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Lie Groups and Representation Theory Seminar

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Date: June 28 (Tue), 2022, 17:00-18:00
Speaker: Ryosuke Nakahama (中濱良祐) (Kyushu University)
Title: Computation of weighted Bergman inner products on bounded symmetric domains and Plancherel-type formulas for $(Sp(2r,\mathbb{R}),Sp(r,\mathbb{R})\times Sp(r,\mathbb{R}))$ / $(Sp(2r,\mathbb{R}),Sp(r,\mathbb{R})\times Sp(r,\mathbb{R}))$ に対する 有界対称領域上の重み付きBergman内積の計算とPlancherel型公式
Abstract:
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Let $(G,G_1)=(G,(G^\sigma)_0)$ be a symmetric pair of holomorphic type, and we consider a pair of Hermitian symmetric spaces $D_1=G_1/K_1\subset D=G/K$, realized as bounded symmetric domains in complex vector spaces $\mathfrak{p}^+_1:=(\mathfrak{p}^+)^\sigma\subset\mathfrak{p}^+$ respectively. Then the universal covering group $\widetilde{G}$ of $G$ acts unitarily on the weighted Bergman space $\mathcal{H}_\lambda(D)\subset\mathcal{O}(D)=\mathcal{O}_\lambda(D)$ on $D$ for sufficiently large $\lambda$. Its restriction to the subgroup $\widetilde{G}_1$ decomposes discretely and multiplicity-freely, and its branching law is given explicitly by Hua-Kostant-Schmid-Kobayashi's formula in terms of the $\widetilde{K}_1$-decomposition of the space $\mathcal{P}(\mathfrak{p}^+_2)$ of polynomials on $\mathfrak{p}^+_2:=(\mathfrak{p}^+)^{-\sigma}\subset\mathfrak{p}^+$. Our goal is to understand the decomposition of the restriction $\mathcal{H}_\lambda(D)|_{\widetilde{G}_1}$ by studying the weighted Bergman inner product on each $\widetilde{K}_1$-type in $\mathcal{P}(\mathfrak{p}^+_2)\subset\mathcal{H}_\lambda(D)$. Today we mainly deal with the symmetric pair $(G,G_1)=(Sp(2r,\mathbb{R}),Sp(r,\mathbb{R})\times Sp(r,\mathbb{R}))$.

$(G,G_1)=(G,(G^\sigma)_0)$ を正則型の対称対とし, Hermite対称空間の組 $D_1=G_1/K_1\subset D=G/K$ をそれぞれ複素ベクトル空間 $\mathfrak{p}^+_1:=(\mathfrak{p}^+)^\sigma\subset\mathfrak{p}^+$ 内の 有界対称領域として実現する. このとき,$G$ の普遍被覆群 $\widetilde{G}$ が $D$ 上の重み付きBergman空間 $\mathcal{H}_\lambda(D)\subset\mathcal{O}(D)=\mathcal{O}_\lambda(D)$ に ユニタリに作用する.これを部分群 $\widetilde{G}_1$ に制限したものは 離散かつ無重複に分解し,その分岐則は $\mathfrak{p}^+_2:=(\mathfrak{p}^+)^{-\sigma}\subset\mathfrak{p}^+$ 上の 多項式の空間 $\mathcal{P}(\mathfrak{p}^+_2)$ の $\widetilde{K}_1$-分解を 用いたHua-Kostant-Schmid-小林の公式によって具体的に与えられる. 私たちの目標はこの制限 $\mathcal{H}_\lambda(D)|_{\widetilde{G}_1}$ の分解 を, $\mathcal{P}(\mathfrak{p}^+_2)\subset\mathcal{H}_\lambda(D)$ の 各 $\widetilde{K}_1$-タイプ上で重み付きBergman内積を計算することによって 理解することである.本講演では主に対称対 $(G,G_1)=(Sp(2r,\mathbb{R}),Sp(r,\mathbb{R})\times Sp(r,\mathbb{R}))$ の 場合を扱う.

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© Toshiyuki Kobayashi