数値解析セミナー

開催情報	火曜日　16:30～18:00　数理科学研究科棟(駒場) 002号室
担当者	齊藤宣一、柏原崇人
セミナーURL	https://sites.google.com/g.ecc.u-tokyo.ac.jp/utnas-bulletin-board/

過去の記録

2015年04月27日(月)

16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
高安亮紀氏 (早稲田大学理工学術院)
解析半群を利用した半線形放物型方程式に対する解の精度保証付き数値計算法 (日本語)

[ 講演概要 ]
本講演では半線形放物型方程式の初期値境界値問題に対する解の局所一意存在を数値的に検証する方法を述べる．我々は空間変数に対する微分作用素が解析半群を生成することに注目し，ある時間区間において数値解の近傍に解を包含するための十分条件を導いた．本十分条件の成立を精度保証付き数値計算を用いて確かめることにより，所望の結果が数値的に検証可能となる．講演では定理の詳細について説明し，本手法によってある半線形放物型方程式の時間大域解の数値存在検証が可能となることも紹介する．

2015年03月20日(金)

13:30-15:00 数理科学研究科棟(駒場) 122号室
Gadi Fibich 氏 (Tel Aviv University)
Asymmetric Auctions (English)

[ 講演概要 ]
Auctions are central to the modern economy, both on-line and off-line. A fundamental result in auction theory is that when bidders are symmetric (identical), then under quite general conditions, all auctions are revenue equivalent. While it is known that this result does not hold when bidders are asymmetric, the effect of bidders' asymmetry is poorly understood, since asymmetric auctions are much harder to analyze.

In this talk I will discuss the mathematical theory of asymmetric auctions. I will focus on asymmetric first-price auctions, where the mathematical model is given by a nonstandard system of $n$ nonlinear ordinary differential equations, with $2n$ boundary conditions and a free boundary. I will present various analytic and numerical approaches for this system. Then I will present some recent results on asymptotic revenue equivalence of asymmetric auctions.

Joint work with A. Gavious and N. Gavish.

2015年02月18日(水)

14:30-16:00 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
浜向直氏 (北海道大学大学院理学研究院)
Harnack inequalities for supersolutions of fully nonlinear elliptic difference and differential equations (日本語)

[ 講演概要 ]
格子点上の完全非線形楕円型差分方程式の非負優解に対するハルナック型不等式について解説する。ここで導く評価式は、あらゆる優解に対して成り立つ代わりに、ハルナック定数が格子点上のグラフ距離に依存している。証明のために、弱ハルナック不等式を示すときに用いられるバリア関数の取り方を工夫する。また同じ証明のアイデアを、ユークリッド空間上の偏微分方程式に対して適用したときに得られるハルナック型不等式についても紹介したい。

2015年02月18日(水)

16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
福島登志夫氏 (国立天文台)
Precise and fast computation of elliptic integrals and elliptic functions (日本語)

[ 講演概要 ]
Summarized is the recent progress of the methods to compute (i) Legendre's normal form complete elliptic integrals of all three kinds, $K(m)$, $E(m)$, and $\Pi(n|m)$, (ii) Legendre's normal form incomplete elliptic integrals of all three kinds, $F(\phi|m)$, $E(\phi|m)$, and $\Pi(\phi,n|m)$, (iii) Jacobian elliptic functions, $\mathrm{sn}(u|m)$, $\mathrm{cn}(u|m)$, $\mathrm{dn}(u|m)$, and $\mathrm{am}(u|m)$, (iv) the inverse functions of $K(m)$ and $E(m)$, $m_K(K)$ and $m_E(E)$, (v) the inverse of a general incomplete elliptic integral in Jacobi's form, $G(\mathrm{am}(u|m),n|m)$, with respect to $u$, and (vi) the partial derivatives of $\mathrm{sn}(u|m)$, $\mathrm{cn}(u|m)$, $dn(u|m)$, $E(\mathrm{am}(u|m)|m)$, and $\Pi(\mathrm{am}(u|m),n|m)$ with respect to $u$ and those of $F(\phi|m)$, $E(\phi|m)$, and $\Pi(\phi,n|m)$ with respect to $\phi$. In order to avoid the information loss when $n\ll 1$ and/or $m \ll 1$, focused are the associate incomplete elliptc integrals defined as $B(\phi|m)=[E(\phi|m)-(1-m)F(\phi|m)]/m$, $D(\phi|m)=[F(\phi|m)-E(\phi|m)]/m$, and $J(\phi,n|m)=[\Pi(\phi,n|m)-F(\phi|m)]/n$, and their complete versions, $B(m)=[E(m)-(1-m)K(m)]/m$, $D(m)=[K(m)-E(m)]/m$, and $J(n|m)=[\Pi(n|m)-K(m)]/n$. The main techniques used are (i) the piecewise approximation for single variable functions as $K(m)$, and (ii) the combination of repeated usage of the half and double argument transformations and the truncated Maclaurin series expansions with respect to $u = F(\phi|m)$. The new methods are of the full double precision accuracy without any chance of cancellation against small input arguments. They run significantly faster than the existing methods: (i) 2.5 times faster than Cody's Chebyshev polynomial approximations for $K(m)$ and $E(m)$, (ii) 2.5 times faster than Bulirsch's cel for $\Pi(n|m)$, (iii) slightly faster than Bulirsch's el1 for $F(\phi|m)$, (iv) 3.5 times faster than Carlson's $R_D$ for $E(\phi|m)$, (v) 3.5 times faster than Carlson's $R_C$, $R_D$, $R_F$, and $R_J$ for $\Pi(\phi,n|m)$, and (vi) 1.5 times faster than Bulirsch's \texttt{sncndn} for $\mathrm{sn}(u|m)$, $\mathrm{cn}(u|m)$, and $\mathrm{dn}(u|m)$.

2015年01月19日(月)

16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
渡部善隆氏 (九州大学情報基盤研究開発センター)
数値計算における誤差と残差 (日本語)

[ 講演概要 ]
コンピュータによる数値計算においては、浮動小数点演算による丸め誤差、級数展開・反復の打ち切り誤差、連続問題の離散化誤差など、レベルの異なる誤差が発生することがあります。本講演では、「計算の品質」の観点から、何らかの方法で得られた近似解に対し、真の解との誤差限界を数学的に厳密に見積もる数値計算手法について、特に残差の果たす役割に注目しながら、分かりやすく紹介できればと思います。

2014年12月01日(月)

16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
井元佑介氏 (九州大学大学院数理学府)
Poisson方程式に対する一般化粒子法の誤差評価 (日本語)

[ 講演概要 ]
SPH法やMPS法に代表される粒子法は, 津波のような移動境界流れに対する数値計算手法の一つとして, 現在幅広く利用されている. 一方で, 近似解の誤差評価といった粒子法の数学的正当化は, 我々の知る限り十分に行われているとは言えない.　
そこで我々は, 誤差評価の第一ステップとして, Poisson方程式に対するある一般化粒子法を導入し, その誤差評価を行った. 提案する粒子法は, SPH法やMPS法を含む, より広いクラスの粒子法を記述することが可能である. 本講演では, 粒子分布の正則性と接続性を導入し, これらの性質を持った粒子分布の下で, 近似解の誤差が重み関数の影響半径に関して2次収束することを示す. 我々の誤差評価では, 従来は工学的な経験則に基づいていた参照関数の選択や粒子数と影響半径の組合わせの選択などに, 数学的に正当化されたある十分条件を与えていることが重要である.