certain differential SBOs as residues of this holomorphic family.
https://fj-lmi.cnrs.fr/seminars/
2024年12月03日(火)
トポロジー火曜セミナー
17:30-18:30 数理科学研究科棟(駒場) hybrid/056号室
対面参加、オンライン参加のいずれの場合もセミナーのホームページから参加登録を行って下さい。
井ノ口 順一 氏 (北海道大学)
３次元空間内の曲面と可積分系 (JAPANESE)
https://park.itc.u-tokyo.ac.jp/MSF/topology/TuesdaySeminar/index_e.html
対面参加、オンライン参加のいずれの場合もセミナーのホームページから参加登録を行って下さい。
井ノ口 順一 氏 (北海道大学)
３次元空間内の曲面と可積分系 (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
次元双曲空間の平均曲率一定曲面は平均曲率の値により様相が異なる．とくに平均曲率の値が１未満の場合はユークリッド空間や球面に類似物をもたない双曲幾何特有のクラスを与える．本講演では平均曲率の値が１未満の平均曲率一定曲面の可積分系理論的構成法について解説する (Josef F. Dorfmeister氏, 小林真平氏との共同研究)．
[ 参考URL ]次元双曲空間の平均曲率一定曲面は平均曲率の値により様相が異なる．とくに平均曲率の値が１未満の場合はユークリッド空間や球面に類似物をもたない双曲幾何特有のクラスを与える．本講演では平均曲率の値が１未満の平均曲率一定曲面の可積分系理論的構成法について解説する (Josef F. Dorfmeister氏, 小林真平氏との共同研究)．
https://park.itc.u-tokyo.ac.jp/MSF/topology/TuesdaySeminar/index_e.html
作用素環セミナー
16:45-18:15 数理科学研究科棟(駒場) 122号室
Valerio Proietti 氏 (Univ. Oslo)
The rational K-theory of ample groupoids
[ 参考URL ]
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/tokyo-seminar.htm
Valerio Proietti 氏 (Univ. Oslo)
The rational K-theory of ample groupoids
[ 参考URL ]
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/tokyo-seminar.htm
2024年12月02日(月)
複素解析幾何セミナー
10:30-12:00 数理科学研究科棟(駒場) 128号室
オンライン開催です. 対面での実施はありません.
宮地 秀樹 氏 (金沢大学)
Dualities in the $L^1$ and $L^\infty$-geometries in Teichm\”uller space (Japanese)
https://forms.gle/gTP8qNZwPyQyxjTj8
オンライン開催です. 対面での実施はありません.
宮地 秀樹 氏 (金沢大学)
Dualities in the $L^1$ and $L^\infty$-geometries in Teichm\”uller space (Japanese)
[ 講演概要 ]
種数$g$のタイヒミュラー空間は種数$g$の標識付きリーマン面の変形空間である。種数$g$のタイヒミュラー空間は複素多様体であり，その正則接空間と正則余接空間は各点に対応する閉リーマン面上の微分形式を用いて表すことができる。余接空間上のノルムは余接ベクトルを表す微分形式の$L^1$-ノルムにより与えられ，タイヒミュラー計量は接ベクトルを表す微分形式の余接空間の$L^1$-ノルムの双対として与えられる。これらの幾何学をタイヒミュラー空間の$L^1$, $L^\infty$-幾何学と呼ぶ。定義から，余接空間上の$L^1$-ノルムと接空間上のタイヒミュラー計量は双対の関係にある。この講演では，タイヒミュラー計量の性質を述べた後，タイヒミュラー空間上の2次の接構造を用いて，$L^1$-ノルムとタイヒミュラー計量の間の新しい双対性を与える。
[ 参考URL ]種数$g$のタイヒミュラー空間は種数$g$の標識付きリーマン面の変形空間である。種数$g$のタイヒミュラー空間は複素多様体であり，その正則接空間と正則余接空間は各点に対応する閉リーマン面上の微分形式を用いて表すことができる。余接空間上のノルムは余接ベクトルを表す微分形式の$L^1$-ノルムにより与えられ，タイヒミュラー計量は接ベクトルを表す微分形式の余接空間の$L^1$-ノルムの双対として与えられる。これらの幾何学をタイヒミュラー空間の$L^1$, $L^\infty$-幾何学と呼ぶ。定義から，余接空間上の$L^1$-ノルムと接空間上のタイヒミュラー計量は双対の関係にある。この講演では，タイヒミュラー計量の性質を述べた後，タイヒミュラー空間上の2次の接構造を用いて，$L^1$-ノルムとタイヒミュラー計量の間の新しい双対性を与える。
https://forms.gle/gTP8qNZwPyQyxjTj8
東京確率論セミナー
16:00-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 126号室
15:15〜 ２階のコモンルームでTea timeを行います。ぜひこちらにもご参加ください。
本多正平 氏 (東京大学)
Weyl’s law with Ricci curvature bounded below
15:15〜 ２階のコモンルームでTea timeを行います。ぜひこちらにもご参加ください。
本多正平 氏 (東京大学)
Weyl’s law with Ricci curvature bounded below
[ 講演概要 ]
Weyl’s law on a closed manifold gives an asymptotic behavior of eigenvalues of the Laplace operator in terms of the size of the manifold. It was conjectured by Luigi Ambrosio (Scuola Normale Superiore), David Tewodrose (Vrije Universiteit Brussel) and myself such that Weyl’s law is valid for Gromov-Hausdorff limit spaces with a restriction of Ricci curvature. A joint work with Xianzhe Dai (UC Santa Barbara), Jiayin Pan (UC Santa Cruz) and Guofang Wei
(UC Santa Barbara) disproved the conjecture. We will discuss about these topics in this talk.
Weyl’s law on a closed manifold gives an asymptotic behavior of eigenvalues of the Laplace operator in terms of the size of the manifold. It was conjectured by Luigi Ambrosio (Scuola Normale Superiore), David Tewodrose (Vrije Universiteit Brussel) and myself such that Weyl’s law is valid for Gromov-Hausdorff limit spaces with a restriction of Ricci curvature. A joint work with Xianzhe Dai (UC Santa Barbara), Jiayin Pan (UC Santa Cruz) and Guofang Wei
(UC Santa Barbara) disproved the conjecture. We will discuss about these topics in this talk.
2024年11月27日(水)
数値解析セミナー
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
中野張 氏 (東京科学大学情報理工学院)
シュレディンガー問題と拡散生成モデル (Japanese)
https://sites.google.com/g.ecc.u-tokyo.ac.jp/utnas-bulletin-board/
中野張 氏 (東京科学大学情報理工学院)
シュレディンガー問題と拡散生成モデル (Japanese)
[ 講演概要 ]
シュレディンガー問題とは，終端分布の制約付き確率制御問題のうちエントロピー最小のものを求める問題のことをいう．これは元々は，初期分布と終端分布が固定された粒子群の中で最も起こりやすい時間発展は何か，というE. シュレディンガーにより1931年，1932年に提示された問題に端を発している．シュレディンガー問題の理論は，確率制御との関連のみならず，可逆過程（reciprocal process），逆時間拡散過程，確率力学などの理論を生み出しながら発展してきた．他方，拡散生成モデルとは，拡散過程を利用した深層生成モデルのことであり，特に，Denoising Diffusion Probabilistic Model (DDPM)と呼ばれる拡散モデルは，近年，画像生成AIの基盤モデルとして採用され大きな注目を集めている．拡散モデルは所与のデータ分布にノイズを加えていく過程でデータ分布に関連するスコア関数を学習させ，このスコア関数を用いて逆時間で拡散過程を現在に「戻す」という手続きにより実現されている．拡散生成モデルが登場して程なくしてシュレディンガー問題との関係が指摘され，最近では生成モデルへの応用という観点からシュレディンガー問題が再注目されている．本講演の前半では，シュレディンガー問題と拡散生成モデルの関連について，歴史的・技術的観点から概説し，シュレディンガー問題の生成モデルへの今後の応用可能性について述べたい．後半では，DDPMの収束についての理論的結果を報告する．具体的には，データ分布の密度関数に対する適当な正則性条件と，ノイズスケジュールのパラメーター，スコア推定誤差，ノイズ推定関数の漸近挙動の仮定の下で，DDPMにより構成された確率変数の分布列が，時間ステップ数の極限において，目標分布に弱収束することを示す．
[ 参考URL ]シュレディンガー問題とは，終端分布の制約付き確率制御問題のうちエントロピー最小のものを求める問題のことをいう．これは元々は，初期分布と終端分布が固定された粒子群の中で最も起こりやすい時間発展は何か，というE. シュレディンガーにより1931年，1932年に提示された問題に端を発している．シュレディンガー問題の理論は，確率制御との関連のみならず，可逆過程（reciprocal process），逆時間拡散過程，確率力学などの理論を生み出しながら発展してきた．他方，拡散生成モデルとは，拡散過程を利用した深層生成モデルのことであり，特に，Denoising Diffusion Probabilistic Model (DDPM)と呼ばれる拡散モデルは，近年，画像生成AIの基盤モデルとして採用され大きな注目を集めている．拡散モデルは所与のデータ分布にノイズを加えていく過程でデータ分布に関連するスコア関数を学習させ，このスコア関数を用いて逆時間で拡散過程を現在に「戻す」という手続きにより実現されている．拡散生成モデルが登場して程なくしてシュレディンガー問題との関係が指摘され，最近では生成モデルへの応用という観点からシュレディンガー問題が再注目されている．本講演の前半では，シュレディンガー問題と拡散生成モデルの関連について，歴史的・技術的観点から概説し，シュレディンガー問題の生成モデルへの今後の応用可能性について述べたい．後半では，DDPMの収束についての理論的結果を報告する．具体的には，データ分布の密度関数に対する適当な正則性条件と，ノイズスケジュールのパラメーター，スコア推定誤差，ノイズ推定関数の漸近挙動の仮定の下で，DDPMにより構成された確率変数の分布列が，時間ステップ数の極限において，目標分布に弱収束することを示す．
https://sites.google.com/g.ecc.u-tokyo.ac.jp/utnas-bulletin-board/
日仏数学拠点FJ-LMIセミナー
14:30-15:30 数理科学研究科棟(駒場) 122号室
Ali BAKLOUTI 氏 (University of Sfax)
A proof of the Zariski closure conjecture for coadjoint orbits of exponential Lie groups (英語)
https://fj-lmi.cnrs.fr/seminars/
Ali BAKLOUTI 氏 (University of Sfax)
A proof of the Zariski closure conjecture for coadjoint orbits of exponential Lie groups (英語)
[ 講演概要 ]
I will begin by defining the Zariski Closure Conjecture for coadjoint orbits of exponential solvable Lie groups, examining some cases that have been solved, and addressing the ongoing challenges in resolving the conjecture fully. I will then introduce new approaches to explore the relationship between generating families of primitive ideals and the set of polynomials that vanish on the associated coadjoint orbits, ultimately aiming to advance toward a solution to the conjecture.
[ 参考URL ]I will begin by defining the Zariski Closure Conjecture for coadjoint orbits of exponential solvable Lie groups, examining some cases that have been solved, and addressing the ongoing challenges in resolving the conjecture fully. I will then introduce new approaches to explore the relationship between generating families of primitive ideals and the set of polynomials that vanish on the associated coadjoint orbits, ultimately aiming to advance toward a solution to the conjecture.
https://fj-lmi.cnrs.fr/seminars/
日仏数学拠点FJ-LMIセミナー
13:30-14:30 数理科学研究科棟(駒場) 122号室
藤原英徳 氏 (OCAMI, 近畿大学)
Inductions and restrictions of unitary representations for exponential solvable Lie groups. (英語)
https://fj-lmi.cnrs.fr/seminars/
藤原英徳 氏 (OCAMI, 近畿大学)
Inductions and restrictions of unitary representations for exponential solvable Lie groups. (英語)
[ 講演概要 ]
Let $G = \exp \mathfrak g$ be a connected and simply connected real nilpotent Lie group with Lie algebra $\mathfrak g$, $H = \exp \mathfrak h$ an analytic subgroup of $G$ with Lie algebra $\mathfrak h$, $\chi$ a unitary character of $H$ and $\tau = \text{ind}_H^G \chi$ the monomial representation of $G$ induced from $\chi$. Let $D_{\tau}(G/H)$ be the algebra of the $G$-invariant differential operators on the line bundle over $G/H$ associated to the data $(H,\chi)$. We denote by $C_{\tau}$ the center of $D_{\tau}(G/H)$. We know that $\chi$ is written as ${\chi}_f$, where $\chi_f(\exp X) = e^{if(X)} (X \in \mathfrak h)$ with a certain $f \in {\mathfrak g}^*$ verifying $f([\mathfrak h,\mathfrak h]) = \{0\}$. Let $S(\mathfrak g)$ be the symmetric algebra of $\mathfrak g$ and ${\mathfrak a}_{\tau} = \{X + \sqrt{-1}f(X) ; X \in \mathfrak h\}.$ We regard $S(\mathfrak g)$ as the algebra of polynomial functions on ${\mathfrak g}^*$ by $X(\ell) = \sqrt{-1}\ell(X)$ for $X \in \mathfrak g, \ell \in {\mathfrak g}^*$. Now, $S(\mathfrak g)$ possesses the Poisson structure $\{,\}$ well determined by the equality $\{X,Y\} = [X,Y]$ if $X, Y$ are in $\mathfrak g$. Let us consider the algebra $(S(\mathfrak g)/S(\mathfrak g)\overline{{\mathfrak a}_{\tau}})^H$ of the $H$-invariant polynomial functions on the affine subspace ${\Gamma}_{\tau} = \{\ell \in {\mathfrak g}^* : \ell(X) = f(X), X \in \mathfrak h\}$ of ${\mathfrak g}^*$. This inherits the Poisson structure from $S(\mathfrak g)$. We denote by $Z_{\tau}$ its Poisson center. Michel Duflo asked: the two algebras $C_{\tau}$ and $Z_{\tau}$, are they isomorphic? Here we provide a positive answer to this question.
[ 参考URL ]Let $G = \exp \mathfrak g$ be a connected and simply connected real nilpotent Lie group with Lie algebra $\mathfrak g$, $H = \exp \mathfrak h$ an analytic subgroup of $G$ with Lie algebra $\mathfrak h$, $\chi$ a unitary character of $H$ and $\tau = \text{ind}_H^G \chi$ the monomial representation of $G$ induced from $\chi$. Let $D_{\tau}(G/H)$ be the algebra of the $G$-invariant differential operators on the line bundle over $G/H$ associated to the data $(H,\chi)$. We denote by $C_{\tau}$ the center of $D_{\tau}(G/H)$. We know that $\chi$ is written as ${\chi}_f$, where $\chi_f(\exp X) = e^{if(X)} (X \in \mathfrak h)$ with a certain $f \in {\mathfrak g}^*$ verifying $f([\mathfrak h,\mathfrak h]) = \{0\}$. Let $S(\mathfrak g)$ be the symmetric algebra of $\mathfrak g$ and ${\mathfrak a}_{\tau} = \{X + \sqrt{-1}f(X) ; X \in \mathfrak h\}.$ We regard $S(\mathfrak g)$ as the algebra of polynomial functions on ${\mathfrak g}^*$ by $X(\ell) = \sqrt{-1}\ell(X)$ for $X \in \mathfrak g, \ell \in {\mathfrak g}^*$. Now, $S(\mathfrak g)$ possesses the Poisson structure $\{,\}$ well determined by the equality $\{X,Y\} = [X,Y]$ if $X, Y$ are in $\mathfrak g$. Let us consider the algebra $(S(\mathfrak g)/S(\mathfrak g)\overline{{\mathfrak a}_{\tau}})^H$ of the $H$-invariant polynomial functions on the affine subspace ${\Gamma}_{\tau} = \{\ell \in {\mathfrak g}^* : \ell(X) = f(X), X \in \mathfrak h\}$ of ${\mathfrak g}^*$. This inherits the Poisson structure from $S(\mathfrak g)$. We denote by $Z_{\tau}$ its Poisson center. Michel Duflo asked: the two algebras $C_{\tau}$ and $Z_{\tau}$, are they isomorphic? Here we provide a positive answer to this question.
https://fj-lmi.cnrs.fr/seminars/
代数学コロキウム
17:00-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 117号室
桝澤海斗 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
On the correspondence of simple supercuspidal representations of $\mathrm{GSp}_{2n}$ and its inner form (Japanese)
桝澤海斗 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
On the correspondence of simple supercuspidal representations of $\mathrm{GSp}_{2n}$ and its inner form (Japanese)
[ 講演概要 ]
Let $F$ be a nonarchimedean local field. The local Jacquet-Langlands correspondence is the one-to-one correspondence of essential square integrable representations of $\mathrm{GL}_n(F)$ and its inner form. It is known that this correspondence satisfies the character relation and preserves the simple supercuspidality. We assume the correspondence of simple supercuspidal representations of $\mathrm{GSp}_{2n}(F)$ and irreducible admissible representations of its inner form which satisfies the character relation. This is expected to exist by a standard argument using the theory of stable trace formula. In this talk, we show the simple supercuspidality is preserved under this correspondence. In addition, we can parametrize simple supercuspidal representations and describe the correspondence explicitly.
Let $F$ be a nonarchimedean local field. The local Jacquet-Langlands correspondence is the one-to-one correspondence of essential square integrable representations of $\mathrm{GL}_n(F)$ and its inner form. It is known that this correspondence satisfies the character relation and preserves the simple supercuspidality. We assume the correspondence of simple supercuspidal representations of $\mathrm{GSp}_{2n}(F)$ and irreducible admissible representations of its inner form which satisfies the character relation. This is expected to exist by a standard argument using the theory of stable trace formula. In this talk, we show the simple supercuspidality is preserved under this correspondence. In addition, we can parametrize simple supercuspidal representations and describe the correspondence explicitly.
Lie群論・表現論セミナー
13:30-14:30 数理科学研究科棟(駒場) 122号室
日仏数学拠点 FJ-LMI セミナーと合同
藤原英徳 氏 (OCAMI, 近畿大学)
Inductions and restrictions of unitary representations for exponential solvable Lie groups (English)
日仏数学拠点 FJ-LMI セミナーと合同
藤原英徳 氏 (OCAMI, 近畿大学)
Inductions and restrictions of unitary representations for exponential solvable Lie groups (English)
[ 講演概要 ]
Let $G=\exp{\mathfrak{g}}$ be a connected and simply connected real nilpotent Lie group with Lie algebra ${\mathfrak{g}}$, $H=\exp{\mathfrak{h}}$ an analytic subgroup of $G$ with Lie algebra ${\mathfrak{h}}$, $\chi$ a unitary character of $H$ and $\tau=\operatorname{ind}_H^G \chi$ the monomial representation of $G$ induced from $\chi$. Let $D_{\tau}(G/H)$ be the algebra of the $G$-invariant differential operators on the line bundle over $G/H$ associated to the data $(H,\chi)$. We denote by $C_{\tau}$ the center of $D_{\tau}(G/H)$. We know that $\chi$ is written as $\chi_f$, where $\chi_f(\exp X)=e^{if(X)}$ $(X∈{\mathfrak{h}})$ with a certain $f∈{\mathfrak{g}}^{\ast}$ verifying $f([{\mathfrak{h}}, {\mathfrak{h}}])=\{0\}$. Let $S({\mathfrak{g}})$ be the symmetric algebra of ${\mathfrak{g}}$ and ${\mathfrak{a}}_{\tau}=\{X+\sqrt{-1} f(X) ; X∈{\mathfrak{h}}\}$. We regard $S({\mathfrak{g}})$ as the algebra of polynomial functions on ${\mathfrak{g}}^{\ast}$ by $X(\ell)=\sqrt{-1} \ell(X)$ for $X∈{\mathfrak{g}}$, $\ell ∈{\mathfrak{g}}^{\ast}$. Now, $S({\mathfrak{g}})$ possesses the Poisson structure $\{,\}$ well determined by the equality $\{X,Y\}=[X,Y]$ if $X$,$Y$ are in ${\mathfrak{g}}$. Let us consider the algebra $(S({\mathfrak{g}})/S({\mathfrak{g}})\overline{{\mathfrak{a}}_{\tau}})^H$ of the $H$-invariant polynomial functions on the affine subspace $\Gamma_{\tau}=\{ℓ \in {\mathfrak{g}}^{\ast}:\ell(X)=f(X),X \in {\mathfrak{h}}\}$ of ${\mathfrak{g}}^{\ast}$. This inherits the Poisson structure from $S({\mathfrak{g}})$. We denote by $Z_{\tau}$ its Poisson center. Michel Duflo asked: the two algebras $C_{\tau}$ and $Z_{\tau}$, are they isomorphic? Here we provide a positive answer to this question.
Let $G=\exp{\mathfrak{g}}$ be a connected and simply connected real nilpotent Lie group with Lie algebra ${\mathfrak{g}}$, $H=\exp{\mathfrak{h}}$ an analytic subgroup of $G$ with Lie algebra ${\mathfrak{h}}$, $\chi$ a unitary character of $H$ and $\tau=\operatorname{ind}_H^G \chi$ the monomial representation of $G$ induced from $\chi$. Let $D_{\tau}(G/H)$ be the algebra of the $G$-invariant differential operators on the line bundle over $G/H$ associated to the data $(H,\chi)$. We denote by $C_{\tau}$ the center of $D_{\tau}(G/H)$. We know that $\chi$ is written as $\chi_f$, where $\chi_f(\exp X)=e^{if(X)}$ $(X∈{\mathfrak{h}})$ with a certain $f∈{\mathfrak{g}}^{\ast}$ verifying $f([{\mathfrak{h}}, {\mathfrak{h}}])=\{0\}$. Let $S({\mathfrak{g}})$ be the symmetric algebra of ${\mathfrak{g}}$ and ${\mathfrak{a}}_{\tau}=\{X+\sqrt{-1} f(X) ; X∈{\mathfrak{h}}\}$. We regard $S({\mathfrak{g}})$ as the algebra of polynomial functions on ${\mathfrak{g}}^{\ast}$ by $X(\ell)=\sqrt{-1} \ell(X)$ for $X∈{\mathfrak{g}}$, $\ell ∈{\mathfrak{g}}^{\ast}$. Now, $S({\mathfrak{g}})$ possesses the Poisson structure $\{,\}$ well determined by the equality $\{X,Y\}=[X,Y]$ if $X$,$Y$ are in ${\mathfrak{g}}$. Let us consider the algebra $(S({\mathfrak{g}})/S({\mathfrak{g}})\overline{{\mathfrak{a}}_{\tau}})^H$ of the $H$-invariant polynomial functions on the affine subspace $\Gamma_{\tau}=\{ℓ \in {\mathfrak{g}}^{\ast}:\ell(X)=f(X),X \in {\mathfrak{h}}\}$ of ${\mathfrak{g}}^{\ast}$. This inherits the Poisson structure from $S({\mathfrak{g}})$. We denote by $Z_{\tau}$ its Poisson center. Michel Duflo asked: the two algebras $C_{\tau}$ and $Z_{\tau}$, are they isomorphic? Here we provide a positive answer to this question.
Lie群論・表現論セミナー
14:30-15:30 数理科学研究科棟(駒場) 122号室
日仏数学拠点 FJ-LMI セミナーと合同
Ali BAKLOUTI 氏 (University of Sfax)
A proof of the Zariski closure conjecture for coadjoint orbits of exponential Lie groups (English)
日仏数学拠点 FJ-LMI セミナーと合同
Ali BAKLOUTI 氏 (University of Sfax)
A proof of the Zariski closure conjecture for coadjoint orbits of exponential Lie groups (English)
[ 講演概要 ]
I will begin by defining the Zariski Closure Conjecture for coadjoint orbits of exponential solvable Lie groups, examining some cases that have been solved, and addressing the ongoing challenges in resolving the conjecture fully. I will then introduce new approaches to explore the relationship between generating families of primitive ideals and the set of polynomials that vanish on the associated coadjoint orbits, ultimately aiming to advance toward a solution to the conjecture.
I will begin by defining the Zariski Closure Conjecture for coadjoint orbits of exponential solvable Lie groups, examining some cases that have been solved, and addressing the ongoing challenges in resolving the conjecture fully. I will then introduce new approaches to explore the relationship between generating families of primitive ideals and the set of polynomials that vanish on the associated coadjoint orbits, ultimately aiming to advance toward a solution to the conjecture.
2024年11月26日(火)
講演会
14:30-16:30 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
大田佳宏 氏 (Arithmer株式会社，東京大学大学院数理科学研究科，東京大学アイソトープ総合センター)
社会に数学を活用するArithmerの活動
https://sgk2005.org/
大田佳宏 氏 (Arithmer株式会社，東京大学大学院数理科学研究科，東京大学アイソトープ総合センター)
社会に数学を活用するArithmerの活動
[ 講演概要 ]
近年、AI技術の急速な進展により、産業界におけるAI導入が加速しています。それに伴い、AIの中核を支える数学の重要性もますます高まっています。 Arithmerは「数学で社会課題を解決する」というミッションを掲げ、2016年に東京大学大学院数理科学研究科から生まれたスタートアップです。 この8年間で、製造業、エネルギー、金融・保険、物流、インフラ、ライフサイエンスといった多様な業界の主要企業に、AIシステムを導入してきました。 本講演では、さまざまな産業分野における最新のAI導入事例をご紹介するとともに、今後の社会における数学の果たす役割の重要性についてもお話しします。
この講演会はNPO法人数学月間の会主催、東京大学大学院数理科学研究科共催で行われます。
事前参加登録を以下の参考URLからお願いします。
[ 参考URL ]近年、AI技術の急速な進展により、産業界におけるAI導入が加速しています。それに伴い、AIの中核を支える数学の重要性もますます高まっています。 Arithmerは「数学で社会課題を解決する」というミッションを掲げ、2016年に東京大学大学院数理科学研究科から生まれたスタートアップです。 この8年間で、製造業、エネルギー、金融・保険、物流、インフラ、ライフサイエンスといった多様な業界の主要企業に、AIシステムを導入してきました。 本講演では、さまざまな産業分野における最新のAI導入事例をご紹介するとともに、今後の社会における数学の果たす役割の重要性についてもお話しします。
この講演会はNPO法人数学月間の会主催、東京大学大学院数理科学研究科共催で行われます。
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https://sgk2005.org/
トポロジー火曜セミナー
17:00-18:30 数理科学研究科棟(駒場) hybrid/056号室
対面参加、オンライン参加のいずれの場合もセミナーのホームページから参加登録を行って下さい。
名取 雅生 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
A proof of Bott periodicity via Quot schemes and bulk-edge correspondence (JAPANESE)
https://park.itc.u-tokyo.ac.jp/MSF/topology/TuesdaySeminar/index_e.html
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名取 雅生 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
A proof of Bott periodicity via Quot schemes and bulk-edge correspondence (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
The bulk-edge correspondence refers to the phenomenon typically found in topological insulators, where the topological restriction of the bulk (interior) determines the physical state, such as electric currents, at the edge (boundary). In this talk, we focus on the formulation by G. M. Graf and M. Porta and later by S. Hayashi and provide a new proof of bulk-edge correspondence. It is more direct compared to previous approaches. Behind the proof lies the Bott periodicity of K-theory. The proof of Bott periodicity has been approached from various perspectives. We provide a new proof of Bott periodicity. In the proof, we use Quot schemes in algebraic geometry as configuration spaces.
[ 参考URL ]The bulk-edge correspondence refers to the phenomenon typically found in topological insulators, where the topological restriction of the bulk (interior) determines the physical state, such as electric currents, at the edge (boundary). In this talk, we focus on the formulation by G. M. Graf and M. Porta and later by S. Hayashi and provide a new proof of bulk-edge correspondence. It is more direct compared to previous approaches. Behind the proof lies the Bott periodicity of K-theory. The proof of Bott periodicity has been approached from various perspectives. We provide a new proof of Bott periodicity. In the proof, we use Quot schemes in algebraic geometry as configuration spaces.
https://park.itc.u-tokyo.ac.jp/MSF/topology/TuesdaySeminar/index_e.html
2024年11月25日(月)
東京確率論セミナー
16:00-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 126号室
15:15〜 ２階のコモンルームでTea timeを行います。ぜひこちらにもご参加ください。
Leon Frober 氏 (Grand Valley State University)
Free energy and ground state of the spiked SSK spin-glass model
15:15〜 ２階のコモンルームでTea timeを行います。ぜひこちらにもご参加ください。
Leon Frober 氏 (Grand Valley State University)
Free energy and ground state of the spiked SSK spin-glass model
[ 講演概要 ]
Spin-glasses are essentially mathematical models of particle interactions, and were originally describing magnetic states characterized by randomness in condensed matter physics. Due to the versatility of these types of models, however, they are now studied much more broadly for various complex systems such as statistical inference problems, weather/climate models or even neural networks. In this talk we will lay out the basic concepts of spin-glass models, while then focusing on the spiked SSK variant and its free energy as well as ground state energy. Furthermore we will discuss how one can determine these quantities including their lower order fluctuations with a so called "TAP approach" that was in this comprehensive form introduced in 2016 by N. Kistler and D. Belius, and what its benefits are compared to the earlier established "Parisi approach".
Spin-glasses are essentially mathematical models of particle interactions, and were originally describing magnetic states characterized by randomness in condensed matter physics. Due to the versatility of these types of models, however, they are now studied much more broadly for various complex systems such as statistical inference problems, weather/climate models or even neural networks. In this talk we will lay out the basic concepts of spin-glass models, while then focusing on the spiked SSK variant and its free energy as well as ground state energy. Furthermore we will discuss how one can determine these quantities including their lower order fluctuations with a so called "TAP approach" that was in this comprehensive form introduced in 2016 by N. Kistler and D. Belius, and what its benefits are compared to the earlier established "Parisi approach".
2024年11月22日(金)
代数幾何学セミナー
13:30-15:00 数理科学研究科棟(駒場) 118号室
入谷寛 氏 (京都大学)
Quantum cohomology of blowups
入谷寛 氏 (京都大学)
Quantum cohomology of blowups
[ 講演概要 ]
I will discuss a decomposition theorem for the quantum cohomology of a smooth projective variety blown up along a smooth subvariety. I will start with a general relationship between decomposition of quantum cohomology and extremal contractions, and then specialize to the case of blowups. Applications to birational geometry of this result have been announced by Katzarkov, Kontsevich, Pantev and Yu.
I will discuss a decomposition theorem for the quantum cohomology of a smooth projective variety blown up along a smooth subvariety. I will start with a general relationship between decomposition of quantum cohomology and extremal contractions, and then specialize to the case of blowups. Applications to birational geometry of this result have been announced by Katzarkov, Kontsevich, Pantev and Yu.
2024年11月19日(火)
作用素環セミナー
16:45-18:15 数理科学研究科棟(駒場) 122号室
佐藤僚亮 氏 (中央大物理)
The quantum de Finetti theorem and operator-valued Martin boundaries
[ 参考URL ]
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/tokyo-seminar.htm
佐藤僚亮 氏 (中央大物理)
The quantum de Finetti theorem and operator-valued Martin boundaries
[ 参考URL ]
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/tokyo-seminar.htm
作用素環セミナー
15:00-16:30 数理科学研究科棟(駒場) 122号室
Roozbeh Hazrat 氏 (Western Sydney University)
Monoids, Dynamics and Leavitt path algebras
[ 参考URL ]
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/tokyo-seminar.htm
Roozbeh Hazrat 氏 (Western Sydney University)
Monoids, Dynamics and Leavitt path algebras
[ 参考URL ]
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/tokyo-seminar.htm
トポロジー火曜セミナー
17:00-18:30 数理科学研究科棟(駒場) hybrid/056号室
対面参加、オンライン参加のいずれの場合もセミナーのホームページから参加登録を行って下さい。
Bruno Scárdua 氏 (Federal University of Rio de Janeiro)
On real center singularities of complex vector fields on surfaces (ENGLISH)
https://park.itc.u-tokyo.ac.jp/MSF/topology/TuesdaySeminar/index_e.html
対面参加、オンライン参加のいずれの場合もセミナーのホームページから参加登録を行って下さい。
Bruno Scárdua 氏 (Federal University of Rio de Janeiro)
On real center singularities of complex vector fields on surfaces (ENGLISH)
[ 講演概要 ]
One of the various versions of the classical Lyapunov-Poincaré center theorem states that a nondegenerate real analytic center type planar vector field singularity admits an analytic first integral. In a more proof of this result, R. Moussu establishes important connection between this result and the theory of singularities of holomorphic foliations ([2]). In this paper we consider generalizations for two main frameworks: (i) planar real analytic vector fields with "many" periodic orbits near the singularity and
(ii) germs of holomorphic foliations having a suitable singularity in dimension two.
In this talk we discuss some versions of Poincaré-Lyapunov center theorem, including for the case of holomorphic vector fields. We also give some applications, hinting that there is much more to be explored in this framework.
References
[1] V. León, B. Scárdua, On a Theorem of Lyapunov-Poincaré in Higher Dimensions, July 2021, Arnold Mathematical Journal 7(3) DOI:10.1007/s40598-021-00183-x.
[2] R. Moussu: Une démonstration géométrique d’un théorème de Lyapunov-Poincaré. Astérisque, tome 98-99 (1982), p. 216-223.
[3] A. Lyapunov: Etude d’un cas particulier du problème de la stabilité du mouvement. Mat. Sbornik 17 (1893) pages 252-333 (Russe).
[4] H. Poincaré: Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle (I), Journal de mathématiques pures et appliquées 3e série, tome 7 (1881), p. 375-422.
[5] Minoru Urabe and Yasutaka Sibuya; On Center of Higher Dimensions; Journal of Science of the Hiroshima University, Ser. A, . Vol. 19, No. I, July, 1955.
[ 参考URL ]One of the various versions of the classical Lyapunov-Poincaré center theorem states that a nondegenerate real analytic center type planar vector field singularity admits an analytic first integral. In a more proof of this result, R. Moussu establishes important connection between this result and the theory of singularities of holomorphic foliations ([2]). In this paper we consider generalizations for two main frameworks: (i) planar real analytic vector fields with "many" periodic orbits near the singularity and
(ii) germs of holomorphic foliations having a suitable singularity in dimension two.
In this talk we discuss some versions of Poincaré-Lyapunov center theorem, including for the case of holomorphic vector fields. We also give some applications, hinting that there is much more to be explored in this framework.
References
[1] V. León, B. Scárdua, On a Theorem of Lyapunov-Poincaré in Higher Dimensions, July 2021, Arnold Mathematical Journal 7(3) DOI:10.1007/s40598-021-00183-x.
[2] R. Moussu: Une démonstration géométrique d’un théorème de Lyapunov-Poincaré. Astérisque, tome 98-99 (1982), p. 216-223.
[3] A. Lyapunov: Etude d’un cas particulier du problème de la stabilité du mouvement. Mat. Sbornik 17 (1893) pages 252-333 (Russe).
[4] H. Poincaré: Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle (I), Journal de mathématiques pures et appliquées 3e série, tome 7 (1881), p. 375-422.
[5] Minoru Urabe and Yasutaka Sibuya; On Center of Higher Dimensions; Journal of Science of the Hiroshima University, Ser. A, . Vol. 19, No. I, July, 1955.
https://park.itc.u-tokyo.ac.jp/MSF/topology/TuesdaySeminar/index_e.html
2024年11月18日(月)
複素解析幾何セミナー
10:30-12:00 数理科学研究科棟(駒場) 128号室
千葉 優作 氏 (お茶の水女子大学)
Polarizations and convergences of holomorphic sections on the tangent bundle of a Bohr-Sommerfeld Lagrangian submanifold (Japanese)
https://forms.gle/gTP8qNZwPyQyxjTj8
千葉 優作 氏 (お茶の水女子大学)
Polarizations and convergences of holomorphic sections on the tangent bundle of a Bohr-Sommerfeld Lagrangian submanifold (Japanese)
[ 講演概要 ]
単位円周上の連続関数が三角多項式で近似されるように, 複素多様体において総実 (totally real) なコンパクト部分多様体上の連続関数はその近傍上の正則関数によって一様に近似される. 正則線束においても同様の近似定理が次のように考えられる. ケーラー多様体上の前量子化束 $L$ と, そのボーア・ゾンマーフェルト ラグランジュ部分多様体 $X$ 上の滑らかな関数 $f$ をとる. $f$ は $L^k|_{X}$ の自然な自明化のもと, $L^k|_{X}$ の切断とみなせる. $f$ を $L^k$ のベルグマン核により射影した正則切断を $s_{f, k}$ とおく. $s_{f, k}$ は $X$ の量子化と考えられており, $k$ を大きくすると $X$ 上 $f$ へと収束することが知られている. より強く, $s_{f, k}$ は $X$ の法ベクトル方向に定数な関数へと超局所的に収束することも示される. このような収束は, ソボレフノルムに条件を課すことで一般の正則切断列にもみられることを, 幾何学的量子化, 特に偏極の収束と関連づけて紹介したい.
[ 参考URL ]単位円周上の連続関数が三角多項式で近似されるように, 複素多様体において総実 (totally real) なコンパクト部分多様体上の連続関数はその近傍上の正則関数によって一様に近似される. 正則線束においても同様の近似定理が次のように考えられる. ケーラー多様体上の前量子化束 $L$ と, そのボーア・ゾンマーフェルト ラグランジュ部分多様体 $X$ 上の滑らかな関数 $f$ をとる. $f$ は $L^k|_{X}$ の自然な自明化のもと, $L^k|_{X}$ の切断とみなせる. $f$ を $L^k$ のベルグマン核により射影した正則切断を $s_{f, k}$ とおく. $s_{f, k}$ は $X$ の量子化と考えられており, $k$ を大きくすると $X$ 上 $f$ へと収束することが知られている. より強く, $s_{f, k}$ は $X$ の法ベクトル方向に定数な関数へと超局所的に収束することも示される. このような収束は, ソボレフノルムに条件を課すことで一般の正則切断列にもみられることを, 幾何学的量子化, 特に偏極の収束と関連づけて紹介したい.
https://forms.gle/gTP8qNZwPyQyxjTj8
2024年11月15日(金)
談話会・数理科学講演会
15:30-16:30 数理科学研究科棟(駒場) 大講義室号室
ミシェル ペブズナー 氏 (ランス大学 / フランス国立科学研究センター / 東大)
対称性の破れと分岐則 (ENGLISH)
https://forms.gle/DcsJVYS4fvMLfPEM8
ミシェル ペブズナー 氏 (ランス大学 / フランス国立科学研究センター / 東大)
対称性の破れと分岐則 (ENGLISH)
[ 講演概要 ]
群の表現をその部分群に制限することは、大きな対称性がら「小さな対称性の和」にどのように分解できるかを扱います。この分野は、表現論における基本的かつ難しい問題です。分解のプロセスは分岐則の問題と呼ばれ、テンソル積の融合則、クレブシュ-ゴルダン係数、整数の分割に関するピエリの公式、プランシェレル型定理、テータ対応、最近ではグロス-プラサド-ガン予想など、さまざまなトピックに対する統一的な枠組みを提供します。
抽象的な分岐則の研究の先にあるものとして、無限次元表現の具体的な幾何学モデルに対して、対称性破れ作用素を明示的な形で構成することは、魅力的かつ挑戦的な問題です。この研究分野は、大域解析、リー理論、等質空間の幾何学などの分野の交差点に位置しており、過去10年間にわたって大きな関心を集めてきました。私たちはこれらの概念を重要な例を通じて示し、対称性破れ作用素の新しい理論を形成する指導原理の概要を提供するとともに、ホログラフィック変換やそれに関連する母作用素に関する独自のアイデアについても触れます。
[ 参考URL ]群の表現をその部分群に制限することは、大きな対称性がら「小さな対称性の和」にどのように分解できるかを扱います。この分野は、表現論における基本的かつ難しい問題です。分解のプロセスは分岐則の問題と呼ばれ、テンソル積の融合則、クレブシュ-ゴルダン係数、整数の分割に関するピエリの公式、プランシェレル型定理、テータ対応、最近ではグロス-プラサド-ガン予想など、さまざまなトピックに対する統一的な枠組みを提供します。
抽象的な分岐則の研究の先にあるものとして、無限次元表現の具体的な幾何学モデルに対して、対称性破れ作用素を明示的な形で構成することは、魅力的かつ挑戦的な問題です。この研究分野は、大域解析、リー理論、等質空間の幾何学などの分野の交差点に位置しており、過去10年間にわたって大きな関心を集めてきました。私たちはこれらの概念を重要な例を通じて示し、対称性破れ作用素の新しい理論を形成する指導原理の概要を提供するとともに、ホログラフィック変換やそれに関連する母作用素に関する独自のアイデアについても触れます。
https://forms.gle/DcsJVYS4fvMLfPEM8
代数幾何学セミナー
13:30-15:00 数理科学研究科棟(駒場) 118号室
谷本祥 氏 (名古屋大学)
The spaces of rational curves on del Pezzo surfaces via conic bundles
谷本祥 氏 (名古屋大学)
The spaces of rational curves on del Pezzo surfaces via conic bundles
[ 講演概要 ]
There have been extensive activities on counting functions of rational points of bounded height on del Pezzo surfaces, and one of prominent approaches to this problem is by the usage of conic bundle structures on del Pezzo surfaces. This leads to upper and lower bounds of correct magnitude for quartic del Pezzo surfaces.
In this talk, I will explain how conic bundle structures on del Pezzo surfaces induce fibration structures on the spaces of rational curves on such surfaces. Then I will explain applications of this structure which include:
1. upper bounds of correct magnitude for the counting function of rational curves on quartic del Pezzo surfaces over finite fields.
2. rationality of the space of rational curves on a quartic del Pezzo surface.
Finally, I will explain our ongoing proof of homological stability for the spaces of rational curves on quartic del Pezzo surfaces. This is joint work in progress with Ronno Das, Brian Lehmann, and Philip Tosteson.
There have been extensive activities on counting functions of rational points of bounded height on del Pezzo surfaces, and one of prominent approaches to this problem is by the usage of conic bundle structures on del Pezzo surfaces. This leads to upper and lower bounds of correct magnitude for quartic del Pezzo surfaces.
In this talk, I will explain how conic bundle structures on del Pezzo surfaces induce fibration structures on the spaces of rational curves on such surfaces. Then I will explain applications of this structure which include:
1. upper bounds of correct magnitude for the counting function of rational curves on quartic del Pezzo surfaces over finite fields.
2. rationality of the space of rational curves on a quartic del Pezzo surface.
Finally, I will explain our ongoing proof of homological stability for the spaces of rational curves on quartic del Pezzo surfaces. This is joint work in progress with Ronno Das, Brian Lehmann, and Philip Tosteson.
2024年11月13日(水)
Lie群論・表現論セミナー
17:30-18:30 数理科学研究科棟(駒場) 118号室
Richard Stanley 氏 (MIT)
Some combinatorial aspects of cyclotomic polynomials
Richard Stanley 氏 (MIT)
Some combinatorial aspects of cyclotomic polynomials
[ 講演概要 ]
Euler showed that the number of partitions of n into distinct parts is equal to the number of partitions of n into odd parts. MacMahon showed that the number of partitions of n for which no part occurs exactly once is equal to the number of partitions of n into parts divisible by 2 or 3. Both these results are instances of a general phenomenon based on the fact that certain polynomials are the product of cyclotomic polynomials. After discussing this assertion, we explain how it can be extended to such topics as counting certain polynomials over finite fields and obtaining Dirichlet series generating functions for certain classes of integers.
Euler showed that the number of partitions of n into distinct parts is equal to the number of partitions of n into odd parts. MacMahon showed that the number of partitions of n for which no part occurs exactly once is equal to the number of partitions of n into parts divisible by 2 or 3. Both these results are instances of a general phenomenon based on the fact that certain polynomials are the product of cyclotomic polynomials. After discussing this assertion, we explain how it can be extended to such topics as counting certain polynomials over finite fields and obtaining Dirichlet series generating functions for certain classes of integers.
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