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2017年05月15日(月)
複素解析幾何セミナー
10:30-12:00 数理科学研究科棟(駒場) 128号室
服部 広大 氏 (慶應義塾大学)
On the moduli spaces of the tangent cones at infinity of some hyper-Kähler manifolds
服部 広大 氏 (慶應義塾大学)
On the moduli spaces of the tangent cones at infinity of some hyper-Kähler manifolds
[ 講演概要 ]
For a metric space $(X,d)$, the Gromov-Hausdorff limit of $(X, a_n d)$ as $a_n \rightarrow 0$ is called the tangent cone at infinity of $(X,d)$. Although the tangent cone at infinity always exists if $(X,d)$ comes from a complete Riemannian metric with nonnegative Ricci curvature, the uniqueness does not hold in general. Colding and Minicozzi showed the uniqueness under the assumption that $(X,d)$ is a Ricci-flat manifold satisfying some additional conditions.
In this talk, I will explain a example of noncompact complete hyper-Kähler manifold who has several tangent cones at infinity, and determine the moduli space of them.
For a metric space $(X,d)$, the Gromov-Hausdorff limit of $(X, a_n d)$ as $a_n \rightarrow 0$ is called the tangent cone at infinity of $(X,d)$. Although the tangent cone at infinity always exists if $(X,d)$ comes from a complete Riemannian metric with nonnegative Ricci curvature, the uniqueness does not hold in general. Colding and Minicozzi showed the uniqueness under the assumption that $(X,d)$ is a Ricci-flat manifold satisfying some additional conditions.
In this talk, I will explain a example of noncompact complete hyper-Kähler manifold who has several tangent cones at infinity, and determine the moduli space of them.
2017年05月11日(木)
数理人口学・数理生物学セミナー
16:30-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 126号室
大泉嶺 氏 (国立社会保障・人口問題研究所)
環境変動と個体差の構造人口模型～2重のランダムネスにおける最適戦略の進化～ (JAPANESE)
大泉嶺 氏 (国立社会保障・人口問題研究所)
環境変動と個体差の構造人口模型～2重のランダムネスにおける最適戦略の進化～ (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
環境変動に対する生物の可塑性や，ロバストネス，個体の多様性の適応は最適戦
略として進化してきたと考えられている．その論拠の中に，Markov過程を基礎に
置くモデルにおいて，環境変動が適応度を減衰させることや，集団の絶滅を引き
起こすことが挙げられる．その中でも特にランダム推移行列モデルを基礎とした
研究は，生活史と観測データを両方ともに扱えることから理論研究のみならず実
証研究に多くの影響を及ぼしきた．例えば，環境変動（外的不確実性）による適
応度の減少を個々の種がどのような生活史戦略をもって適応しているかといった
議論である．これらの議論の根底にあるのものは，ランダム推移行列の固有値に
関する摂動展開がその平均行列の固有値と左右固有ベクトルによって表現できる
事から，生活史パラメータと環境変動リスクの因果関係が評価できることにある．
一方，個体の多様性には遺伝子疾患や性的優位などの異質性は環境変動とは別
の（内的）不確実性がある，この中で最適生活史スケジュールを考えるには確率
論を含む制御理論が必要である．推移行列モデルと制御理論を統一して生活史進
化と個体群動態を議論する為には，推移行列モデルに対応する偏微分方程式モデ
ルを見つける必要がある．本研究ではまず著者が研究してきた個体の多様性を表
現する偏微分方程式モデルと，確率制御理論による最適生活史スケジュール問題
を統一した研究を紹介する．さらに、前述の摂動展開理論の連続バージョンへの
拡張とそれを用いた具体的なモデルによる環境変動における個体の多様性の進化
を議論したい．
環境変動に対する生物の可塑性や，ロバストネス，個体の多様性の適応は最適戦
略として進化してきたと考えられている．その論拠の中に，Markov過程を基礎に
置くモデルにおいて，環境変動が適応度を減衰させることや，集団の絶滅を引き
起こすことが挙げられる．その中でも特にランダム推移行列モデルを基礎とした
研究は，生活史と観測データを両方ともに扱えることから理論研究のみならず実
証研究に多くの影響を及ぼしきた．例えば，環境変動（外的不確実性）による適
応度の減少を個々の種がどのような生活史戦略をもって適応しているかといった
議論である．これらの議論の根底にあるのものは，ランダム推移行列の固有値に
関する摂動展開がその平均行列の固有値と左右固有ベクトルによって表現できる
事から，生活史パラメータと環境変動リスクの因果関係が評価できることにある．
一方，個体の多様性には遺伝子疾患や性的優位などの異質性は環境変動とは別
の（内的）不確実性がある，この中で最適生活史スケジュールを考えるには確率
論を含む制御理論が必要である．推移行列モデルと制御理論を統一して生活史進
化と個体群動態を議論する為には，推移行列モデルに対応する偏微分方程式モデ
ルを見つける必要がある．本研究ではまず著者が研究してきた個体の多様性を表
現する偏微分方程式モデルと，確率制御理論による最適生活史スケジュール問題
を統一した研究を紹介する．さらに、前述の摂動展開理論の連続バージョンへの
拡張とそれを用いた具体的なモデルによる環境変動における個体の多様性の進化
を議論したい．
2017年05月10日(水)
代数学コロキウム
17:00-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
加藤大輝 氏 (東京大学数理科学研究科)
Wild ramification and restrictions to curves (JAPANESE)
加藤大輝 氏 (東京大学数理科学研究科)
Wild ramification and restrictions to curves (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
スキーム上のエタール層の暴分岐がすべての曲線への制限のArtin導手で決まるかどうかを調べ、特異点解消を仮定するとそれが正しいこと、特に、スキームが2次元の場合には正しいことを示した。
またその帰結として、(次元に関する仮定なしに)体上の多様体のエタール層のEuler－Poincare標数や、局所体上の多様体のエタール層から定まるGalois表現のSwan導手の交代和もすべての"曲線"への制限のArtin導手で決まるという結果を得た。
スキーム上のエタール層の暴分岐がすべての曲線への制限のArtin導手で決まるかどうかを調べ、特異点解消を仮定するとそれが正しいこと、特に、スキームが2次元の場合には正しいことを示した。
またその帰結として、(次元に関する仮定なしに)体上の多様体のエタール層のEuler－Poincare標数や、局所体上の多様体のエタール層から定まるGalois表現のSwan導手の交代和もすべての"曲線"への制限のArtin導手で決まるという結果を得た。
2017年05月09日(火)
トポロジー火曜セミナー
17:00-18:30 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
Tea: Common Room 16:30-17:00
諏訪 立雄 氏 (北海道大学)
Local and global coincidence homology classes (JAPANESE)
Tea: Common Room 16:30-17:00
諏訪 立雄 氏 (北海道大学)
Local and global coincidence homology classes (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
We consider two differentiable maps between two oriented manifolds. In the case the manifolds are compact with the same dimension and the coincidence points are isolated, there is the Lefschetz coincidence point formula, which generalizes his fixed point formula. In this talk we discuss the case where the dimensions of the manifolds may possible be different so that the coincidence points are not isolated in general. In fact it seems that Lefschetz himself already considered this case (cf. [4]).
We introduce the local and global coincidence homology classes and state a general coincidence point theorem.
We then give some explicit expressions for the local class. We also take up the case of several maps as considered in [1] and perform similar tasks. These all together lead to a generalization of the aforementioned Lefschetz formula. The key ingredients are the Alexander duality in combinatorial topology, intersection theory with maps and the Thom class in Čech-de Rham cohomology. The contents of the talk are in [2] and [3].
References
[1] C. Biasi, A.K.M. Libardi and T.F.M. Monis, The Lefschetz coincidence class of p maps, Forum Math. 27 (2015), 1717-1728.
[2] C. Bisi, F. Bracci, T. Izawa and T. Suwa, Localized intersection of currents and the Lefschetz coincidence point theorem, Annali di Mat. Pura ed Applicata 195 (2016), 601-621.
[3] J.-P. Brasselet and T. Suwa, Local and global coincidence homology classes, arXiv:1612.02105.
[4] N.E. Steenrod, The work and influence of Professor Lefschetz in algebraic topology, Algebraic Geometry and Topology: A Symposium in Honor of Solomon Lefschetz, Princeton Univ. Press 1957, 24-43.
We consider two differentiable maps between two oriented manifolds. In the case the manifolds are compact with the same dimension and the coincidence points are isolated, there is the Lefschetz coincidence point formula, which generalizes his fixed point formula. In this talk we discuss the case where the dimensions of the manifolds may possible be different so that the coincidence points are not isolated in general. In fact it seems that Lefschetz himself already considered this case (cf. [4]).
We introduce the local and global coincidence homology classes and state a general coincidence point theorem.
We then give some explicit expressions for the local class. We also take up the case of several maps as considered in [1] and perform similar tasks. These all together lead to a generalization of the aforementioned Lefschetz formula. The key ingredients are the Alexander duality in combinatorial topology, intersection theory with maps and the Thom class in Čech-de Rham cohomology. The contents of the talk are in [2] and [3].
References
[1] C. Biasi, A.K.M. Libardi and T.F.M. Monis, The Lefschetz coincidence class of p maps, Forum Math. 27 (2015), 1717-1728.
[2] C. Bisi, F. Bracci, T. Izawa and T. Suwa, Localized intersection of currents and the Lefschetz coincidence point theorem, Annali di Mat. Pura ed Applicata 195 (2016), 601-621.
[3] J.-P. Brasselet and T. Suwa, Local and global coincidence homology classes, arXiv:1612.02105.
[4] N.E. Steenrod, The work and influence of Professor Lefschetz in algebraic topology, Algebraic Geometry and Topology: A Symposium in Honor of Solomon Lefschetz, Princeton Univ. Press 1957, 24-43.
代数幾何学セミナー
15:30-17:00 数理科学研究科棟(駒場) 122号室
柴田 康介 氏 (東大数理)
Upper bound of the multiplicity of locally complete intersection singularities (English)
柴田 康介 氏 (東大数理)
Upper bound of the multiplicity of locally complete intersection singularities (English)
[ 講演概要 ]
The multiplicity of a point on a variety is a fundamental invariant to estimate how the singularity is bad. It is introduced in a purely algebraic context. On the other hand, we can also attach to the singularity the log canonical threshold and the minimal log discrepancy, which are introduced in a birational theoretic context. In this talk, we show bounds of the multiplicity by functions of these birational invariants for a singularity of locally a complete intersection. As an application, we obtain the affirmative answer to Watanabe’s conjecture on the multiplicity of canonical singularity of locally a complete intersection up to dimension 32.
The multiplicity of a point on a variety is a fundamental invariant to estimate how the singularity is bad. It is introduced in a purely algebraic context. On the other hand, we can also attach to the singularity the log canonical threshold and the minimal log discrepancy, which are introduced in a birational theoretic context. In this talk, we show bounds of the multiplicity by functions of these birational invariants for a singularity of locally a complete intersection. As an application, we obtain the affirmative answer to Watanabe’s conjecture on the multiplicity of canonical singularity of locally a complete intersection up to dimension 32.
2017年05月08日(月)
複素解析幾何セミナー
10:30-12:00 数理科学研究科棟(駒場) 128号室
藤澤 太郎 氏 (東京電機大学)
Semipositivity theorems for a variation of Hodge structure
藤澤 太郎 氏 (東京電機大学)
Semipositivity theorems for a variation of Hodge structure
[ 講演概要 ]
I will talk about my recent joint work with Osamu Fujino. The main purpose of our joint work is to generalize the Fujita-Zukcer-Kawamata semipositivity theorem from the analytic viewpoint. In this talk, I would like to illustrate the relation between the two objects, the asymptotic behavior of a variation of Hodge structure and good properties of the induced singular hermitian metric on an invertible subbundle of the Hodge bundle.
I will talk about my recent joint work with Osamu Fujino. The main purpose of our joint work is to generalize the Fujita-Zukcer-Kawamata semipositivity theorem from the analytic viewpoint. In this talk, I would like to illustrate the relation between the two objects, the asymptotic behavior of a variation of Hodge structure and good properties of the induced singular hermitian metric on an invertible subbundle of the Hodge bundle.
幾何コロキウム
16:00-17:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
丸橋広和 氏 (東京大学大学院数理科学研究科（学振PD))
Parameter rigidity of the action of AN on G/Γ for higher rank semisimple Lie groups
丸橋広和 氏 (東京大学大学院数理科学研究科（学振PD))
Parameter rigidity of the action of AN on G/Γ for higher rank semisimple Lie groups
[ 講演概要 ]
Sを連結単連結可解Lie群とし、閉多様体Mへの滑らかな局所自由作用ρを考える。ρがパラメータ剛性をもつとはSのMへの滑らかな局所自由作用でρと同じ軌道分解をもつものがすべて滑らかな写像によってρと共役になることをいう。
1990年頃KatokとSpatzierは次の定理を示した。Gを中心有限連結実半単純Lie群で、コンパクトな単純因子、SO(n,1), SU(n,1)と局所同型な単純因子をもたないもの、ΓをGの既約一様格子、G=KANをGの岩澤分解とする。このときGの実階数が2以上ならば可換群AのG/Γへの掛け算による作用はパラメータ剛性をもつ。
一方私は去年、同じ仮定のもと可解Lie群ANのG/Γへの掛け算による作用もパラメータ剛性をもつことを示した。証明には上記Katok-Spatzierの定理の他に、以前私が証明した可解Lie群の作用のパラメータ剛性の十分条件、Pansu、Kleiner-Leeb、Farb-Mosher、Reiter Ahlinによる対称空間の擬等長写像の剛性定理を使う。
講演ではANの作用の剛性定理をどのように証明するか説明する。
Sを連結単連結可解Lie群とし、閉多様体Mへの滑らかな局所自由作用ρを考える。ρがパラメータ剛性をもつとはSのMへの滑らかな局所自由作用でρと同じ軌道分解をもつものがすべて滑らかな写像によってρと共役になることをいう。
1990年頃KatokとSpatzierは次の定理を示した。Gを中心有限連結実半単純Lie群で、コンパクトな単純因子、SO(n,1), SU(n,1)と局所同型な単純因子をもたないもの、ΓをGの既約一様格子、G=KANをGの岩澤分解とする。このときGの実階数が2以上ならば可換群AのG/Γへの掛け算による作用はパラメータ剛性をもつ。
一方私は去年、同じ仮定のもと可解Lie群ANのG/Γへの掛け算による作用もパラメータ剛性をもつことを示した。証明には上記Katok-Spatzierの定理の他に、以前私が証明した可解Lie群の作用のパラメータ剛性の十分条件、Pansu、Kleiner-Leeb、Farb-Mosher、Reiter Ahlinによる対称空間の擬等長写像の剛性定理を使う。
講演ではANの作用の剛性定理をどのように証明するか説明する。
2017年04月28日(金)
談話会・数理科学講演会
15:30-16:30 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
松井千尋 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
可積分量子スピン鎖における隠れた超対称性 (JAPANESE)
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~matsui/index.html
松井千尋 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
可積分量子スピン鎖における隠れた超対称性 (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
エネルギー演算子であるハミルトニアンの対角化は、物理系の時間発展的振る舞いを知るうえで重要な問題である。Uq(sl2)対称性を持つ一次元量子スピン系は一次元に配置された磁性体モデルであり、ハミルトニアンの厳密な対角化が可能な数少ない系の一つである。
Uq(sl2)不変な量子スピン鎖は、離散化の操作を通してsine-Gordon型の作用を持つ量子場の理論と一対一に対応している。Uq(sl2)の高次元表現を用いてスピン鎖を構成した場合、対応する場の理論には超対称性が現れることが知られている。
今回の講演では、q頂点演算子やスピン鎖に対し近年導入された変形された超対称性に触れつつ、非超対称なスピン鎖に対応する場の理論になぜ超対称性が出現するのかお話ししたい。
[ 参考URL ]エネルギー演算子であるハミルトニアンの対角化は、物理系の時間発展的振る舞いを知るうえで重要な問題である。Uq(sl2)対称性を持つ一次元量子スピン系は一次元に配置された磁性体モデルであり、ハミルトニアンの厳密な対角化が可能な数少ない系の一つである。
Uq(sl2)不変な量子スピン鎖は、離散化の操作を通してsine-Gordon型の作用を持つ量子場の理論と一対一に対応している。Uq(sl2)の高次元表現を用いてスピン鎖を構成した場合、対応する場の理論には超対称性が現れることが知られている。
今回の講演では、q頂点演算子やスピン鎖に対し近年導入された変形された超対称性に触れつつ、非超対称なスピン鎖に対応する場の理論になぜ超対称性が出現するのかお話ししたい。
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~matsui/index.html
2017年04月26日(水)
離散数理モデリングセミナー
15:30-17:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
土谷 洋平 氏 (神奈川工科大学)
nonlocalな古典可積分系に関する最近の話題 (JAPANESE)
土谷 洋平 氏 (神奈川工科大学)
nonlocalな古典可積分系に関する最近の話題 (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
ここでいうnonlocalな可積分系とは、離散系のことではなく、特異積分変換項を持った微分方程式の可積分系をさします。そのような方程式に関しては、1.nonlocalな量子可積分系との関連について、3.テータ関数解について、3.佐藤理論から見た対称性についてといった話があります。最近の話題ということで、一応2.を中心にお話しようと思っています。技術的にはリーマン面上に特殊な第三種アーベル積分を構成する話で、地味に見えるかもしれませんが、きっと応用がある話だと思っています。
ここでいうnonlocalな可積分系とは、離散系のことではなく、特異積分変換項を持った微分方程式の可積分系をさします。そのような方程式に関しては、1.nonlocalな量子可積分系との関連について、3.テータ関数解について、3.佐藤理論から見た対称性についてといった話があります。最近の話題ということで、一応2.を中心にお話しようと思っています。技術的にはリーマン面上に特殊な第三種アーベル積分を構成する話で、地味に見えるかもしれませんが、きっと応用がある話だと思っています。
2017年04月25日(火)
トポロジー火曜セミナー
17:00-18:30 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
Tea: Common Room 16:30-17:00
久野 雄介 氏 (津田塾大学)
Formality of the Goldman-Turaev Lie bialgebra and the Kashiwara-Vergne problem in positive genus (JAPANESE)
Tea: Common Room 16:30-17:00
久野 雄介 氏 (津田塾大学)
Formality of the Goldman-Turaev Lie bialgebra and the Kashiwara-Vergne problem in positive genus (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
This talk is based on a joint work with A. Alekseev, N. Kawazumi and F. Naef. Given a compact oriented surface with non-empty boundary and a framing of the surface, one can define the Lie bracket (Goldman bracket) and the Lie cobracket (Turaev bracket) on the vector space spanned by free homotopy classes of loops on the surface. These maps are of degree minus two with respect to a certain filtration. Then one can ask the formality of this Lie bialgebra: is the Goldman-Turaev Lie bialgebra isomorphic to its associated graded?
For surfaces of genus zero, we showed that this question is closely related to the Kashiwara-Vergne (KV) problem in Lie theory (arXiv:1703.05813). A similar result was obtained by G. Massuyeau by using the Kontsevich integral.
Our new topological interpretation of the classical KV problem leads us to introduce a generalization of the KV problem in connection with the formality of the Goldman-Turaev Lie bialgebra for surfaces of positive genus. We will discuss the existence and uniqueness of solutions to the generalized KV problem.
This talk is based on a joint work with A. Alekseev, N. Kawazumi and F. Naef. Given a compact oriented surface with non-empty boundary and a framing of the surface, one can define the Lie bracket (Goldman bracket) and the Lie cobracket (Turaev bracket) on the vector space spanned by free homotopy classes of loops on the surface. These maps are of degree minus two with respect to a certain filtration. Then one can ask the formality of this Lie bialgebra: is the Goldman-Turaev Lie bialgebra isomorphic to its associated graded?
For surfaces of genus zero, we showed that this question is closely related to the Kashiwara-Vergne (KV) problem in Lie theory (arXiv:1703.05813). A similar result was obtained by G. Massuyeau by using the Kontsevich integral.
Our new topological interpretation of the classical KV problem leads us to introduce a generalization of the KV problem in connection with the formality of the Goldman-Turaev Lie bialgebra for surfaces of positive genus. We will discuss the existence and uniqueness of solutions to the generalized KV problem.
代数幾何学セミナー
15:30-17:00 数理科学研究科棟(駒場) 122号室
鈴木 拓 氏 (早稲田大学)
On the Picard number of Fano 6-folds with a non-small contraction (English)
鈴木 拓 氏 (早稲田大学)
On the Picard number of Fano 6-folds with a non-small contraction (English)
[ 講演概要 ]
A generalization of S. Mukai's conjecture says that $\rho(i-1) \leq n$ holds for any Fano $n$-fold with Picard number $\rho$ and pseudo-index $i$, with equality if and only if it is isomorphic to $(\mathbb{P}^{i-1})^{\rho}$. In this talk, we consider this conjecture for $n=6$, which is an open problem, and give a proof of some special cases.
A generalization of S. Mukai's conjecture says that $\rho(i-1) \leq n$ holds for any Fano $n$-fold with Picard number $\rho$ and pseudo-index $i$, with equality if and only if it is isomorphic to $(\mathbb{P}^{i-1})^{\rho}$. In this talk, we consider this conjecture for $n=6$, which is an open problem, and give a proof of some special cases.
数値解析セミナー
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
榊原航也 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
基本解近似解法の理論と応用 (日本語)
榊原航也 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
基本解近似解法の理論と応用 (日本語)
[ 講演概要 ]
基本解近似解法 (Method of Fundamental Solutions, MFS) は，線型同次偏微分方程式に対するメッシュフリー数値解法である．MFSのアイディアは非常に単純であり，特異点が考えている領域の外部にある，偏微分作用素の基本解の線型結合により近似解を与え，線型結合の係数は選点法(collocation method)により決定する．つまり，差分法や有限要素法とは異なって，領域のメッシュ分割が不要であり（点を配置するだけである），プログラミングも容易である．さらに，特筆すべき性質として，ある条件下では，近似誤差が点の数に関して指数的に減衰することが知られている（通常の差分法や有限要素法では，近似誤差は多項式オーダーで減衰する）．一方で，"どのような点配置の下で誤差は指数減衰するか"，という問いに対する決定的な回答は未だに与えられておらず，MFSの理論研究における最も大きな未解決問題であると言ってよい．このように，MFSに対する数学的理論整備はまだまだ発展途上であるが，数値計算の観点からの研究は非常に豊富に行われており，様々な方程式に対して有効と思われる数値計算アルゴリズムが提案されてきた．
本講演では，MFSに関連して，以下のトピックを取り上げる．
（1）MFSの数学理論：今までに築き上げられきた，MFSの数学解析の結果を簡単にサーベイし，本講演者により発展した理論の解説を行う．特に，2次元のポテンシャル問題に対して，複素解析を用いた議論が非常に有効であることを示し，そこから重調和問題に理論を展開する．また，物理的観点から重要である，解の不変性について，ある統一的な手法により，非常に多くの問題に対して，MFSの不変スキームを構築できることを示す．
（2）MFSの応用：ポテンシャル問題を解くことに帰着される様々な問題に対して，高精度な数値計算アルゴリズムを構築する．特に，Hele-Shaw問題（2次元移動境界問題の1つ）に対する構造保存型数値解法の設計について解説する．さらに，最近取り組んでいる問題についても簡単に触れる予定である．
基本解近似解法 (Method of Fundamental Solutions, MFS) は，線型同次偏微分方程式に対するメッシュフリー数値解法である．MFSのアイディアは非常に単純であり，特異点が考えている領域の外部にある，偏微分作用素の基本解の線型結合により近似解を与え，線型結合の係数は選点法(collocation method)により決定する．つまり，差分法や有限要素法とは異なって，領域のメッシュ分割が不要であり（点を配置するだけである），プログラミングも容易である．さらに，特筆すべき性質として，ある条件下では，近似誤差が点の数に関して指数的に減衰することが知られている（通常の差分法や有限要素法では，近似誤差は多項式オーダーで減衰する）．一方で，"どのような点配置の下で誤差は指数減衰するか"，という問いに対する決定的な回答は未だに与えられておらず，MFSの理論研究における最も大きな未解決問題であると言ってよい．このように，MFSに対する数学的理論整備はまだまだ発展途上であるが，数値計算の観点からの研究は非常に豊富に行われており，様々な方程式に対して有効と思われる数値計算アルゴリズムが提案されてきた．
本講演では，MFSに関連して，以下のトピックを取り上げる．
（1）MFSの数学理論：今までに築き上げられきた，MFSの数学解析の結果を簡単にサーベイし，本講演者により発展した理論の解説を行う．特に，2次元のポテンシャル問題に対して，複素解析を用いた議論が非常に有効であることを示し，そこから重調和問題に理論を展開する．また，物理的観点から重要である，解の不変性について，ある統一的な手法により，非常に多くの問題に対して，MFSの不変スキームを構築できることを示す．
（2）MFSの応用：ポテンシャル問題を解くことに帰着される様々な問題に対して，高精度な数値計算アルゴリズムを構築する．特に，Hele-Shaw問題（2次元移動境界問題の1つ）に対する構造保存型数値解法の設計について解説する．さらに，最近取り組んでいる問題についても簡単に触れる予定である．
2017年04月24日(月)
複素解析幾何セミナー
10:30-12:00 数理科学研究科棟(駒場) 128号室
今野 宏 氏 (明治大学)
Lagrangian Mean Curvature Flows and Moment maps
今野 宏 氏 (明治大学)
Lagrangian Mean Curvature Flows and Moment maps
[ 講演概要 ]
In this talk, we construct various examples of Lagrangian mean curvature flows in Calabi-Yau manifolds, using moment maps for actions of abelian Lie groups on them. The examples include Lagrangian self-shrinkers and translating solitons in the Euclid spaces. We also construct Lagrangian mean curvature flows in non-flat Calabi-Yau manifolds. In particular, we describe Lagrangian mean curvature flows in 4-dimensional Ricci-flat ALE spaces in detail and investigate their singularities.
In this talk, we construct various examples of Lagrangian mean curvature flows in Calabi-Yau manifolds, using moment maps for actions of abelian Lie groups on them. The examples include Lagrangian self-shrinkers and translating solitons in the Euclid spaces. We also construct Lagrangian mean curvature flows in non-flat Calabi-Yau manifolds. In particular, we describe Lagrangian mean curvature flows in 4-dimensional Ricci-flat ALE spaces in detail and investigate their singularities.
作用素環セミナー
16:45-18:15 数理科学研究科棟(駒場) 118号室
長谷川慧 氏 (九大数理)
Bass-Serre trees of amalgamated free product $C^*$-algebras (English)
長谷川慧 氏 (九大数理)
Bass-Serre trees of amalgamated free product $C^*$-algebras (English)
東京確率論セミナー
16:00-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 126号室
会田 茂樹 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
Rough differential equations containing path-dependent bounded variation terms (JAPANESE)
会田 茂樹 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
Rough differential equations containing path-dependent bounded variation terms (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
反射壁を持つ確率微分方程式の一般化として、経路依存のrough differential equationを定式化し、解の存在と評価を論ずる。また、この評価を用いて、解の分布のサポートを決定できることを報告する。
反射壁を持つ確率微分方程式の一般化として、経路依存のrough differential equationを定式化し、解の存在と評価を論ずる。また、この評価を用いて、解の分布のサポートを決定できることを報告する。
2017年04月20日(木)
統計数学セミナー
15:00- 数理科学研究科棟(駒場) 117号室
David Nualart 氏 (Kansas University) -
Central limit theorem for symmetric integrals
Stochastic heat equation with rough multiplicative noise
David Nualart 氏 (Kansas University) -
Central limit theorem for symmetric integrals
[ 講演概要 ]
The purpose of this talk is to present the convergence in distribution of symmetric integrals of functions of the fractional Brownian motion for critical values of the Hurst parameter. This result includes the cases of symmetric integrals defined as the limit of trapeziodal, midpoint and Simpson Riemann sums, where the corresponding critical values of the Hurst parameter are H=1/4, H=1/6 and H=1/10, respectively. As a consequence, we establish a change-of-variable formula in law, where the correction term involves a stochastic integral with respect to an independent standard Brownian motion. The proof is based on the combination of Malliavin calculus and the classical Bernstein's big blocks/small blocks technique.
David Nualart 氏 (Kansas University) -The purpose of this talk is to present the convergence in distribution of symmetric integrals of functions of the fractional Brownian motion for critical values of the Hurst parameter. This result includes the cases of symmetric integrals defined as the limit of trapeziodal, midpoint and Simpson Riemann sums, where the corresponding critical values of the Hurst parameter are H=1/4, H=1/6 and H=1/10, respectively. As a consequence, we establish a change-of-variable formula in law, where the correction term involves a stochastic integral with respect to an independent standard Brownian motion. The proof is based on the combination of Malliavin calculus and the classical Bernstein's big blocks/small blocks technique.
Stochastic heat equation with rough multiplicative noise
[ 講演概要 ]
The aim of this talk is to present some results on the existence and uniqueness of a solution for the one-dimensional heat equation driven by a Gaussian noise which is white in time and it has the covariance of a fractional Brownian motion with Hurst parameter less than 1/2 in the space variable. In the linear case we establish a Feynman-Kac formula for the moments of the solution and discuss intermittency properties.
The aim of this talk is to present some results on the existence and uniqueness of a solution for the one-dimensional heat equation driven by a Gaussian noise which is white in time and it has the covariance of a fractional Brownian motion with Hurst parameter less than 1/2 in the space variable. In the linear case we establish a Feynman-Kac formula for the moments of the solution and discuss intermittency properties.
2017年04月18日(火)
代数幾何学セミナー
15:30-17:00 数理科学研究科棟(駒場) 122号室
福岡 尊 氏 (東大数理)
On the existence of almost Fano threefolds with del Pezzo fibrations (English)
福岡 尊 氏 (東大数理)
On the existence of almost Fano threefolds with del Pezzo fibrations (English)
[ 講演概要 ]
We say that a smooth projective 3-fold is almost Fano if its anti-canonical divisor is nef and big but not ample. By Jahnke-Peternell-Radloff and Takeuchi, the numerical classification of such 3-folds was given. Among the classification results, there exists precisely 10 cases such that it was yet to be known whether these have an example or not. The main result of this talk shows the existence of examples of each of 10 cases. In 9 cases of the 10 cases, the degree of del Pezzo fibrations are 6. We will discuss one of the reason of difficulty constructing del Pezzo fibrations of degree 6. After that, we will show that every almost Fano del Pezzo fibration of degree 6 with specific anti-canonical volume can be embedded into some higher dimensional del Pezzo fibration as a relative linear section.
We say that a smooth projective 3-fold is almost Fano if its anti-canonical divisor is nef and big but not ample. By Jahnke-Peternell-Radloff and Takeuchi, the numerical classification of such 3-folds was given. Among the classification results, there exists precisely 10 cases such that it was yet to be known whether these have an example or not. The main result of this talk shows the existence of examples of each of 10 cases. In 9 cases of the 10 cases, the degree of del Pezzo fibrations are 6. We will discuss one of the reason of difficulty constructing del Pezzo fibrations of degree 6. After that, we will show that every almost Fano del Pezzo fibration of degree 6 with specific anti-canonical volume can be embedded into some higher dimensional del Pezzo fibration as a relative linear section.
トポロジー火曜セミナー
17:00-18:30 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
Tea: Common Room 16:30-17:00
野坂 武史 氏 (東京工業大学)
冪単マグナス展開によるミルナー不変量 (JAPANESE)
Tea: Common Room 16:30-17:00
野坂 武史 氏 (東京工業大学)
冪単マグナス展開によるミルナー不変量 (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
われわれは、ミルナー不変量を、群の中心拡大と冪単マグナス展開をもちいて再構成した。それにより当不変量の図式計算方法を確立した。本講演ではその再構成と計算法を説明し、いくつか例示をする。また冪零的マグナス展開の性質も紹介したい。本研究は九大の小谷久寿氏との共同研究である。
われわれは、ミルナー不変量を、群の中心拡大と冪単マグナス展開をもちいて再構成した。それにより当不変量の図式計算方法を確立した。本講演ではその再構成と計算法を説明し、いくつか例示をする。また冪零的マグナス展開の性質も紹介したい。本研究は九大の小谷久寿氏との共同研究である。
2017年04月17日(月)
複素解析幾何セミナー
10:30-12:00 数理科学研究科棟(駒場) 128号室
日下部 佑太 氏 (大阪大学)
Dense holomorphic curves in spaces of holomorphic maps
日下部 佑太 氏 (大阪大学)
Dense holomorphic curves in spaces of holomorphic maps
[ 講演概要 ]
We study when there exists a dense holomorphic curve in a space of holomorphic maps from a Stein space. Our results state that for any bounded convex domain $\Omega \Subset \mathbb{C}^n$ and any connected complex manifold $Y$, the space $\mathcal{O}(\Omega,Y)$ contains a dense holomorphic disc, and that $Y$ is an Oka manifold if and only if for any Stein space $X$ there exists a dense entire curve in every path component of $\mathcal{O}(X,Y)$. The latter gives a new characterization of Oka manifolds. As an application of the former, we construct universal maps from bounded convex domains to any connected complex manifold.
We study when there exists a dense holomorphic curve in a space of holomorphic maps from a Stein space. Our results state that for any bounded convex domain $\Omega \Subset \mathbb{C}^n$ and any connected complex manifold $Y$, the space $\mathcal{O}(\Omega,Y)$ contains a dense holomorphic disc, and that $Y$ is an Oka manifold if and only if for any Stein space $X$ there exists a dense entire curve in every path component of $\mathcal{O}(X,Y)$. The latter gives a new characterization of Oka manifolds. As an application of the former, we construct universal maps from bounded convex domains to any connected complex manifold.
作用素環セミナー
16:45-18:15 数理科学研究科棟(駒場) 118号室
木田良才 氏 (東大数理)
On diagonal actions whose full group is closed (English)
木田良才 氏 (東大数理)
On diagonal actions whose full group is closed (English)
東京確率論セミナー
16:00-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 126号室
David Croydon 氏 (University of Warwick)
Scaling limits of random walks via resistance forms (ENGLISH)
David Croydon 氏 (University of Warwick)
Scaling limits of random walks via resistance forms (ENGLISH)
[ 講演概要 ]
In this talk, I will describe some recent work (partly joint with T. Kumagai, Kyoto University, and B. M. Hambly, University of Oxford) regarding scaling limits for random walks on spaces where the scaling limit of the associated resistance metric can be understood. This work is particularly applicable to "low-dimensional" graphs, whose scaling limits are trees and fractals, for example. It also gives a framework for understanding various time-changed processes on the spaces in question, such as those arising from Liouville Brownian motion, the Bouchaud trap model and the random conductance model.
In this talk, I will describe some recent work (partly joint with T. Kumagai, Kyoto University, and B. M. Hambly, University of Oxford) regarding scaling limits for random walks on spaces where the scaling limit of the associated resistance metric can be understood. This work is particularly applicable to "low-dimensional" graphs, whose scaling limits are trees and fractals, for example. It also gives a framework for understanding various time-changed processes on the spaces in question, such as those arising from Liouville Brownian motion, the Bouchaud trap model and the random conductance model.
2017年04月12日(水)
代数学コロキウム
17:00-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
跡部発 氏 (東京大学数理科学研究科)
A conjecture of Gross-Prasad and Rallis for metaplectic groups (JAPANESE)
跡部発 氏 (東京大学数理科学研究科)
A conjecture of Gross-Prasad and Rallis for metaplectic groups (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
p-進簡約代数群の既約スムース表現が generic であるとは、それが Whittaker 模型を持つ時に言う。
Whittaker 模型の一意性により、generic 表現は表現論及び数論の両分野で多くの応用を持つ。
一方で、局所 Langlands 予想 (LLC) は既約スムース表現を L-パラメーターで分類する。
Gross-Prasad は Rallis に触発されて、generic 表現に対応する L-パラメーターの判定法を予想した。
これを Gross-Prasad と Rallis の予想 (GPR) という。
近年、古典群に関して (GPR) は Gan-Ichino により証明された。
本講演では、シンプレクティック群の二重被覆であるメタプレクティック群に関して (GPR) を議論する。
p-進簡約代数群の既約スムース表現が generic であるとは、それが Whittaker 模型を持つ時に言う。
Whittaker 模型の一意性により、generic 表現は表現論及び数論の両分野で多くの応用を持つ。
一方で、局所 Langlands 予想 (LLC) は既約スムース表現を L-パラメーターで分類する。
Gross-Prasad は Rallis に触発されて、generic 表現に対応する L-パラメーターの判定法を予想した。
これを Gross-Prasad と Rallis の予想 (GPR) という。
近年、古典群に関して (GPR) は Gan-Ichino により証明された。
本講演では、シンプレクティック群の二重被覆であるメタプレクティック群に関して (GPR) を議論する。
2017年04月11日(火)
代数学コロキウム
17:30-18:30 数理科学研究科棟(駒場) 117号室
Peter Scholze 氏 (University of Bonn)
The geometric Satake equivalence in mixed characteristic (ENGLISH)
Peter Scholze 氏 (University of Bonn)
The geometric Satake equivalence in mixed characteristic (ENGLISH)
[ 講演概要 ]
In order to apply V. Lafforgue's ideas to the study of representations of p-adic groups, one needs a version of the geometric Satake equivalence in that setting. For the affine Grassmannian defined using the Witt vectors, this has been proven by Zhu. However, one actually needs a version for the affine Grassmannian defined using Fontaine's ring B_dR, and related results on the Beilinson-Drinfeld Grassmannian over a self-product of Spa Q_p. These objects exist as diamonds, and in particular one can make sense of the fusion product in this situation; this is a priori surprising, as it entails colliding two distinct points of Spec Z. The focus of the talk will be on the geometry of the fusion product, and an analogue of the technically crucial ULA (Universally Locally Acyclic) condition that works in this non-algebraic setting.
In order to apply V. Lafforgue's ideas to the study of representations of p-adic groups, one needs a version of the geometric Satake equivalence in that setting. For the affine Grassmannian defined using the Witt vectors, this has been proven by Zhu. However, one actually needs a version for the affine Grassmannian defined using Fontaine's ring B_dR, and related results on the Beilinson-Drinfeld Grassmannian over a self-product of Spa Q_p. These objects exist as diamonds, and in particular one can make sense of the fusion product in this situation; this is a priori surprising, as it entails colliding two distinct points of Spec Z. The focus of the talk will be on the geometry of the fusion product, and an analogue of the technically crucial ULA (Universally Locally Acyclic) condition that works in this non-algebraic setting.
数値解析セミナー
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
内海晋弥 氏 (早稲田大学基幹理工学部)
Lagrange-Galerkin 法における諸問題とその解決策：計算可能性・粘性係数依存性・流入境界条件 (日本語)
内海晋弥 氏 (早稲田大学基幹理工学部)
Lagrange-Galerkin 法における諸問題とその解決策：計算可能性・粘性係数依存性・流入境界条件 (日本語)
[ 講演概要 ]
Lagrange-Galerkin法(LG法)は移流拡散問題，オセーン問題，ナヴィエ・ストークス問題などの流れ問題に対する強力な数値計算手法である．本講演では本手法に現れる諸問題とその解決策を述べる．以下の3部から成る．
(1) LGスキームの理論と実装の間には乖離が存在していた．スキームに現れる合成関数項を厳密に計算することは困難である一方，誤差評価はそれが厳密に計算されるという仮定の下でなされていた．最近我々は，ナヴィエ・ストークス問題のための，厳密に計算でき，かつ，数値解の厳密解への収束性が数学的に証明できるLGスキームを作成し，収束性を示した．本パートでは，このスキームについて述べる．
(2) 上記スキームでは，時間刻みと空間メッシュサイズに関して最適オーダーでの誤差評価が得られるが，定数には粘性係数依存性が現れる．この依存性は，ナヴィエ・ストークス問題のみならず，より簡単なストークス問題にも現れる．Pk/Pk要素を用い，適切な安定化項を加えたスキームは，Pk/Pk−1要素を用いたスキームと比較して，粘性係数依存性が改善できることが示されている．本パートではオセーン問題に対してその誤差評価を述べる．
(3) LGスキームにおける解析では，ほとんどの場合，流速が境界で0という条件が課されていた．講演者の知る限り，流入境界条件を持つ問題に対して，収束性は示されていない．本パートでは，流入境界条件を持つ移流拡散問題に対するあるスキームを提案し，その収束性を述べる．
(1) は田端正久先生との，(3) はH. Egger先生（ダルムシュタット工科大学）との共同研究である．
Lagrange-Galerkin法(LG法)は移流拡散問題，オセーン問題，ナヴィエ・ストークス問題などの流れ問題に対する強力な数値計算手法である．本講演では本手法に現れる諸問題とその解決策を述べる．以下の3部から成る．
(1) LGスキームの理論と実装の間には乖離が存在していた．スキームに現れる合成関数項を厳密に計算することは困難である一方，誤差評価はそれが厳密に計算されるという仮定の下でなされていた．最近我々は，ナヴィエ・ストークス問題のための，厳密に計算でき，かつ，数値解の厳密解への収束性が数学的に証明できるLGスキームを作成し，収束性を示した．本パートでは，このスキームについて述べる．
(2) 上記スキームでは，時間刻みと空間メッシュサイズに関して最適オーダーでの誤差評価が得られるが，定数には粘性係数依存性が現れる．この依存性は，ナヴィエ・ストークス問題のみならず，より簡単なストークス問題にも現れる．Pk/Pk要素を用い，適切な安定化項を加えたスキームは，Pk/Pk−1要素を用いたスキームと比較して，粘性係数依存性が改善できることが示されている．本パートではオセーン問題に対してその誤差評価を述べる．
(3) LGスキームにおける解析では，ほとんどの場合，流速が境界で0という条件が課されていた．講演者の知る限り，流入境界条件を持つ問題に対して，収束性は示されていない．本パートでは，流入境界条件を持つ移流拡散問題に対するあるスキームを提案し，その収束性を述べる．
(1) は田端正久先生との，(3) はH. Egger先生（ダルムシュタット工科大学）との共同研究である．
トポロジー火曜セミナー
17:00-18:30 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
Tea: Common Room 16:30-17:00
Alexander Voronov 氏 (University of Minnesota)
Homotopy Lie algebroids (ENGLISH)
Tea: Common Room 16:30-17:00
Alexander Voronov 氏 (University of Minnesota)
Homotopy Lie algebroids (ENGLISH)
[ 講演概要 ]
A well-known result of A. Vaintrob [Vai97] characterizes Lie algebroids and their morphisms in terms of homological vector fields on supermanifolds. We give an interpretation of Lie bialgebroids and their morphisms in terms of odd symplectic dg-manifolds, building on the approach of D. Roytenberg [Roy99]. This extends naturally to the homotopy Lie case and leads to the notion of L∞-bialgebroids and L∞-morphisms between them.
A well-known result of A. Vaintrob [Vai97] characterizes Lie algebroids and their morphisms in terms of homological vector fields on supermanifolds. We give an interpretation of Lie bialgebroids and their morphisms in terms of odd symplectic dg-manifolds, building on the approach of D. Roytenberg [Roy99]. This extends naturally to the homotopy Lie case and leads to the notion of L∞-bialgebroids and L∞-morphisms between them.
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