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数値解析セミナー
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| 開催情報 | 火曜日 16:30～18:00 数理科学研究科棟(駒場) 002号室 |
|---|---|
| 担当者 | 齊藤宣一、柏原崇人 |
| セミナーURL | https://sites.google.com/g.ecc.u-tokyo.ac.jp/utnas-bulletin-board/ |
過去の記録
2019年07月08日(月)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
松田孟留 氏 (東京大学大学院情報理工学系研究科)
離散化誤差を考慮した常微分方程式モデルのパラメータ推定 (Japanese)
松田孟留 氏 (東京大学大学院情報理工学系研究科)
離散化誤差を考慮した常微分方程式モデルのパラメータ推定 (Japanese)
[ 講演概要 ]
常微分方程式でモデル化される現象において、観測データをもとにモデルのパラメータを推定する問題を考える。 ルンゲクッタ法などで得られる数値解を観測データに当てはめる方法が標準的であるが、この方法では数値解に含まれる離散化誤差によって推定精度が悪化しうる。
たとえば、高次元の常微分方程式においては計算量の観点から時間刻みを十分小さくとれないため、離散化誤差を無視できないと考えられる。 そこで本研究では、データに基づいて離散化誤差の大きさを見積もることでパラメータの推定精度を改善する手法を提案する。 数値実験によって、提案手法が離散化誤差を適切に定量化して推定精度を改善することが確認された。 本研究は大阪大学の宮武勇登准教授との共同研究である。
常微分方程式でモデル化される現象において、観測データをもとにモデルのパラメータを推定する問題を考える。 ルンゲクッタ法などで得られる数値解を観測データに当てはめる方法が標準的であるが、この方法では数値解に含まれる離散化誤差によって推定精度が悪化しうる。
たとえば、高次元の常微分方程式においては計算量の観点から時間刻みを十分小さくとれないため、離散化誤差を無視できないと考えられる。 そこで本研究では、データに基づいて離散化誤差の大きさを見積もることでパラメータの推定精度を改善する手法を提案する。 数値実験によって、提案手法が離散化誤差を適切に定量化して推定精度を改善することが確認された。 本研究は大阪大学の宮武勇登准教授との共同研究である。
2019年07月01日(月)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 117号室
河原田秀夫 氏 (AMSOK, 千葉大学名誉教授)
セラミックス球によるスケール形成防止効果と人体に及ぼす効用 (Japanese)
河原田秀夫 氏 (AMSOK, 千葉大学名誉教授)
セラミックス球によるスケール形成防止効果と人体に及ぼす効用 (Japanese)
[ 講演概要 ]
セラミックス球を電解質溶液に浸したその界面に超強電場が発生することが知られている 。その電場に接触した炭酸カルシウム結晶に電気分極を生じ、それに基づく電気的エネル ギー（分極エネルギー）が化学ポテンシャルの一部として分配される。この分極エネルギ ーは核の生成を極端に妨害すると同時に生成した核の表面自由エネルギーを減少させる。 この現象がスケール形成防止効果を表現している。そのメカニズムが数理的手法を用いて 解明される。 更に、上記超強電場が水の分子集団に上記と同様な変化を生成することが 示される。この事実をもとにセラミックス球を人体に接触させたとき、如何なる現象が生 じるかについて議論する。
セラミックス球を電解質溶液に浸したその界面に超強電場が発生することが知られている 。その電場に接触した炭酸カルシウム結晶に電気分極を生じ、それに基づく電気的エネル ギー（分極エネルギー）が化学ポテンシャルの一部として分配される。この分極エネルギ ーは核の生成を極端に妨害すると同時に生成した核の表面自由エネルギーを減少させる。 この現象がスケール形成防止効果を表現している。そのメカニズムが数理的手法を用いて 解明される。 更に、上記超強電場が水の分子集団に上記と同様な変化を生成することが 示される。この事実をもとにセラミックス球を人体に接触させたとき、如何なる現象が生 じるかについて議論する。
2019年05月13日(月)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
相島健助 氏 (法政大学情報科学部)
対称固有値問題に対する反復改良法 (Japanese)
相島健助 氏 (法政大学情報科学部)
対称固有値問題に対する反復改良法 (Japanese)
[ 講演概要 ]
本講演では，対称行列の固有値問題の数値解法について議論する．具体的には，対称固有値問題のすべての固有値と固有ベクトルの近似値が得られている場合に，さらに精度を上げるための反復改良法を提案しその収束理論を与える．
対称固有値問題のすべての固有値と固有ベクトルを計算する場合，後退誤差解析の意味で数値的に安定な手法が既に確立されており，数値線形代数の標準ライブラリLAPACK或いはMATLABのような汎用ソフトにも実装され広く利用されている．ただし，悪条件問題において固有ベクトルの数値計算は原理的に困難であることには注意を要する．この困難に対し，本研究で提案する適合的に計算精度を変更しながら行う反復改良法は一つの有力な技術になりうる．また主要計算部分が行列積で表現でき，この性質は実装面での長所となる．本講演では，提案手法の着想や導出過程そして数値的な性能と二次収束性の証明について述べる．本研究は荻田武史氏（東京女子大学）との共同研究である．
本講演では，対称行列の固有値問題の数値解法について議論する．具体的には，対称固有値問題のすべての固有値と固有ベクトルの近似値が得られている場合に，さらに精度を上げるための反復改良法を提案しその収束理論を与える．
対称固有値問題のすべての固有値と固有ベクトルを計算する場合，後退誤差解析の意味で数値的に安定な手法が既に確立されており，数値線形代数の標準ライブラリLAPACK或いはMATLABのような汎用ソフトにも実装され広く利用されている．ただし，悪条件問題において固有ベクトルの数値計算は原理的に困難であることには注意を要する．この困難に対し，本研究で提案する適合的に計算精度を変更しながら行う反復改良法は一つの有力な技術になりうる．また主要計算部分が行列積で表現でき，この性質は実装面での長所となる．本講演では，提案手法の着想や導出過程そして数値的な性能と二次収束性の証明について述べる．本研究は荻田武史氏（東京女子大学）との共同研究である．
2019年04月22日(月)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
及川一誠 氏 (一橋大学大学院経営管理研究科)
HDG法の超収束について (Japanese)
及川一誠 氏 (一橋大学大学院経営管理研究科)
HDG法の超収束について (Japanese)
[ 講演概要 ]
近年，hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) 法の超収束性に関して研究が進展し，様々な結果が得られている．それらは大きく分けて，数値流束の安定化項に$L^2$射影を施すLehrenfeld-Sch{\" o}berl安定化と，HDG射影を用いるM-decomposition理論との２つに分類される．本講演では両者に関する概要を，講演者の研究結果を交えながら述べる．
近年，hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) 法の超収束性に関して研究が進展し，様々な結果が得られている．それらは大きく分けて，数値流束の安定化項に$L^2$射影を施すLehrenfeld-Sch{\" o}berl安定化と，HDG射影を用いるM-decomposition理論との２つに分類される．本講演では両者に関する概要を，講演者の研究結果を交えながら述べる．
2019年04月08日(月)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
高石武史 氏 (武蔵野大学工学部)
粘弾性を反映したフェーズフィールドき裂進展モデル (Japanese)
高石武史 氏 (武蔵野大学工学部)
粘弾性を反映したフェーズフィールドき裂進展モデル (Japanese)
[ 講演概要 ]
フェーズフィールドを用いたき裂進展に関する近似エネルギー変分モデルは，弾性体に対する脆性破壊のモデルとしてBourdin-Francfort-Marigo によって導入されたが，近年多様な応用研究が行われている．講演者と木村はエネルギー勾配流の方程式としてより数値計算しやすいき裂進展方程式を得たが，さらに田中のアイデアにより粘弾性体に対応した方程式系を導出した．この粘弾性モデルから得られたき裂進展における粘性の影響と，さらにどのような応用が可能となるかについて述べる．
フェーズフィールドを用いたき裂進展に関する近似エネルギー変分モデルは，弾性体に対する脆性破壊のモデルとしてBourdin-Francfort-Marigo によって導入されたが，近年多様な応用研究が行われている．講演者と木村はエネルギー勾配流の方程式としてより数値計算しやすいき裂進展方程式を得たが，さらに田中のアイデアにより粘弾性体に対応した方程式系を導出した．この粘弾性モデルから得られたき裂進展における粘性の影響と，さらにどのような応用が可能となるかについて述べる．
2018年11月05日(月)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
岡本久 氏 (学習院大学理学部)
Tosio Kato as an applied mathematician (Japanese)
岡本久 氏 (学習院大学理学部)
Tosio Kato as an applied mathematician (Japanese)
[ 講演概要 ]
Tosio Kato (1917-1999) is nowadays considered to be a rigorous analyst or theorist. Many people consider his contributions in quantum mechanics to be epoch-making, his work on nonlinear partial differential equations elegant and inspiring. However, around the time when he visited USA for the first time in 1954, he was studying problems of applied mathematics, too, notably numerical computation of eigenvalues. I wish to shed light on the historical background of his study of applied mathematics. This is a joint work with Prof. Hiroshi Fujita.
Tosio Kato (1917-1999) is nowadays considered to be a rigorous analyst or theorist. Many people consider his contributions in quantum mechanics to be epoch-making, his work on nonlinear partial differential equations elegant and inspiring. However, around the time when he visited USA for the first time in 1954, he was studying problems of applied mathematics, too, notably numerical computation of eigenvalues. I wish to shed light on the historical background of his study of applied mathematics. This is a joint work with Prof. Hiroshi Fujita.
2018年10月22日(月)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
相原研輔 氏 (東京都市大学知識工学部)
短い漸化式を用いるクリロフ部分空間法に対する残差スムージング (Japanese)
相原研輔 氏 (東京都市大学知識工学部)
短い漸化式を用いるクリロフ部分空間法に対する残差スムージング (Japanese)
[ 講演概要 ]
クリロフ部分空間法は，大規模疎行列を係数に持つ連立一次方程式に有効な反復法群である．そのうち，Bi-CG法などの短い漸化式を用いる解法は，反復毎の計算量やメモリ使用量が少なく済むため，計算効率がよいが，生成される残差ノルムは振動する．残差ノルムが大きく振動すると，丸め誤差が拡大され，収束速度の低下や近似解精度の劣化に繋がる．そこで，収束性を改善するための残差スムージングについて取り上げる．古典的な残差スムージングは，残差ノルムの収束振る舞いを滑らかにするものの，丸め誤差の拡大を防ぐ効果はほとんどないことが知られている．一方，最近提案された相互作用型の残差スムージングは，丸め誤差の蓄積を抑制することができ，近似解精度が向上するなどの付加価値がある．本講演では，行列ベクトル積から発生する丸め誤差が収束性に与える影響を考察した上で，新旧の残差スムージングの効果の違いについて議論する．
クリロフ部分空間法は，大規模疎行列を係数に持つ連立一次方程式に有効な反復法群である．そのうち，Bi-CG法などの短い漸化式を用いる解法は，反復毎の計算量やメモリ使用量が少なく済むため，計算効率がよいが，生成される残差ノルムは振動する．残差ノルムが大きく振動すると，丸め誤差が拡大され，収束速度の低下や近似解精度の劣化に繋がる．そこで，収束性を改善するための残差スムージングについて取り上げる．古典的な残差スムージングは，残差ノルムの収束振る舞いを滑らかにするものの，丸め誤差の拡大を防ぐ効果はほとんどないことが知られている．一方，最近提案された相互作用型の残差スムージングは，丸め誤差の蓄積を抑制することができ，近似解精度が向上するなどの付加価値がある．本講演では，行列ベクトル積から発生する丸め誤差が収束性に与える影響を考察した上で，新旧の残差スムージングの効果の違いについて議論する．
2018年10月15日(月)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
長澤壯之 氏 (埼玉大学大学院理工学研究科)
MöbiusエネルギーのMöbius不変な離散化と分解 (Japanese)
長澤壯之 氏 (埼玉大学大学院理工学研究科)
MöbiusエネルギーのMöbius不変な離散化と分解 (Japanese)
[ 講演概要 ]
O'Haraによって提唱された結び目のエネルギーの一つであるMöbiusエネルギーは、Möbius不変性を持つ事がその名前の由来となっている。エネルギーは(少なくとも見かけ上は)特異性を有するエネルギー密度の積分で与えられる事もあり、エネルギー値を手計算で求める事は多くの場合困難である。そのため、結び目を多角形で近似しエネルギー値を近似的に求めるという考えが自然に浮かぶ。そのためには多角形に対するエネルギー(離散エネルギー)が必要である。実際、幾つかの離散エネルギーが提唱されているが、それらは元のエネルギーが有するMöbius不変という性質を失っている。ここでは、Möbius不変性という構造をもった離散エネルギーを提唱し、その収束性を論 じる。また、MöbiusエネルギーはMöbius不変な分解が知られている。提唱する離散エネルギーのMöbius不変分解も与える。本講演は、Simon Blatt (ザルツブルク大学) と石関 彩(千葉大学)との共同研究に基づく。
O'Haraによって提唱された結び目のエネルギーの一つであるMöbiusエネルギーは、Möbius不変性を持つ事がその名前の由来となっている。エネルギーは(少なくとも見かけ上は)特異性を有するエネルギー密度の積分で与えられる事もあり、エネルギー値を手計算で求める事は多くの場合困難である。そのため、結び目を多角形で近似しエネルギー値を近似的に求めるという考えが自然に浮かぶ。そのためには多角形に対するエネルギー(離散エネルギー)が必要である。実際、幾つかの離散エネルギーが提唱されているが、それらは元のエネルギーが有するMöbius不変という性質を失っている。ここでは、Möbius不変性という構造をもった離散エネルギーを提唱し、その収束性を論 じる。また、MöbiusエネルギーはMöbius不変な分解が知られている。提唱する離散エネルギーのMöbius不変分解も与える。本講演は、Simon Blatt (ザルツブルク大学) と石関 彩(千葉大学)との共同研究に基づく。
2018年07月31日(火)
14:00-15:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
Jichun Li 氏 (University of Nevada Las Vegas)
Recent advances on numerical analysis and simulation of invisibility cloaks with metamaterials (English)
Jichun Li 氏 (University of Nevada Las Vegas)
Recent advances on numerical analysis and simulation of invisibility cloaks with metamaterials (English)
[ 講演概要 ]
In the June 23, 2006's issue of Science magazine, Pendry et al. and Leonhardt independently published their seminar papers on electromagnetic cloaking. Since then, there is a growing interest in using metamaterials to design invisibility cloaks. In this talk, I will first give a brief introduction to invisibility cloaks with metamaterials, then I will focus on some time-domain cloaking models we studied in the last few years. Well-posedness study and time-domain finite element method for these models will be presented. I will conclude the talk with some open issues.
In the June 23, 2006's issue of Science magazine, Pendry et al. and Leonhardt independently published their seminar papers on electromagnetic cloaking. Since then, there is a growing interest in using metamaterials to design invisibility cloaks. In this talk, I will first give a brief introduction to invisibility cloaks with metamaterials, then I will focus on some time-domain cloaking models we studied in the last few years. Well-posedness study and time-domain finite element method for these models will be presented. I will conclude the talk with some open issues.
2018年07月26日(木)
16:00-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
柏原崇人 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
滑らかな領域における楕円型・放物型ノイマン境界値問題に対する有限要素法の$L^\infty$誤差評価について (日本語)
柏原崇人 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
滑らかな領域における楕円型・放物型ノイマン境界値問題に対する有限要素法の$L^\infty$誤差評価について (日本語)
[ 講演概要 ]
楕円型および放物型問題に対する$L^\infty$ノルム（最大値ノルム）による汎用的な誤差評価手法の開発については，1970年代のJ.A. Nitsche, A.H. Schatz, L.B. Wahlbinを含む先駆者の研究以来，多くの貢献がなされ，現在では標準的な証明法が確立されたと言える状況にある．一方で，有限要素法で滑らかな領域（曲がった境界を持つ領域）を扱う際は，多角形や多面体領域で近似した上で三角形分割・有限要素空間の導入・定式化を行うのが最も基本的であるが，そのような領域近似（領域摂動）に伴う誤差を考慮した厳密な$L^\infty$誤差解析は，斉次ディリクレ境界条件の場合しか知られていないと思われる．本講演では，ポアソン方程式と熱方程式の非斉次ノイマン問題に対して，領域摂動誤差を考慮した$L^\infty$誤差評価を考察し，$O(h^2 |\log h|)$すなわち領域摂動なしのP1要素の場合と同等の評価が得られたことを報告する．証明の鍵は，汎用的な誤差評価手法において複数回用いられるガラーキン直交性が厳密には成立しなくなるものの，メッシュサイズが0になる極限のもとで漸近的に成り立つことを領域摂動評価を用いて示す点にある．
楕円型および放物型問題に対する$L^\infty$ノルム（最大値ノルム）による汎用的な誤差評価手法の開発については，1970年代のJ.A. Nitsche, A.H. Schatz, L.B. Wahlbinを含む先駆者の研究以来，多くの貢献がなされ，現在では標準的な証明法が確立されたと言える状況にある．一方で，有限要素法で滑らかな領域（曲がった境界を持つ領域）を扱う際は，多角形や多面体領域で近似した上で三角形分割・有限要素空間の導入・定式化を行うのが最も基本的であるが，そのような領域近似（領域摂動）に伴う誤差を考慮した厳密な$L^\infty$誤差解析は，斉次ディリクレ境界条件の場合しか知られていないと思われる．本講演では，ポアソン方程式と熱方程式の非斉次ノイマン問題に対して，領域摂動誤差を考慮した$L^\infty$誤差評価を考察し，$O(h^2 |\log h|)$すなわち領域摂動なしのP1要素の場合と同等の評価が得られたことを報告する．証明の鍵は，汎用的な誤差評価手法において複数回用いられるガラーキン直交性が厳密には成立しなくなるものの，メッシュサイズが0になる極限のもとで漸近的に成り立つことを領域摂動評価を用いて示す点にある．
2018年07月10日(火)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 126号室
松本純一 氏 (産業技術総合研究所)
直交基底気泡関数有限要素法による自由表面流れ
(Japanese)
松本純一 氏 (産業技術総合研究所)
直交基底気泡関数有限要素法による自由表面流れ
(Japanese)
[ 講演概要 ]
非構造格子（三角形と四面体）に適用が可能な直交基底気泡関数要素による有限要素法を用いた2次元浅水流れと3次元気液二相流れについて解説する。2次元浅水流れでは、浅水長波方程式とBoussinesq方程式おける数値安定性を考慮した陽的および陰的有限要素法について説明する。計算例として、浅水長波方程式では風応力を考慮した自由表面問題および河床摩擦を考慮した跳水現象の厳密解との比較、波の分散を考慮したBoussinesq方程式では孤立波の近似解および実験結果と計算結果との比較を示す。3次元気液二相流れでは、界面関数を扱うPhase-FieldモデルとしてAllen-Cahn方程式、Cahn-Hilliard方程式の双方を取り上げ、Navier-Stokes方程式とPhase-Field界面モデルを採用した直交基底気泡関数要素安定化法について解説する。さらに、2次元（2D）浅水流れと3次元（3D）気液二相流れにおける双方向の流れを考慮した結合法について述べ2D-3D連成問題について計算例を示す。
非構造格子（三角形と四面体）に適用が可能な直交基底気泡関数要素による有限要素法を用いた2次元浅水流れと3次元気液二相流れについて解説する。2次元浅水流れでは、浅水長波方程式とBoussinesq方程式おける数値安定性を考慮した陽的および陰的有限要素法について説明する。計算例として、浅水長波方程式では風応力を考慮した自由表面問題および河床摩擦を考慮した跳水現象の厳密解との比較、波の分散を考慮したBoussinesq方程式では孤立波の近似解および実験結果と計算結果との比較を示す。3次元気液二相流れでは、界面関数を扱うPhase-FieldモデルとしてAllen-Cahn方程式、Cahn-Hilliard方程式の双方を取り上げ、Navier-Stokes方程式とPhase-Field界面モデルを採用した直交基底気泡関数要素安定化法について解説する。さらに、2次元（2D）浅水流れと3次元（3D）気液二相流れにおける双方向の流れを考慮した結合法について述べ2D-3D連成問題について計算例を示す。
2018年06月19日(火)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
吉川周二 氏 (大分大学理工学部)
Small data global existence for the semi-discrete scheme of a model system of hyperbolic balance laws (Japanese)
吉川周二 氏 (大分大学理工学部)
Small data global existence for the semi-discrete scheme of a model system of hyperbolic balance laws (Japanese)
[ 講演概要 ]
エネルギー法の差分解法への応用を意識し, 準線形の双曲型保存則系のあるモデルシステムを例に挙げて, この問題の時間に関して中点則で離散化した半離散解法の時間大域解の存在について議論したい. オリジナルの問題は, Racke(1992)や松村--西原(2004)のテキストで紹介されたエネルギー法によって, 初期値が小さいという仮定の下でアプリオリ評価が得られ, 時間大域解の存在を証明できる. 本発表では, 上記の半離散解法もオリジナルの連続問題と同様にして時間大域解の存在を示すことが可能であることについて紹介したい. また誤差評価もこのエネルギー構造を利用して示すことができることも時間があれば触れる. 本研究は川島秀一氏(早稲田大学)との共同研究に基づく.
エネルギー法の差分解法への応用を意識し, 準線形の双曲型保存則系のあるモデルシステムを例に挙げて, この問題の時間に関して中点則で離散化した半離散解法の時間大域解の存在について議論したい. オリジナルの問題は, Racke(1992)や松村--西原(2004)のテキストで紹介されたエネルギー法によって, 初期値が小さいという仮定の下でアプリオリ評価が得られ, 時間大域解の存在を証明できる. 本発表では, 上記の半離散解法もオリジナルの連続問題と同様にして時間大域解の存在を示すことが可能であることについて紹介したい. また誤差評価もこのエネルギー構造を利用して示すことができることも時間があれば触れる. 本研究は川島秀一氏(早稲田大学)との共同研究に基づく.
2018年05月31日(木)
16:30-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
Olivier Pironneau 氏 (Sorbonne University and Academy of Sciences)
Parallel Computing Methods for Quantitative Finance: the Parareal Algorithm for American Options (English)
Olivier Pironneau 氏 (Sorbonne University and Academy of Sciences)
Parallel Computing Methods for Quantitative Finance: the Parareal Algorithm for American Options (English)
[ 講演概要 ]
With parallelism in mind we investigate the parareal method for American contracts both theoretically and numerically. Least-Square Monte-Carlo (LSMC) and parareal time decomposition with two or more levels are used, leading to an efficient parallel implementation which scales linearly with the number of processors and is appropriate to any multiprocessor-memory architecture in its multilevel version. We prove $L^2$ superlinear convergence for an LSMC backward in time computation of American contracts, when the conditional expectations are known, i.e. before Monte-Carlo discretization. In all cases the computing time is increased only by a constant factor, compared to the sequential algorithm on the finest grid, and speed-up is guaranteed when the number of processors is larger than that constant. A numerical implementation will be shown to confirm the theoretical error estimates.
With parallelism in mind we investigate the parareal method for American contracts both theoretically and numerically. Least-Square Monte-Carlo (LSMC) and parareal time decomposition with two or more levels are used, leading to an efficient parallel implementation which scales linearly with the number of processors and is appropriate to any multiprocessor-memory architecture in its multilevel version. We prove $L^2$ superlinear convergence for an LSMC backward in time computation of American contracts, when the conditional expectations are known, i.e. before Monte-Carlo discretization. In all cases the computing time is increased only by a constant factor, compared to the sequential algorithm on the finest grid, and speed-up is guaranteed when the number of processors is larger than that constant. A numerical implementation will be shown to confirm the theoretical error estimates.
2018年05月08日(火)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
齊藤宣一 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
数値解析の諸相 (Japanese)
齊藤宣一 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
数値解析の諸相 (Japanese)
[ 講演概要 ]
本講演の前半では，さまざまな反例を検討することで，数値計算手法の収束性の研究の重要性を再確認したい．とくに，偏微分方程式の数値解析においては，解の正則性，特異性，様々な摂動に対する安定性に正面から取り組むことが必須になる．具体的には，正則性の欠如や領域の近似が原因で，近似解の収束が任意に遅くなったり，意図しない問題を正しく解いてしまうことがありうることを紹介する．後半は，数学を専門とする学生・院生に対する数値解析の教育（やユーザーへの啓蒙）について，講演者自身の反省を述べたい．
多くの皆様のご協力のおかげで，本セミナーは100回目を迎えることができました． 第100回目は一つの総括の意味を込めて，主催者の一人による初歩的あるいは総括的講演を，あまり形式張らずに行いたいと思います．参加者の方々と議論ができれば幸いです．
本講演の前半では，さまざまな反例を検討することで，数値計算手法の収束性の研究の重要性を再確認したい．とくに，偏微分方程式の数値解析においては，解の正則性，特異性，様々な摂動に対する安定性に正面から取り組むことが必須になる．具体的には，正則性の欠如や領域の近似が原因で，近似解の収束が任意に遅くなったり，意図しない問題を正しく解いてしまうことがありうることを紹介する．後半は，数学を専門とする学生・院生に対する数値解析の教育（やユーザーへの啓蒙）について，講演者自身の反省を述べたい．
多くの皆様のご協力のおかげで，本セミナーは100回目を迎えることができました． 第100回目は一つの総括の意味を込めて，主催者の一人による初歩的あるいは総括的講演を，あまり形式張らずに行いたいと思います．参加者の方々と議論ができれば幸いです．
2018年04月17日(火)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
杉谷宜紀 氏 (東北大学AIMR)
機械学習とその医療分野への応用 (Japanese)
杉谷宜紀 氏 (東北大学AIMR)
機械学習とその医療分野への応用 (Japanese)
[ 講演概要 ]
計算機の進化に伴う深層学習の実現により, 機械学習は現在あらゆる分野で応用され一定の成功を成功を収めているが, 未だに数学的に分かっていない事も多いのが現状である. 機械学習における学習とは, 教師データを使って定義される非線形損失関数の最小化問題を数値的に解く事と言い換えられるが, その際に未知データに対する汎化能力を獲得する為に様々な工夫がなされる. 本講演では主に深層学習の基礎となっているニューラルネットワークについて, その仕組みと背景にあるベイズ統計的解釈について説明する. Pythonでの機械学習用ライブラリKerasを使ったプログラミングについても簡単に紹介する. また, 現在取り組んでいる医療分野への応用としてデータ分布に偏りのある場合の効率的な学習方法について考察する.
計算機の進化に伴う深層学習の実現により, 機械学習は現在あらゆる分野で応用され一定の成功を成功を収めているが, 未だに数学的に分かっていない事も多いのが現状である. 機械学習における学習とは, 教師データを使って定義される非線形損失関数の最小化問題を数値的に解く事と言い換えられるが, その際に未知データに対する汎化能力を獲得する為に様々な工夫がなされる. 本講演では主に深層学習の基礎となっているニューラルネットワークについて, その仕組みと背景にあるベイズ統計的解釈について説明する. Pythonでの機械学習用ライブラリKerasを使ったプログラミングについても簡単に紹介する. また, 現在取り組んでいる医療分野への応用としてデータ分布に偏りのある場合の効率的な学習方法について考察する.
2018年02月19日(月)
15:00-16:00 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
Michael Plum 氏 (Karlsruhe Insitute of Technology)
Existence, multiplicity, and orbital stability for travelling waves in a nonlinearly supported beam (English)
Michael Plum 氏 (Karlsruhe Insitute of Technology)
Existence, multiplicity, and orbital stability for travelling waves in a nonlinearly supported beam (English)
[ 講演概要 ]
For a nonlinear beam equation with exponential nonlinearity, we prove existence of at least 36 travelling wave solutions for the specific wave speed c=1.3. Our proof makes heavy use of computer assistance: starting from numerical approximations, we use a fixed point argument to prove existence of solutions "close to" the approximate ones. Furthermore we investigate the orbital stability of these solutions by making use of both analytical and computer-assisted techniques.
For a nonlinear beam equation with exponential nonlinearity, we prove existence of at least 36 travelling wave solutions for the specific wave speed c=1.3. Our proof makes heavy use of computer assistance: starting from numerical approximations, we use a fixed point argument to prove existence of solutions "close to" the approximate ones. Furthermore we investigate the orbital stability of these solutions by making use of both analytical and computer-assisted techniques.
2018年02月19日(月)
16:15-17:15 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
長藤かおり 氏 (Karlsruhe Insitute of Technology)
An approach to computer-assisted existence proofs for nonlinear space-time fractional parabolic problems (English)
長藤かおり 氏 (Karlsruhe Insitute of Technology)
An approach to computer-assisted existence proofs for nonlinear space-time fractional parabolic problems (English)
[ 講演概要 ]
We consider an initial boundary value problem for a space-time fractional parabolic equation, which includes the fractional Laplacian, i.e. a nonlocal operator. We treat a corresponding local problem which is obtained by the Caffarelli-Silvestre extension technique, and show how to enclose a solution of the extended problem by computer-assisted means.
We consider an initial boundary value problem for a space-time fractional parabolic equation, which includes the fractional Laplacian, i.e. a nonlocal operator. We treat a corresponding local problem which is obtained by the Caffarelli-Silvestre extension technique, and show how to enclose a solution of the extended problem by computer-assisted means.
2017年12月19日(火)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 128号室
三浦達彦 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
Finite volume scheme for the Hamilton-Jacobi equation on an evolving surface (Japanese)
三浦達彦 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
Finite volume scheme for the Hamilton-Jacobi equation on an evolving surface (Japanese)
[ 講演概要 ]
In this talk we consider the first-order Hamilton-Jacobi equation on a given closed evolving surface embedded into the three-dimensional Euclidean space, which describes the motion of a closed curve on the evolving surface. Our aim is to give a numerical scheme and establish its convergence and an error estimate between numerical and viscosity solutions.
Based on a finite volume scheme for the Hamilton-Jacobi equation on a flat domain introduced by Kim and Li (J. Comput. Math., 2015), we construct a numerical scheme on triangulated surfaces and prove its monotonicity and consistency without assuming that the triangulation is acute. Then applying these results we show the convergence of a numerical solution to a viscosity solution and an error estimate of the same order as in the case of a flat stationary domain.
This talk is based on a joint work with Prof. Klaus Deckelnick (Otto von Guericke University Magdeburg) and Prof. Charles M. Elliott (University of Warwick).
In this talk we consider the first-order Hamilton-Jacobi equation on a given closed evolving surface embedded into the three-dimensional Euclidean space, which describes the motion of a closed curve on the evolving surface. Our aim is to give a numerical scheme and establish its convergence and an error estimate between numerical and viscosity solutions.
Based on a finite volume scheme for the Hamilton-Jacobi equation on a flat domain introduced by Kim and Li (J. Comput. Math., 2015), we construct a numerical scheme on triangulated surfaces and prove its monotonicity and consistency without assuming that the triangulation is acute. Then applying these results we show the convergence of a numerical solution to a viscosity solution and an error estimate of the same order as in the case of a flat stationary domain.
This talk is based on a joint work with Prof. Klaus Deckelnick (Otto von Guericke University Magdeburg) and Prof. Charles M. Elliott (University of Warwick).
2017年11月28日(火)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 117号室
小山大介 氏 (電気通信大学大学院情報理工学研究科)
Hybrid discontinuous Galerkin methods for nearly incompressible elasticity problems
(Japanese)
小山大介 氏 (電気通信大学大学院情報理工学研究科)
Hybrid discontinuous Galerkin methods for nearly incompressible elasticity problems
(Japanese)
[ 講演概要 ]
A Hybrid discontinuous Galerkin (HDG) method for linear elasticity problems has been introduced by Kikuchi et al. [Theor. Appl. Mech. Japan, vol.57, 395--404 (2009)], [RIMS Kokyuroku, vol.1971, 28--46 (2015)]. We consider to seek numerical solutions of the plane strain problem by the HDG method, especially in the case when materials are nearly incompressible, that is, when the first Lam\'e parameter $\lambda$ is large. In this talk, we consider two cases when the HDG method uses a lifting term and does not use it. When the lifting term is used, the method can be free of volumetric locking. On the other hand, when the lifting term is not used, we have to take an interior penalty parameter of order $\lambda$ as $\lambda$ tends to infinity, in order to guarantee the coercivity of the bilinear form. Taking such an interior penalty parameter causes volumetric locking phenomena. We thus conclude that the lifting term is essential for avoiding the volumetric locking in the HDG method.
A Hybrid discontinuous Galerkin (HDG) method for linear elasticity problems has been introduced by Kikuchi et al. [Theor. Appl. Mech. Japan, vol.57, 395--404 (2009)], [RIMS Kokyuroku, vol.1971, 28--46 (2015)]. We consider to seek numerical solutions of the plane strain problem by the HDG method, especially in the case when materials are nearly incompressible, that is, when the first Lam\'e parameter $\lambda$ is large. In this talk, we consider two cases when the HDG method uses a lifting term and does not use it. When the lifting term is used, the method can be free of volumetric locking. On the other hand, when the lifting term is not used, we have to take an interior penalty parameter of order $\lambda$ as $\lambda$ tends to infinity, in order to guarantee the coercivity of the bilinear form. Taking such an interior penalty parameter causes volumetric locking phenomena. We thus conclude that the lifting term is essential for avoiding the volumetric locking in the HDG method.
2017年11月14日(火)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
石川歩惟 氏 (神戸大学大学院システム情報学研究科)
変分原理に基づくエネルギー保存数値解法と無制約最適化問題への応用 (Japanese)
石川歩惟 氏 (神戸大学大学院システム情報学研究科)
変分原理に基づくエネルギー保存数値解法と無制約最適化問題への応用 (Japanese)
[ 講演概要 ]
構造保存型数値解法は, 方程式のもつ力学的構造に着目し, その力学的性質を保つようにしてスキームを設計する数値計算法である. 特に, エネルギー保存則を厳密に保つような数値解法はエネルギー保存数値解法と呼ばれ, 離散勾配法などが知られている. 離散勾配法とは, 勾配の性質を引き継ぐよう定義された離散勾配と呼ばれるものをスキームに用いる方法で, この方法によるスキームは安定性に優れたものとなることが多い. その一方, 多くの場合に陰的になり, また, 解析力学における基本原理である変分原理との対応も明らかではない. また, 離散勾配自体の導出も, 容易でない場合もある.
そこで, 我々は, 離散勾配法の枠組みに変分原理を取り入れたエネルギー保存数値解法を提案してきた. 本講演では, この手法について紹介したのち, 変分原理を活かしたエネルギー散逸系に対する方法への拡張方法について述べる. また, これと離散勾配を自動的に導出する自動離散微分という方法を組み合わせ, 無制約最適化問題の近似解法を設計する. 最後に, 最近の話題として, Lie群上でのスキーム設計手法についても述べる.
構造保存型数値解法は, 方程式のもつ力学的構造に着目し, その力学的性質を保つようにしてスキームを設計する数値計算法である. 特に, エネルギー保存則を厳密に保つような数値解法はエネルギー保存数値解法と呼ばれ, 離散勾配法などが知られている. 離散勾配法とは, 勾配の性質を引き継ぐよう定義された離散勾配と呼ばれるものをスキームに用いる方法で, この方法によるスキームは安定性に優れたものとなることが多い. その一方, 多くの場合に陰的になり, また, 解析力学における基本原理である変分原理との対応も明らかではない. また, 離散勾配自体の導出も, 容易でない場合もある.
そこで, 我々は, 離散勾配法の枠組みに変分原理を取り入れたエネルギー保存数値解法を提案してきた. 本講演では, この手法について紹介したのち, 変分原理を活かしたエネルギー散逸系に対する方法への拡張方法について述べる. また, これと離散勾配を自動的に導出する自動離散微分という方法を組み合わせ, 無制約最適化問題の近似解法を設計する. 最後に, 最近の話題として, Lie群上でのスキーム設計手法についても述べる.
2017年10月23日(月)
16:00-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 056号室
通常と曜日と教室が異なっております。ご注意ください。
Christian Klingenberg 氏 (Wuerzburg University, Germany)
On the numerical discretization of the Euler equations with a gravitational force and applications in astrophysics (English)
通常と曜日と教室が異なっております。ご注意ください。
Christian Klingenberg 氏 (Wuerzburg University, Germany)
On the numerical discretization of the Euler equations with a gravitational force and applications in astrophysics (English)
[ 講演概要 ]
We consider astrophysical systems that are modeled by the multidimensional Euler equations with gravity.
First for the homogeneous Euler equations we look at flow in the low Mach number regime. Here for conventional finite volume discretizations one has excessive dissipation in this regime. We identify inconsistent scaling for low Mach numbers of the numerical fux function as the origin of this problem. Based on the Roe solver a technique that allows to correctly represent low Mach number flows with a discretization of the compressible Euler equations is proposed. We analyze properties of this scheme and demonstrate that its limit yields a discretization of the incompressible limit system.
Next for the Euler equations with gravity we seek well-balanced methods. We describe a numerical discretization of the compressible Euler equations with a gravitational potential. A pertinent feature of the solutions to these inhomogeneous equations is the special case of stationary solutions with zero velocity, described by a nonlinear PDE, whose solutions are called hydrostatic equilibria. We present well-balanced methods, for which we can ensure robustness, accuracy and stability, since it satisfies discrete entropy inequalities.
We will then present work in progress where we combine the two methods above.
We consider astrophysical systems that are modeled by the multidimensional Euler equations with gravity.
First for the homogeneous Euler equations we look at flow in the low Mach number regime. Here for conventional finite volume discretizations one has excessive dissipation in this regime. We identify inconsistent scaling for low Mach numbers of the numerical fux function as the origin of this problem. Based on the Roe solver a technique that allows to correctly represent low Mach number flows with a discretization of the compressible Euler equations is proposed. We analyze properties of this scheme and demonstrate that its limit yields a discretization of the incompressible limit system.
Next for the Euler equations with gravity we seek well-balanced methods. We describe a numerical discretization of the compressible Euler equations with a gravitational potential. A pertinent feature of the solutions to these inhomogeneous equations is the special case of stationary solutions with zero velocity, described by a nonlinear PDE, whose solutions are called hydrostatic equilibria. We present well-balanced methods, for which we can ensure robustness, accuracy and stability, since it satisfies discrete entropy inequalities.
We will then present work in progress where we combine the two methods above.
2017年10月10日(火)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
中野張 氏 (東京工業大学大学院情報理工学院)
線形・非線形放物型偏微分方程式に対するメッシュフリー選点法
中野張 氏 (東京工業大学大学院情報理工学院)
線形・非線形放物型偏微分方程式に対するメッシュフリー選点法
[ 講演概要 ]
一般に，後退確率微分方程式や確率最適制御の解は非線形放物型偏微分方程式により記述される．これらの非線形偏微分方程式の多くに対しては，滑らかさが期待できないため古典解ではなく粘性解の枠組みが採用される．よって応用のためは，解くべき偏微分方程式の粘性解に収束し，かつ多次元の問題に適用可能な数値解法が必要とされるが，既存手法の中には未だ決定的なものは存在しない状況である．
本講演では，上述の問題を解決するためにメッシュフリー選点法の適用を提案し，最近の研究成果について報告する．この目的のため，(1) 種々の確率論的問題と放物型偏微分方程式の関係の概説，(2) 粘性解の紹介，(3) 既存数値解法の紹介，(4) 動径基底関数による補間理論の紹介，(5) メッシュフリー選点法の導出，(6) 収束証明に関する結果の紹介，
という流れで話を進める．
また，フィルタリング問題に現れる線形確率偏微分方程式を対象に，メッシュフリー選点法の収束が保証される動径基底関数やグリッド点の具体例について報告する．
一般に，後退確率微分方程式や確率最適制御の解は非線形放物型偏微分方程式により記述される．これらの非線形偏微分方程式の多くに対しては，滑らかさが期待できないため古典解ではなく粘性解の枠組みが採用される．よって応用のためは，解くべき偏微分方程式の粘性解に収束し，かつ多次元の問題に適用可能な数値解法が必要とされるが，既存手法の中には未だ決定的なものは存在しない状況である．
本講演では，上述の問題を解決するためにメッシュフリー選点法の適用を提案し，最近の研究成果について報告する．この目的のため，(1) 種々の確率論的問題と放物型偏微分方程式の関係の概説，(2) 粘性解の紹介，(3) 既存数値解法の紹介，(4) 動径基底関数による補間理論の紹介，(5) メッシュフリー選点法の導出，(6) 収束証明に関する結果の紹介，
という流れで話を進める．
また，フィルタリング問題に現れる線形確率偏微分方程式を対象に，メッシュフリー選点法の収束が保証される動径基底関数やグリッド点の具体例について報告する．
2017年07月04日(火)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
Ming-Cheng Shiue 氏 (National Chiao Tung University)
Boundary conditions for Limited-Area Models (English)
Ming-Cheng Shiue 氏 (National Chiao Tung University)
Boundary conditions for Limited-Area Models (English)
[ 講演概要 ]
The problem of boundary conditions in a limited domain is recognized an important problem in geophysical fluid dynamics. This is due to that boundary conditions are proposed to have high resolution over a region of interest. The challenges for proposing later boundary conditions are of two types: on the computational side, if the proposed boundary conditions are not appropriate, it is well-known that the error from the lateral boundary can propagate into the computational domain and make a major effect on the numerical solution; on the mathematical side, the negative result of Oliger and Sundstrom that these equations including the inviscid primitive equations and shallow water equations in the multilayer case are not well-posed for any set of local boundary conditions.
In this talk, three-dimensional inviscid primitive equations and (one-layer and two-layer) shallow water equations which have been used in the limited-area numerical weather prediction modelings are considered. Our goals of this work are two folds: one is to propose boundary conditions which are physically suitable. That is, they let waves move freely out of the domain without producing spurious waves; the other is to numerically implement these boundary conditions by proposing suitable numerical methods. Numerical experiments are presented to demonstrate that these proposed boundary conditions and numerical schemes are suitable.
The problem of boundary conditions in a limited domain is recognized an important problem in geophysical fluid dynamics. This is due to that boundary conditions are proposed to have high resolution over a region of interest. The challenges for proposing later boundary conditions are of two types: on the computational side, if the proposed boundary conditions are not appropriate, it is well-known that the error from the lateral boundary can propagate into the computational domain and make a major effect on the numerical solution; on the mathematical side, the negative result of Oliger and Sundstrom that these equations including the inviscid primitive equations and shallow water equations in the multilayer case are not well-posed for any set of local boundary conditions.
In this talk, three-dimensional inviscid primitive equations and (one-layer and two-layer) shallow water equations which have been used in the limited-area numerical weather prediction modelings are considered. Our goals of this work are two folds: one is to propose boundary conditions which are physically suitable. That is, they let waves move freely out of the domain without producing spurious waves; the other is to numerically implement these boundary conditions by proposing suitable numerical methods. Numerical experiments are presented to demonstrate that these proposed boundary conditions and numerical schemes are suitable.
2017年06月13日(火)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
野津裕史 氏 (金沢大学理工研究域)
Numerical analysis of viscoelastic fluid models (Japanese)
野津裕史 氏 (金沢大学理工研究域)
Numerical analysis of viscoelastic fluid models (Japanese)
[ 講演概要 ]
Numerical methods for viscoelastic fluid models are studied. In viscoelastic fluid models the stress tensor is often written as a sum of the viscous stress tensor depending linearly on the strain rate tensor and the extra stress tensor for the viscoelastic contribution. In order to describe the viscoelastic contribution another equation for the extra stress tensor is required. In the talk we mainly deal with the Oldroyd-B and the Peterlin models among several proposed viscoelastic fluid models, and present error estimates of finite element schemes based on the method of characteristics. The key issue in the estimates is the treatment of the divergence of the extra stress tensor appearing in the equation for the velocity and the pressure.
Numerical methods for viscoelastic fluid models are studied. In viscoelastic fluid models the stress tensor is often written as a sum of the viscous stress tensor depending linearly on the strain rate tensor and the extra stress tensor for the viscoelastic contribution. In order to describe the viscoelastic contribution another equation for the extra stress tensor is required. In the talk we mainly deal with the Oldroyd-B and the Peterlin models among several proposed viscoelastic fluid models, and present error estimates of finite element schemes based on the method of characteristics. The key issue in the estimates is the treatment of the divergence of the extra stress tensor appearing in the equation for the velocity and the pressure.
2017年04月25日(火)
16:50-18:20 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
榊原航也 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
基本解近似解法の理論と応用 (日本語)
榊原航也 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
基本解近似解法の理論と応用 (日本語)
[ 講演概要 ]
基本解近似解法 (Method of Fundamental Solutions, MFS) は，線型同次偏微分方程式に対するメッシュフリー数値解法である．MFSのアイディアは非常に単純であり，特異点が考えている領域の外部にある，偏微分作用素の基本解の線型結合により近似解を与え，線型結合の係数は選点法(collocation method)により決定する．つまり，差分法や有限要素法とは異なって，領域のメッシュ分割が不要であり（点を配置するだけである），プログラミングも容易である．さらに，特筆すべき性質として，ある条件下では，近似誤差が点の数に関して指数的に減衰することが知られている（通常の差分法や有限要素法では，近似誤差は多項式オーダーで減衰する）．一方で，"どのような点配置の下で誤差は指数減衰するか"，という問いに対する決定的な回答は未だに与えられておらず，MFSの理論研究における最も大きな未解決問題であると言ってよい．このように，MFSに対する数学的理論整備はまだまだ発展途上であるが，数値計算の観点からの研究は非常に豊富に行われており，様々な方程式に対して有効と思われる数値計算アルゴリズムが提案されてきた．
本講演では，MFSに関連して，以下のトピックを取り上げる．
（1）MFSの数学理論：今までに築き上げられきた，MFSの数学解析の結果を簡単にサーベイし，本講演者により発展した理論の解説を行う．特に，2次元のポテンシャル問題に対して，複素解析を用いた議論が非常に有効であることを示し，そこから重調和問題に理論を展開する．また，物理的観点から重要である，解の不変性について，ある統一的な手法により，非常に多くの問題に対して，MFSの不変スキームを構築できることを示す．
（2）MFSの応用：ポテンシャル問題を解くことに帰着される様々な問題に対して，高精度な数値計算アルゴリズムを構築する．特に，Hele-Shaw問題（2次元移動境界問題の1つ）に対する構造保存型数値解法の設計について解説する．さらに，最近取り組んでいる問題についても簡単に触れる予定である．
基本解近似解法 (Method of Fundamental Solutions, MFS) は，線型同次偏微分方程式に対するメッシュフリー数値解法である．MFSのアイディアは非常に単純であり，特異点が考えている領域の外部にある，偏微分作用素の基本解の線型結合により近似解を与え，線型結合の係数は選点法(collocation method)により決定する．つまり，差分法や有限要素法とは異なって，領域のメッシュ分割が不要であり（点を配置するだけである），プログラミングも容易である．さらに，特筆すべき性質として，ある条件下では，近似誤差が点の数に関して指数的に減衰することが知られている（通常の差分法や有限要素法では，近似誤差は多項式オーダーで減衰する）．一方で，"どのような点配置の下で誤差は指数減衰するか"，という問いに対する決定的な回答は未だに与えられておらず，MFSの理論研究における最も大きな未解決問題であると言ってよい．このように，MFSに対する数学的理論整備はまだまだ発展途上であるが，数値計算の観点からの研究は非常に豊富に行われており，様々な方程式に対して有効と思われる数値計算アルゴリズムが提案されてきた．
本講演では，MFSに関連して，以下のトピックを取り上げる．
（1）MFSの数学理論：今までに築き上げられきた，MFSの数学解析の結果を簡単にサーベイし，本講演者により発展した理論の解説を行う．特に，2次元のポテンシャル問題に対して，複素解析を用いた議論が非常に有効であることを示し，そこから重調和問題に理論を展開する．また，物理的観点から重要である，解の不変性について，ある統一的な手法により，非常に多くの問題に対して，MFSの不変スキームを構築できることを示す．
（2）MFSの応用：ポテンシャル問題を解くことに帰着される様々な問題に対して，高精度な数値計算アルゴリズムを構築する．特に，Hele-Shaw問題（2次元移動境界問題の1つ）に対する構造保存型数値解法の設計について解説する．さらに，最近取り組んでいる問題についても簡単に触れる予定である．
