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数値解析セミナー
過去の記録 ～09/23｜次回の予定｜今後の予定 09/24～
| 開催情報 | 火曜日 16:30～18:00 数理科学研究科棟(駒場) 002号室 |
|---|---|
| 担当者 | 齊藤宣一、柏原崇人 |
| セミナーURL | https://sites.google.com/g.ecc.u-tokyo.ac.jp/utnas-bulletin-board/ |
過去の記録
2016年10月31日(月)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
鍾菁廣 氏 (大阪大学サイバーメディアセンター)
半導体における量子流体方程式系の数値解法 (日本語)
鍾菁廣 氏 (大阪大学サイバーメディアセンター)
半導体における量子流体方程式系の数値解法 (日本語)
[ 講演概要 ]
本講演では, Wigner-Boltzmann方程式から階層的に導出される量子流体方程式とその数値スキームについて述べる. 量子流体方程式から階層モデルの一つである放物-楕円型の量子エネルギー輸送方程式(4モーメントQETモデル)が導出される. 運動量保存式とエネルギー保存式が同一形式に書けることに着目し, 有限体積法を基にした高精度保存スキームを開発した. さらに減速緩和法による反復解法を開発し, これにより量子効果とホットキャリア効果を伴った半導体内の電子輸送のシミュレーションを実現した. 本講演では, さらに半導体デバイスの現実問題に対する対応についても述べる.
本講演では, Wigner-Boltzmann方程式から階層的に導出される量子流体方程式とその数値スキームについて述べる. 量子流体方程式から階層モデルの一つである放物-楕円型の量子エネルギー輸送方程式(4モーメントQETモデル)が導出される. 運動量保存式とエネルギー保存式が同一形式に書けることに着目し, 有限体積法を基にした高精度保存スキームを開発した. さらに減速緩和法による反復解法を開発し, これにより量子効果とホットキャリア効果を伴った半導体内の電子輸送のシミュレーションを実現した. 本講演では, さらに半導体デバイスの現実問題に対する対応についても述べる.
2016年07月11日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
藤原宏志 氏 (京都大学大学院情報学研究科)
Towards fast and reliable numerical computations of the stationary radiative transport equation (日本語)
藤原宏志 氏 (京都大学大学院情報学研究科)
Towards fast and reliable numerical computations of the stationary radiative transport equation (日本語)
[ 講演概要 ]
The radiative transport equation (RTE) is a mathematical model of near-infrared light propagation in human tissue, and its analysis is required to develop a new noninvasive monitoring method of our body or brain activities. Since stationary RTE describes light intensity depending on a position and a direction, a discretization model of 3D-RTE is essentially a five dimensional problem. Therefore to establish a reliable and practical numerical method, both theoretical numerical analysis and computing techniques are required.
We firstly introduce huge-scale computation examples of RTE with bio-optical data. A high-accurate numerical cubature on the unit sphere and a hybrid parallel computing technique using GPGPU realize fast computation. Secondly we propose a semi-discrete upwind finite volume method to RTE. We also show its error estimate in two dimensions.
This talk is based on joint works with Prof. Y.Iso, Prof. N.Higashimori, and Prof. N.Oishi (Kyoto University).
The radiative transport equation (RTE) is a mathematical model of near-infrared light propagation in human tissue, and its analysis is required to develop a new noninvasive monitoring method of our body or brain activities. Since stationary RTE describes light intensity depending on a position and a direction, a discretization model of 3D-RTE is essentially a five dimensional problem. Therefore to establish a reliable and practical numerical method, both theoretical numerical analysis and computing techniques are required.
We firstly introduce huge-scale computation examples of RTE with bio-optical data. A high-accurate numerical cubature on the unit sphere and a hybrid parallel computing technique using GPGPU realize fast computation. Secondly we propose a semi-discrete upwind finite volume method to RTE. We also show its error estimate in two dimensions.
This talk is based on joint works with Prof. Y.Iso, Prof. N.Higashimori, and Prof. N.Oishi (Kyoto University).
2016年06月13日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
鈴木厚 氏 (大阪大学サイバーメディアセンター)
Dissection : A direct solver with kernel detection for finite element matrices
(日本語)
鈴木厚 氏 (大阪大学サイバーメディアセンター)
Dissection : A direct solver with kernel detection for finite element matrices
(日本語)
[ 講演概要 ]
Large-scale sparse matrices are solved in finite element analyses of elasticity and/or flow problems. In some cases, the matrix may be singular, e.g. due to pressure ambiguity of the Navier-Stokes equations, or due to rigid body movements of sub-domain elasticity problems by a domain decomposition method. Therefore, it is better the linear solver understands rank-deficiency of the matrix.
By assuming the matrix is factorized into LDU form with a symmetric partial permutation, and by introducing a threshold to postpone factorization for pseudo null pivots, solvability of the last Schur complement matrix will be examined. Usual procedure for rank-deficiency problem is based on computation of eigenvalues or singular values and an introduced threshold determines the null space. However, developed new algorithm in DOI:10.1002/nme.4729 is based on computation of residuals combined with orthogonal projections onto supposed image spaces and there is no necessary to introduce a threshold for understanding zero value in floating point. The algorithm uses higher precision arithmetic, e.g. quadruple precision, to distinguish numerical round-off errors that occurred during factorization of the whole sparse matrix from ones during the kernel detection procedure itself.
This is joint work with François-Xavier Roux (LJLL, UPMC/ONERA).
Large-scale sparse matrices are solved in finite element analyses of elasticity and/or flow problems. In some cases, the matrix may be singular, e.g. due to pressure ambiguity of the Navier-Stokes equations, or due to rigid body movements of sub-domain elasticity problems by a domain decomposition method. Therefore, it is better the linear solver understands rank-deficiency of the matrix.
By assuming the matrix is factorized into LDU form with a symmetric partial permutation, and by introducing a threshold to postpone factorization for pseudo null pivots, solvability of the last Schur complement matrix will be examined. Usual procedure for rank-deficiency problem is based on computation of eigenvalues or singular values and an introduced threshold determines the null space. However, developed new algorithm in DOI:10.1002/nme.4729 is based on computation of residuals combined with orthogonal projections onto supposed image spaces and there is no necessary to introduce a threshold for understanding zero value in floating point. The algorithm uses higher precision arithmetic, e.g. quadruple precision, to distinguish numerical round-off errors that occurred during factorization of the whole sparse matrix from ones during the kernel detection procedure itself.
This is joint work with François-Xavier Roux (LJLL, UPMC/ONERA).
2016年05月23日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
保國惠一 氏 (筑波大学システム情報系)
最小二乗問題に対する内部反復前処理とその応用 (日本語)
保國惠一 氏 (筑波大学システム情報系)
最小二乗問題に対する内部反復前処理とその応用 (日本語)
[ 講演概要 ]
大規模最小二乗問題を解くためのクリロフ部分空間法に対する前処理法である、内部反復前処理について議論する。本前処理法は複数反復の定常反復法を用い、正規方程式に対する逐次過緩和法 (SOR法) を用いるものが効率的である。SOR内部反復を用いた左 (右) 前処理付き一般化最小残差法 (BA (AB) -GMRES) 法は、ランク落ちである場合に対しても破綻することなく最小二乗解 (線形方程式の最小ノルム解) を与える。内部反復前処理は従来の不完全行列分解型前処理よりも必要な記憶容量が少なく、悪条件およびランク落ちである最小二乗問題に対してもロバストである。
このような内部反復前処理の応用として取り上げるのは (1) 最小二乗解ベクトル自体のノルムが最小である解 (最小ノルム最小二乗解) を求めるという一般最小二乗問題および (2) 線形計画問題に対する内点法に現れる線形方程式の求解である。(1)では二段階からなる手続きで最小ノルム最小二乗解を計算することができるが、第一段階では最小二乗解、第二段階では線形方程式の最小ノルム解を計算する必要がある。各段階でSOR内部反復前処理付きGMRES法を用いることを提案し、いくつかのテスト問題に対して従来法よりも効率的であることを数値実験で示す。(2)では内点法の反復終盤には解くべき線形方程式が非常に悪条件になる。そこで内部反復前処理を用いることで頑健な求解を実現する。この問題に現れる線形方程式に内部反復前処理を適用するための効率的な定式化を行い、ベンチマーク問題に対する数値実験で従来法に比べて本手法が頑健であることを示す。(2)はYiran Cui氏 (University College London)、土谷隆氏 (政策研究大学院大学) 、および速水謙氏 (国立情報学研究所)との共同研究である。
大規模最小二乗問題を解くためのクリロフ部分空間法に対する前処理法である、内部反復前処理について議論する。本前処理法は複数反復の定常反復法を用い、正規方程式に対する逐次過緩和法 (SOR法) を用いるものが効率的である。SOR内部反復を用いた左 (右) 前処理付き一般化最小残差法 (BA (AB) -GMRES) 法は、ランク落ちである場合に対しても破綻することなく最小二乗解 (線形方程式の最小ノルム解) を与える。内部反復前処理は従来の不完全行列分解型前処理よりも必要な記憶容量が少なく、悪条件およびランク落ちである最小二乗問題に対してもロバストである。
このような内部反復前処理の応用として取り上げるのは (1) 最小二乗解ベクトル自体のノルムが最小である解 (最小ノルム最小二乗解) を求めるという一般最小二乗問題および (2) 線形計画問題に対する内点法に現れる線形方程式の求解である。(1)では二段階からなる手続きで最小ノルム最小二乗解を計算することができるが、第一段階では最小二乗解、第二段階では線形方程式の最小ノルム解を計算する必要がある。各段階でSOR内部反復前処理付きGMRES法を用いることを提案し、いくつかのテスト問題に対して従来法よりも効率的であることを数値実験で示す。(2)では内点法の反復終盤には解くべき線形方程式が非常に悪条件になる。そこで内部反復前処理を用いることで頑健な求解を実現する。この問題に現れる線形方程式に内部反復前処理を適用するための効率的な定式化を行い、ベンチマーク問題に対する数値実験で従来法に比べて本手法が頑健であることを示す。(2)はYiran Cui氏 (University College London)、土谷隆氏 (政策研究大学院大学) 、および速水謙氏 (国立情報学研究所)との共同研究である。
2016年05月09日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
田中健一郎 氏 (武蔵野大学工学部)
重み付きハーディ空間における関数近似公式および数値積分公式の設計に対するポテンシャル論的アプローチ (日本語)
田中健一郎 氏 (武蔵野大学工学部)
重み付きハーディ空間における関数近似公式および数値積分公式の設計に対するポテンシャル論的アプローチ (日本語)
[ 講演概要 ]
本発表では，重み付きハーディ空間というある解析関数の空間において，十分に高精度な関数近似公式および数値積分公式の設計法を報告する．ここで考える重み付きハーディ空間は，実軸を含む複素平面上の帯状領域で解析的で，重み関数で指定される重み付きノルムに関して有界となる関数の全体からなる空間である．この空間は，数値計算の対象となるような，一定の条件を満たす解析関数を，適当な変数変換によって変換したものの全体と見なすことができる．このような変数変換は，高精度な計算を実現するためになされる．例えば，有効な数値積分公式として知られている二重指数関数型（DE）公式では，二重指数関数型（DE）変換と呼ばれる変数変換によって，被積分関数を実軸上で二重指数関数的な減衰を持つ関数に変換することが行われる．また，有効な関数近似公式の一つであるDE-Sinc公式でもDE変換が用いられる．
このように，重み付きハーディ空間での関数や積分の近似は基本的な問題と言えるが，この空間において「最適」な公式はそれぞれどのようなものかは，これまで一部の場合についてしか分かっていなかった．本研究では，まず関数近似に対して，一般的な重み関数の場合について，最適な公式を求める問題をポテンシャル論の方法を用いて定式化した．そして，それを近似的に解くことで公式を設計し，また，それらの公式の理論的誤差評価も与えた．これらの公式の厳密な最適性はまだ示せてはいないものの，従来のSinc公式よりも高精度になることが数値実験で観察できている．さらに，数値積分に対しても，類似の方法によって構成した関数近似公式を積分することで公式を設計した．これらについては理論的な誤差評価は得られていないが，やはり数値実験によって，従来の公式よりも高精度な公式が得られていることが観察できた．特に，重み関数が二重指数関数的な減衰を持つ場合について，設計した公式がDE公式よりも高精度となることが観察できた．本研究は，岡山友昭氏（広島市立大学），杉原正顯氏（青山学院大学）との共同研究である．
本発表では，重み付きハーディ空間というある解析関数の空間において，十分に高精度な関数近似公式および数値積分公式の設計法を報告する．ここで考える重み付きハーディ空間は，実軸を含む複素平面上の帯状領域で解析的で，重み関数で指定される重み付きノルムに関して有界となる関数の全体からなる空間である．この空間は，数値計算の対象となるような，一定の条件を満たす解析関数を，適当な変数変換によって変換したものの全体と見なすことができる．このような変数変換は，高精度な計算を実現するためになされる．例えば，有効な数値積分公式として知られている二重指数関数型（DE）公式では，二重指数関数型（DE）変換と呼ばれる変数変換によって，被積分関数を実軸上で二重指数関数的な減衰を持つ関数に変換することが行われる．また，有効な関数近似公式の一つであるDE-Sinc公式でもDE変換が用いられる．
このように，重み付きハーディ空間での関数や積分の近似は基本的な問題と言えるが，この空間において「最適」な公式はそれぞれどのようなものかは，これまで一部の場合についてしか分かっていなかった．本研究では，まず関数近似に対して，一般的な重み関数の場合について，最適な公式を求める問題をポテンシャル論の方法を用いて定式化した．そして，それを近似的に解くことで公式を設計し，また，それらの公式の理論的誤差評価も与えた．これらの公式の厳密な最適性はまだ示せてはいないものの，従来のSinc公式よりも高精度になることが数値実験で観察できている．さらに，数値積分に対しても，類似の方法によって構成した関数近似公式を積分することで公式を設計した．これらについては理論的な誤差評価は得られていないが，やはり数値実験によって，従来の公式よりも高精度な公式が得られていることが観察できた．特に，重み関数が二重指数関数的な減衰を持つ場合について，設計した公式がDE公式よりも高精度となることが観察できた．本研究は，岡山友昭氏（広島市立大学），杉原正顯氏（青山学院大学）との共同研究である．
2016年04月18日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
柏原崇人 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
滑らかな領域における有限要素法の誤差評価について (日本語)
柏原崇人 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
滑らかな領域における有限要素法の誤差評価について (日本語)
[ 講演概要 ]
滑らかな領域$\Omega$上の偏微分方程式を有限要素法で離散化する場合，$\Omega$をフラットな三角形で厳密に分割するのは不可能なので，$\Omega$を多角形領域$\Omega_h$で近似した上で，$\Omega_h$に対して三角形分割や有限要素空間を考えるのが一般的である．よって誤差評価を行う際には，$\Omega$と$\Omega_h$のギャップ，つまり「領域の摂動」を定量的に評価する必要が生じる．このような状況を考慮した誤差評価の結果は存在するものの，標準的な手法が体系化されているとは言えないと思われる（特に，$L^2$誤差評価に関しては驚くほど結果が少ない）．本講演では，ポアソン方程式の(1)ノイマン問題，(2)ニーチェの方法によるディリクレ問題，をモデルケースとして，「領域の摂動」を考慮した$H^1$および$L^2$誤差評価を証明する．他の方程式や境界条件への応用を見込んで，できるだけ一般的かつ標準的な証明の枠組みを提案することを目標とする．
滑らかな領域$\Omega$上の偏微分方程式を有限要素法で離散化する場合，$\Omega$をフラットな三角形で厳密に分割するのは不可能なので，$\Omega$を多角形領域$\Omega_h$で近似した上で，$\Omega_h$に対して三角形分割や有限要素空間を考えるのが一般的である．よって誤差評価を行う際には，$\Omega$と$\Omega_h$のギャップ，つまり「領域の摂動」を定量的に評価する必要が生じる．このような状況を考慮した誤差評価の結果は存在するものの，標準的な手法が体系化されているとは言えないと思われる（特に，$L^2$誤差評価に関しては驚くほど結果が少ない）．本講演では，ポアソン方程式の(1)ノイマン問題，(2)ニーチェの方法によるディリクレ問題，をモデルケースとして，「領域の摂動」を考慮した$H^1$および$L^2$誤差評価を証明する．他の方程式や境界条件への応用を見込んで，できるだけ一般的かつ標準的な証明の枠組みを提案することを目標とする．
2016年04月04日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
Eric Chung 氏 (Chinese University of Hong Kong)
Staggered discontinuous Galerkin methods for the incompressible Navier-Stokes equations (English)
Eric Chung 氏 (Chinese University of Hong Kong)
Staggered discontinuous Galerkin methods for the incompressible Navier-Stokes equations (English)
[ 講演概要 ]
In this talk, we present a staggered discontinuous Galerkin method for the approximation of the incompressible Navier-Stokes equations. Our new method combines the advantages of discontinuous Galerkin methods and staggered meshes, and results in many good properties, namely local and global conservations, optimal convergence and superconvergence through the use of a local postprocessing technique. Another key feature is that our method provides a skew-symmetric discretization of the convection term, with the aim of giving a better conservation property compared with existing discretizations. We also analyze the stability and convergence of the method. In addition, we will present some numerical results to show the performance of the proposed method.
In this talk, we present a staggered discontinuous Galerkin method for the approximation of the incompressible Navier-Stokes equations. Our new method combines the advantages of discontinuous Galerkin methods and staggered meshes, and results in many good properties, namely local and global conservations, optimal convergence and superconvergence through the use of a local postprocessing technique. Another key feature is that our method provides a skew-symmetric discretization of the convection term, with the aim of giving a better conservation property compared with existing discretizations. We also analyze the stability and convergence of the method. In addition, we will present some numerical results to show the performance of the proposed method.
2015年10月26日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
Fredrik Lindgren 氏 (大阪大学)
Numerical approximation of spinodal decomposition in the presence of noise (English)
Fredrik Lindgren 氏 (大阪大学)
Numerical approximation of spinodal decomposition in the presence of noise (English)
[ 講演概要 ]
Numerical approximations of stochastic partial differential equations (SPDE) has evolved to a vivid subfield of computational mathematics in the last decades. It poses new challenges both for numerical analysis and the theory of SPDE.
In this talk we will discuss the strength and weaknesses of the \emph{semigroup approach} to SPDE when it is combined with the idea of viewing a single-step method in time as a \emph{rational approximation of a semigroup}. We shall apply this framework to the stochastic Allen-Cahn equation, a parabolic semi-linear SPDE where the non-linearity is non-globally Lipschitz continuous, but has a \emph{one-sided Lipschitz condition}, and the deterministic equation has a Lyapunov functional.
We focus on semi-discretisation in time, the first step in Rothe's method, and show how the semigroup approach allows for convergence proofs under the assumption that the numerical solution admits moment bounds. However, this assumption turns out to be difficult to verify in the semi-group framework, and the rates achieved are not sharp. This is due to the fact that the one-sided Lipschitz condition, being a variational inequality, can't be utilised. We thus turn to variational methods to solve this issue.
If time admits we shall also comment on the stochastic Cahn-Hilliard equation where the non-linearity has a one-sided Lipschitz condition in a lower norm, only. However, the fact of convergence can still be proved.
This is joint work with Daisuke Furihata (Osaka University), Mih\'aly Kov\'acs (University of Otago, New Zealand), Stig Larsson (Chalmers University of Technology, Sweden) and Shuji Yoshikawa (Ehime University).
Numerical approximations of stochastic partial differential equations (SPDE) has evolved to a vivid subfield of computational mathematics in the last decades. It poses new challenges both for numerical analysis and the theory of SPDE.
In this talk we will discuss the strength and weaknesses of the \emph{semigroup approach} to SPDE when it is combined with the idea of viewing a single-step method in time as a \emph{rational approximation of a semigroup}. We shall apply this framework to the stochastic Allen-Cahn equation, a parabolic semi-linear SPDE where the non-linearity is non-globally Lipschitz continuous, but has a \emph{one-sided Lipschitz condition}, and the deterministic equation has a Lyapunov functional.
We focus on semi-discretisation in time, the first step in Rothe's method, and show how the semigroup approach allows for convergence proofs under the assumption that the numerical solution admits moment bounds. However, this assumption turns out to be difficult to verify in the semi-group framework, and the rates achieved are not sharp. This is due to the fact that the one-sided Lipschitz condition, being a variational inequality, can't be utilised. We thus turn to variational methods to solve this issue.
If time admits we shall also comment on the stochastic Cahn-Hilliard equation where the non-linearity has a one-sided Lipschitz condition in a lower norm, only. However, the fact of convergence can still be proved.
This is joint work with Daisuke Furihata (Osaka University), Mih\'aly Kov\'acs (University of Otago, New Zealand), Stig Larsson (Chalmers University of Technology, Sweden) and Shuji Yoshikawa (Ehime University).
2015年06月29日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
小守良雄 氏 (九州工業大学大学院情報工学研究院)
Stabilized Runge-Kutta methods for the weak approximation of solutions of stochastic differential equations (日本語)
小守良雄 氏 (九州工業大学大学院情報工学研究院)
Stabilized Runge-Kutta methods for the weak approximation of solutions of stochastic differential equations (日本語)
[ 講演概要 ]
We are concerned with numerical methods which give weak approximations for stiff It\^{o} stochastic differential equations (SDEs). Implicit methods are one of good candidates to deal with such SDEs. In fact, a well-designed implicit method has been recently proposed by Abdulle and his colleagues [Abdulle et al. 2013a]. On the other hand, it is well known that the numerical solution of stiff SDEs leads to a stepsize reduction when explicit methods are used. However, there are some classes of explicit methods that are well suited to solving some types of stiff SDEs. One such class is the class of stochastic orthogonal Runge-Kutta Chebyshev (SROCK) methods [Abdulle et al. 2013b]. SROCK methods reduce to Runge-Kutta Chebyshev methods when applied to ordinary differential equations (ODEs). Another promising class of methods is the class of explicit methods that reduce to explicit exponential Runge-Kutta (RK) methods [Hochbruck et al. 2005, 2010] when applied to semilinear ODEs.
In this talk, we will propose new exponential RK methods which achieve weak order two for multi-dimensional, non-commutative SDEs with a semilinear drift term. We will analytically investigate their stability properties in mean square, and will check their performance in numerical experiments.
(This is a joint work with D. Cohen and K. Burrage.)
We are concerned with numerical methods which give weak approximations for stiff It\^{o} stochastic differential equations (SDEs). Implicit methods are one of good candidates to deal with such SDEs. In fact, a well-designed implicit method has been recently proposed by Abdulle and his colleagues [Abdulle et al. 2013a]. On the other hand, it is well known that the numerical solution of stiff SDEs leads to a stepsize reduction when explicit methods are used. However, there are some classes of explicit methods that are well suited to solving some types of stiff SDEs. One such class is the class of stochastic orthogonal Runge-Kutta Chebyshev (SROCK) methods [Abdulle et al. 2013b]. SROCK methods reduce to Runge-Kutta Chebyshev methods when applied to ordinary differential equations (ODEs). Another promising class of methods is the class of explicit methods that reduce to explicit exponential Runge-Kutta (RK) methods [Hochbruck et al. 2005, 2010] when applied to semilinear ODEs.
In this talk, we will propose new exponential RK methods which achieve weak order two for multi-dimensional, non-commutative SDEs with a semilinear drift term. We will analytically investigate their stability properties in mean square, and will check their performance in numerical experiments.
(This is a joint work with D. Cohen and K. Burrage.)
2015年06月15日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
宮武勇登 氏 (名古屋大学大学院工学研究科)
ハミルトン系に対する並列エネルギー保存解法 (日本語)
宮武勇登 氏 (名古屋大学大学院工学研究科)
ハミルトン系に対する並列エネルギー保存解法 (日本語)
[ 講演概要 ]
本講演では，ハミルトン系に対するエネルギー保存解法について考える． エネルギー保存解法の研究は，近年になってようやく高精度解法導出の アイデアが提案されつつあるが，高精度化には計算コストの大幅な増大を 伴う．そこで，本講演では，無段式ルンゲクッタ法と呼ばれる数値解法の エネルギー保存条件，次数条件，並列化可能条件をある行列を用いて表現 することで，並列化可能な高精度エネルギー保存解法を導出する．
本講演では，ハミルトン系に対するエネルギー保存解法について考える． エネルギー保存解法の研究は，近年になってようやく高精度解法導出の アイデアが提案されつつあるが，高精度化には計算コストの大幅な増大を 伴う．そこで，本講演では，無段式ルンゲクッタ法と呼ばれる数値解法の エネルギー保存条件，次数条件，並列化可能条件をある行列を用いて表現 することで，並列化可能な高精度エネルギー保存解法を導出する．
2015年05月18日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
尾崎克久 氏 (芝浦工業大学システム理工学部)
エラーフリー変換を用いた行列積の高精度計算
(日本語)
尾崎克久 氏 (芝浦工業大学システム理工学部)
エラーフリー変換を用いた行列積の高精度計算
(日本語)
[ 講演概要 ]
すべての成分が浮動小数点数である行列の積に関して，数値計算を用いて高信頼な結果を得る手法について研究を行っている．本講演では，HPCの技術者がチューニングをした高速なライブラリを直に使用する高精度行列積アルゴリズムについて紹介したい．アルゴリズムの概要，長所と短所，エラーフリーであることの証明から解説し，区間演算への応用や最近開発できた事後保証型のアルゴリズムについても紹介したい．
すべての成分が浮動小数点数である行列の積に関して，数値計算を用いて高信頼な結果を得る手法について研究を行っている．本講演では，HPCの技術者がチューニングをした高速なライブラリを直に使用する高精度行列積アルゴリズムについて紹介したい．アルゴリズムの概要，長所と短所，エラーフリーであることの証明から解説し，区間演算への応用や最近開発できた事後保証型のアルゴリズムについても紹介したい．
2015年04月27日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
高安亮紀 氏 (早稲田大学理工学術院)
解析半群を利用した半線形放物型方程式に対する解の精度保証付き数値計算法 (日本語)
高安亮紀 氏 (早稲田大学理工学術院)
解析半群を利用した半線形放物型方程式に対する解の精度保証付き数値計算法 (日本語)
[ 講演概要 ]
本講演では半線形放物型方程式の初期値境界値問題に対する解の局所一意存在を数値的に検証する方法を述べる．我々は空間変数に対する微分作用素が解析半群を生成することに注目し，ある時間区間において数値解の近傍に解を包含するための十分条件を導いた．本十分条件の成立を精度保証付き数値計算を用いて確かめることにより，所望の結果が数値的に検証可能となる．講演では定理の詳細について説明し，本手法によってある半線形放物型方程式の時間大域解の数値存在検証が可能となることも紹介する．
本講演では半線形放物型方程式の初期値境界値問題に対する解の局所一意存在を数値的に検証する方法を述べる．我々は空間変数に対する微分作用素が解析半群を生成することに注目し，ある時間区間において数値解の近傍に解を包含するための十分条件を導いた．本十分条件の成立を精度保証付き数値計算を用いて確かめることにより，所望の結果が数値的に検証可能となる．講演では定理の詳細について説明し，本手法によってある半線形放物型方程式の時間大域解の数値存在検証が可能となることも紹介する．
2015年03月20日(金)
13:30-15:00 数理科学研究科棟(駒場) 122号室
Gadi Fibich 氏 (Tel Aviv University)
Asymmetric Auctions (English)
Gadi Fibich 氏 (Tel Aviv University)
Asymmetric Auctions (English)
[ 講演概要 ]
Auctions are central to the modern economy, both on-line and off-line. A fundamental result in auction theory is that when bidders are symmetric (identical), then under quite general conditions, all auctions are revenue equivalent. While it is known that this result does not hold when bidders are asymmetric, the effect of bidders' asymmetry is poorly understood, since asymmetric auctions are much harder to analyze.
In this talk I will discuss the mathematical theory of asymmetric auctions. I will focus on asymmetric first-price auctions, where the mathematical model is given by a nonstandard system of $n$ nonlinear ordinary differential equations, with $2n$ boundary conditions and a free boundary. I will present various analytic and numerical approaches for this system. Then I will present some recent results on asymptotic revenue equivalence of asymmetric auctions.
Joint work with A. Gavious and N. Gavish.
Auctions are central to the modern economy, both on-line and off-line. A fundamental result in auction theory is that when bidders are symmetric (identical), then under quite general conditions, all auctions are revenue equivalent. While it is known that this result does not hold when bidders are asymmetric, the effect of bidders' asymmetry is poorly understood, since asymmetric auctions are much harder to analyze.
In this talk I will discuss the mathematical theory of asymmetric auctions. I will focus on asymmetric first-price auctions, where the mathematical model is given by a nonstandard system of $n$ nonlinear ordinary differential equations, with $2n$ boundary conditions and a free boundary. I will present various analytic and numerical approaches for this system. Then I will present some recent results on asymptotic revenue equivalence of asymmetric auctions.
Joint work with A. Gavious and N. Gavish.
2015年02月18日(水)
14:30-16:00 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
浜向直 氏 (北海道大学大学院理学研究院)
Harnack inequalities for supersolutions of fully nonlinear elliptic difference and differential equations (日本語)
浜向直 氏 (北海道大学大学院理学研究院)
Harnack inequalities for supersolutions of fully nonlinear elliptic difference and differential equations (日本語)
[ 講演概要 ]
格子点上の完全非線形楕円型差分方程式の非負優解に対するハルナック型不等式について解説する。ここで導く評価式は、あらゆる優解に対して成り立つ代わりに、ハルナック定数が格子点上のグラフ距離に依存している。証明のために、弱ハルナック不等式を示すときに用いられるバリア関数の取り方を工夫する。また同じ証明のアイデアを、ユークリッド空間上の偏微分方程式に対して適用したときに得られるハルナック型不等式についても紹介したい。
格子点上の完全非線形楕円型差分方程式の非負優解に対するハルナック型不等式について解説する。ここで導く評価式は、あらゆる優解に対して成り立つ代わりに、ハルナック定数が格子点上のグラフ距離に依存している。証明のために、弱ハルナック不等式を示すときに用いられるバリア関数の取り方を工夫する。また同じ証明のアイデアを、ユークリッド空間上の偏微分方程式に対して適用したときに得られるハルナック型不等式についても紹介したい。
2015年02月18日(水)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
福島登志夫 氏 (国立天文台)
Precise and fast computation of elliptic integrals and elliptic functions (日本語)
福島登志夫 氏 (国立天文台)
Precise and fast computation of elliptic integrals and elliptic functions (日本語)
[ 講演概要 ]
Summarized is the recent progress of the methods to compute (i) Legendre's normal form complete elliptic integrals of all three kinds, $K(m)$, $E(m)$, and $\Pi(n|m)$, (ii) Legendre's normal form incomplete elliptic integrals of all three kinds, $F(\phi|m)$, $E(\phi|m)$, and $\Pi(\phi,n|m)$, (iii) Jacobian elliptic functions, $\mathrm{sn}(u|m)$, $\mathrm{cn}(u|m)$, $\mathrm{dn}(u|m)$, and $\mathrm{am}(u|m)$, (iv) the inverse functions of $K(m)$ and $E(m)$, $m_K(K)$ and $m_E(E)$, (v) the inverse of a general incomplete elliptic integral in Jacobi's form, $G(\mathrm{am}(u|m),n|m)$, with respect to $u$, and (vi) the partial derivatives of $\mathrm{sn}(u|m)$, $\mathrm{cn}(u|m)$, $dn(u|m)$, $E(\mathrm{am}(u|m)|m)$, and $\Pi(\mathrm{am}(u|m),n|m)$ with respect to $u$ and those of $F(\phi|m)$, $E(\phi|m)$, and $\Pi(\phi,n|m)$ with respect to $\phi$. In order to avoid the information loss when $n\ll 1$ and/or $m \ll 1$, focused are the associate incomplete elliptc integrals defined as $B(\phi|m)=[E(\phi|m)-(1-m)F(\phi|m)]/m$, $D(\phi|m)=[F(\phi|m)-E(\phi|m)]/m$, and $J(\phi,n|m)=[\Pi(\phi,n|m)-F(\phi|m)]/n$, and their complete versions, $B(m)=[E(m)-(1-m)K(m)]/m$, $D(m)=[K(m)-E(m)]/m$, and $J(n|m)=[\Pi(n|m)-K(m)]/n$. The main techniques used are (i) the piecewise approximation for single variable functions as $K(m)$, and (ii) the combination of repeated usage of the half and double argument transformations and the truncated Maclaurin series expansions with respect to $u = F(\phi|m)$. The new methods are of the full double precision accuracy without any chance of cancellation against small input arguments. They run significantly faster than the existing methods: (i) 2.5 times faster than Cody's Chebyshev polynomial approximations for $K(m)$ and $E(m)$, (ii) 2.5 times faster than Bulirsch's cel for $\Pi(n|m)$, (iii) slightly faster than Bulirsch's el1 for $F(\phi|m)$, (iv) 3.5 times faster than Carlson's $R_D$ for $E(\phi|m)$, (v) 3.5 times faster than Carlson's $R_C$, $R_D$, $R_F$, and $R_J$ for $\Pi(\phi,n|m)$, and (vi) 1.5 times faster than Bulirsch's \texttt{sncndn} for $\mathrm{sn}(u|m)$, $\mathrm{cn}(u|m)$, and $\mathrm{dn}(u|m)$.
Summarized is the recent progress of the methods to compute (i) Legendre's normal form complete elliptic integrals of all three kinds, $K(m)$, $E(m)$, and $\Pi(n|m)$, (ii) Legendre's normal form incomplete elliptic integrals of all three kinds, $F(\phi|m)$, $E(\phi|m)$, and $\Pi(\phi,n|m)$, (iii) Jacobian elliptic functions, $\mathrm{sn}(u|m)$, $\mathrm{cn}(u|m)$, $\mathrm{dn}(u|m)$, and $\mathrm{am}(u|m)$, (iv) the inverse functions of $K(m)$ and $E(m)$, $m_K(K)$ and $m_E(E)$, (v) the inverse of a general incomplete elliptic integral in Jacobi's form, $G(\mathrm{am}(u|m),n|m)$, with respect to $u$, and (vi) the partial derivatives of $\mathrm{sn}(u|m)$, $\mathrm{cn}(u|m)$, $dn(u|m)$, $E(\mathrm{am}(u|m)|m)$, and $\Pi(\mathrm{am}(u|m),n|m)$ with respect to $u$ and those of $F(\phi|m)$, $E(\phi|m)$, and $\Pi(\phi,n|m)$ with respect to $\phi$. In order to avoid the information loss when $n\ll 1$ and/or $m \ll 1$, focused are the associate incomplete elliptc integrals defined as $B(\phi|m)=[E(\phi|m)-(1-m)F(\phi|m)]/m$, $D(\phi|m)=[F(\phi|m)-E(\phi|m)]/m$, and $J(\phi,n|m)=[\Pi(\phi,n|m)-F(\phi|m)]/n$, and their complete versions, $B(m)=[E(m)-(1-m)K(m)]/m$, $D(m)=[K(m)-E(m)]/m$, and $J(n|m)=[\Pi(n|m)-K(m)]/n$. The main techniques used are (i) the piecewise approximation for single variable functions as $K(m)$, and (ii) the combination of repeated usage of the half and double argument transformations and the truncated Maclaurin series expansions with respect to $u = F(\phi|m)$. The new methods are of the full double precision accuracy without any chance of cancellation against small input arguments. They run significantly faster than the existing methods: (i) 2.5 times faster than Cody's Chebyshev polynomial approximations for $K(m)$ and $E(m)$, (ii) 2.5 times faster than Bulirsch's cel for $\Pi(n|m)$, (iii) slightly faster than Bulirsch's el1 for $F(\phi|m)$, (iv) 3.5 times faster than Carlson's $R_D$ for $E(\phi|m)$, (v) 3.5 times faster than Carlson's $R_C$, $R_D$, $R_F$, and $R_J$ for $\Pi(\phi,n|m)$, and (vi) 1.5 times faster than Bulirsch's \texttt{sncndn} for $\mathrm{sn}(u|m)$, $\mathrm{cn}(u|m)$, and $\mathrm{dn}(u|m)$.
2015年01月19日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
渡部善隆 氏 (九州大学情報基盤研究開発センター)
数値計算における誤差と残差 (日本語)
渡部善隆 氏 (九州大学情報基盤研究開発センター)
数値計算における誤差と残差 (日本語)
[ 講演概要 ]
コンピュータによる数値計算においては、浮動小数点演算による丸め誤差、級数展開・ 反復の打ち切り誤差、連続問題の離散化誤差など、レベルの異なる誤差が発生すること があります。本講演では、「計算の品質」の観点から、何らかの方法で得られた近似解 に対し、真の解との誤差限界を数学的に厳密に見積もる数値計算手法について、特に残 差の果たす役割に注目しながら、分かりやすく紹介できればと思います。
コンピュータによる数値計算においては、浮動小数点演算による丸め誤差、級数展開・ 反復の打ち切り誤差、連続問題の離散化誤差など、レベルの異なる誤差が発生すること があります。本講演では、「計算の品質」の観点から、何らかの方法で得られた近似解 に対し、真の解との誤差限界を数学的に厳密に見積もる数値計算手法について、特に残 差の果たす役割に注目しながら、分かりやすく紹介できればと思います。
2014年12月01日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
井元佑介 氏 (九州大学大学院数理学府)
Poisson方程式に対する一般化粒子法の誤差評価 (日本語)
http://www.infsup.jp/utnas/
井元佑介 氏 (九州大学大学院数理学府)
Poisson方程式に対する一般化粒子法の誤差評価 (日本語)
[ 講演概要 ]
SPH法やMPS法に代表される粒子法は, 津波のような移動境界流れに対する数値計算手法の一つとして, 現在幅広く利用されている. 一方で, 近似解の誤差評価といった粒子法の数学的正当化は, 我々の知る限り十分に行われているとは言えない.
そこで我々は, 誤差評価の第一ステップとして, Poisson方程式に対するある一般化粒子法を導入し, その誤差評価を行った. 提案する粒子法は, SPH法やMPS法を含む, より広いクラスの粒子法を記述することが可能である. 本講演では, 粒子分布の正則性と接続性を導入し, これらの性質を持った粒子分布の下で, 近似解の誤差が重み関数の影響半径に関して2次収束することを示す. 我々の誤差評価では, 従来は工学的な経験則に基づいていた 参照関数の選択や粒子数と影響半径の組合わせの選択などに, 数学的に正当化されたある十分条件を与えていることが重要である.
[ 参考URL ]SPH法やMPS法に代表される粒子法は, 津波のような移動境界流れに対する数値計算手法の一つとして, 現在幅広く利用されている. 一方で, 近似解の誤差評価といった粒子法の数学的正当化は, 我々の知る限り十分に行われているとは言えない.
そこで我々は, 誤差評価の第一ステップとして, Poisson方程式に対するある一般化粒子法を導入し, その誤差評価を行った. 提案する粒子法は, SPH法やMPS法を含む, より広いクラスの粒子法を記述することが可能である. 本講演では, 粒子分布の正則性と接続性を導入し, これらの性質を持った粒子分布の下で, 近似解の誤差が重み関数の影響半径に関して2次収束することを示す. 我々の誤差評価では, 従来は工学的な経験則に基づいていた 参照関数の選択や粒子数と影響半径の組合わせの選択などに, 数学的に正当化されたある十分条件を与えていることが重要である.
http://www.infsup.jp/utnas/
2014年10月20日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
周冠宇 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
Finite element method with various types of penalty on domain/boundary (ENGLISH)
周冠宇 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
Finite element method with various types of penalty on domain/boundary (ENGLISH)
[ 講演概要 ]
We are concerned with several penalty methods (on domain/boundary)
combining with finite element method to solve some partial differential equations. The penalty methods are very useful and widely applied to various problems. For example, to solve the Navier-Stokes equations in moving boundary domain, the finite element method requires to construct the boundary fitted mesh at every times step, which is very time-consuming. The fictitious domain method is proposed to tackle this problem. It is to reformulate the equation to a larger fixed domain, called the fictitious domain, to which we can take a uniform mesh independent on the original moving boundary. The reformulation is based on a penalty method on do- main. Some penalty methods are proposed to approximate the boundary conditions which are not easy to handle with general FEM, such as the slip boundary condition to Stokes/Navier-Stokes equations, the unilateral boundary condition of Signorini’s type to Stokes equations, and so on. It is known that the variational crimes occurs if the finite element spaces or the implementation methods are not chosen properly for slip boundary condition. By introducing a penalty term to the normal component of velocity on slip boundary, we can solve the equations in FEM easily. For the boundary of Signorini’s type, the variational form is an inequality, to which the FEM is not easy to applied. However, we can approximate the variational inequality by a variation equation with penalty term, which can be solve by FEM directly. In above, we introduced several penalty methods with finite element approximation. In this work, we investigate the well-posedness of those penalty method, and obtain the error estimates of penalty; moreover, we consider the penalty methods combining with finite element approximation and show the error estimates.
We are concerned with several penalty methods (on domain/boundary)
combining with finite element method to solve some partial differential equations. The penalty methods are very useful and widely applied to various problems. For example, to solve the Navier-Stokes equations in moving boundary domain, the finite element method requires to construct the boundary fitted mesh at every times step, which is very time-consuming. The fictitious domain method is proposed to tackle this problem. It is to reformulate the equation to a larger fixed domain, called the fictitious domain, to which we can take a uniform mesh independent on the original moving boundary. The reformulation is based on a penalty method on do- main. Some penalty methods are proposed to approximate the boundary conditions which are not easy to handle with general FEM, such as the slip boundary condition to Stokes/Navier-Stokes equations, the unilateral boundary condition of Signorini’s type to Stokes equations, and so on. It is known that the variational crimes occurs if the finite element spaces or the implementation methods are not chosen properly for slip boundary condition. By introducing a penalty term to the normal component of velocity on slip boundary, we can solve the equations in FEM easily. For the boundary of Signorini’s type, the variational form is an inequality, to which the FEM is not easy to applied. However, we can approximate the variational inequality by a variation equation with penalty term, which can be solve by FEM directly. In above, we introduced several penalty methods with finite element approximation. In this work, we investigate the well-posedness of those penalty method, and obtain the error estimates of penalty; moreover, we consider the penalty methods combining with finite element approximation and show the error estimates.
2014年07月28日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
宮路智行 氏 (京都大学数理解析研究所)
Computer assisted analysis of Craik’s and Pehlivan’s 3D dynamical systems (JAPANESE)
http://www.infsup.jp/utnas/
宮路智行 氏 (京都大学数理解析研究所)
Computer assisted analysis of Craik’s and Pehlivan’s 3D dynamical systems (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
三次元Navier-Stokes方程式の厳密な特殊解の構成のためCraikによって導出された三次元常微分方程式系と,それに関連する方程式への計算機援用解析を行う.Craikの方程式が定める力学系は相空間体積を保存する.先行研究の数値計算によれば,大多数を占める非有界な軌道の運命は孤立した不安定周期軌道に支配される.この周期軌道のまわりでは四つ葉状の軌道が描かれる.一方,安定な四つ葉状のカオス的アトラクターをもつ散逸系の方程式がPehlivanによって全く異なる文脈で提案されている.数学解析,数値計算,および精度保証付き数値計算を用いて,周期軌道の存在とその分岐を証明し,四つ葉状のカオスに至る理由を明らかにする.
[ 参考URL ]三次元Navier-Stokes方程式の厳密な特殊解の構成のためCraikによって導出された三次元常微分方程式系と,それに関連する方程式への計算機援用解析を行う.Craikの方程式が定める力学系は相空間体積を保存する.先行研究の数値計算によれば,大多数を占める非有界な軌道の運命は孤立した不安定周期軌道に支配される.この周期軌道のまわりでは四つ葉状の軌道が描かれる.一方,安定な四つ葉状のカオス的アトラクターをもつ散逸系の方程式がPehlivanによって全く異なる文脈で提案されている.数学解析,数値計算,および精度保証付き数値計算を用いて,周期軌道の存在とその分岐を証明し,四つ葉状のカオスに至る理由を明らかにする.
http://www.infsup.jp/utnas/
2014年06月09日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
及川一誠 氏 (早稲田大学理工学術院)
弱安定化ハイブリッド型不連続Galerkin法について (JAPANESE)
http://www.infsup.jp/utnas/
及川一誠 氏 (早稲田大学理工学術院)
弱安定化ハイブリッド型不連続Galerkin法について (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
ハイブリッド型不連続Galerkin(HDG)法とは、要素内部の未知量に加え、要素間境界上の未知量を導入して定式化を行うという、新しいタイプの不連続Galerkin法である。本講演では、従来のHDG法の安定化項を弱めることによって得られる新手法(弱安定化HDG法)を紹介する。 弱安定化HDG法の理論誤差解析や、ガウス型数値積分公式による実装法、数値計算結果などについて示す。非適合有限要素法との関連性についても述べる。
[ 参考URL ]ハイブリッド型不連続Galerkin(HDG)法とは、要素内部の未知量に加え、要素間境界上の未知量を導入して定式化を行うという、新しいタイプの不連続Galerkin法である。本講演では、従来のHDG法の安定化項を弱めることによって得られる新手法(弱安定化HDG法)を紹介する。 弱安定化HDG法の理論誤差解析や、ガウス型数値積分公式による実装法、数値計算結果などについて示す。非適合有限要素法との関連性についても述べる。
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2014年05月12日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
Chien-Hong Cho 氏 (National Chung Cheng University)
On the finite difference approximation for blow-up solutions of the nonlinear wave equation (JAPANESE)
http://www.infsup.jp/utnas/
Chien-Hong Cho 氏 (National Chung Cheng University)
On the finite difference approximation for blow-up solutions of the nonlinear wave equation (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
We consider in this paper the 1-dim nonlinear wave equation $u_{tt}=u_{xx}+u^{1+\\alpha}$ $(\\alpha > 0)$ and its finite difference analogue. It is known that the solutions of the current equation becomes unbounded in finite time, a phenomenon which is often called blow-up. Numerical approaches on such kind of problems are widely investigated in the last decade. However, those results are mainly about parabolic blow-up problems. Compared with the parabolic ones, there is a remarkable property for the solution of the nonlinear wave equation -- the existence of the blow-up curve. That is, even though the solution has become unbounded at certain points, the solution continues to exist at other points and blows up at later times. We are concerned in this paper as to how a finite difference scheme can reproduce such a phenomenon.
[ 参考URL ]We consider in this paper the 1-dim nonlinear wave equation $u_{tt}=u_{xx}+u^{1+\\alpha}$ $(\\alpha > 0)$ and its finite difference analogue. It is known that the solutions of the current equation becomes unbounded in finite time, a phenomenon which is often called blow-up. Numerical approaches on such kind of problems are widely investigated in the last decade. However, those results are mainly about parabolic blow-up problems. Compared with the parabolic ones, there is a remarkable property for the solution of the nonlinear wave equation -- the existence of the blow-up curve. That is, even though the solution has become unbounded at certain points, the solution continues to exist at other points and blows up at later times. We are concerned in this paper as to how a finite difference scheme can reproduce such a phenomenon.
http://www.infsup.jp/utnas/
2014年04月21日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
中澤嵩 氏 (東北大学大学院理学研究科)
人工血管の最適設計を目的としたNavier-Stokes方程式の周期解に対する形状最化問題 (JAPANESE)
http://www.infsup.jp/utnas/
中澤嵩 氏 (東北大学大学院理学研究科)
人工血管の最適設計を目的としたNavier-Stokes方程式の周期解に対する形状最化問題 (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
Stokes方程式やNavier-Stokes方程式の定常解に対する形状最適化問題は,これまで多く行われてきた.しかし, Navier-Stokes方程式の周期解に対しては十分に行われていない.本講演では,安定性理論を活用することで,Navier-Stokes方程式の周期解に対する形状最適化問題を人工血管の最適設計という現実の問題を通して考察する.
[ 参考URL ]Stokes方程式やNavier-Stokes方程式の定常解に対する形状最適化問題は,これまで多く行われてきた.しかし, Navier-Stokes方程式の周期解に対しては十分に行われていない.本講演では,安定性理論を活用することで,Navier-Stokes方程式の周期解に対する形状最適化問題を人工血管の最適設計という現実の問題を通して考察する.
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2014年02月13日(木)
16:00-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
いつもと,開催曜日,開催時刻,教室が異なっております.ご注意ください.
Mitchell Luskin 氏 (University of Minnesota)
Numerical analysis of atomistic-to-continuum coupling methods (ENGLISH)
http://www.infsup.jp/utnas/
いつもと,開催曜日,開催時刻,教室が異なっております.ご注意ください.
Mitchell Luskin 氏 (University of Minnesota)
Numerical analysis of atomistic-to-continuum coupling methods (ENGLISH)
[ 講演概要 ]
The building blocks of micromechanics are the nucleation and movement of point, line, and surface defects and their long-range elastic interactions. Computational micromechanics has begun to extend the predictive scope of theoretical micromechanics, but mathematical theory able to assess the accuracy and efficiency of multiscale methods is needed for computational micromechanics to reach its full potential.
Many materials problems require the accuracy of atomistic modeling in small regions, such as the neighborhood of a crack tip. However, these localized defects typically interact through long range elastic fields with a much larger region that cannot be computed atomistically. Materials scientists have proposed many methods to compute solutions to these multiscale problems by coupling atomistic models near a localized defect with continuum models where the deformation is nearly uniform on the atomistic scale. During the past several years, a mathematical structure has been given to the description and formulation of atomistic-to-continuum coupling methods, and corresponding numerical analysis and benchmark computational experiments have clarified the relation between the various methods and their sources of error. Our numerical analysis has enabled the development of more accurate and efficient coupling methods.
[ 参考URL ]The building blocks of micromechanics are the nucleation and movement of point, line, and surface defects and their long-range elastic interactions. Computational micromechanics has begun to extend the predictive scope of theoretical micromechanics, but mathematical theory able to assess the accuracy and efficiency of multiscale methods is needed for computational micromechanics to reach its full potential.
Many materials problems require the accuracy of atomistic modeling in small regions, such as the neighborhood of a crack tip. However, these localized defects typically interact through long range elastic fields with a much larger region that cannot be computed atomistically. Materials scientists have proposed many methods to compute solutions to these multiscale problems by coupling atomistic models near a localized defect with continuum models where the deformation is nearly uniform on the atomistic scale. During the past several years, a mathematical structure has been given to the description and formulation of atomistic-to-continuum coupling methods, and corresponding numerical analysis and benchmark computational experiments have clarified the relation between the various methods and their sources of error. Our numerical analysis has enabled the development of more accurate and efficient coupling methods.
http://www.infsup.jp/utnas/
2014年01月28日(火)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 118号室
教室がいつもと異なっていますので、ご注意ください
村川秀樹 氏 (九州大学大学院数理学研究院)
細胞接着の数理モデルについて (JAPANESE)
http://www.infsup.jp/utnas/
教室がいつもと異なっていますので、ご注意ください
村川秀樹 氏 (九州大学大学院数理学研究院)
細胞接着の数理モデルについて (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
多細胞生物のからだを構成する細胞は独立に存在するのではなく、細胞同士が接着したり、細胞外基質に接着して存在している。細胞同士の接着は細胞接着または細胞間接着と呼ばれる。Armstrong、Painter、Sherratt (2006)は細胞集団の挙動を理解するために、細胞接着を考慮した数理モデルを提案した。そのモデルは多くの研究者の興味を引き、精力的に研究が進められているが、数値実験の結果からはそのモデルが現象を記述しているとは言い難い。その数理モデルの問題点を精査し、現象を記述する新たな数理モデルを提案する。
[ 参考URL ]多細胞生物のからだを構成する細胞は独立に存在するのではなく、細胞同士が接着したり、細胞外基質に接着して存在している。細胞同士の接着は細胞接着または細胞間接着と呼ばれる。Armstrong、Painter、Sherratt (2006)は細胞集団の挙動を理解するために、細胞接着を考慮した数理モデルを提案した。そのモデルは多くの研究者の興味を引き、精力的に研究が進められているが、数値実験の結果からはそのモデルが現象を記述しているとは言い難い。その数理モデルの問題点を精査し、現象を記述する新たな数理モデルを提案する。
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2013年11月12日(火)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
http://www.infsup.jp/utnas/
柏原崇人 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
``method of numerical integration''による摩擦型境界条件問題の数値解析について (JAPANESE)
http://www.infsup.jp/utnas/
http://www.infsup.jp/utnas/
柏原崇人 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
``method of numerical integration''による摩擦型境界条件問題の数値解析について (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
摩擦型境界条件を課したStokes方程式(もしくはPoisson方程式・線形弾性体方程式)の数値解析を紹介する.摩擦型境界条件問題は,非線形項が境界上のL1ノルムで表される楕円型変分不等式として定式化される.本研究では,この非線形項を適切な数値積分公式で近似した有限要素スキームを提案する.そのような数値積分近似の導入により,(i)変分不等式が方程式に書き換えられること,(ii)相補性条件,というPDEのレベルで成り立つ2つの性質が離散化後も保たれることを示す.さらに,離散版の相補性条件にもとづいた実装法(Active/Inactive集合法)を提案し,その有効性を数値実験で確かめる.時間があればSignorini境界条件・多角形以外の領域・時間非定常問題への応用についても紹介したい.
[ 参考URL ]摩擦型境界条件を課したStokes方程式(もしくはPoisson方程式・線形弾性体方程式)の数値解析を紹介する.摩擦型境界条件問題は,非線形項が境界上のL1ノルムで表される楕円型変分不等式として定式化される.本研究では,この非線形項を適切な数値積分公式で近似した有限要素スキームを提案する.そのような数値積分近似の導入により,(i)変分不等式が方程式に書き換えられること,(ii)相補性条件,というPDEのレベルで成り立つ2つの性質が離散化後も保たれることを示す.さらに,離散版の相補性条件にもとづいた実装法(Active/Inactive集合法)を提案し,その有効性を数値実験で確かめる.時間があればSignorini境界条件・多角形以外の領域・時間非定常問題への応用についても紹介したい.
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