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数値解析セミナー
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| 開催情報 | 火曜日 16:30～18:00 数理科学研究科棟(駒場) 002号室 |
|---|---|
| 担当者 | 齊藤宣一、柏原崇人 |
| セミナーURL | https://sites.google.com/g.ecc.u-tokyo.ac.jp/utnas-bulletin-board/ |
過去の記録
2020年12月15日(火)
16:30-18:00 オンライン開催
Ming-Cheng Shiue 氏 (National Chiao Tung University)
Iterated pressure-correction projection methods for the 2d Navier-Stokes equations based on the scalar auxiliary variable approach (English)
https://forms.gle/y7w2nmaYtHNeoDSn8
Ming-Cheng Shiue 氏 (National Chiao Tung University)
Iterated pressure-correction projection methods for the 2d Navier-Stokes equations based on the scalar auxiliary variable approach (English)
[ 講演概要 ]
In this talk, the first-order iterated pressure-correction projection methods based on the scalar auxiliary variable approach is proposed and studied for the 2d Navier-Stokes equations and Boussinesq equations.
In the literature, enormous amounts of work have contributed to the study of numerical schemes for computing the Navier-Stokes equations. In general, two of the main numerical difficulties for solving Navier-Stokes equations are the incompressible condition and the nonlinear term. One of the approaches to deal with the incompressible condition is the so-called projection. The typical projection method only needs to solve the Poisson type of equations depending on the nonlinear term's treatment, which is efficient. However, the pressure-correction projection methods suffer from the splitting error, leading to spurious numerical boundary layers and the limitation of accuracy in time. In the literature, an iterated pressure-correction projection method has been proposed to overcome the difficulty.
As for the nonlinear term treatment, it is better to treat the nonlinear term explicitly so that one only requires to solve the corresponding linear system with constant coefficients at each time step. However, such treatment often results in a restricted time step due to the stable issue. Recently, the scalar auxiliary variable approach has been constructed to have an unconditional energy stable numerical scheme.
In this work, a new iterated pressure-correction projection method based on the scalar auxiliary variable's simple choice is proposed. We find that this new scheme can enjoy two properties, including reducing the splitting errors and having unconditional energy stability. The proofs of the energy stability and error convergence are provided and analyzed. Finally, numerical examples are provided to illustrate the theoretical work. This is joint work with Tony Chang.
[ 参考URL ]In this talk, the first-order iterated pressure-correction projection methods based on the scalar auxiliary variable approach is proposed and studied for the 2d Navier-Stokes equations and Boussinesq equations.
In the literature, enormous amounts of work have contributed to the study of numerical schemes for computing the Navier-Stokes equations. In general, two of the main numerical difficulties for solving Navier-Stokes equations are the incompressible condition and the nonlinear term. One of the approaches to deal with the incompressible condition is the so-called projection. The typical projection method only needs to solve the Poisson type of equations depending on the nonlinear term's treatment, which is efficient. However, the pressure-correction projection methods suffer from the splitting error, leading to spurious numerical boundary layers and the limitation of accuracy in time. In the literature, an iterated pressure-correction projection method has been proposed to overcome the difficulty.
As for the nonlinear term treatment, it is better to treat the nonlinear term explicitly so that one only requires to solve the corresponding linear system with constant coefficients at each time step. However, such treatment often results in a restricted time step due to the stable issue. Recently, the scalar auxiliary variable approach has been constructed to have an unconditional energy stable numerical scheme.
In this work, a new iterated pressure-correction projection method based on the scalar auxiliary variable's simple choice is proposed. We find that this new scheme can enjoy two properties, including reducing the splitting errors and having unconditional energy stability. The proofs of the energy stability and error convergence are provided and analyzed. Finally, numerical examples are provided to illustrate the theoretical work. This is joint work with Tony Chang.
https://forms.gle/y7w2nmaYtHNeoDSn8
2020年12月01日(火)
16:30-18:00 オンライン開催
佐藤寛之 氏 (京都大学 大学院情報学研究科)
多様体上の最適化問題と共役勾配法について (Japanese)
https://forms.gle/Ubeccm8neLkacjbk8
佐藤寛之 氏 (京都大学 大学院情報学研究科)
多様体上の最適化問題と共役勾配法について (Japanese)
[ 講演概要 ]
制約付き最適化問題に対するアプローチの一つとして多様体上の最適化が近年注目を集めている．本講演では，多様体上の最適化問題として定式化される応用問題を通して研究の動機を述べた後，有用な一次法である多様体上の共役勾配法の理論と最近の展開について議論する．共役勾配法は，元来は線形方程式を解くために二次関数の最小化問題に対する解法として提案されたが，後に，より一般の目的関数をもつユークリッド空間内の最適化問題に対する解法に拡張された．この方法は特に非線形共役勾配法と呼ばれるが，さらに探索領域を多様体に拡張する際にはいくつかの工夫が必要となる．こうした工夫についてはこれまでにいくつかの異なるアプローチが提案されているが，それらを統一することで，多様体上の非線形共役勾配法の一般的な枠組みについて議論する．
[ 参考URL ]制約付き最適化問題に対するアプローチの一つとして多様体上の最適化が近年注目を集めている．本講演では，多様体上の最適化問題として定式化される応用問題を通して研究の動機を述べた後，有用な一次法である多様体上の共役勾配法の理論と最近の展開について議論する．共役勾配法は，元来は線形方程式を解くために二次関数の最小化問題に対する解法として提案されたが，後に，より一般の目的関数をもつユークリッド空間内の最適化問題に対する解法に拡張された．この方法は特に非線形共役勾配法と呼ばれるが，さらに探索領域を多様体に拡張する際にはいくつかの工夫が必要となる．こうした工夫についてはこれまでにいくつかの異なるアプローチが提案されているが，それらを統一することで，多様体上の非線形共役勾配法の一般的な枠組みについて議論する．
https://forms.gle/Ubeccm8neLkacjbk8
2020年10月27日(火)
16:30-18:00 オンライン開催
Buyang Li 氏 (The Hong Kong Polytechnic University)
Convergent evolving finite element algorithms for mean curvature flow and Willmore flow of closed surfaces (English)
https://forms.gle/HeuUxWLGa696KPvz8
Buyang Li 氏 (The Hong Kong Polytechnic University)
Convergent evolving finite element algorithms for mean curvature flow and Willmore flow of closed surfaces (English)
[ 講演概要 ]
We construct evolving surface finite element methods for the mean curvature and Willmore flow through equivalently reformulating the original equations into coupled systems governing the evolution of surface position, velocity, normal vector and mean curvature. Then we prove $H^1$-norm convergence of the proposed evolving surface finite element methods for the reformulated systems, by combining stability estimates and consistency estimates. The stability analysis is based on the matrix–vector formulation of the finite element method and does not use geometric arguments. The geometry enters only into the consistency estimates. Numerical experiments illustrate and complement the theoretical results.
References :
[1] https://doi.org/10.1007/s00211-019-01074-2
[2] https://arxiv.org/abs/2007.15257
[ 参考URL ]We construct evolving surface finite element methods for the mean curvature and Willmore flow through equivalently reformulating the original equations into coupled systems governing the evolution of surface position, velocity, normal vector and mean curvature. Then we prove $H^1$-norm convergence of the proposed evolving surface finite element methods for the reformulated systems, by combining stability estimates and consistency estimates. The stability analysis is based on the matrix–vector formulation of the finite element method and does not use geometric arguments. The geometry enters only into the consistency estimates. Numerical experiments illustrate and complement the theoretical results.
References :
[1] https://doi.org/10.1007/s00211-019-01074-2
[2] https://arxiv.org/abs/2007.15257
https://forms.gle/HeuUxWLGa696KPvz8
2020年07月21日(火)
16:30-18:00 オンライン開催
剱持智哉 氏 (名古屋大学大学院工学研究科)
平面曲線の制約条件付き勾配流に対する構造保存数値解法
(Japanese)
https://forms.gle/3JiNEjWnrWLW8cFA9
剱持智哉 氏 (名古屋大学大学院工学研究科)
平面曲線の制約条件付き勾配流に対する構造保存数値解法
(Japanese)
[ 講演概要 ]
本講演では, 制約条件付きの勾配流方程式に従って運動する, 平面内の閉曲線に対する数値計算手法を取り扱う. ここでの制約条件とは, ある幾何学的な量を保存するという条件であり, 例えば, 面積保存条件付きの勾配流 (周長減少) などが対象の方程式として挙げられる. 制約条件付き勾配流は, 勾配流によるエネルギー散逸性と, 制約条件よるエネルギー保存性を同時に持つが, 本講演では, これらを同時に再現する構造保存数値計算法を構築する. さらに, 接線速度の導入による安定化についても考察する. 最後に, 赤血球の形状変化のモデル方程式として現れるHelfrich流 (面積・周長保存条件下での, 曲げエネルギーに対する勾配流)などに対する数値計算例も紹介する.
[ 参考URL ]本講演では, 制約条件付きの勾配流方程式に従って運動する, 平面内の閉曲線に対する数値計算手法を取り扱う. ここでの制約条件とは, ある幾何学的な量を保存するという条件であり, 例えば, 面積保存条件付きの勾配流 (周長減少) などが対象の方程式として挙げられる. 制約条件付き勾配流は, 勾配流によるエネルギー散逸性と, 制約条件よるエネルギー保存性を同時に持つが, 本講演では, これらを同時に再現する構造保存数値計算法を構築する. さらに, 接線速度の導入による安定化についても考察する. 最後に, 赤血球の形状変化のモデル方程式として現れるHelfrich流 (面積・周長保存条件下での, 曲げエネルギーに対する勾配流)などに対する数値計算例も紹介する.
https://forms.gle/3JiNEjWnrWLW8cFA9
2020年06月30日(火)
16:30-18:00 オンライン開催
榊原航也 氏 (岡山理科大学理学部)
界面現象の構造保存型数値解析 (Japanese)
https://forms.gle/ztK741vNdBT7hfGSA
榊原航也 氏 (岡山理科大学理学部)
界面現象の構造保存型数値解析 (Japanese)
[ 講演概要 ]
水と油の間のように，界面は至る所に現れ，その数理解析は界面問題として盛んに研究されている．
本講演では，界面問題のうち，（i）「結晶粒界」という具体的な問題と，（ii）「移動境界問題」という一般的な枠組みのそれぞれにおいて，ある種の構造保存型数値解法を構築し解析した結果について報告する．以下，それぞれの問題について，簡単にその問題意識と得られた結果についてまとめる．
（i）結晶粒界の研究の大元の目的は，「結晶構造が与えられたとき，そこから結晶粒界の位置を捉える数学的な枠組みを構築できるか」というものである． そのためには数理モデルが必要となるが，本研究では，Kobayashi–Warren–Carter（KWC）エネルギーを自由エネルギーとして採用し，その勾配流として結晶粒界を検出することを考える． KWC エネルギーには，多様体 SO(3) に値をとる（重み付き）全変動エネルギーが現れ，この部分で強い特異性が生じるために数値計算が難しくなってしまう． 本講演の前半部分では，一般に滑らかな多様体に値が束縛された全変動流の数値解析の結果について報告し，その後に，現在行っている KWC エネルギーの数値解析の現状を簡単に報告したい．
（ii）平面閉曲線に対する移動境界問題とは，ある規則（法線速度）により時々刻々と変形する閉曲線を求める問題であり，曲率流，表面拡散流，Hele-Shaw 流など，様々な重要な問題が知られている． 多くの移動境界問題は，（何かしらの）エネルギーの（何かしらの）空間上での勾配流として定式化される（すなわち，解の時間発展に従ってエネルギーが単調減少する）． よって，その勾配流の構造を活かした数値解法として構造保存型数値解法を使いたくなるのは自然な発想であると思われるが，移動境界問題のように問題領域が複雑に時間変化する場合における構造保存型数値解法の研究成果はほとんど知られていない． そこで，本講演の後半部分では，多角形曲線により界面が記述される場合の移動境界問題を扱い，エネルギー散逸構造を満たす時間離散化の方法について紹介したい． 最後には，多角形曲線ではなく滑らかな曲線により界面を記述した場合の最新の結果についてもごく簡単にご紹介する予定である．
（i）は上坂正晃氏（東京大学），岡本潤氏（東京大学），儀我美一氏（東京大学），田口和稔氏との共同研究，（ii）は剱持智哉氏（名古屋大学），宮武勇登氏（大阪大学）との共同研究に基づく内容であり，それぞれに関連する文献として，プレプリント [1, 2] を挙げておく．
[1] Y. Giga, K. Sakakibara, K. Taguchi and M. Uesaka, A new numerical scheme for discrete constrained total variation flows and its convergence, accepted by Numerische Mathematik (arXiv:1904.06105)
[2] K. Sakakibara and Y. Miyatake, A fully discrete curve-shortening polygonal evolution law for moving boundary problems, preprint (arXiv:1912.00545)
[ 参考URL ]水と油の間のように，界面は至る所に現れ，その数理解析は界面問題として盛んに研究されている．
本講演では，界面問題のうち，（i）「結晶粒界」という具体的な問題と，（ii）「移動境界問題」という一般的な枠組みのそれぞれにおいて，ある種の構造保存型数値解法を構築し解析した結果について報告する．以下，それぞれの問題について，簡単にその問題意識と得られた結果についてまとめる．
（i）結晶粒界の研究の大元の目的は，「結晶構造が与えられたとき，そこから結晶粒界の位置を捉える数学的な枠組みを構築できるか」というものである． そのためには数理モデルが必要となるが，本研究では，Kobayashi–Warren–Carter（KWC）エネルギーを自由エネルギーとして採用し，その勾配流として結晶粒界を検出することを考える． KWC エネルギーには，多様体 SO(3) に値をとる（重み付き）全変動エネルギーが現れ，この部分で強い特異性が生じるために数値計算が難しくなってしまう． 本講演の前半部分では，一般に滑らかな多様体に値が束縛された全変動流の数値解析の結果について報告し，その後に，現在行っている KWC エネルギーの数値解析の現状を簡単に報告したい．
（ii）平面閉曲線に対する移動境界問題とは，ある規則（法線速度）により時々刻々と変形する閉曲線を求める問題であり，曲率流，表面拡散流，Hele-Shaw 流など，様々な重要な問題が知られている． 多くの移動境界問題は，（何かしらの）エネルギーの（何かしらの）空間上での勾配流として定式化される（すなわち，解の時間発展に従ってエネルギーが単調減少する）． よって，その勾配流の構造を活かした数値解法として構造保存型数値解法を使いたくなるのは自然な発想であると思われるが，移動境界問題のように問題領域が複雑に時間変化する場合における構造保存型数値解法の研究成果はほとんど知られていない． そこで，本講演の後半部分では，多角形曲線により界面が記述される場合の移動境界問題を扱い，エネルギー散逸構造を満たす時間離散化の方法について紹介したい． 最後には，多角形曲線ではなく滑らかな曲線により界面を記述した場合の最新の結果についてもごく簡単にご紹介する予定である．
（i）は上坂正晃氏（東京大学），岡本潤氏（東京大学），儀我美一氏（東京大学），田口和稔氏との共同研究，（ii）は剱持智哉氏（名古屋大学），宮武勇登氏（大阪大学）との共同研究に基づく内容であり，それぞれに関連する文献として，プレプリント [1, 2] を挙げておく．
[1] Y. Giga, K. Sakakibara, K. Taguchi and M. Uesaka, A new numerical scheme for discrete constrained total variation flows and its convergence, accepted by Numerische Mathematik (arXiv:1904.06105)
[2] K. Sakakibara and Y. Miyatake, A fully discrete curve-shortening polygonal evolution law for moving boundary problems, preprint (arXiv:1912.00545)
https://forms.gle/ztK741vNdBT7hfGSA
2020年06月23日(火)
16:30-18:00 オンライン開催
佐藤峻 氏 (東京大学大学院情報理工学系研究科)
2次の保存量をもつ常微分方程式に対する線形かつ高精度な構造保存数値解法 (Japanese)
https://forms.gle/hvvvFLAhH1314UQK8
佐藤峻 氏 (東京大学大学院情報理工学系研究科)
2次の保存量をもつ常微分方程式に対する線形かつ高精度な構造保存数値解法 (Japanese)
[ 講演概要 ]
様々な現象のモデルとして現れる常微分方程式や発展偏微分方程式はしばしば保存量をもつ． このような系に対して，保存量を尊重した構造保存数値解法は安定性などにおいて優れることが知られており， 高精度なスキームの構成法も含めて整備されているが，一般に陰的非線形になってしまうという問題も抱えている． そこで，本研究では，保存量が2次関数で表される場合に限れば，陰的線形かつ高精度な構造保存数値解法が構成できることを示した． 2次関数で表される保存量 (2次の保存量) は，KdV方程式を含む各種の微分方程式で自然に現れるだけでなく， 近年盛んに研究されているSAV (Salar Auxiliary Variable) 法のような元の問題の変形を伴う手法においても現れるため， 提案手法は幅広い方程式に適用可能である． 講演では提案手法の構成法と精度を示す定理を紹介し，数値実験結果も報告する．
この研究は宮武勇登氏 (大阪大学) とJohn C. Butcher氏 (The University of Auckland) との共同研究である．
[ 参考URL ]様々な現象のモデルとして現れる常微分方程式や発展偏微分方程式はしばしば保存量をもつ． このような系に対して，保存量を尊重した構造保存数値解法は安定性などにおいて優れることが知られており， 高精度なスキームの構成法も含めて整備されているが，一般に陰的非線形になってしまうという問題も抱えている． そこで，本研究では，保存量が2次関数で表される場合に限れば，陰的線形かつ高精度な構造保存数値解法が構成できることを示した． 2次関数で表される保存量 (2次の保存量) は，KdV方程式を含む各種の微分方程式で自然に現れるだけでなく， 近年盛んに研究されているSAV (Salar Auxiliary Variable) 法のような元の問題の変形を伴う手法においても現れるため， 提案手法は幅広い方程式に適用可能である． 講演では提案手法の構成法と精度を示す定理を紹介し，数値実験結果も報告する．
この研究は宮武勇登氏 (大阪大学) とJohn C. Butcher氏 (The University of Auckland) との共同研究である．
https://forms.gle/hvvvFLAhH1314UQK8
2020年01月20日(月)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
Yves A. B. C. Barbosa 氏 (Politecnico di Milano)
Isogeometric Hierarchical Model Reduction: from analysis to patient-specific simulations (English)
Yves A. B. C. Barbosa 氏 (Politecnico di Milano)
Isogeometric Hierarchical Model Reduction: from analysis to patient-specific simulations (English)
[ 講演概要 ]
In the field of hemodynamics, numerical models have evolved to account for the demands in speed and accuracy of modern diagnostic medicine. In this context, we studied in detail Hierarchical Model Reduction technique combined with Isogeometric Analysis (HigaMOD), a technique recently developed in [Perotto, Reali, Rusconi and Veneziani (2017)]. HigaMod is a reduction procedure used to downscale models when the phenomenon at hand presents a preferential direction of flow, e.g., when modelling the blood flow in arteries or the water flow in a channel network. The method showed a significant improvement in reducing the computational power and simulation time, while giving enough information to analyze the problem at hand.
Recently, we focused our work in solving the ADR problem and the Stokes problem in a patient-specific framework. Specifically, we evaluate the computational efficiency of HigaMod in simulating the blood flow in coronary arteries and cerebral arteries. The main goal is to assess the
mprovement that 1D enriched models can provide, with respect to traditional full models, when dealing with demanding 3D CFD simulations. The results obtained, even though preliminary, are promising [Brandes, Barbosa and Perotto (2019); Brandes, Barbosa, Perotto and Suito (2020)].
In the field of hemodynamics, numerical models have evolved to account for the demands in speed and accuracy of modern diagnostic medicine. In this context, we studied in detail Hierarchical Model Reduction technique combined with Isogeometric Analysis (HigaMOD), a technique recently developed in [Perotto, Reali, Rusconi and Veneziani (2017)]. HigaMod is a reduction procedure used to downscale models when the phenomenon at hand presents a preferential direction of flow, e.g., when modelling the blood flow in arteries or the water flow in a channel network. The method showed a significant improvement in reducing the computational power and simulation time, while giving enough information to analyze the problem at hand.
Recently, we focused our work in solving the ADR problem and the Stokes problem in a patient-specific framework. Specifically, we evaluate the computational efficiency of HigaMod in simulating the blood flow in coronary arteries and cerebral arteries. The main goal is to assess the
mprovement that 1D enriched models can provide, with respect to traditional full models, when dealing with demanding 3D CFD simulations. The results obtained, even though preliminary, are promising [Brandes, Barbosa and Perotto (2019); Brandes, Barbosa, Perotto and Suito (2020)].
2019年12月16日(月)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 117号室
上田祐暉 氏 (The Hong Kong Polytechnic University)
A second-order stabilization method for linearizing and decoupling nonlinear parabolic systems (Japanese)
上田祐暉 氏 (The Hong Kong Polytechnic University)
A second-order stabilization method for linearizing and decoupling nonlinear parabolic systems (Japanese)
[ 講演概要 ]
We present a new time discretization method for strongly nonlinear parabolic systems. Our method is based on backward finite difference for the first derivative with second-order accuracy and the first-order linear discrete-time scheme for nonlinear systems which has been introduced by H. Murakawa. We propose a second-order stabilization method by combining these schemes.
Our error estimate requires testing the error equation by two test functions and showing $W^{1,\infty}$-boundedness which is proved by ($H^2$ or) $H^3$ energy estimate. We overcome the difficulty for establishing energy estimate by using the generating function technique which is popular in studying ordinary differential equations. Several numerical examples are provided to support the theoretical result.
We present a new time discretization method for strongly nonlinear parabolic systems. Our method is based on backward finite difference for the first derivative with second-order accuracy and the first-order linear discrete-time scheme for nonlinear systems which has been introduced by H. Murakawa. We propose a second-order stabilization method by combining these schemes.
Our error estimate requires testing the error equation by two test functions and showing $W^{1,\infty}$-boundedness which is proved by ($H^2$ or) $H^3$ energy estimate. We overcome the difficulty for establishing energy estimate by using the generating function technique which is popular in studying ordinary differential equations. Several numerical examples are provided to support the theoretical result.
2019年12月09日(月)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 117号室
劉雪峰 氏 (新潟大学理学部)
ポアソン方程式の有限要素解の各点誤差評価---加藤・藤田の方法への再検討 (Japanese)
劉雪峰 氏 (新潟大学理学部)
ポアソン方程式の有限要素解の各点誤差評価---加藤・藤田の方法への再検討 (Japanese)
[ 講演概要 ]
In 1950s, H. Fujita proposed a method to provide the upper and lower bounds in boundary value problems, which is based on the T*T theory of T. Kato about differential equations. Such a method can be regarded a different formulation of the hypercircle method from Prage-Synge's theorem.
Recently, the speaker extended Kato-Fujita's method to the case of the finite element solution of Poisson's equation and proposed a guaranteed point-wise error estimation. The newly proposed error estimation can be applied to problems defined over domains of general shapes along with general boundary conditions.
In 1950s, H. Fujita proposed a method to provide the upper and lower bounds in boundary value problems, which is based on the T*T theory of T. Kato about differential equations. Such a method can be regarded a different formulation of the hypercircle method from Prage-Synge's theorem.
Recently, the speaker extended Kato-Fujita's method to the case of the finite element solution of Poisson's equation and proposed a guaranteed point-wise error estimation. The newly proposed error estimation can be applied to problems defined over domains of general shapes along with general boundary conditions.
2019年09月25日(水)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
周冠宇 氏 (東京理科大学理学部)
Keller-Segel方程式の保存型の有限体積法について (Japanese)
周冠宇 氏 (東京理科大学理学部)
Keller-Segel方程式の保存型の有限体積法について (Japanese)
[ 講演概要 ]
Keller-Segel方程式に対して，有限体積法の保存型の非線形的なスキームを提案した．まず離散解の存在性を示し，半群理論を用いて誤差評価を行った．特に，1次収束を示すために必要な離散解の事前評価を示した．さらに，自明な定常解に収束する場合に適用する離散Laypunov汎関数を定義し，Laypunov不等式を証明した．最後に爆発解について，離散Laypunov汎関数やスキームの提案について少し話したい．
Keller-Segel方程式に対して，有限体積法の保存型の非線形的なスキームを提案した．まず離散解の存在性を示し，半群理論を用いて誤差評価を行った．特に，1次収束を示すために必要な離散解の事前評価を示した．さらに，自明な定常解に収束する場合に適用する離散Laypunov汎関数を定義し，Laypunov不等式を証明した．最後に爆発解について，離散Laypunov汎関数やスキームの提案について少し話したい．
2019年08月19日(月)
13:00-17:00 数理科学研究科棟(駒場) 122号室
"Mini Workshop on Recent Developments in Discontinuous Galerkin Methods"として開催
Eric Chung 氏 (The Chinese University of Hong Kong) 13:00-14:00
Staggered hybridisation for discontinuous Galerkin methods (英語)
DG and HDG methods for the variational inequality problems (英語)
A new HDG method using a hybridized flux (英語)
Numerical approximation of the Stokes–Darcy problem using discontinuous linear elements (英語)
"Mini Workshop on Recent Developments in Discontinuous Galerkin Methods"として開催
Eric Chung 氏 (The Chinese University of Hong Kong) 13:00-14:00
Staggered hybridisation for discontinuous Galerkin methods (英語)
[ 講演概要 ]
In this talk, we present a new staggered hybridization technique for discontinuous Galerkin methods to discretize linear elastodynamic equations and nonlinear Stokes equations. The idea of hybridization is used extensively in many discontinuous Galerkin methods, but the idea of staggered hybridization is new. Our new approach offers several advantages, namely energy conservation, high-order optimal convergence, preservation of symmetry for the stress tensor, block diagonal mass matrices as well as low dispersion error. The key idea is to use two staggered hybrid variables to enforce the continuity of the velocity and the continuity of the normal component of the stress tensor on a staggered mesh. We prove the stability and the convergence of the proposed scheme in both the semi-discrete and the fully-discrete settings. Numerical results confirm the optimal rate of convergence and show that the method has a superconvergent property for dispersion.
Feifei Jing 氏 (Northwestern Polytechnical University) 14:30-15:30In this talk, we present a new staggered hybridization technique for discontinuous Galerkin methods to discretize linear elastodynamic equations and nonlinear Stokes equations. The idea of hybridization is used extensively in many discontinuous Galerkin methods, but the idea of staggered hybridization is new. Our new approach offers several advantages, namely energy conservation, high-order optimal convergence, preservation of symmetry for the stress tensor, block diagonal mass matrices as well as low dispersion error. The key idea is to use two staggered hybrid variables to enforce the continuity of the velocity and the continuity of the normal component of the stress tensor on a staggered mesh. We prove the stability and the convergence of the proposed scheme in both the semi-discrete and the fully-discrete settings. Numerical results confirm the optimal rate of convergence and show that the method has a superconvergent property for dispersion.
DG and HDG methods for the variational inequality problems (英語)
[ 講演概要 ]
There exist many numerical methods for solving the fluid dynamics equations, the main difference between them lies in the partitions of geometric domain and the discrete forms of governing equations. Due to the discontinuous piecewise polynomial subspaces, DG and HDG methods can be easily implemented on highly unstructured meshes, e.g. general polygonal mesh, and volume integrals could be calculated on physical elements, without reference elements and mappings between physical and reference elements. In this talk, DG and HDG methods employed to a class of variational inequality problems arising in hydrodynamics are studied. Some theoretical results will be shown, as well as the implementations of these methods are also put into practice.
及川一誠 氏 (一橋大学) 16:00-16:30There exist many numerical methods for solving the fluid dynamics equations, the main difference between them lies in the partitions of geometric domain and the discrete forms of governing equations. Due to the discontinuous piecewise polynomial subspaces, DG and HDG methods can be easily implemented on highly unstructured meshes, e.g. general polygonal mesh, and volume integrals could be calculated on physical elements, without reference elements and mappings between physical and reference elements. In this talk, DG and HDG methods employed to a class of variational inequality problems arising in hydrodynamics are studied. Some theoretical results will be shown, as well as the implementations of these methods are also put into practice.
A new HDG method using a hybridized flux (英語)
[ 講演概要 ]
We propose a new hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) method for steady-state diffusion problems. In our method, both the trace and flux of the exact solution are hybridized. The Lehrenfeld-Schöberl stabilization is implicitly included in the method, so that the orders of convergence in all variables are optimal without postprocessing and computation of any projection. Numerical results are present to show the validation of our method.
柏原崇人 氏 (東京大学) 16:30-17:00We propose a new hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) method for steady-state diffusion problems. In our method, both the trace and flux of the exact solution are hybridized. The Lehrenfeld-Schöberl stabilization is implicitly included in the method, so that the orders of convergence in all variables are optimal without postprocessing and computation of any projection. Numerical results are present to show the validation of our method.
Numerical approximation of the Stokes–Darcy problem using discontinuous linear elements (英語)
[ 講演概要 ]
We consider the Stokes–Darcy interface problem supplemented with the Beavers– Joseph–Saffman condition on the interface separating two domains. This condition allows for discontinuity in the tangential velocities and in the pressures along the interface. To effectively express it, we propose to use discontinuous linear finite elements to approximate all of the velocities/pressures in the Stokes/Darcy regions. The continuity of velocity in the normal direction is weakly enforced by adopting either the penalty method or Nitsche’s method. We present stability and error estimates for the proposed scheme, taking into account the situation where a curved interface is approximated by a polygonal curve or polyhedral surface.
We consider the Stokes–Darcy interface problem supplemented with the Beavers– Joseph–Saffman condition on the interface separating two domains. This condition allows for discontinuity in the tangential velocities and in the pressures along the interface. To effectively express it, we propose to use discontinuous linear finite elements to approximate all of the velocities/pressures in the Stokes/Darcy regions. The continuity of velocity in the normal direction is weakly enforced by adopting either the penalty method or Nitsche’s method. We present stability and error estimates for the proposed scheme, taking into account the situation where a curved interface is approximated by a polygonal curve or polyhedral surface.
2019年07月08日(月)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
松田孟留 氏 (東京大学大学院情報理工学系研究科)
離散化誤差を考慮した常微分方程式モデルのパラメータ推定 (Japanese)
松田孟留 氏 (東京大学大学院情報理工学系研究科)
離散化誤差を考慮した常微分方程式モデルのパラメータ推定 (Japanese)
[ 講演概要 ]
常微分方程式でモデル化される現象において、観測データをもとにモデルのパラメータを推定する問題を考える。 ルンゲクッタ法などで得られる数値解を観測データに当てはめる方法が標準的であるが、この方法では数値解に含まれる離散化誤差によって推定精度が悪化しうる。
たとえば、高次元の常微分方程式においては計算量の観点から時間刻みを十分小さくとれないため、離散化誤差を無視できないと考えられる。 そこで本研究では、データに基づいて離散化誤差の大きさを見積もることでパラメータの推定精度を改善する手法を提案する。 数値実験によって、提案手法が離散化誤差を適切に定量化して推定精度を改善することが確認された。 本研究は大阪大学の宮武勇登准教授との共同研究である。
常微分方程式でモデル化される現象において、観測データをもとにモデルのパラメータを推定する問題を考える。 ルンゲクッタ法などで得られる数値解を観測データに当てはめる方法が標準的であるが、この方法では数値解に含まれる離散化誤差によって推定精度が悪化しうる。
たとえば、高次元の常微分方程式においては計算量の観点から時間刻みを十分小さくとれないため、離散化誤差を無視できないと考えられる。 そこで本研究では、データに基づいて離散化誤差の大きさを見積もることでパラメータの推定精度を改善する手法を提案する。 数値実験によって、提案手法が離散化誤差を適切に定量化して推定精度を改善することが確認された。 本研究は大阪大学の宮武勇登准教授との共同研究である。
2019年07月01日(月)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 117号室
河原田秀夫 氏 (AMSOK, 千葉大学名誉教授)
セラミックス球によるスケール形成防止効果と人体に及ぼす効用 (Japanese)
河原田秀夫 氏 (AMSOK, 千葉大学名誉教授)
セラミックス球によるスケール形成防止効果と人体に及ぼす効用 (Japanese)
[ 講演概要 ]
セラミックス球を電解質溶液に浸したその界面に超強電場が発生することが知られている 。その電場に接触した炭酸カルシウム結晶に電気分極を生じ、それに基づく電気的エネル ギー（分極エネルギー）が化学ポテンシャルの一部として分配される。この分極エネルギ ーは核の生成を極端に妨害すると同時に生成した核の表面自由エネルギーを減少させる。 この現象がスケール形成防止効果を表現している。そのメカニズムが数理的手法を用いて 解明される。 更に、上記超強電場が水の分子集団に上記と同様な変化を生成することが 示される。この事実をもとにセラミックス球を人体に接触させたとき、如何なる現象が生 じるかについて議論する。
セラミックス球を電解質溶液に浸したその界面に超強電場が発生することが知られている 。その電場に接触した炭酸カルシウム結晶に電気分極を生じ、それに基づく電気的エネル ギー（分極エネルギー）が化学ポテンシャルの一部として分配される。この分極エネルギ ーは核の生成を極端に妨害すると同時に生成した核の表面自由エネルギーを減少させる。 この現象がスケール形成防止効果を表現している。そのメカニズムが数理的手法を用いて 解明される。 更に、上記超強電場が水の分子集団に上記と同様な変化を生成することが 示される。この事実をもとにセラミックス球を人体に接触させたとき、如何なる現象が生 じるかについて議論する。
2019年05月13日(月)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
相島健助 氏 (法政大学情報科学部)
対称固有値問題に対する反復改良法 (Japanese)
相島健助 氏 (法政大学情報科学部)
対称固有値問題に対する反復改良法 (Japanese)
[ 講演概要 ]
本講演では，対称行列の固有値問題の数値解法について議論する．具体的には，対称固有値問題のすべての固有値と固有ベクトルの近似値が得られている場合に，さらに精度を上げるための反復改良法を提案しその収束理論を与える．
対称固有値問題のすべての固有値と固有ベクトルを計算する場合，後退誤差解析の意味で数値的に安定な手法が既に確立されており，数値線形代数の標準ライブラリLAPACK或いはMATLABのような汎用ソフトにも実装され広く利用されている．ただし，悪条件問題において固有ベクトルの数値計算は原理的に困難であることには注意を要する．この困難に対し，本研究で提案する適合的に計算精度を変更しながら行う反復改良法は一つの有力な技術になりうる．また主要計算部分が行列積で表現でき，この性質は実装面での長所となる．本講演では，提案手法の着想や導出過程そして数値的な性能と二次収束性の証明について述べる．本研究は荻田武史氏（東京女子大学）との共同研究である．
本講演では，対称行列の固有値問題の数値解法について議論する．具体的には，対称固有値問題のすべての固有値と固有ベクトルの近似値が得られている場合に，さらに精度を上げるための反復改良法を提案しその収束理論を与える．
対称固有値問題のすべての固有値と固有ベクトルを計算する場合，後退誤差解析の意味で数値的に安定な手法が既に確立されており，数値線形代数の標準ライブラリLAPACK或いはMATLABのような汎用ソフトにも実装され広く利用されている．ただし，悪条件問題において固有ベクトルの数値計算は原理的に困難であることには注意を要する．この困難に対し，本研究で提案する適合的に計算精度を変更しながら行う反復改良法は一つの有力な技術になりうる．また主要計算部分が行列積で表現でき，この性質は実装面での長所となる．本講演では，提案手法の着想や導出過程そして数値的な性能と二次収束性の証明について述べる．本研究は荻田武史氏（東京女子大学）との共同研究である．
2019年04月22日(月)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
及川一誠 氏 (一橋大学大学院経営管理研究科)
HDG法の超収束について (Japanese)
及川一誠 氏 (一橋大学大学院経営管理研究科)
HDG法の超収束について (Japanese)
[ 講演概要 ]
近年，hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) 法の超収束性に関して研究が進展し，様々な結果が得られている．それらは大きく分けて，数値流束の安定化項に$L^2$射影を施すLehrenfeld-Sch{\" o}berl安定化と，HDG射影を用いるM-decomposition理論との２つに分類される．本講演では両者に関する概要を，講演者の研究結果を交えながら述べる．
近年，hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) 法の超収束性に関して研究が進展し，様々な結果が得られている．それらは大きく分けて，数値流束の安定化項に$L^2$射影を施すLehrenfeld-Sch{\" o}berl安定化と，HDG射影を用いるM-decomposition理論との２つに分類される．本講演では両者に関する概要を，講演者の研究結果を交えながら述べる．
2019年04月08日(月)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
高石武史 氏 (武蔵野大学工学部)
粘弾性を反映したフェーズフィールドき裂進展モデル (Japanese)
高石武史 氏 (武蔵野大学工学部)
粘弾性を反映したフェーズフィールドき裂進展モデル (Japanese)
[ 講演概要 ]
フェーズフィールドを用いたき裂進展に関する近似エネルギー変分モデルは，弾性体に対する脆性破壊のモデルとしてBourdin-Francfort-Marigo によって導入されたが，近年多様な応用研究が行われている．講演者と木村はエネルギー勾配流の方程式としてより数値計算しやすいき裂進展方程式を得たが，さらに田中のアイデアにより粘弾性体に対応した方程式系を導出した．この粘弾性モデルから得られたき裂進展における粘性の影響と，さらにどのような応用が可能となるかについて述べる．
フェーズフィールドを用いたき裂進展に関する近似エネルギー変分モデルは，弾性体に対する脆性破壊のモデルとしてBourdin-Francfort-Marigo によって導入されたが，近年多様な応用研究が行われている．講演者と木村はエネルギー勾配流の方程式としてより数値計算しやすいき裂進展方程式を得たが，さらに田中のアイデアにより粘弾性体に対応した方程式系を導出した．この粘弾性モデルから得られたき裂進展における粘性の影響と，さらにどのような応用が可能となるかについて述べる．
2018年11月05日(月)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
岡本久 氏 (学習院大学理学部)
Tosio Kato as an applied mathematician (Japanese)
岡本久 氏 (学習院大学理学部)
Tosio Kato as an applied mathematician (Japanese)
[ 講演概要 ]
Tosio Kato (1917-1999) is nowadays considered to be a rigorous analyst or theorist. Many people consider his contributions in quantum mechanics to be epoch-making, his work on nonlinear partial differential equations elegant and inspiring. However, around the time when he visited USA for the first time in 1954, he was studying problems of applied mathematics, too, notably numerical computation of eigenvalues. I wish to shed light on the historical background of his study of applied mathematics. This is a joint work with Prof. Hiroshi Fujita.
Tosio Kato (1917-1999) is nowadays considered to be a rigorous analyst or theorist. Many people consider his contributions in quantum mechanics to be epoch-making, his work on nonlinear partial differential equations elegant and inspiring. However, around the time when he visited USA for the first time in 1954, he was studying problems of applied mathematics, too, notably numerical computation of eigenvalues. I wish to shed light on the historical background of his study of applied mathematics. This is a joint work with Prof. Hiroshi Fujita.
2018年10月22日(月)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
相原研輔 氏 (東京都市大学知識工学部)
短い漸化式を用いるクリロフ部分空間法に対する残差スムージング (Japanese)
相原研輔 氏 (東京都市大学知識工学部)
短い漸化式を用いるクリロフ部分空間法に対する残差スムージング (Japanese)
[ 講演概要 ]
クリロフ部分空間法は，大規模疎行列を係数に持つ連立一次方程式に有効な反復法群である．そのうち，Bi-CG法などの短い漸化式を用いる解法は，反復毎の計算量やメモリ使用量が少なく済むため，計算効率がよいが，生成される残差ノルムは振動する．残差ノルムが大きく振動すると，丸め誤差が拡大され，収束速度の低下や近似解精度の劣化に繋がる．そこで，収束性を改善するための残差スムージングについて取り上げる．古典的な残差スムージングは，残差ノルムの収束振る舞いを滑らかにするものの，丸め誤差の拡大を防ぐ効果はほとんどないことが知られている．一方，最近提案された相互作用型の残差スムージングは，丸め誤差の蓄積を抑制することができ，近似解精度が向上するなどの付加価値がある．本講演では，行列ベクトル積から発生する丸め誤差が収束性に与える影響を考察した上で，新旧の残差スムージングの効果の違いについて議論する．
クリロフ部分空間法は，大規模疎行列を係数に持つ連立一次方程式に有効な反復法群である．そのうち，Bi-CG法などの短い漸化式を用いる解法は，反復毎の計算量やメモリ使用量が少なく済むため，計算効率がよいが，生成される残差ノルムは振動する．残差ノルムが大きく振動すると，丸め誤差が拡大され，収束速度の低下や近似解精度の劣化に繋がる．そこで，収束性を改善するための残差スムージングについて取り上げる．古典的な残差スムージングは，残差ノルムの収束振る舞いを滑らかにするものの，丸め誤差の拡大を防ぐ効果はほとんどないことが知られている．一方，最近提案された相互作用型の残差スムージングは，丸め誤差の蓄積を抑制することができ，近似解精度が向上するなどの付加価値がある．本講演では，行列ベクトル積から発生する丸め誤差が収束性に与える影響を考察した上で，新旧の残差スムージングの効果の違いについて議論する．
2018年10月15日(月)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
長澤壯之 氏 (埼玉大学大学院理工学研究科)
MöbiusエネルギーのMöbius不変な離散化と分解 (Japanese)
長澤壯之 氏 (埼玉大学大学院理工学研究科)
MöbiusエネルギーのMöbius不変な離散化と分解 (Japanese)
[ 講演概要 ]
O'Haraによって提唱された結び目のエネルギーの一つであるMöbiusエネルギーは、Möbius不変性を持つ事がその名前の由来となっている。エネルギーは(少なくとも見かけ上は)特異性を有するエネルギー密度の積分で与えられる事もあり、エネルギー値を手計算で求める事は多くの場合困難である。そのため、結び目を多角形で近似しエネルギー値を近似的に求めるという考えが自然に浮かぶ。そのためには多角形に対するエネルギー(離散エネルギー)が必要である。実際、幾つかの離散エネルギーが提唱されているが、それらは元のエネルギーが有するMöbius不変という性質を失っている。ここでは、Möbius不変性という構造をもった離散エネルギーを提唱し、その収束性を論 じる。また、MöbiusエネルギーはMöbius不変な分解が知られている。提唱する離散エネルギーのMöbius不変分解も与える。本講演は、Simon Blatt (ザルツブルク大学) と石関 彩(千葉大学)との共同研究に基づく。
O'Haraによって提唱された結び目のエネルギーの一つであるMöbiusエネルギーは、Möbius不変性を持つ事がその名前の由来となっている。エネルギーは(少なくとも見かけ上は)特異性を有するエネルギー密度の積分で与えられる事もあり、エネルギー値を手計算で求める事は多くの場合困難である。そのため、結び目を多角形で近似しエネルギー値を近似的に求めるという考えが自然に浮かぶ。そのためには多角形に対するエネルギー(離散エネルギー)が必要である。実際、幾つかの離散エネルギーが提唱されているが、それらは元のエネルギーが有するMöbius不変という性質を失っている。ここでは、Möbius不変性という構造をもった離散エネルギーを提唱し、その収束性を論 じる。また、MöbiusエネルギーはMöbius不変な分解が知られている。提唱する離散エネルギーのMöbius不変分解も与える。本講演は、Simon Blatt (ザルツブルク大学) と石関 彩(千葉大学)との共同研究に基づく。
2018年07月31日(火)
14:00-15:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
Jichun Li 氏 (University of Nevada Las Vegas)
Recent advances on numerical analysis and simulation of invisibility cloaks with metamaterials (English)
Jichun Li 氏 (University of Nevada Las Vegas)
Recent advances on numerical analysis and simulation of invisibility cloaks with metamaterials (English)
[ 講演概要 ]
In the June 23, 2006's issue of Science magazine, Pendry et al. and Leonhardt independently published their seminar papers on electromagnetic cloaking. Since then, there is a growing interest in using metamaterials to design invisibility cloaks. In this talk, I will first give a brief introduction to invisibility cloaks with metamaterials, then I will focus on some time-domain cloaking models we studied in the last few years. Well-posedness study and time-domain finite element method for these models will be presented. I will conclude the talk with some open issues.
In the June 23, 2006's issue of Science magazine, Pendry et al. and Leonhardt independently published their seminar papers on electromagnetic cloaking. Since then, there is a growing interest in using metamaterials to design invisibility cloaks. In this talk, I will first give a brief introduction to invisibility cloaks with metamaterials, then I will focus on some time-domain cloaking models we studied in the last few years. Well-posedness study and time-domain finite element method for these models will be presented. I will conclude the talk with some open issues.
2018年07月26日(木)
16:00-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
柏原崇人 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
滑らかな領域における楕円型・放物型ノイマン境界値問題に対する有限要素法の$L^\infty$誤差評価について (日本語)
柏原崇人 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
滑らかな領域における楕円型・放物型ノイマン境界値問題に対する有限要素法の$L^\infty$誤差評価について (日本語)
[ 講演概要 ]
楕円型および放物型問題に対する$L^\infty$ノルム（最大値ノルム）による汎用的な誤差評価手法の開発については，1970年代のJ.A. Nitsche, A.H. Schatz, L.B. Wahlbinを含む先駆者の研究以来，多くの貢献がなされ，現在では標準的な証明法が確立されたと言える状況にある．一方で，有限要素法で滑らかな領域（曲がった境界を持つ領域）を扱う際は，多角形や多面体領域で近似した上で三角形分割・有限要素空間の導入・定式化を行うのが最も基本的であるが，そのような領域近似（領域摂動）に伴う誤差を考慮した厳密な$L^\infty$誤差解析は，斉次ディリクレ境界条件の場合しか知られていないと思われる．本講演では，ポアソン方程式と熱方程式の非斉次ノイマン問題に対して，領域摂動誤差を考慮した$L^\infty$誤差評価を考察し，$O(h^2 |\log h|)$すなわち領域摂動なしのP1要素の場合と同等の評価が得られたことを報告する．証明の鍵は，汎用的な誤差評価手法において複数回用いられるガラーキン直交性が厳密には成立しなくなるものの，メッシュサイズが0になる極限のもとで漸近的に成り立つことを領域摂動評価を用いて示す点にある．
楕円型および放物型問題に対する$L^\infty$ノルム（最大値ノルム）による汎用的な誤差評価手法の開発については，1970年代のJ.A. Nitsche, A.H. Schatz, L.B. Wahlbinを含む先駆者の研究以来，多くの貢献がなされ，現在では標準的な証明法が確立されたと言える状況にある．一方で，有限要素法で滑らかな領域（曲がった境界を持つ領域）を扱う際は，多角形や多面体領域で近似した上で三角形分割・有限要素空間の導入・定式化を行うのが最も基本的であるが，そのような領域近似（領域摂動）に伴う誤差を考慮した厳密な$L^\infty$誤差解析は，斉次ディリクレ境界条件の場合しか知られていないと思われる．本講演では，ポアソン方程式と熱方程式の非斉次ノイマン問題に対して，領域摂動誤差を考慮した$L^\infty$誤差評価を考察し，$O(h^2 |\log h|)$すなわち領域摂動なしのP1要素の場合と同等の評価が得られたことを報告する．証明の鍵は，汎用的な誤差評価手法において複数回用いられるガラーキン直交性が厳密には成立しなくなるものの，メッシュサイズが0になる極限のもとで漸近的に成り立つことを領域摂動評価を用いて示す点にある．
2018年07月10日(火)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 126号室
松本純一 氏 (産業技術総合研究所)
直交基底気泡関数有限要素法による自由表面流れ
(Japanese)
松本純一 氏 (産業技術総合研究所)
直交基底気泡関数有限要素法による自由表面流れ
(Japanese)
[ 講演概要 ]
非構造格子（三角形と四面体）に適用が可能な直交基底気泡関数要素による有限要素法を用いた2次元浅水流れと3次元気液二相流れについて解説する。2次元浅水流れでは、浅水長波方程式とBoussinesq方程式おける数値安定性を考慮した陽的および陰的有限要素法について説明する。計算例として、浅水長波方程式では風応力を考慮した自由表面問題および河床摩擦を考慮した跳水現象の厳密解との比較、波の分散を考慮したBoussinesq方程式では孤立波の近似解および実験結果と計算結果との比較を示す。3次元気液二相流れでは、界面関数を扱うPhase-FieldモデルとしてAllen-Cahn方程式、Cahn-Hilliard方程式の双方を取り上げ、Navier-Stokes方程式とPhase-Field界面モデルを採用した直交基底気泡関数要素安定化法について解説する。さらに、2次元（2D）浅水流れと3次元（3D）気液二相流れにおける双方向の流れを考慮した結合法について述べ2D-3D連成問題について計算例を示す。
非構造格子（三角形と四面体）に適用が可能な直交基底気泡関数要素による有限要素法を用いた2次元浅水流れと3次元気液二相流れについて解説する。2次元浅水流れでは、浅水長波方程式とBoussinesq方程式おける数値安定性を考慮した陽的および陰的有限要素法について説明する。計算例として、浅水長波方程式では風応力を考慮した自由表面問題および河床摩擦を考慮した跳水現象の厳密解との比較、波の分散を考慮したBoussinesq方程式では孤立波の近似解および実験結果と計算結果との比較を示す。3次元気液二相流れでは、界面関数を扱うPhase-FieldモデルとしてAllen-Cahn方程式、Cahn-Hilliard方程式の双方を取り上げ、Navier-Stokes方程式とPhase-Field界面モデルを採用した直交基底気泡関数要素安定化法について解説する。さらに、2次元（2D）浅水流れと3次元（3D）気液二相流れにおける双方向の流れを考慮した結合法について述べ2D-3D連成問題について計算例を示す。
2018年06月19日(火)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
吉川周二 氏 (大分大学理工学部)
Small data global existence for the semi-discrete scheme of a model system of hyperbolic balance laws (Japanese)
吉川周二 氏 (大分大学理工学部)
Small data global existence for the semi-discrete scheme of a model system of hyperbolic balance laws (Japanese)
[ 講演概要 ]
エネルギー法の差分解法への応用を意識し, 準線形の双曲型保存則系のあるモデルシステムを例に挙げて, この問題の時間に関して中点則で離散化した半離散解法の時間大域解の存在について議論したい. オリジナルの問題は, Racke(1992)や松村--西原(2004)のテキストで紹介されたエネルギー法によって, 初期値が小さいという仮定の下でアプリオリ評価が得られ, 時間大域解の存在を証明できる. 本発表では, 上記の半離散解法もオリジナルの連続問題と同様にして時間大域解の存在を示すことが可能であることについて紹介したい. また誤差評価もこのエネルギー構造を利用して示すことができることも時間があれば触れる. 本研究は川島秀一氏(早稲田大学)との共同研究に基づく.
エネルギー法の差分解法への応用を意識し, 準線形の双曲型保存則系のあるモデルシステムを例に挙げて, この問題の時間に関して中点則で離散化した半離散解法の時間大域解の存在について議論したい. オリジナルの問題は, Racke(1992)や松村--西原(2004)のテキストで紹介されたエネルギー法によって, 初期値が小さいという仮定の下でアプリオリ評価が得られ, 時間大域解の存在を証明できる. 本発表では, 上記の半離散解法もオリジナルの連続問題と同様にして時間大域解の存在を示すことが可能であることについて紹介したい. また誤差評価もこのエネルギー構造を利用して示すことができることも時間があれば触れる. 本研究は川島秀一氏(早稲田大学)との共同研究に基づく.
2018年05月31日(木)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
Olivier Pironneau 氏 (Sorbonne University and Academy of Sciences)
Parallel Computing Methods for Quantitative Finance: the Parareal Algorithm for American Options (English)
Olivier Pironneau 氏 (Sorbonne University and Academy of Sciences)
Parallel Computing Methods for Quantitative Finance: the Parareal Algorithm for American Options (English)
[ 講演概要 ]
With parallelism in mind we investigate the parareal method for American contracts both theoretically and numerically. Least-Square Monte-Carlo (LSMC) and parareal time decomposition with two or more levels are used, leading to an efficient parallel implementation which scales linearly with the number of processors and is appropriate to any multiprocessor-memory architecture in its multilevel version. We prove $L^2$ superlinear convergence for an LSMC backward in time computation of American contracts, when the conditional expectations are known, i.e. before Monte-Carlo discretization. In all cases the computing time is increased only by a constant factor, compared to the sequential algorithm on the finest grid, and speed-up is guaranteed when the number of processors is larger than that constant. A numerical implementation will be shown to confirm the theoretical error estimates.
With parallelism in mind we investigate the parareal method for American contracts both theoretically and numerically. Least-Square Monte-Carlo (LSMC) and parareal time decomposition with two or more levels are used, leading to an efficient parallel implementation which scales linearly with the number of processors and is appropriate to any multiprocessor-memory architecture in its multilevel version. We prove $L^2$ superlinear convergence for an LSMC backward in time computation of American contracts, when the conditional expectations are known, i.e. before Monte-Carlo discretization. In all cases the computing time is increased only by a constant factor, compared to the sequential algorithm on the finest grid, and speed-up is guaranteed when the number of processors is larger than that constant. A numerical implementation will be shown to confirm the theoretical error estimates.
2018年05月08日(火)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
齊藤宣一 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
数値解析の諸相 (Japanese)
齊藤宣一 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
数値解析の諸相 (Japanese)
[ 講演概要 ]
本講演の前半では，さまざまな反例を検討することで，数値計算手法の収束性の研究の重要性を再確認したい．とくに，偏微分方程式の数値解析においては，解の正則性，特異性，様々な摂動に対する安定性に正面から取り組むことが必須になる．具体的には，正則性の欠如や領域の近似が原因で，近似解の収束が任意に遅くなったり，意図しない問題を正しく解いてしまうことがありうることを紹介する．後半は，数学を専門とする学生・院生に対する数値解析の教育（やユーザーへの啓蒙）について，講演者自身の反省を述べたい．
多くの皆様のご協力のおかげで，本セミナーは100回目を迎えることができました． 第100回目は一つの総括の意味を込めて，主催者の一人による初歩的あるいは総括的講演を，あまり形式張らずに行いたいと思います．参加者の方々と議論ができれば幸いです．
本講演の前半では，さまざまな反例を検討することで，数値計算手法の収束性の研究の重要性を再確認したい．とくに，偏微分方程式の数値解析においては，解の正則性，特異性，様々な摂動に対する安定性に正面から取り組むことが必須になる．具体的には，正則性の欠如や領域の近似が原因で，近似解の収束が任意に遅くなったり，意図しない問題を正しく解いてしまうことがありうることを紹介する．後半は，数学を専門とする学生・院生に対する数値解析の教育（やユーザーへの啓蒙）について，講演者自身の反省を述べたい．
多くの皆様のご協力のおかげで，本セミナーは100回目を迎えることができました． 第100回目は一つの総括の意味を込めて，主催者の一人による初歩的あるいは総括的講演を，あまり形式張らずに行いたいと思います．参加者の方々と議論ができれば幸いです．
