Lie群論・表現論セミナー

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開催情報 火曜日 16:30~18:00 数理科学研究科棟(駒場) 126号室
担当者 小林俊行
セミナーURL https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~toshi/seminar/ut-seminar.html

過去の記録

2021年10月26日(火)

17:00-18:00   数理科学研究科棟(駒場) online号室
北川宜稔 氏 (早稲田大学)
g-加群の一様有界族の分岐則への応用 (Japanese)
[ 講演概要 ]
arXiv:2109.05556 において導入された g-加群の一様有界族を用いることで、いくつかの分岐則や誘導表現の重複度の有限性と一様有界性を示すことができる。
それらの結果を簡単に紹介した後、 arXiv:2109.05555 で与えられた実簡約リー群の分岐則の場合の重複度の一様有界性の必要十分条件がどのように得られるかを解説する。

2021年10月19日(火)

17:00-18:00   数理科学研究科棟(駒場) online号室
田森宥好 氏 (北海道大学)
A型の極小表現の類似の分類
(Japanese)
[ 講演概要 ]
A型でない単純Lie環$\mathfrak{g}$の普遍包絡環は,随伴多様体が極小冪零軌道の閉包と一致する完全素イデアル(Josephイデアル)をただ一つ持つ.単純Lie群の既約認容表現が極小表現であるとは,微分表現の零化イデアルがJosephイデアルとなることをいう.

極小表現は簡単なK-type分解を持ち,複素共役を除いて高々2つしか存在しないことが知られている.
以上の一連の事実の,A型の単純Lie群(Lie環)に対する類似をお話しする.

2021年10月05日(火)

17:00-18:00   数理科学研究科棟(駒場) Online号室
小林俊行 氏 (東大数理)
"小さな”無限次元表現の分岐則における有界重複度定理
(Japanese)
[ 講演概要 ]
実簡約リー群の”小さな”無限次元表現の族に対して、部分群への分岐則の重複度がいつ有界になるか、に関する幾何的な判定条件を説明する。

この幾何的な必要十分条件を G/HとG/G’が共に簡約対称空間の場合に適用し、H-distinguished なGの任意の既約表現が、部分群G’の表現として有界重複性をもつための3つ組 H ⊂ G ⊃ G' を完全に分類することができる
([Adv. Math. 2021, 7節]、arXiv:2109.14424)。

これらの結果について、できるだけわかりやすく解説する予定である。

2021年07月28日(水)

17:00-18:00   数理科学研究科棟(駒場) Online号室
大島芳樹 氏 (大阪大学大学院情報科学研究科)
Ricci 平坦計量の崩壊と Monge-Ampere 方程式の解のアプリオリ評価 (Japanese)
[ 講演概要 ]
YauはMonge-Ampere方程式の解のアプリオリ評価を行ってCalabi予想を証明した.近年ファイバー空間の構造を持つCalabi-Yau多様体について,底空間のKahler類に崩壊するようなRicci平坦Kahler計量の振舞がGross-Tosatti-Zhang等により研究されている.尾髙悠志との共同研究(arXiv:1810.07685)で得られたK3曲面の球面へのGromov-Hausdorff収束も,これらのMonge-Ampere方程式の解の評価に基づいている.この講演では,微分方程式の解の評価がどのように自然な計量の存在やGromov-Hausdorff収束を導くかをお話ししたい.

2021年07月20日(火)

17:00-18:00   数理科学研究科棟(駒場) Online号室
田森宥好 氏 (北海道大学)
零でない線形周期の存在の必要条件 (Japanese)
[ 講演概要 ]
$(G,H)$を対称対$(\mathrm{GL}(n,\mathbb{H}),\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})),(\mathrm{GL}(2n,\mathbb{R}),\mathrm{GL}(n,\mathbb{C}))$とする.この時,$G$の滑らかで緩増加な既約認容Fr\'{e}chet表現$\pi$の $H$-線形周期の空間の次元は$1$以下であることがBroussous-Matringeにより知られている.$G$の旗多様体の各$H$-軌道が主系列表現のホモロジーに与える影響を考えることで,$\pi$の零でない$H$-線形周期が存在する必要条件を紹介する.これはアルキメデス局所体の場合のPrasadとTakloo-Bighashの予想を与える.鈴木美裕氏(金沢大学)との共同研究に基づく.

2021年07月13日(火)

17:00-18:00   数理科学研究科棟(駒場) Online号室
大島芳樹 氏 (大阪大学大学院情報科学研究科)
局所対称空間のコンパクト化と自然なKahler計量の崩壊 (Japanese)
[ 講演概要 ]
Abel多様体やK3曲面のモジュライは局所対称空間の構造をもつことが知られている.1960年頃に,局所対称空間の複数のコンパクト化が佐武一郎により構成された.この講演では尾髙悠志との共同研究(arXiv:1810.07685)に基づき,ある佐武コンパクト化がAbel多様体やK3曲面に定まる自然な(Ricci平坦な)Kahler計量の極限をパラメトライズするということを紹介する.

2021年07月06日(火)

17:00-18:00   数理科学研究科棟(駒場) Online号室
田内大渡 氏 (九州大学マス・フォア・インダストリ研究所)
Casselman の部分表現定理に関するQシリーズ類似の反例について (Japanese)
[ 講演概要 ]
Gを実簡約群、Qをその放物型部分群とする。Gの既約許容表現のうち、Qから誘導された退化主系列表現の部分商表現として実現できるものを、Qシリーズに属する表現と呼ぶことにする。このときPをGの極小放物型部分群として、Harish-Chandraの部分商表現定理により、Gの任意の既約許容表現はPシリーズに属することがわかる。一方Casselmanの部分表現定理によれば、より強く任意の既約許容表現、つまり任意のPシリーズに属する表現は、Pから誘導された主系列表現の部分表現として実現される。この講演では、この部分表現定理のQシリーズ類似、すなわち「任意のQシリーズに属する表現はQから誘導された退化主系列表現の部分表現として実現できる」という主張の反例についてお話しする。

2021年06月29日(火)

17:00-18:00   数理科学研究科棟(駒場) Online号室
藤原英徳 氏 (近畿大学名誉教授)
冪零リー群に対する多項式予想について (Japanese)
[ 講演概要 ]
G = exp g をリー環 g をもつ連結・単連結な冪零リー群とし、H = exp h をリー環 h をもつ G の解析部分群、χ を H のユニタリ指標とし、G の単項表現 τ = ind_H^G χ を考える。このとき、τ の既約分解における重複度は一様に有界であるかまたは一様に ∞ に等しいことが知られている。前者の場合 τ は有限重複度をもつという。
さて、データ (H,χ) に伴う G/H 上の直線束に作用する G-不変微分作用素の環を D_τ(G/H) で表す。τ が有限重複度をもつことと D_τ(G/H) が可換であることは同値である。1992 年 Corwin-Greenleaf は次の多項式予想を提出した:
τ が有限重複度をもつとき、環 D_τ(G/H) は Γ_τ 上の H-不変多項式環C[Γ_τ]^H と同型であろう。ここでΓ_τ はg の双対ベクトル空間の元で h への制限が -√-1 dχ を満たすものがなすアファイン部分空間である。
群の表現論において2つの操作,誘導と制限,の間にはある種の双対性があることが良く知られている。そこで表現の制限についても多項式予想を考えてみよう。G をこれまで通り連結・単連結な冪零リー群、π をその既約ユニタリ表現とする。K を G の解析部分群とし π の K への制限 π|_K を考える。今回もまた π|_K の既約分解における重複度は一様に有界であるかまたは一様に ∞ に等しいことが知られている。前者の場合 π|_K は有限重複度をもつといい、我々はこれを仮定しよう。G のリー環 g の複素化の包絡環を U(g) とし、不変微分作用素環 (U((g)/ker π)^Kを考える。つまり K-不変な元の全体である。すると、π| Kが有限重複度をもつことと (U((g)/ker π)^K が可換環であることは同値である。このとき環 (U((g)/ker π)^K は Ω(π) 上の K-不変多項式環 C[Ω(π)]^K と同型であろうか? ここで Ω(π) は π に対応する G の余随伴軌道である。
我々はこれら 2 つの多項式予想を証明したい。

2021年06月22日(火)

17:00-18:00   数理科学研究科棟(駒場) Online号室
森田陽介 氏 (京都大学大学院理学研究科)
非簡約な部分群の Cartan 射影とコンパクト Clifford-Klein 形の存在問題 (Japanese)
[ 講演概要 ]
G を簡約 Lie 群、H を G の閉部分群、Γ を G の離散部分群とする。小林-Benoistの判定法によれば、Γ の G/H への作用の固有性は、H と Γ の Cartan 射影によって決定される。非簡約な部分群の Cartan 射影は大抵計算が困難だが、中には具体的に計算可能な例もある。そうした部分群を利用して、コンパクトな Clifford-Klein 形を持たない簡約型等質空間の例が得られることを紹介する。

2021年06月15日(火)

17:00-18:00   数理科学研究科棟(駒場) Online号室
小林俊行 氏 (東大数理)
極限代数と緩増加表現 (Japanese)
[ 講演概要 ]
次の4つの(見かけ上は無関係な)4つのトピックについての新しい関係について話す予定です。

1.(解析) 等質空間上のユニタリ表現が緩増加
2.(組合せ論) 凸多面体
3.(トポロジー)極限代数 
4.(シンプレクティック幾何学)余随伴軌道の幾何学的量子化

2021年06月08日(火)

17:00-18:00   数理科学研究科棟(駒場) Online号室
甘中 一輝 氏 (理化学研究所 数理創造プログラム)
3次元コンパクト反ド・ジッター多様体の安定固有値の重複度
(Japanese)
[ 講演概要 ]
擬リーマン局所対称空間とは
半単純対称空間$G/H$の不連続群$\Gamma$による商多様体$\Gamma\backslash G/H$の事である。
小林俊行は擬リーマン局所対称空間の(ラプラシアンのような)内在的微分作用素のスペクトル解析の研究を創始した。古典的なリーマン多様体の設定とは異なり、擬リーマン局所対称空間のラプラシアンはもはや楕円型微分作用素ではない。
そのスペクトル解析において、Kassel・小林による先駆的研究に続き、リーマン多様体の設定とは異なる新たな現象が近年発見されつつある。例えば、Kassel・小林は$\Gamma$を変形させた時の$\Gamma\backslash G/H$の内在的微分作用素の固有値の振る舞いを研究した。特別な場合として$3$次元コンパクト反ド・ジッター多様体$\Gamma\backslash \mathrm{SO}(2,2)/\mathrm{SO}(2,1)$
の(双曲型)ラプラシアンの無限個の安定固有値を発見した([Adv.\ Math.\ 2016])。
本講演では、反ド・ジッター多様体の設定で安定固有値の重複度についての最近の結果について説明したい。

2021年06月01日(火)

17:30-18:30   数理科学研究科棟(駒場) Online号室
トポロジー火曜セミナーと合同。オンライン開催。
北川 宜稔 氏 (早稲田大学)
On the discrete decomposability and invariants of representations of real reductive Lie groups (Japanese)
[ 講演概要 ]
群の既約表現を部分群に制限したときにどのように振る舞うかを記述する問題を分岐則の問題という。既約表現の制限は一般には既約ではなくなり、ユニタリな場合には直積分で記述される既約分解が存在する。この分解は、ユニタリ作用素のスペクトル分解の一般化とみなすことができ、一般には連続的なスペクトルと離散的なスペクトルが現れる。連続的なスペクトルが現れない場合、つまりユニタリ表現の離散的な直和になっている場合、その表現は離散分解するという。

離散分解する分岐則は技術的に扱いやすいというだけでなく、大きな群の表現の情報から小さい部分群の表現の情報が取り出しやすい状況になっており、以下のような応用が知られている。保型形式から別の保型形式を作り出す Rankin--Cohen ブラケットという作用素は、離散分解する表現から既約表現への絡作用素として得られることが知られており、近年でも多くの一般化が得られている。
また、等質空間の L^2 関数の空間の離散スペクトルを別の等質空間のものから構成するという結果にも用いられている。(T. Kobayashi, J. Funct. Anal. ('98))

本講演では、実簡約リー群の既約表現の制限の離散分解性について、小林俊行氏が提唱した離散分解性とG'-許容性の一般論と判定条件(Invent. math. '94, Annals of Math. '98, Invent. math. '98)を踏まえつつ、最近得られた結果を紹介したい。
表現の代数的な不変量である随伴多様体、解析的な不変量である wave front set、表現空間の位相、の三つを用いて離散分解性を記述する。

2021年05月18日(火)

17:00-17:30   数理科学研究科棟(駒場) Online号室
上田衛 氏 (京都大学大学院)
アファインヤンギアンと長方形W代数 (Japanese)
[ 講演概要 ]
Motivated by the generalized AGT conjecture, in this talk I will construct surjective homomorphisms from Guay's affine Yangians to the universal enveloping algebras of rectangular W-algebras of type A.
This result is a super affine analogue of a result of Ragoucy and Sorba, which gave surjective homomorphisms from finite Yangians of type A to rectangular finite W-algebras of type A.

2021年05月11日(火)

17:00-18:00   数理科学研究科棟(駒場) Online号室
オンライン開催
中濱 良祐 氏 (九州大学マス・フォア・インダストリ研究所)
有界対称領域上の重み付きベルグマン内積の計算と部分群への制限
(Japanese)
[ 講演概要 ]
$D¥subset M(r,¥mathbb{C})$を有界対称領域とし,その上の重み付きベルグマン空間$¥mathcal{H}_¥lambda(D)$を考える.すると,ここに$SU(r,r)$がユニタリに作用する.
本セミナーでは,$¥operatorname{Alt}(r,¥mathbb{C})$, $¥operatorname{Sym}(r,¥mathbb{C})¥subset M(r,¥mathbb{C})$上のある多項式について,内積を具体的に計算し,また特にこの多項式が行列式またはパフ式の冪の場合には内積が多変数超幾何多項式で与えられることを示す.
またこの応用として,$SU(r,r)$から$Sp(r,¥mathbb{R})$または$SO^*(2r)$への対称性破れ作用素の構成に関する結果を述べる.

2020年07月14日(火)

17:30-18:30   数理科学研究科棟(駒場) #号室
トポロジー火曜セミナーと合同。オンライン開催。
奥田隆幸 氏 (広島大学 大学院先進理工系科学研究科)
Kobayashi's properness criterion and totally geodesic submanifolds in locally symmetric spaces (Japanese)
[ 講演概要 ]
G をリー群とし,X を G-等質空間とする.
X のいくつかの開集合を G 移動で貼り合わせて得られる多様体を(G,X)-多様体とよぶ.
X の G 不変局所幾何構造(計量など)は(G,X)-多様体に移植可能であり, (G,X)-多様体はよい幾何構造を持った多様体の例を供給することが期待される.
この意味で, (G,X)-多様体の構成は微分幾何学における重要な研究テーマの一つである.

G の離散部分群が X に固有不連続に作用するとき, その離散群を X の不連続群とよび, その作用による X の商多様体を Clifford--Klein 形と呼ぶ.
Clifford--Klein 形は (G,X)-多様体である.
これより G-等質空間 X 上の不連続群の構成や分類は重要な問題となる.
G-等質空間 X のイソトロピーがコンパクトである場合には, Gの捻じれのない離散部分群はすべて不連続群である.
しかし X のイソトロピーが非コンパクトであるような場合においては, G の捻じれのない離散群であっても, X の不連続群になるとは限らない.

以下, G が線型簡約リー群であり, G-等質空間 X として簡約型かつイソトロピーが非コンパクトであるような場合を考える(この設定では X は G 不変リーマンは許容しないが, G不変擬リーマン計量を許容する).
小林俊行氏は [Math.Ann.(1989)], [J. Lie Theory (1996)] において, 与えられた G の離散部分群が X の不連続群になるための判定条件を与えている.
この判定法は与えられた離散部分群と X におけるイソトロピー部分群の ``固有値の分布''の関係性に着目する画期的なものである.

本講演では 正定値非コンパクトリーマン対称空間の全測地的部分多様体の族として実現されるような G-等質空間 X について, リーマン幾何学の言葉を用いて上記の小林氏の判定定理を翻訳したものを紹介する.
この枠組みにおいては, 与えられた離散部分群の``固有値の分布''の代わりに, その群の定める局所対称空間の``測地ループの分布''に着目する.

2020年02月05日(水)

15:00-16:00   数理科学研究科棟(駒場) 126号室
Simon Gindikin 氏 (Rutgers University)
Direct inversion of the horospherical transform on Riemannian symmetric spaces (English)
[ 講演概要 ]
It was a problem of Gelfand to find an inversion of the horospherical transform directly and as a result to find directly the Plancherel formula.
I will give such an inversion and it gives a formula different from Harish-Chandra's one.

2020年01月28日(火)

10:00-16:40   数理科学研究科棟(駒場) 号室
Kavli IPMU
Taito Tauchi 氏 (The University of Tokyo) 10:00-11:00
Relationship between orbit decomposition on the flag varieties and multiplicities of induced representations (English)
Mikhail Kapranov 氏 (Kavli IPMU) 11:20-12:20
TBA (English)
Michael Pevzner 氏 (University of Reims) 14:00-15:00
From Symmetry breaking toward holographic transform in representation theory (English)
Leticia Barchini 氏 (Oklahoma University) 15:40-16:40
Cells of Harish-Chandra modules
(English)

2020年01月27日(月)

9:30-16:30   数理科学研究科棟(駒場) 号室
Kavli IPMU, 9:30--10:00 Registration
Joseph Bernstein 氏 (Tel Aviv and The University of Tokyo) 10:00-11:00
TBA (English)
Toshiyuki Kobayashi 氏 (The University of Tokyo) 11:20-12:20
Regular Representations on Homogeneous Spaces (English)
Laura Geatti 氏 (University of Roma) 14:00-15:00
The adapted hyper-K\"ahler structure on the tangent bundle of a Hermitian symmetric space (English)
Simon Gindikin 氏 (Rutgers University) 15:30-16:30
UNIVERSAL NATURE OF THE HOROSPHERICAL TRANSFORM IN SYMMETRIC SPACES (English)

2020年01月21日(火)

14:00-16:00   数理科学研究科棟(駒場) 126号室
Joseph Bernstein 氏 (Tel Aviv University)
On Plancherel measure (English)

2019年10月30日(水)

16:30-18:00   数理科学研究科棟(駒場) 128号室
Quentin Labriet 氏 (Reims University)
On holographic transform (English)
[ 講演概要 ]
In representation theory, decomposing the restriction of a given representation $¥pi$ of a Lie group $G$ to an appropriate subgroup $G'$ is an important issue referred to as a branching law. In this context,one can define symmetry breaking operators, as $G'$-intertwining operators between the restriction $¥pi¥vert_{G'}$ and its irreducible components. Going in the opposite direction gives rise to holographic operators and the notion of holographic transform.

I will illustrate this construction by two examples :

- the diagonal case where one considers the restriction problem for $¥pi$ being an outer product of two holomorphic discrete series representations, $G=SL(2,R)¥times SL(2,R)$ and $G'=SL(2,R)$.

- the conformal case for the restriction of a scalar valued holomorphic discrete series representation $¥pi$ of $G=SO(2,n)$ to $G'=SO(2,n-1)$.

I will then explain different methods for an explicit construction of such holographic operators in these cases, and present some of my results and open problems in this direction.

2019年10月23日(水)

16:30-18:00   数理科学研究科棟(駒場) 128号室
Clemens Weiske 氏 (Aarhus University)
Symmetry breaking and unitary branching laws for finite-multiplicity pairs of rank one (English)
[ 講演概要 ]
Let (G,G’) be a real reductive finite multiplicity pair of rank one, i.e. a rank one real reductive group G with reductive subgroup G’, such that the space of symmetry breaking operators (SBOs) between all (smooth admissible) irreducible representations is finite dimensional.

We give a classification of SBOs between spherical principal series representations of G and G’, essentially generalizing the results on (O(1,n+1),O(1,n)) of Kobayashi—Speh (2015). Moreover we show how to decompose unitary representations occurring in (not necessarily) spherical principal series representations of G in terms of unitary G’ representations, by making use of the knowledge gathered in the classification of the SBOs and the structure of the open P’orbit in G/P as a homogenous G’-space, where P’ is a minimal parabolic in G’ and P is a minimal parabolic in G. This includes the construction of discrete spectra in the restriction of complementary series representations and unitarizable composition factors.

2018年12月11日(火)

17:00-18:00   数理科学研究科棟(駒場) 117号室
滝聞太基 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
A Pieri-type formula and a factorization formula for K-k-Schur functions
[ 講演概要 ]
We give a Pieri-type formula for the sum of K-k-Schur functions \sum_{\mu\le\lambda}g^{(k)}_{\mu} over a principal order ideal of the poset of k-bounded partitions under the strong Bruhat order, which sum we denote by \widetilde{g}^{(k)}_{\lambda}. As an application of this, we also give a k-rectangle factorization formula \widetilde{g}^{(k)}_{R_t\cup\lambda}=\widetilde{g}^{(k)}_{R_t} \widetilde{g}^{(k)}_{\lambda}
where R_t=(t^{k+1-t}), analogous to that of k-Schur functions s^{(k)}_{R_t\cup \lambda}=s^{(k)}_{R_t}s^{(k)}_{\lambda}.

2018年12月03日(月)

17:00-18:00   数理科学研究科棟(駒場) 126号室
Ali Baklouti 氏 (Sfax 大学)
Monomial representations of discrete type and differential operators. (English)
[ 講演概要 ]
Let $G$ be an exponential solvable Lie group and $\tau$ a monomial representation of $G$, an induced representation from a connected closed subgroup of $G$ of a unitary character. It is well known that $\tau$ disintegrates into irreducible factors and the multiplicities of each isotypic component are explicitly determined. In the case where $G$ is nilpotent, these multiplicities are either finite or infinite almost everywhere, with respect to the disintegration's measure. We associate to $\tau$ an algebra of differential operators and it is shown that in the nilpotent case, the commutativity of this algebra is equivalent to the finiteness of the multiplicities of $\tau$. In the exponential case, we define the notion of monomial representation of discrete type. In this case, we show that such an equivalence does not hold and this answers a question posed by M. Duflo. This is a joint work with H. Fujiwara and J. Ludwig.

2018年03月12日(月)

15:00-16:30   数理科学研究科棟(駒場) 126号室
Christian Ikenmeyer 氏 (Max-Planck-Institut fur Informatik)
Plethysms and Kronecker coefficients in geometric complexity theory
[ 講演概要 ]
Research on Kronecker coefficients and plethysms gained significant momentum when the topics were connected with geometric complexity theory, an approach towards computational complexity lower bounds via algebraic geometry and representation theory. This talk is about several recent results that were obtained with geometric complexity theory as motivation, namely the NP-hardness of deciding the positivity of Kronecker coefficients and an inequality between rectangular Kronecker coefficients and plethysm coefficients. While the proof of the former statement is mainly combinatorial, the proof of the latter statement interestingly uses insights from algebraic complexity theory. As far as we know algebraic complexity theory has never been used before to prove an inequality between representation theoretic multiplicities.

2017年10月24日(火)

17:30-18:30   数理科学研究科棟(駒場) 056号室
Tea: Common Room 17:00-17:30, トポロジー火曜セミナーと合同
宮岡礼子 氏 (東北大学)
ラグランジュ交叉のフレアホモロジーに対する部分多様体論からのアプローチ (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
球面の等径超曲面のガウス写像による像は,複素2次超曲面Q_n(C)の極小ラグランジュ部分多様体の豊富な例を与える.簡単な場合,これはQ_n(C)の実形となり,そのフレアホモロジーは既知である.ここでは相異なる主曲率の個数が3,4,6の場合に得られた結果を報告するとともに,これらがFOOOの議論から直接得られるものではないことを述べる.当研究は,入江博(茨城大),Hui Ma(清華大学),大仁田義裕(大阪市大)との共同研究である.

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