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数値解析セミナー
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| 開催情報 | 火曜日 16:30～18:00 数理科学研究科棟(駒場) 002号室 |
|---|---|
| 担当者 | 齊藤宣一、柏原崇人 |
| セミナーURL | https://sites.google.com/g.ecc.u-tokyo.ac.jp/utnas-bulletin-board/ |
過去の記録
2018年04月17日(火)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
杉谷宜紀 氏 (東北大学AIMR)
機械学習とその医療分野への応用 (Japanese)
杉谷宜紀 氏 (東北大学AIMR)
機械学習とその医療分野への応用 (Japanese)
[ 講演概要 ]
計算機の進化に伴う深層学習の実現により, 機械学習は現在あらゆる分野で応用され一定の成功を成功を収めているが, 未だに数学的に分かっていない事も多いのが現状である. 機械学習における学習とは, 教師データを使って定義される非線形損失関数の最小化問題を数値的に解く事と言い換えられるが, その際に未知データに対する汎化能力を獲得する為に様々な工夫がなされる. 本講演では主に深層学習の基礎となっているニューラルネットワークについて, その仕組みと背景にあるベイズ統計的解釈について説明する. Pythonでの機械学習用ライブラリKerasを使ったプログラミングについても簡単に紹介する. また, 現在取り組んでいる医療分野への応用としてデータ分布に偏りのある場合の効率的な学習方法について考察する.
計算機の進化に伴う深層学習の実現により, 機械学習は現在あらゆる分野で応用され一定の成功を成功を収めているが, 未だに数学的に分かっていない事も多いのが現状である. 機械学習における学習とは, 教師データを使って定義される非線形損失関数の最小化問題を数値的に解く事と言い換えられるが, その際に未知データに対する汎化能力を獲得する為に様々な工夫がなされる. 本講演では主に深層学習の基礎となっているニューラルネットワークについて, その仕組みと背景にあるベイズ統計的解釈について説明する. Pythonでの機械学習用ライブラリKerasを使ったプログラミングについても簡単に紹介する. また, 現在取り組んでいる医療分野への応用としてデータ分布に偏りのある場合の効率的な学習方法について考察する.
2018年02月19日(月)
15:00-16:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
Michael Plum 氏 (Karlsruhe Insitute of Technology)
Existence, multiplicity, and orbital stability for travelling waves in a nonlinearly supported beam (English)
Michael Plum 氏 (Karlsruhe Insitute of Technology)
Existence, multiplicity, and orbital stability for travelling waves in a nonlinearly supported beam (English)
[ 講演概要 ]
For a nonlinear beam equation with exponential nonlinearity, we prove existence of at least 36 travelling wave solutions for the specific wave speed c=1.3. Our proof makes heavy use of computer assistance: starting from numerical approximations, we use a fixed point argument to prove existence of solutions "close to" the approximate ones. Furthermore we investigate the orbital stability of these solutions by making use of both analytical and computer-assisted techniques.
For a nonlinear beam equation with exponential nonlinearity, we prove existence of at least 36 travelling wave solutions for the specific wave speed c=1.3. Our proof makes heavy use of computer assistance: starting from numerical approximations, we use a fixed point argument to prove existence of solutions "close to" the approximate ones. Furthermore we investigate the orbital stability of these solutions by making use of both analytical and computer-assisted techniques.
2018年02月19日(月)
16:15-17:15 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
長藤かおり 氏 (Karlsruhe Insitute of Technology)
An approach to computer-assisted existence proofs for nonlinear space-time fractional parabolic problems (English)
長藤かおり 氏 (Karlsruhe Insitute of Technology)
An approach to computer-assisted existence proofs for nonlinear space-time fractional parabolic problems (English)
[ 講演概要 ]
We consider an initial boundary value problem for a space-time fractional parabolic equation, which includes the fractional Laplacian, i.e. a nonlocal operator. We treat a corresponding local problem which is obtained by the Caffarelli-Silvestre extension technique, and show how to enclose a solution of the extended problem by computer-assisted means.
We consider an initial boundary value problem for a space-time fractional parabolic equation, which includes the fractional Laplacian, i.e. a nonlocal operator. We treat a corresponding local problem which is obtained by the Caffarelli-Silvestre extension technique, and show how to enclose a solution of the extended problem by computer-assisted means.
2017年12月19日(火)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 128号室
三浦達彦 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
Finite volume scheme for the Hamilton-Jacobi equation on an evolving surface (Japanese)
三浦達彦 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
Finite volume scheme for the Hamilton-Jacobi equation on an evolving surface (Japanese)
[ 講演概要 ]
In this talk we consider the first-order Hamilton-Jacobi equation on a given closed evolving surface embedded into the three-dimensional Euclidean space, which describes the motion of a closed curve on the evolving surface. Our aim is to give a numerical scheme and establish its convergence and an error estimate between numerical and viscosity solutions.
Based on a finite volume scheme for the Hamilton-Jacobi equation on a flat domain introduced by Kim and Li (J. Comput. Math., 2015), we construct a numerical scheme on triangulated surfaces and prove its monotonicity and consistency without assuming that the triangulation is acute. Then applying these results we show the convergence of a numerical solution to a viscosity solution and an error estimate of the same order as in the case of a flat stationary domain.
This talk is based on a joint work with Prof. Klaus Deckelnick (Otto von Guericke University Magdeburg) and Prof. Charles M. Elliott (University of Warwick).
In this talk we consider the first-order Hamilton-Jacobi equation on a given closed evolving surface embedded into the three-dimensional Euclidean space, which describes the motion of a closed curve on the evolving surface. Our aim is to give a numerical scheme and establish its convergence and an error estimate between numerical and viscosity solutions.
Based on a finite volume scheme for the Hamilton-Jacobi equation on a flat domain introduced by Kim and Li (J. Comput. Math., 2015), we construct a numerical scheme on triangulated surfaces and prove its monotonicity and consistency without assuming that the triangulation is acute. Then applying these results we show the convergence of a numerical solution to a viscosity solution and an error estimate of the same order as in the case of a flat stationary domain.
This talk is based on a joint work with Prof. Klaus Deckelnick (Otto von Guericke University Magdeburg) and Prof. Charles M. Elliott (University of Warwick).
2017年11月28日(火)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 117号室
小山大介 氏 (電気通信大学大学院情報理工学研究科)
Hybrid discontinuous Galerkin methods for nearly incompressible elasticity problems
(Japanese)
小山大介 氏 (電気通信大学大学院情報理工学研究科)
Hybrid discontinuous Galerkin methods for nearly incompressible elasticity problems
(Japanese)
[ 講演概要 ]
A Hybrid discontinuous Galerkin (HDG) method for linear elasticity problems has been introduced by Kikuchi et al. [Theor. Appl. Mech. Japan, vol.57, 395--404 (2009)], [RIMS Kokyuroku, vol.1971, 28--46 (2015)]. We consider to seek numerical solutions of the plane strain problem by the HDG method, especially in the case when materials are nearly incompressible, that is, when the first Lam\'e parameter $\lambda$ is large. In this talk, we consider two cases when the HDG method uses a lifting term and does not use it. When the lifting term is used, the method can be free of volumetric locking. On the other hand, when the lifting term is not used, we have to take an interior penalty parameter of order $\lambda$ as $\lambda$ tends to infinity, in order to guarantee the coercivity of the bilinear form. Taking such an interior penalty parameter causes volumetric locking phenomena. We thus conclude that the lifting term is essential for avoiding the volumetric locking in the HDG method.
A Hybrid discontinuous Galerkin (HDG) method for linear elasticity problems has been introduced by Kikuchi et al. [Theor. Appl. Mech. Japan, vol.57, 395--404 (2009)], [RIMS Kokyuroku, vol.1971, 28--46 (2015)]. We consider to seek numerical solutions of the plane strain problem by the HDG method, especially in the case when materials are nearly incompressible, that is, when the first Lam\'e parameter $\lambda$ is large. In this talk, we consider two cases when the HDG method uses a lifting term and does not use it. When the lifting term is used, the method can be free of volumetric locking. On the other hand, when the lifting term is not used, we have to take an interior penalty parameter of order $\lambda$ as $\lambda$ tends to infinity, in order to guarantee the coercivity of the bilinear form. Taking such an interior penalty parameter causes volumetric locking phenomena. We thus conclude that the lifting term is essential for avoiding the volumetric locking in the HDG method.
2017年11月14日(火)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
石川歩惟 氏 (神戸大学大学院システム情報学研究科)
変分原理に基づくエネルギー保存数値解法と無制約最適化問題への応用 (Japanese)
石川歩惟 氏 (神戸大学大学院システム情報学研究科)
変分原理に基づくエネルギー保存数値解法と無制約最適化問題への応用 (Japanese)
[ 講演概要 ]
構造保存型数値解法は, 方程式のもつ力学的構造に着目し, その力学的性質を保つようにしてスキームを設計する数値計算法である. 特に, エネルギー保存則を厳密に保つような数値解法はエネルギー保存数値解法と呼ばれ, 離散勾配法などが知られている. 離散勾配法とは, 勾配の性質を引き継ぐよう定義された離散勾配と呼ばれるものをスキームに用いる方法で, この方法によるスキームは安定性に優れたものとなることが多い. その一方, 多くの場合に陰的になり, また, 解析力学における基本原理である変分原理との対応も明らかではない. また, 離散勾配自体の導出も, 容易でない場合もある.
そこで, 我々は, 離散勾配法の枠組みに変分原理を取り入れたエネルギー保存数値解法を提案してきた. 本講演では, この手法について紹介したのち, 変分原理を活かしたエネルギー散逸系に対する方法への拡張方法について述べる. また, これと離散勾配を自動的に導出する自動離散微分という方法を組み合わせ, 無制約最適化問題の近似解法を設計する. 最後に, 最近の話題として, Lie群上でのスキーム設計手法についても述べる.
構造保存型数値解法は, 方程式のもつ力学的構造に着目し, その力学的性質を保つようにしてスキームを設計する数値計算法である. 特に, エネルギー保存則を厳密に保つような数値解法はエネルギー保存数値解法と呼ばれ, 離散勾配法などが知られている. 離散勾配法とは, 勾配の性質を引き継ぐよう定義された離散勾配と呼ばれるものをスキームに用いる方法で, この方法によるスキームは安定性に優れたものとなることが多い. その一方, 多くの場合に陰的になり, また, 解析力学における基本原理である変分原理との対応も明らかではない. また, 離散勾配自体の導出も, 容易でない場合もある.
そこで, 我々は, 離散勾配法の枠組みに変分原理を取り入れたエネルギー保存数値解法を提案してきた. 本講演では, この手法について紹介したのち, 変分原理を活かしたエネルギー散逸系に対する方法への拡張方法について述べる. また, これと離散勾配を自動的に導出する自動離散微分という方法を組み合わせ, 無制約最適化問題の近似解法を設計する. 最後に, 最近の話題として, Lie群上でのスキーム設計手法についても述べる.
2017年10月23日(月)
16:00-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
通常と曜日と教室が異なっております。ご注意ください。
Christian Klingenberg 氏 (Wuerzburg University, Germany)
On the numerical discretization of the Euler equations with a gravitational force and applications in astrophysics (English)
通常と曜日と教室が異なっております。ご注意ください。
Christian Klingenberg 氏 (Wuerzburg University, Germany)
On the numerical discretization of the Euler equations with a gravitational force and applications in astrophysics (English)
[ 講演概要 ]
We consider astrophysical systems that are modeled by the multidimensional Euler equations with gravity.
First for the homogeneous Euler equations we look at flow in the low Mach number regime. Here for conventional finite volume discretizations one has excessive dissipation in this regime. We identify inconsistent scaling for low Mach numbers of the numerical fux function as the origin of this problem. Based on the Roe solver a technique that allows to correctly represent low Mach number flows with a discretization of the compressible Euler equations is proposed. We analyze properties of this scheme and demonstrate that its limit yields a discretization of the incompressible limit system.
Next for the Euler equations with gravity we seek well-balanced methods. We describe a numerical discretization of the compressible Euler equations with a gravitational potential. A pertinent feature of the solutions to these inhomogeneous equations is the special case of stationary solutions with zero velocity, described by a nonlinear PDE, whose solutions are called hydrostatic equilibria. We present well-balanced methods, for which we can ensure robustness, accuracy and stability, since it satisfies discrete entropy inequalities.
We will then present work in progress where we combine the two methods above.
We consider astrophysical systems that are modeled by the multidimensional Euler equations with gravity.
First for the homogeneous Euler equations we look at flow in the low Mach number regime. Here for conventional finite volume discretizations one has excessive dissipation in this regime. We identify inconsistent scaling for low Mach numbers of the numerical fux function as the origin of this problem. Based on the Roe solver a technique that allows to correctly represent low Mach number flows with a discretization of the compressible Euler equations is proposed. We analyze properties of this scheme and demonstrate that its limit yields a discretization of the incompressible limit system.
Next for the Euler equations with gravity we seek well-balanced methods. We describe a numerical discretization of the compressible Euler equations with a gravitational potential. A pertinent feature of the solutions to these inhomogeneous equations is the special case of stationary solutions with zero velocity, described by a nonlinear PDE, whose solutions are called hydrostatic equilibria. We present well-balanced methods, for which we can ensure robustness, accuracy and stability, since it satisfies discrete entropy inequalities.
We will then present work in progress where we combine the two methods above.
2017年10月10日(火)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
中野張 氏 (東京工業大学大学院情報理工学院)
線形・非線形放物型偏微分方程式に対するメッシュフリー選点法
中野張 氏 (東京工業大学大学院情報理工学院)
線形・非線形放物型偏微分方程式に対するメッシュフリー選点法
[ 講演概要 ]
一般に，後退確率微分方程式や確率最適制御の解は非線形放物型偏微分方程式により記述される．これらの非線形偏微分方程式の多くに対しては，滑らかさが期待できないため古典解ではなく粘性解の枠組みが採用される．よって応用のためは，解くべき偏微分方程式の粘性解に収束し，かつ多次元の問題に適用可能な数値解法が必要とされるが，既存手法の中には未だ決定的なものは存在しない状況である．
本講演では，上述の問題を解決するためにメッシュフリー選点法の適用を提案し，最近の研究成果について報告する．この目的のため，(1) 種々の確率論的問題と放物型偏微分方程式の関係の概説，(2) 粘性解の紹介，(3) 既存数値解法の紹介，(4) 動径基底関数による補間理論の紹介，(5) メッシュフリー選点法の導出，(6) 収束証明に関する結果の紹介，
という流れで話を進める．
また，フィルタリング問題に現れる線形確率偏微分方程式を対象に，メッシュフリー選点法の収束が保証される動径基底関数やグリッド点の具体例について報告する．
一般に，後退確率微分方程式や確率最適制御の解は非線形放物型偏微分方程式により記述される．これらの非線形偏微分方程式の多くに対しては，滑らかさが期待できないため古典解ではなく粘性解の枠組みが採用される．よって応用のためは，解くべき偏微分方程式の粘性解に収束し，かつ多次元の問題に適用可能な数値解法が必要とされるが，既存手法の中には未だ決定的なものは存在しない状況である．
本講演では，上述の問題を解決するためにメッシュフリー選点法の適用を提案し，最近の研究成果について報告する．この目的のため，(1) 種々の確率論的問題と放物型偏微分方程式の関係の概説，(2) 粘性解の紹介，(3) 既存数値解法の紹介，(4) 動径基底関数による補間理論の紹介，(5) メッシュフリー選点法の導出，(6) 収束証明に関する結果の紹介，
という流れで話を進める．
また，フィルタリング問題に現れる線形確率偏微分方程式を対象に，メッシュフリー選点法の収束が保証される動径基底関数やグリッド点の具体例について報告する．
2017年07月04日(火)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
Ming-Cheng Shiue 氏 (National Chiao Tung University)
Boundary conditions for Limited-Area Models (English)
Ming-Cheng Shiue 氏 (National Chiao Tung University)
Boundary conditions for Limited-Area Models (English)
[ 講演概要 ]
The problem of boundary conditions in a limited domain is recognized an important problem in geophysical fluid dynamics. This is due to that boundary conditions are proposed to have high resolution over a region of interest. The challenges for proposing later boundary conditions are of two types: on the computational side, if the proposed boundary conditions are not appropriate, it is well-known that the error from the lateral boundary can propagate into the computational domain and make a major effect on the numerical solution; on the mathematical side, the negative result of Oliger and Sundstrom that these equations including the inviscid primitive equations and shallow water equations in the multilayer case are not well-posed for any set of local boundary conditions.
In this talk, three-dimensional inviscid primitive equations and (one-layer and two-layer) shallow water equations which have been used in the limited-area numerical weather prediction modelings are considered. Our goals of this work are two folds: one is to propose boundary conditions which are physically suitable. That is, they let waves move freely out of the domain without producing spurious waves; the other is to numerically implement these boundary conditions by proposing suitable numerical methods. Numerical experiments are presented to demonstrate that these proposed boundary conditions and numerical schemes are suitable.
The problem of boundary conditions in a limited domain is recognized an important problem in geophysical fluid dynamics. This is due to that boundary conditions are proposed to have high resolution over a region of interest. The challenges for proposing later boundary conditions are of two types: on the computational side, if the proposed boundary conditions are not appropriate, it is well-known that the error from the lateral boundary can propagate into the computational domain and make a major effect on the numerical solution; on the mathematical side, the negative result of Oliger and Sundstrom that these equations including the inviscid primitive equations and shallow water equations in the multilayer case are not well-posed for any set of local boundary conditions.
In this talk, three-dimensional inviscid primitive equations and (one-layer and two-layer) shallow water equations which have been used in the limited-area numerical weather prediction modelings are considered. Our goals of this work are two folds: one is to propose boundary conditions which are physically suitable. That is, they let waves move freely out of the domain without producing spurious waves; the other is to numerically implement these boundary conditions by proposing suitable numerical methods. Numerical experiments are presented to demonstrate that these proposed boundary conditions and numerical schemes are suitable.
2017年06月13日(火)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
野津裕史 氏 (金沢大学理工研究域)
Numerical analysis of viscoelastic fluid models (Japanese)
野津裕史 氏 (金沢大学理工研究域)
Numerical analysis of viscoelastic fluid models (Japanese)
[ 講演概要 ]
Numerical methods for viscoelastic fluid models are studied. In viscoelastic fluid models the stress tensor is often written as a sum of the viscous stress tensor depending linearly on the strain rate tensor and the extra stress tensor for the viscoelastic contribution. In order to describe the viscoelastic contribution another equation for the extra stress tensor is required. In the talk we mainly deal with the Oldroyd-B and the Peterlin models among several proposed viscoelastic fluid models, and present error estimates of finite element schemes based on the method of characteristics. The key issue in the estimates is the treatment of the divergence of the extra stress tensor appearing in the equation for the velocity and the pressure.
Numerical methods for viscoelastic fluid models are studied. In viscoelastic fluid models the stress tensor is often written as a sum of the viscous stress tensor depending linearly on the strain rate tensor and the extra stress tensor for the viscoelastic contribution. In order to describe the viscoelastic contribution another equation for the extra stress tensor is required. In the talk we mainly deal with the Oldroyd-B and the Peterlin models among several proposed viscoelastic fluid models, and present error estimates of finite element schemes based on the method of characteristics. The key issue in the estimates is the treatment of the divergence of the extra stress tensor appearing in the equation for the velocity and the pressure.
2017年04月25日(火)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
榊原航也 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
基本解近似解法の理論と応用 (日本語)
榊原航也 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
基本解近似解法の理論と応用 (日本語)
[ 講演概要 ]
基本解近似解法 (Method of Fundamental Solutions, MFS) は，線型同次偏微分方程式に対するメッシュフリー数値解法である．MFSのアイディアは非常に単純であり，特異点が考えている領域の外部にある，偏微分作用素の基本解の線型結合により近似解を与え，線型結合の係数は選点法(collocation method)により決定する．つまり，差分法や有限要素法とは異なって，領域のメッシュ分割が不要であり（点を配置するだけである），プログラミングも容易である．さらに，特筆すべき性質として，ある条件下では，近似誤差が点の数に関して指数的に減衰することが知られている（通常の差分法や有限要素法では，近似誤差は多項式オーダーで減衰する）．一方で，"どのような点配置の下で誤差は指数減衰するか"，という問いに対する決定的な回答は未だに与えられておらず，MFSの理論研究における最も大きな未解決問題であると言ってよい．このように，MFSに対する数学的理論整備はまだまだ発展途上であるが，数値計算の観点からの研究は非常に豊富に行われており，様々な方程式に対して有効と思われる数値計算アルゴリズムが提案されてきた．
本講演では，MFSに関連して，以下のトピックを取り上げる．
（1）MFSの数学理論：今までに築き上げられきた，MFSの数学解析の結果を簡単にサーベイし，本講演者により発展した理論の解説を行う．特に，2次元のポテンシャル問題に対して，複素解析を用いた議論が非常に有効であることを示し，そこから重調和問題に理論を展開する．また，物理的観点から重要である，解の不変性について，ある統一的な手法により，非常に多くの問題に対して，MFSの不変スキームを構築できることを示す．
（2）MFSの応用：ポテンシャル問題を解くことに帰着される様々な問題に対して，高精度な数値計算アルゴリズムを構築する．特に，Hele-Shaw問題（2次元移動境界問題の1つ）に対する構造保存型数値解法の設計について解説する．さらに，最近取り組んでいる問題についても簡単に触れる予定である．
基本解近似解法 (Method of Fundamental Solutions, MFS) は，線型同次偏微分方程式に対するメッシュフリー数値解法である．MFSのアイディアは非常に単純であり，特異点が考えている領域の外部にある，偏微分作用素の基本解の線型結合により近似解を与え，線型結合の係数は選点法(collocation method)により決定する．つまり，差分法や有限要素法とは異なって，領域のメッシュ分割が不要であり（点を配置するだけである），プログラミングも容易である．さらに，特筆すべき性質として，ある条件下では，近似誤差が点の数に関して指数的に減衰することが知られている（通常の差分法や有限要素法では，近似誤差は多項式オーダーで減衰する）．一方で，"どのような点配置の下で誤差は指数減衰するか"，という問いに対する決定的な回答は未だに与えられておらず，MFSの理論研究における最も大きな未解決問題であると言ってよい．このように，MFSに対する数学的理論整備はまだまだ発展途上であるが，数値計算の観点からの研究は非常に豊富に行われており，様々な方程式に対して有効と思われる数値計算アルゴリズムが提案されてきた．
本講演では，MFSに関連して，以下のトピックを取り上げる．
（1）MFSの数学理論：今までに築き上げられきた，MFSの数学解析の結果を簡単にサーベイし，本講演者により発展した理論の解説を行う．特に，2次元のポテンシャル問題に対して，複素解析を用いた議論が非常に有効であることを示し，そこから重調和問題に理論を展開する．また，物理的観点から重要である，解の不変性について，ある統一的な手法により，非常に多くの問題に対して，MFSの不変スキームを構築できることを示す．
（2）MFSの応用：ポテンシャル問題を解くことに帰着される様々な問題に対して，高精度な数値計算アルゴリズムを構築する．特に，Hele-Shaw問題（2次元移動境界問題の1つ）に対する構造保存型数値解法の設計について解説する．さらに，最近取り組んでいる問題についても簡単に触れる予定である．
2017年04月11日(火)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
内海晋弥 氏 (早稲田大学基幹理工学部)
Lagrange-Galerkin 法における諸問題とその解決策：計算可能性・粘性係数依存性・流入境界条件 (日本語)
内海晋弥 氏 (早稲田大学基幹理工学部)
Lagrange-Galerkin 法における諸問題とその解決策：計算可能性・粘性係数依存性・流入境界条件 (日本語)
[ 講演概要 ]
Lagrange-Galerkin法(LG法)は移流拡散問題，オセーン問題，ナヴィエ・ストークス問題などの流れ問題に対する強力な数値計算手法である．本講演では本手法に現れる諸問題とその解決策を述べる．以下の3部から成る．
(1) LGスキームの理論と実装の間には乖離が存在していた．スキームに現れる合成関数項を厳密に計算することは困難である一方，誤差評価はそれが厳密に計算されるという仮定の下でなされていた．最近我々は，ナヴィエ・ストークス問題のための，厳密に計算でき，かつ，数値解の厳密解への収束性が数学的に証明できるLGスキームを作成し，収束性を示した．本パートでは，このスキームについて述べる．
(2) 上記スキームでは，時間刻みと空間メッシュサイズに関して最適オーダーでの誤差評価が得られるが，定数には粘性係数依存性が現れる．この依存性は，ナヴィエ・ストークス問題のみならず，より簡単なストークス問題にも現れる．Pk/Pk要素を用い，適切な安定化項を加えたスキームは，Pk/Pk−1要素を用いたスキームと比較して，粘性係数依存性が改善できることが示されている．本パートではオセーン問題に対してその誤差評価を述べる．
(3) LGスキームにおける解析では，ほとんどの場合，流速が境界で0という条件が課されていた．講演者の知る限り，流入境界条件を持つ問題に対して，収束性は示されていない．本パートでは，流入境界条件を持つ移流拡散問題に対するあるスキームを提案し，その収束性を述べる．
(1) は田端正久先生との，(3) はH. Egger先生（ダルムシュタット工科大学）との共同研究である．
Lagrange-Galerkin法(LG法)は移流拡散問題，オセーン問題，ナヴィエ・ストークス問題などの流れ問題に対する強力な数値計算手法である．本講演では本手法に現れる諸問題とその解決策を述べる．以下の3部から成る．
(1) LGスキームの理論と実装の間には乖離が存在していた．スキームに現れる合成関数項を厳密に計算することは困難である一方，誤差評価はそれが厳密に計算されるという仮定の下でなされていた．最近我々は，ナヴィエ・ストークス問題のための，厳密に計算でき，かつ，数値解の厳密解への収束性が数学的に証明できるLGスキームを作成し，収束性を示した．本パートでは，このスキームについて述べる．
(2) 上記スキームでは，時間刻みと空間メッシュサイズに関して最適オーダーでの誤差評価が得られるが，定数には粘性係数依存性が現れる．この依存性は，ナヴィエ・ストークス問題のみならず，より簡単なストークス問題にも現れる．Pk/Pk要素を用い，適切な安定化項を加えたスキームは，Pk/Pk−1要素を用いたスキームと比較して，粘性係数依存性が改善できることが示されている．本パートではオセーン問題に対してその誤差評価を述べる．
(3) LGスキームにおける解析では，ほとんどの場合，流速が境界で0という条件が課されていた．講演者の知る限り，流入境界条件を持つ問題に対して，収束性は示されていない．本パートでは，流入境界条件を持つ移流拡散問題に対するあるスキームを提案し，その収束性を述べる．
(1) は田端正久先生との，(3) はH. Egger先生（ダルムシュタット工科大学）との共同研究である．
2017年01月16日(月)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 117号室
河原田秀夫 氏 (AMSOK, 千葉大学名誉教授)
炭酸カルシウムScale（湯あか）形成の抑止原理の解明 (日本語)
河原田秀夫 氏 (AMSOK, 千葉大学名誉教授)
炭酸カルシウムScale（湯あか）形成の抑止原理の解明 (日本語)
[ 講演概要 ]
Scaleとはボイラなどの内側にできる湯あかのことをいう。その成分は主としてカルシウムおよびマグネシウムの硫酸塩、炭酸塩、ケイ酸塩である。ボイラ内の対流の障害になるほか、熱伝導率が小さいので伝熱量が減るばかりでなく、伝熱面の過熱破損の原因となる。古くからそれらの弊害を除去すべく種々の装置が開発されてきた。しかし、現在に至ってもそれらの決定版と言われるのは見い出し難い状況にある。
最近、その表面にSiO2等の無機酸化物を含む球状（直径1cm程度）のセラミック球を金属銅、および金属銀の壁によって構成される円筒型の容器内に充填した装置が井川重信氏によって開発された(特許4660317号 登録日平成23年1月7日)。循環水中に上記装置を設置してセラミック球に接触させることにより、炭酸カルシウムのscale形成を抑止する。
しかしながら、上記装置がscale形成抑止に何故有効であるか、そのメカニズムは未だ解明されていない。我々はこの現象に対して基本的仮説を提示して、その原理の解明を試みる。そのカギとなるのは炭酸カルシウム結晶の表面自由エネルギーの制御にある。この仕組みの展開には数理モデルの構築とその数値解析が重要な役割を担っている。
Scaleとはボイラなどの内側にできる湯あかのことをいう。その成分は主としてカルシウムおよびマグネシウムの硫酸塩、炭酸塩、ケイ酸塩である。ボイラ内の対流の障害になるほか、熱伝導率が小さいので伝熱量が減るばかりでなく、伝熱面の過熱破損の原因となる。古くからそれらの弊害を除去すべく種々の装置が開発されてきた。しかし、現在に至ってもそれらの決定版と言われるのは見い出し難い状況にある。
最近、その表面にSiO2等の無機酸化物を含む球状（直径1cm程度）のセラミック球を金属銅、および金属銀の壁によって構成される円筒型の容器内に充填した装置が井川重信氏によって開発された(特許4660317号 登録日平成23年1月7日)。循環水中に上記装置を設置してセラミック球に接触させることにより、炭酸カルシウムのscale形成を抑止する。
しかしながら、上記装置がscale形成抑止に何故有効であるか、そのメカニズムは未だ解明されていない。我々はこの現象に対して基本的仮説を提示して、その原理の解明を試みる。そのカギとなるのは炭酸カルシウム結晶の表面自由エネルギーの制御にある。この仕組みの展開には数理モデルの構築とその数値解析が重要な役割を担っている。
2016年11月21日(月)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
Sotirios E. Notaris 氏 (National and Kapodistrian University of Athens)
Gauss-Kronrod quadrature formulae (English)
Sotirios E. Notaris 氏 (National and Kapodistrian University of Athens)
Gauss-Kronrod quadrature formulae (English)
[ 講演概要 ]
In 1964, the Russian mathematician A.S. Kronrod, in an attempt to estimate practically the error term of the well-known Gauss quadrature formula, presented a new quadrature rule, which since then bears his name. It turns out that the new rule was related to some polynomials that Stieltjes developed some 70 years earlier, through his work on continued fractions and the moment problem. We give an overview of the Gauss-Kronrod quadrature formulae, which are interesting from both the mathematical and the applicable point of view.
The talk will be expository without requiring any previous knowledge of numerical integration.
In 1964, the Russian mathematician A.S. Kronrod, in an attempt to estimate practically the error term of the well-known Gauss quadrature formula, presented a new quadrature rule, which since then bears his name. It turns out that the new rule was related to some polynomials that Stieltjes developed some 70 years earlier, through his work on continued fractions and the moment problem. We give an overview of the Gauss-Kronrod quadrature formulae, which are interesting from both the mathematical and the applicable point of view.
The talk will be expository without requiring any previous knowledge of numerical integration.
2016年10月31日(月)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
鍾菁廣 氏 (大阪大学サイバーメディアセンター)
半導体における量子流体方程式系の数値解法 (日本語)
鍾菁廣 氏 (大阪大学サイバーメディアセンター)
半導体における量子流体方程式系の数値解法 (日本語)
[ 講演概要 ]
本講演では, Wigner-Boltzmann方程式から階層的に導出される量子流体方程式とその数値スキームについて述べる. 量子流体方程式から階層モデルの一つである放物-楕円型の量子エネルギー輸送方程式(4モーメントQETモデル)が導出される. 運動量保存式とエネルギー保存式が同一形式に書けることに着目し, 有限体積法を基にした高精度保存スキームを開発した. さらに減速緩和法による反復解法を開発し, これにより量子効果とホットキャリア効果を伴った半導体内の電子輸送のシミュレーションを実現した. 本講演では, さらに半導体デバイスの現実問題に対する対応についても述べる.
本講演では, Wigner-Boltzmann方程式から階層的に導出される量子流体方程式とその数値スキームについて述べる. 量子流体方程式から階層モデルの一つである放物-楕円型の量子エネルギー輸送方程式(4モーメントQETモデル)が導出される. 運動量保存式とエネルギー保存式が同一形式に書けることに着目し, 有限体積法を基にした高精度保存スキームを開発した. さらに減速緩和法による反復解法を開発し, これにより量子効果とホットキャリア効果を伴った半導体内の電子輸送のシミュレーションを実現した. 本講演では, さらに半導体デバイスの現実問題に対する対応についても述べる.
2016年07月11日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
藤原宏志 氏 (京都大学大学院情報学研究科)
Towards fast and reliable numerical computations of the stationary radiative transport equation (日本語)
藤原宏志 氏 (京都大学大学院情報学研究科)
Towards fast and reliable numerical computations of the stationary radiative transport equation (日本語)
[ 講演概要 ]
The radiative transport equation (RTE) is a mathematical model of near-infrared light propagation in human tissue, and its analysis is required to develop a new noninvasive monitoring method of our body or brain activities. Since stationary RTE describes light intensity depending on a position and a direction, a discretization model of 3D-RTE is essentially a five dimensional problem. Therefore to establish a reliable and practical numerical method, both theoretical numerical analysis and computing techniques are required.
We firstly introduce huge-scale computation examples of RTE with bio-optical data. A high-accurate numerical cubature on the unit sphere and a hybrid parallel computing technique using GPGPU realize fast computation. Secondly we propose a semi-discrete upwind finite volume method to RTE. We also show its error estimate in two dimensions.
This talk is based on joint works with Prof. Y.Iso, Prof. N.Higashimori, and Prof. N.Oishi (Kyoto University).
The radiative transport equation (RTE) is a mathematical model of near-infrared light propagation in human tissue, and its analysis is required to develop a new noninvasive monitoring method of our body or brain activities. Since stationary RTE describes light intensity depending on a position and a direction, a discretization model of 3D-RTE is essentially a five dimensional problem. Therefore to establish a reliable and practical numerical method, both theoretical numerical analysis and computing techniques are required.
We firstly introduce huge-scale computation examples of RTE with bio-optical data. A high-accurate numerical cubature on the unit sphere and a hybrid parallel computing technique using GPGPU realize fast computation. Secondly we propose a semi-discrete upwind finite volume method to RTE. We also show its error estimate in two dimensions.
This talk is based on joint works with Prof. Y.Iso, Prof. N.Higashimori, and Prof. N.Oishi (Kyoto University).
2016年06月13日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
鈴木厚 氏 (大阪大学サイバーメディアセンター)
Dissection : A direct solver with kernel detection for finite element matrices
(日本語)
鈴木厚 氏 (大阪大学サイバーメディアセンター)
Dissection : A direct solver with kernel detection for finite element matrices
(日本語)
[ 講演概要 ]
Large-scale sparse matrices are solved in finite element analyses of elasticity and/or flow problems. In some cases, the matrix may be singular, e.g. due to pressure ambiguity of the Navier-Stokes equations, or due to rigid body movements of sub-domain elasticity problems by a domain decomposition method. Therefore, it is better the linear solver understands rank-deficiency of the matrix.
By assuming the matrix is factorized into LDU form with a symmetric partial permutation, and by introducing a threshold to postpone factorization for pseudo null pivots, solvability of the last Schur complement matrix will be examined. Usual procedure for rank-deficiency problem is based on computation of eigenvalues or singular values and an introduced threshold determines the null space. However, developed new algorithm in DOI:10.1002/nme.4729 is based on computation of residuals combined with orthogonal projections onto supposed image spaces and there is no necessary to introduce a threshold for understanding zero value in floating point. The algorithm uses higher precision arithmetic, e.g. quadruple precision, to distinguish numerical round-off errors that occurred during factorization of the whole sparse matrix from ones during the kernel detection procedure itself.
This is joint work with François-Xavier Roux (LJLL, UPMC/ONERA).
Large-scale sparse matrices are solved in finite element analyses of elasticity and/or flow problems. In some cases, the matrix may be singular, e.g. due to pressure ambiguity of the Navier-Stokes equations, or due to rigid body movements of sub-domain elasticity problems by a domain decomposition method. Therefore, it is better the linear solver understands rank-deficiency of the matrix.
By assuming the matrix is factorized into LDU form with a symmetric partial permutation, and by introducing a threshold to postpone factorization for pseudo null pivots, solvability of the last Schur complement matrix will be examined. Usual procedure for rank-deficiency problem is based on computation of eigenvalues or singular values and an introduced threshold determines the null space. However, developed new algorithm in DOI:10.1002/nme.4729 is based on computation of residuals combined with orthogonal projections onto supposed image spaces and there is no necessary to introduce a threshold for understanding zero value in floating point. The algorithm uses higher precision arithmetic, e.g. quadruple precision, to distinguish numerical round-off errors that occurred during factorization of the whole sparse matrix from ones during the kernel detection procedure itself.
This is joint work with François-Xavier Roux (LJLL, UPMC/ONERA).
2016年05月23日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
保國惠一 氏 (筑波大学システム情報系)
最小二乗問題に対する内部反復前処理とその応用 (日本語)
保國惠一 氏 (筑波大学システム情報系)
最小二乗問題に対する内部反復前処理とその応用 (日本語)
[ 講演概要 ]
大規模最小二乗問題を解くためのクリロフ部分空間法に対する前処理法である、内部反復前処理について議論する。本前処理法は複数反復の定常反復法を用い、正規方程式に対する逐次過緩和法 (SOR法) を用いるものが効率的である。SOR内部反復を用いた左 (右) 前処理付き一般化最小残差法 (BA (AB) -GMRES) 法は、ランク落ちである場合に対しても破綻することなく最小二乗解 (線形方程式の最小ノルム解) を与える。内部反復前処理は従来の不完全行列分解型前処理よりも必要な記憶容量が少なく、悪条件およびランク落ちである最小二乗問題に対してもロバストである。
このような内部反復前処理の応用として取り上げるのは (1) 最小二乗解ベクトル自体のノルムが最小である解 (最小ノルム最小二乗解) を求めるという一般最小二乗問題および (2) 線形計画問題に対する内点法に現れる線形方程式の求解である。(1)では二段階からなる手続きで最小ノルム最小二乗解を計算することができるが、第一段階では最小二乗解、第二段階では線形方程式の最小ノルム解を計算する必要がある。各段階でSOR内部反復前処理付きGMRES法を用いることを提案し、いくつかのテスト問題に対して従来法よりも効率的であることを数値実験で示す。(2)では内点法の反復終盤には解くべき線形方程式が非常に悪条件になる。そこで内部反復前処理を用いることで頑健な求解を実現する。この問題に現れる線形方程式に内部反復前処理を適用するための効率的な定式化を行い、ベンチマーク問題に対する数値実験で従来法に比べて本手法が頑健であることを示す。(2)はYiran Cui氏 (University College London)、土谷隆氏 (政策研究大学院大学) 、および速水謙氏 (国立情報学研究所)との共同研究である。
大規模最小二乗問題を解くためのクリロフ部分空間法に対する前処理法である、内部反復前処理について議論する。本前処理法は複数反復の定常反復法を用い、正規方程式に対する逐次過緩和法 (SOR法) を用いるものが効率的である。SOR内部反復を用いた左 (右) 前処理付き一般化最小残差法 (BA (AB) -GMRES) 法は、ランク落ちである場合に対しても破綻することなく最小二乗解 (線形方程式の最小ノルム解) を与える。内部反復前処理は従来の不完全行列分解型前処理よりも必要な記憶容量が少なく、悪条件およびランク落ちである最小二乗問題に対してもロバストである。
このような内部反復前処理の応用として取り上げるのは (1) 最小二乗解ベクトル自体のノルムが最小である解 (最小ノルム最小二乗解) を求めるという一般最小二乗問題および (2) 線形計画問題に対する内点法に現れる線形方程式の求解である。(1)では二段階からなる手続きで最小ノルム最小二乗解を計算することができるが、第一段階では最小二乗解、第二段階では線形方程式の最小ノルム解を計算する必要がある。各段階でSOR内部反復前処理付きGMRES法を用いることを提案し、いくつかのテスト問題に対して従来法よりも効率的であることを数値実験で示す。(2)では内点法の反復終盤には解くべき線形方程式が非常に悪条件になる。そこで内部反復前処理を用いることで頑健な求解を実現する。この問題に現れる線形方程式に内部反復前処理を適用するための効率的な定式化を行い、ベンチマーク問題に対する数値実験で従来法に比べて本手法が頑健であることを示す。(2)はYiran Cui氏 (University College London)、土谷隆氏 (政策研究大学院大学) 、および速水謙氏 (国立情報学研究所)との共同研究である。
2016年05月09日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
田中健一郎 氏 (武蔵野大学工学部)
重み付きハーディ空間における関数近似公式および数値積分公式の設計に対するポテンシャル論的アプローチ (日本語)
田中健一郎 氏 (武蔵野大学工学部)
重み付きハーディ空間における関数近似公式および数値積分公式の設計に対するポテンシャル論的アプローチ (日本語)
[ 講演概要 ]
本発表では，重み付きハーディ空間というある解析関数の空間において，十分に高精度な関数近似公式および数値積分公式の設計法を報告する．ここで考える重み付きハーディ空間は，実軸を含む複素平面上の帯状領域で解析的で，重み関数で指定される重み付きノルムに関して有界となる関数の全体からなる空間である．この空間は，数値計算の対象となるような，一定の条件を満たす解析関数を，適当な変数変換によって変換したものの全体と見なすことができる．このような変数変換は，高精度な計算を実現するためになされる．例えば，有効な数値積分公式として知られている二重指数関数型（DE）公式では，二重指数関数型（DE）変換と呼ばれる変数変換によって，被積分関数を実軸上で二重指数関数的な減衰を持つ関数に変換することが行われる．また，有効な関数近似公式の一つであるDE-Sinc公式でもDE変換が用いられる．
このように，重み付きハーディ空間での関数や積分の近似は基本的な問題と言えるが，この空間において「最適」な公式はそれぞれどのようなものかは，これまで一部の場合についてしか分かっていなかった．本研究では，まず関数近似に対して，一般的な重み関数の場合について，最適な公式を求める問題をポテンシャル論の方法を用いて定式化した．そして，それを近似的に解くことで公式を設計し，また，それらの公式の理論的誤差評価も与えた．これらの公式の厳密な最適性はまだ示せてはいないものの，従来のSinc公式よりも高精度になることが数値実験で観察できている．さらに，数値積分に対しても，類似の方法によって構成した関数近似公式を積分することで公式を設計した．これらについては理論的な誤差評価は得られていないが，やはり数値実験によって，従来の公式よりも高精度な公式が得られていることが観察できた．特に，重み関数が二重指数関数的な減衰を持つ場合について，設計した公式がDE公式よりも高精度となることが観察できた．本研究は，岡山友昭氏（広島市立大学），杉原正顯氏（青山学院大学）との共同研究である．
本発表では，重み付きハーディ空間というある解析関数の空間において，十分に高精度な関数近似公式および数値積分公式の設計法を報告する．ここで考える重み付きハーディ空間は，実軸を含む複素平面上の帯状領域で解析的で，重み関数で指定される重み付きノルムに関して有界となる関数の全体からなる空間である．この空間は，数値計算の対象となるような，一定の条件を満たす解析関数を，適当な変数変換によって変換したものの全体と見なすことができる．このような変数変換は，高精度な計算を実現するためになされる．例えば，有効な数値積分公式として知られている二重指数関数型（DE）公式では，二重指数関数型（DE）変換と呼ばれる変数変換によって，被積分関数を実軸上で二重指数関数的な減衰を持つ関数に変換することが行われる．また，有効な関数近似公式の一つであるDE-Sinc公式でもDE変換が用いられる．
このように，重み付きハーディ空間での関数や積分の近似は基本的な問題と言えるが，この空間において「最適」な公式はそれぞれどのようなものかは，これまで一部の場合についてしか分かっていなかった．本研究では，まず関数近似に対して，一般的な重み関数の場合について，最適な公式を求める問題をポテンシャル論の方法を用いて定式化した．そして，それを近似的に解くことで公式を設計し，また，それらの公式の理論的誤差評価も与えた．これらの公式の厳密な最適性はまだ示せてはいないものの，従来のSinc公式よりも高精度になることが数値実験で観察できている．さらに，数値積分に対しても，類似の方法によって構成した関数近似公式を積分することで公式を設計した．これらについては理論的な誤差評価は得られていないが，やはり数値実験によって，従来の公式よりも高精度な公式が得られていることが観察できた．特に，重み関数が二重指数関数的な減衰を持つ場合について，設計した公式がDE公式よりも高精度となることが観察できた．本研究は，岡山友昭氏（広島市立大学），杉原正顯氏（青山学院大学）との共同研究である．
2016年04月18日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
柏原崇人 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
滑らかな領域における有限要素法の誤差評価について (日本語)
柏原崇人 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
滑らかな領域における有限要素法の誤差評価について (日本語)
[ 講演概要 ]
滑らかな領域$\Omega$上の偏微分方程式を有限要素法で離散化する場合，$\Omega$をフラットな三角形で厳密に分割するのは不可能なので，$\Omega$を多角形領域$\Omega_h$で近似した上で，$\Omega_h$に対して三角形分割や有限要素空間を考えるのが一般的である．よって誤差評価を行う際には，$\Omega$と$\Omega_h$のギャップ，つまり「領域の摂動」を定量的に評価する必要が生じる．このような状況を考慮した誤差評価の結果は存在するものの，標準的な手法が体系化されているとは言えないと思われる（特に，$L^2$誤差評価に関しては驚くほど結果が少ない）．本講演では，ポアソン方程式の(1)ノイマン問題，(2)ニーチェの方法によるディリクレ問題，をモデルケースとして，「領域の摂動」を考慮した$H^1$および$L^2$誤差評価を証明する．他の方程式や境界条件への応用を見込んで，できるだけ一般的かつ標準的な証明の枠組みを提案することを目標とする．
滑らかな領域$\Omega$上の偏微分方程式を有限要素法で離散化する場合，$\Omega$をフラットな三角形で厳密に分割するのは不可能なので，$\Omega$を多角形領域$\Omega_h$で近似した上で，$\Omega_h$に対して三角形分割や有限要素空間を考えるのが一般的である．よって誤差評価を行う際には，$\Omega$と$\Omega_h$のギャップ，つまり「領域の摂動」を定量的に評価する必要が生じる．このような状況を考慮した誤差評価の結果は存在するものの，標準的な手法が体系化されているとは言えないと思われる（特に，$L^2$誤差評価に関しては驚くほど結果が少ない）．本講演では，ポアソン方程式の(1)ノイマン問題，(2)ニーチェの方法によるディリクレ問題，をモデルケースとして，「領域の摂動」を考慮した$H^1$および$L^2$誤差評価を証明する．他の方程式や境界条件への応用を見込んで，できるだけ一般的かつ標準的な証明の枠組みを提案することを目標とする．
2016年04月04日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
Eric Chung 氏 (Chinese University of Hong Kong)
Staggered discontinuous Galerkin methods for the incompressible Navier-Stokes equations (English)
Eric Chung 氏 (Chinese University of Hong Kong)
Staggered discontinuous Galerkin methods for the incompressible Navier-Stokes equations (English)
[ 講演概要 ]
In this talk, we present a staggered discontinuous Galerkin method for the approximation of the incompressible Navier-Stokes equations. Our new method combines the advantages of discontinuous Galerkin methods and staggered meshes, and results in many good properties, namely local and global conservations, optimal convergence and superconvergence through the use of a local postprocessing technique. Another key feature is that our method provides a skew-symmetric discretization of the convection term, with the aim of giving a better conservation property compared with existing discretizations. We also analyze the stability and convergence of the method. In addition, we will present some numerical results to show the performance of the proposed method.
In this talk, we present a staggered discontinuous Galerkin method for the approximation of the incompressible Navier-Stokes equations. Our new method combines the advantages of discontinuous Galerkin methods and staggered meshes, and results in many good properties, namely local and global conservations, optimal convergence and superconvergence through the use of a local postprocessing technique. Another key feature is that our method provides a skew-symmetric discretization of the convection term, with the aim of giving a better conservation property compared with existing discretizations. We also analyze the stability and convergence of the method. In addition, we will present some numerical results to show the performance of the proposed method.
2015年10月26日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
Fredrik Lindgren 氏 (大阪大学)
Numerical approximation of spinodal decomposition in the presence of noise (English)
Fredrik Lindgren 氏 (大阪大学)
Numerical approximation of spinodal decomposition in the presence of noise (English)
[ 講演概要 ]
Numerical approximations of stochastic partial differential equations (SPDE) has evolved to a vivid subfield of computational mathematics in the last decades. It poses new challenges both for numerical analysis and the theory of SPDE.
In this talk we will discuss the strength and weaknesses of the \emph{semigroup approach} to SPDE when it is combined with the idea of viewing a single-step method in time as a \emph{rational approximation of a semigroup}. We shall apply this framework to the stochastic Allen-Cahn equation, a parabolic semi-linear SPDE where the non-linearity is non-globally Lipschitz continuous, but has a \emph{one-sided Lipschitz condition}, and the deterministic equation has a Lyapunov functional.
We focus on semi-discretisation in time, the first step in Rothe's method, and show how the semigroup approach allows for convergence proofs under the assumption that the numerical solution admits moment bounds. However, this assumption turns out to be difficult to verify in the semi-group framework, and the rates achieved are not sharp. This is due to the fact that the one-sided Lipschitz condition, being a variational inequality, can't be utilised. We thus turn to variational methods to solve this issue.
If time admits we shall also comment on the stochastic Cahn-Hilliard equation where the non-linearity has a one-sided Lipschitz condition in a lower norm, only. However, the fact of convergence can still be proved.
This is joint work with Daisuke Furihata (Osaka University), Mih\'aly Kov\'acs (University of Otago, New Zealand), Stig Larsson (Chalmers University of Technology, Sweden) and Shuji Yoshikawa (Ehime University).
Numerical approximations of stochastic partial differential equations (SPDE) has evolved to a vivid subfield of computational mathematics in the last decades. It poses new challenges both for numerical analysis and the theory of SPDE.
In this talk we will discuss the strength and weaknesses of the \emph{semigroup approach} to SPDE when it is combined with the idea of viewing a single-step method in time as a \emph{rational approximation of a semigroup}. We shall apply this framework to the stochastic Allen-Cahn equation, a parabolic semi-linear SPDE where the non-linearity is non-globally Lipschitz continuous, but has a \emph{one-sided Lipschitz condition}, and the deterministic equation has a Lyapunov functional.
We focus on semi-discretisation in time, the first step in Rothe's method, and show how the semigroup approach allows for convergence proofs under the assumption that the numerical solution admits moment bounds. However, this assumption turns out to be difficult to verify in the semi-group framework, and the rates achieved are not sharp. This is due to the fact that the one-sided Lipschitz condition, being a variational inequality, can't be utilised. We thus turn to variational methods to solve this issue.
If time admits we shall also comment on the stochastic Cahn-Hilliard equation where the non-linearity has a one-sided Lipschitz condition in a lower norm, only. However, the fact of convergence can still be proved.
This is joint work with Daisuke Furihata (Osaka University), Mih\'aly Kov\'acs (University of Otago, New Zealand), Stig Larsson (Chalmers University of Technology, Sweden) and Shuji Yoshikawa (Ehime University).
2015年06月29日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
小守良雄 氏 (九州工業大学大学院情報工学研究院)
Stabilized Runge-Kutta methods for the weak approximation of solutions of stochastic differential equations (日本語)
小守良雄 氏 (九州工業大学大学院情報工学研究院)
Stabilized Runge-Kutta methods for the weak approximation of solutions of stochastic differential equations (日本語)
[ 講演概要 ]
We are concerned with numerical methods which give weak approximations for stiff It\^{o} stochastic differential equations (SDEs). Implicit methods are one of good candidates to deal with such SDEs. In fact, a well-designed implicit method has been recently proposed by Abdulle and his colleagues [Abdulle et al. 2013a]. On the other hand, it is well known that the numerical solution of stiff SDEs leads to a stepsize reduction when explicit methods are used. However, there are some classes of explicit methods that are well suited to solving some types of stiff SDEs. One such class is the class of stochastic orthogonal Runge-Kutta Chebyshev (SROCK) methods [Abdulle et al. 2013b]. SROCK methods reduce to Runge-Kutta Chebyshev methods when applied to ordinary differential equations (ODEs). Another promising class of methods is the class of explicit methods that reduce to explicit exponential Runge-Kutta (RK) methods [Hochbruck et al. 2005, 2010] when applied to semilinear ODEs.
In this talk, we will propose new exponential RK methods which achieve weak order two for multi-dimensional, non-commutative SDEs with a semilinear drift term. We will analytically investigate their stability properties in mean square, and will check their performance in numerical experiments.
(This is a joint work with D. Cohen and K. Burrage.)
We are concerned with numerical methods which give weak approximations for stiff It\^{o} stochastic differential equations (SDEs). Implicit methods are one of good candidates to deal with such SDEs. In fact, a well-designed implicit method has been recently proposed by Abdulle and his colleagues [Abdulle et al. 2013a]. On the other hand, it is well known that the numerical solution of stiff SDEs leads to a stepsize reduction when explicit methods are used. However, there are some classes of explicit methods that are well suited to solving some types of stiff SDEs. One such class is the class of stochastic orthogonal Runge-Kutta Chebyshev (SROCK) methods [Abdulle et al. 2013b]. SROCK methods reduce to Runge-Kutta Chebyshev methods when applied to ordinary differential equations (ODEs). Another promising class of methods is the class of explicit methods that reduce to explicit exponential Runge-Kutta (RK) methods [Hochbruck et al. 2005, 2010] when applied to semilinear ODEs.
In this talk, we will propose new exponential RK methods which achieve weak order two for multi-dimensional, non-commutative SDEs with a semilinear drift term. We will analytically investigate their stability properties in mean square, and will check their performance in numerical experiments.
(This is a joint work with D. Cohen and K. Burrage.)
2015年06月15日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
宮武勇登 氏 (名古屋大学大学院工学研究科)
ハミルトン系に対する並列エネルギー保存解法 (日本語)
宮武勇登 氏 (名古屋大学大学院工学研究科)
ハミルトン系に対する並列エネルギー保存解法 (日本語)
[ 講演概要 ]
本講演では，ハミルトン系に対するエネルギー保存解法について考える． エネルギー保存解法の研究は，近年になってようやく高精度解法導出の アイデアが提案されつつあるが，高精度化には計算コストの大幅な増大を 伴う．そこで，本講演では，無段式ルンゲクッタ法と呼ばれる数値解法の エネルギー保存条件，次数条件，並列化可能条件をある行列を用いて表現 することで，並列化可能な高精度エネルギー保存解法を導出する．
本講演では，ハミルトン系に対するエネルギー保存解法について考える． エネルギー保存解法の研究は，近年になってようやく高精度解法導出の アイデアが提案されつつあるが，高精度化には計算コストの大幅な増大を 伴う．そこで，本講演では，無段式ルンゲクッタ法と呼ばれる数値解法の エネルギー保存条件，次数条件，並列化可能条件をある行列を用いて表現 することで，並列化可能な高精度エネルギー保存解法を導出する．
2015年05月18日(月)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
尾崎克久 氏 (芝浦工業大学システム理工学部)
エラーフリー変換を用いた行列積の高精度計算
(日本語)
尾崎克久 氏 (芝浦工業大学システム理工学部)
エラーフリー変換を用いた行列積の高精度計算
(日本語)
[ 講演概要 ]
すべての成分が浮動小数点数である行列の積に関して，数値計算を用いて高信頼な結果を得る手法について研究を行っている．本講演では，HPCの技術者がチューニングをした高速なライブラリを直に使用する高精度行列積アルゴリズムについて紹介したい．アルゴリズムの概要，長所と短所，エラーフリーであることの証明から解説し，区間演算への応用や最近開発できた事後保証型のアルゴリズムについても紹介したい．
すべての成分が浮動小数点数である行列の積に関して，数値計算を用いて高信頼な結果を得る手法について研究を行っている．本講演では，HPCの技術者がチューニングをした高速なライブラリを直に使用する高精度行列積アルゴリズムについて紹介したい．アルゴリズムの概要，長所と短所，エラーフリーであることの証明から解説し，区間演算への応用や最近開発できた事後保証型のアルゴリズムについても紹介したい．
