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Lie Groups and Representation Theory Seminar 2022

List of speakers:
Keiichi Maeta, Hideyuki Ishi, Kazuki Kannaka, Hiroyoshi Tamori, Masatoshi Kitagawa, Yuichiro Tanaka, Toshiyuki Kobayashi, Junko Inoue, Toshihisa Kubo, Yoshiki Oshima, Kouichi Arashi, Takashi Satomi, Ryosuke Nakahama,
Joint with Tuesday Seminar on Topology
Date: Jan 11 (Tue), 2022, 17:00-18:00
Speaker: Keiichi Maeta (前多啓一) (The University of Tokyo)
Title: On the existence problem of Compact Clifford-Klein forms of indecomposable pseudo-Riemannian symmetric spaces with signature $(n,2)$ / 符号$(n,2)$の分解不可能な擬リーマン対称空間に関するコンパクトClifford-Klein形の存在問題について
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For a homogeneous space $G/H$ and its discontinuous group $\Gamma\subset G$, the double coset space $\Gamma\backslash G/H$ is called a Clifford-Klein form of $G/H$. In the study of Clifford-Klein forms, the classification of homogeneous spaces which admit compact Clifford-Klein forms is one of the important open problems, which was introduced by Toshiyuki Kobayashi in 1980s. We consider this problem for indecomposable and reducible pseudo-Riemannian symmetric spaces with signature $(n,2)$. We show the non-existence of compact Clifford-Klein forms for some series of symmetric spaces, and construct new compact Clifford-Klein forms of countably infinite five-dimensional pseudo-Riemannian symmetric spaces with signature $(3,2)$.

等質空間$G/H$とその不連続群$\Gamma\subset G$に対し,商多様体$\Gamma\backslash G/H$ は$G/H$のClifford-Klein形と呼ばれる.Clifford-Klein形の研究において, コンパクトClifford-Klein形を持つ等質空間の分類問題は1980年代に小林俊行氏によって提起された重要な未解決問題である. この問題を,符号$(n,2)$の分解不可能かつ可約な擬リーマン対称空間に対して考察する. いくつかの系列の対称空間に対し,コンパクトClifford-Klein形の非存在を示し,また,可算無限個の5次元(符号$(3,2)$)の対称空間に対し,新たに見つかったコンパクトClifford-Klein形を実際に構成する.

Date: Jan 18 (Tue), 2022, 17:00-18:00
Speaker: Hideyuki Ishi (伊師英之) (Osaka City University)
Title: Strongly visible actions on complex domains / 複素領域上の強可視的作用
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In this century, the Cartan-Hartogs domain and its variations, on which the Bergman kernel function and the Kahler-Einstein metric can be computed explicitly, have been actively studied. Reasoning that strongly visible actions on the domains enable such nice calculations, we introduce a new type of complex domain analogous to the Cartan-Hartogs domain, and present a research plan about harmonic analysis over the domain.

今世紀になり,Cartan-Hartogs 領域やそのヴァリエーションが,Bergman 核や Kahler-Einstein 計量が計算できる複素領域として活発に研究されている. 計算がうまくいく根拠として強可視的作用の存在があるのではないかという推測のもと, Cartan-Hartogs 領域に類似した新しいタイプの領域を導入し,その上の調和解析を構想する.

Date: Feb 15 (Tue), 2022, 17:00-18:00
Speaker: Kazuki Kannaka (甘中一輝) (RIKEN iTHEMS)
Title: Deformations of standard compact Clifford-Klein forms / スタンダードなコンパクト Clifford-Klein 形の変形
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Let $\Gamma$ be a discontinuous group for a homogeneous manifold $G/H$ of reductive type. The Clifford-Klein form $\Gamma\backslash G/H$ is standard if $\Gamma$ is contained in a reductive subgroup of $G$ acting properly on $G/H$. For 12 series of standard compact Clifford-Klein forms given by Kobayashi-Yoshino, we discuss in this talk whether or not there exist (1) locally rigid ones, (2) non-standard deformations, and (3) Zariski-dense deformations in $G$. After briefly explaining Kobayashi's work and Kassel's work on these questions, we will explain the new results.

簡約型等質多様体$G/H$の不連続群$\Gamma$が、 $G/H$に固有に作用する$G$の簡約部分群に含まれる時、 Clifford-Klein 形$\Gamma\backslash G/H$はスタンダードであると呼ばれる。 今回の講演では、小林・吉野により与えられた12系列のスタンダードなコンパクト Clifford-Klein 形に対して、 (1) 局所剛性を持たないものが存在するか、(2) スタンダードではないものへの変形が存在するか、 (3) $G$の中で Zariski 稠密なものへの変形が存在するか、を議論する。 これらの問いに関する小林やKasselによる研究を簡単に説明した後、 今回新たに得られた結果を説明する。

Date: Feb 22 (Tue), 2022, 17:00-18:00
Speaker: Hiroyoshi Tamori (田森宥好) (Hokkaido Univ.)
Title: On a long exact sequence of the Schwartz homology / Schwartzホモロジーの長完全列について
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For a smooth Fréchet representation of moderate growth of an almost linear Nash group, Chen-Sun introduced a homology (called Schwartz homology) equipped with certain topology. Given a short exact sequence of such representations, we can construct a long exact sequence of Schwartz homology groups via the natural isomorphism with relative Lie algebra homology. We give an example of a long exact sequence where the connecting homomorphism is not continuous.


Date: March 8 (Tue), 2022, 17:00-18:00
Speaker: Masatoshi Kitagawa (北川 宜稔) (Waseda University)
Title: On the structure of Hamiltonian $G$-varieties / ハミルトニアン$G$-代数多様体の構造について
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I will talk about a result by I. Losev (Math. Z. 2009) on the structure of Hamiltonian $G$-varieties. In particular, I will explain how to reduce the result to central-nilpotent cases. I will give an application of the result to branching laws.

I. Losevによるハミルトニアン$G$-代数多様体の構造に関する結果(Math. Z. 2009)を概観する。 特に、central-nilpotentという簡単な場合に帰着させる方法について解説する。 また、この結果の分岐則への応用について述べる。

Date: March 15 (Tue), 2022, 17:00-18:00
Speaker: Yuichiro Tanaka (田中雄一郎) (The Univ. of Tokyo)
Title: A unitary trick for the multiplicity-freeness property / 無重複性のユニタリトリックについて
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With the aim of uniform treatment of multiplicity-free representations of Lie groups including infinite-dimensional representations, T. Kobayashi introduced the notion of visible actions on complex manifolds. In this talk I would like to show a trick for obtaining the multiplicity-freeness property of infinite-dimensional representations of real semisimple Lie groups from that of finite-dimensional ones of compact Lie groups through visible actions on flag varieties.

小林俊行氏によって導入された複素多様体に対する可視的な作用の理論では、リー群がコンパクトであるか非コンパクトであるかを問わず、また、表現が有限次元であるか無限次元であるかを問わず、リー群の表現の無重複性を統一的に扱うことができます。 さて、実半単純リー群の有限次元表現の性質は、Weylのユニタリトリックを通じて、コンパクトリー群のそれへと帰着することができます。このセミナーでは、可視的作用を通じて、コンパクトリー群の有限次元表現の無重複性から実半単純リー群の無限次元表現の無重複性を得ることについてお話させていただきたく思います。

Date: April 5 (Tue), 2022, 17:00-17:30
Speaker: Toshiyuki Kobayashi (小林俊行) (The University of Tokyo)
Title: Note on the restriction of minimal representations with respect to reductive symmetric pairs / 簡約対称対に関する極小表現の制限
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I discuss briefly some abstract feature of branching problems with focus on the restriction of minimal representations with respect to reductive symmetric pairs.

簡約対称対に関して極小表現を制限したときの様相について いくつかの性質について述べる。

Date: April 5 (Tue), 2022, 17:30-18:30
Speaker: Junko Inoue (井上順子) (Tottori University)
Title: Estimate of the norm of the $L^p$-Fourier transform on compact extensions of locally compact groups / 局所コンパクト群のコンパクト拡大における$L^p$-Fourier変換のノルム評価について
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The classical Hausdorff-Young theorem for locally compact abelian groups is generalized by Kunze for unimodular locally compact groups. When the group $G$ is of type I, the abstract Plancherel theorem gives a decomposition of the regular representation into a direct integral of irreducible representations through the Fourier transform; By the Hausdorff-Young theorem generalized by Kunze, for exponents $p$ $(1< p \leq 2) $ and ${p'}=p/(p-1)$, the Fourier transform yields a bounded operator $\mathcal{F}^p:L^p(G)\to L^{p'}(\widehat{G})$, where $L^{p'}(\widehat{G})$ is the $L^{p'}$ space of measurable fields of the Schatten class operators on the unitary dual $\widehat{G}$ of $G$. Under this setting, we are concerned with the norm $\|\mathcal{F}^p(G)\|$ of the $L^p$-Fourier transform $\mathcal{F}^p$.
Let $G$ be a separable unimodular locally compact group of type I, and $N$ be a type I, unimodular, closed normal subgroup of $G$. Suppose $G/N$ is compact. Then we show the inequality $\|\mathcal{F}^p(G)\|\leq\|\mathcal F^p(N)\|$ for $1< p \leq 2$. This result is a joint work with Ali Baklouti (J. Fourier Anal. Appl. 26 (2020), Paper No. 26).

局所コンパクト可換群における古典的なHausdorff-Young定理は,Kunzeによりユニモジュラー局所コンパクト群を対象とする定理に一般化された.特に群$G$がI型の場合は,abstract Plancherel 定理により 正則表現の既約分解がFourier変換を介して与えられるが,Kunzeにより一般化されたHausdorff-Young定理により, 指数 $p$ $(1< p \leq 2)$,$p'=p/(p-1)$ に対してFourier変換は有界線形写像$\mathcal{F}^p: L^p(G)\to L^{p'}(\widehat{G})$をひきおこす. ここで$L^{p'}(\widehat{G})$は$G$のユニタリ双対$\widehat{G}$上の$p'$-Schatten 作用素値可測場 が定める$L^{p'}$空間である. この設定の下,$L^p$-Fourier 変換 $\mathcal{F}^p$ のノルム $\|\mathcal{F}^p(G)\|$ を求める問題を考える.
$G$を可分,ユニモジュラー,I型の局所コンパクト群とし, $N$をユニモジュラー,I型の閉正規部分群で $G/N$がコンパクトであるとする. このとき,任意の指数$p$ $(1< p \leq 2)$ に対して 不等式$\|\mathcal{F}^p(G)\|\leq\|\mathcal F^p(N)\|$ が成り立つという結果についてお話しする. この結果はAli Baklouti氏との共同研究による. (J. Fourier Anal. Appl. 26 (2020), Paper No. 26)

Joint with Tuesday Seminar on Topology
Date: April 19 (Tue), 2022, 17:30-18:30
Speaker: Toshihisa Kubo (久保 利久) (Ryukoku University)
Title: On the classification and construction of conformal symmetry breaking operators for anti-de Sitter spaces / 反ド・ジッター空間の共形微分対称性破れ作用素の分類および構成について
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Let $X$ be a smooth manifold and $Y$ a smooth submanifold of $X$. Take $G' \subset G$ to be a pair of Lie groups that act on $Y \subset X$, respectively. Consider a $G'$-intertwining differential operator $ \mathcal{D}$ from the space of smooth sections for a $G$-equivariant vector bundle over $X$ to that for a $G'$-equivariant vector bundle over $Y$. Toshiyuki Kobayashi called such a differential operator $ \mathcal{D}$ a \emph{differential symmetry breaking operator} (differential SBO for short) ([T. Kobayashi, Differential Geom. Appl. (2014)]).
In [Kobayashi-K-Pevzner, Lecture Notes in Math. 2170 (2016)], we explicitly constructed and classified all the differential SBOs from the space of differential $i$-forms $\mathcal{E}^i(S^n)$ over the standard Riemann sphere $S^n$ to that of differential $j$-forms $ \mathcal{E}^j(S^{n-1})$ over the totally geodesic hypersphere $S^{n-1} $. In this talk, by extending the results in a Riemannian setting, we discuss about the classification and construction of differential SBOs in a pseudo-Riemannian setting such as anti-de Sitter spaces and hyperbolic spaces. This is a joint work with Toshiyuki Kobayashi and Michael Pevzner.

$X$を$C^\infty$級多様体とし,$Y$を$X$の$C^\infty$級部分多様体とする.$ G' \subset G$をそれぞれ$Y \subset X$に作用するLie群の組とし,$X$上の$ G$-同変ベクトル束の滑らかな切断のなす空間から$Y$上の$G'$-同変ベクトル束の滑らかな切断のなす空間への$G'$-絡微分作用素$\mathcal{D}$を考える.小林俊行氏はこのような微分作用素$\mathcal{D}$を「微分対称性破れ作用素」と呼んだ. ([T. Kobayashi, Differential Geom. Appl. (2014)])
[Kobayashi-K-Pevzner, Lecture Notes in Math. 2170 (2016)]において,我々はリーマン球面$S^{n}$上の微分$i$形式のなす空間$\mathcal{E}^i(S^n)$から全測地的超球面$S^{n-1}$上の微分$j$形式のなす空間$\mathcal{E}^i(S^{n-1})$への微分対称性破れ作用素を完全に分類し,またその明示式を与えた. 本講演では小林俊行氏,Michael Pevzner氏との共同研究に基づき,上記のリーマン多様体の設定における結果を拡張させる形で,反ド・ジッター空間,双曲空間のような擬リーマン多様体の設定での微分対称性破れ作用素の分類ならびに構成についてお話する.

Joint with Tuesday Seminar on Topology
Date: April 26 (Tue), 2022, 17:00-18:00
Speaker: Yoshiki Oshima (大島芳樹) (The University of Tokyo)
Title: On the existence of discrete series for homogeneous spaces / 等質空間の離散系列表現の存在条件について
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When a Lie group $G$ acts transitively on a manifold $X$, an irreducible subrepresentation of $L^2(X)$ is called a discrete series representation of $X$. One may ask which homogeneous space $X$ has a discrete series representation. For reductive symmetric spaces, it is known that the existence of discrete series is equivalent to a rank condition by works of Flensted-Jensen, T.Matsuki, and T.Oshima. The problem for general reductive homogeneous spaces was considered by T.Kobayashi and a sufficient condition for the existence of discrete series was obtained by using his theory of admissible restriction. In this talk, we would like to see another sufficient condition for general homogeneous spaces and also the case of their line bundles in terms of the orbit method.

Lie群$G$が多様体$X$に推移的に作用するとき,$L^2(X)$の既約 部分表現は$X$の離散系列表現とよばれる.等質空間$X$がいつ離散系列表現をも つかという問題を考える.簡約対称空間については,Flensted-Jensen氏,松木敏 彦氏,大島利雄氏の結果より,離散系列表現が存在する必要十分条件はランクに 関する条件で与えられる.一般の簡約等質空間に対する離散系列表現の存在問題 は小林俊行氏により考えられ,表現の離散分解の理論を用いて十分条件が得られ ている.この講演では,一般の等質空間やその上の直線束の場合に,余随伴軌道 の方法を用いて得られる離散系列表現の存在の十分条件についてお話しする.

Date: May 10 (Tue), 2022, 17:00-18:00
Speaker: Kouichi Arashi (嵐 晃一) (Nagoya University)
Title: Holomorphic multiplier representations over bounded homogeneous domains / 有界等質領域上の正則乗数表現
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I will talk about unitarizations in the spaces of holomorphic sections of equivariant holomorphic line bundles over bounded homogeneous domains. We consider the identity components of algebraic groups acting transitively on the domains. The main part of this talk is a classification of such unitary representations.
We discuss an explicit description of the classification for a specific five-dimensional non-symmetric bounded homogeneous domain to illustrate the method of the classification (K. Arashi, "Holomorphic multiplier representations for bounded homogeneous domains", Journal of Lie Theory 30, 1091-1116 (2020)).

有界等質領域に推移的に作用する代数群の単位元成分の, 同変正則直線束に対し て, 正則切断の空間に実現されるユニタリ化を考える. 今回は主に, このようなユニタリ表現の分類法についてお話ししたい. 分類法を具体的に理解 する為に, 五次元の特定の非対称有界等質領域に対する明示的な分類の記述も紹介しなが ら, 解説する(K. Arashi, "Holomorphic multiplier representations for bounded homogeneous domains", Journal of Lie Theory 30, 1091-1116 (2020)).

Date: May 17 (Tue), 2022, 17:00-18:00
Speaker: Takashi SATOMI (里見貴志) (The University of Tokyo)
Title: Estimate of the optimal constant of convolution inequalities on unimodular locally compact groups / ユニモジュラー局所コンパクト群上の畳み込み不等式の最適定数の評価
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Some convolution inequalities (Young's inequality, the reverse Young's inequality, the Hausdorff-Young inequality) known for a long time on $\mathbb{R}$ can be generalized for any unimodular locally compact group. In this seminar, we estimate the optimal constants (the ratio of both sides such that these inequalities are optimal) of these inequalities from above and below, and discuss that these estimates are the best for $G = \mathbb{R}$.

$\mathbb{R}$上で古くから知られている畳み込み不等式(Youngの不等式・逆 Youngの不等式・Hausdorff-Youngの不等式)は任意のユニモジュラー局所コンパ クト群$G$上に一般化できる. 本セミナーではこれらの不等式の最適定数(不等式が最適となるような両辺の比) の上下からの評価を与え,これらの評価は$G = \mathbb{R}$のときに最良となる ことについて説明する.

Date: June 28 (Tue), 2022, 17:00-18:00
Speaker: Ryosuke Nakahama (中濱良祐) (Kyushu University)
Title: Computation of weighted Bergman inner products on bounded symmetric domains and Plancherel-type formulas for $(Sp(2r,\mathbb{R}),Sp(r,\mathbb{R})\times Sp(r,\mathbb{R}))$ / $(Sp(2r,\mathbb{R}),Sp(r,\mathbb{R})\times Sp(r,\mathbb{R}))$ に対する 有界対称領域上の重み付きBergman内積の計算とPlancherel型公式
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Let $(G,G_1)=(G,(G^\sigma)_0)$ be a symmetric pair of holomorphic type, and we consider a pair of Hermitian symmetric spaces $D_1=G_1/K_1\subset D=G/K$, realized as bounded symmetric domains in complex vector spaces $\mathfrak{p}^+_1:=(\mathfrak{p}^+)^\sigma\subset\mathfrak{p}^+$ respectively. Then the universal covering group $\widetilde{G}$ of $G$ acts unitarily on the weighted Bergman space $\mathcal{H}_\lambda(D)\subset\mathcal{O}(D)=\mathcal{O}_\lambda(D)$ on $D$ for sufficiently large $\lambda$. Its restriction to the subgroup $\widetilde{G}_1$ decomposes discretely and multiplicity-freely, and its branching law is given explicitly by Hua-Kostant-Schmid-Kobayashi's formula in terms of the $\widetilde{K}_1$-decomposition of the space $\mathcal{P}(\mathfrak{p}^+_2)$ of polynomials on $\mathfrak{p}^+_2:=(\mathfrak{p}^+)^{-\sigma}\subset\mathfrak{p}^+$. Our goal is to understand the decomposition of the restriction $\mathcal{H}_\lambda(D)|_{\widetilde{G}_1}$ by studying the weighted Bergman inner product on each $\widetilde{K}_1$-type in $\mathcal{P}(\mathfrak{p}^+_2)\subset\mathcal{H}_\lambda(D)$. Today we mainly deal with the symmetric pair $(G,G_1)=(Sp(2r,\mathbb{R}),Sp(r,\mathbb{R})\times Sp(r,\mathbb{R}))$.

$(G,G_1)=(G,(G^\sigma)_0)$ を正則型の対称対とし, Hermite対称空間の組 $D_1=G_1/K_1\subset D=G/K$ をそれぞれ複素ベクトル空間 $\mathfrak{p}^+_1:=(\mathfrak{p}^+)^\sigma\subset\mathfrak{p}^+$ 内の 有界対称領域として実現する. このとき,$G$ の普遍被覆群 $\widetilde{G}$ が $D$ 上の重み付きBergman空間 $\mathcal{H}_\lambda(D)\subset\mathcal{O}(D)=\mathcal{O}_\lambda(D)$ に ユニタリに作用する.これを部分群 $\widetilde{G}_1$ に制限したものは 離散かつ無重複に分解し,その分岐則は $\mathfrak{p}^+_2:=(\mathfrak{p}^+)^{-\sigma}\subset\mathfrak{p}^+$ 上の 多項式の空間 $\mathcal{P}(\mathfrak{p}^+_2)$ の $\widetilde{K}_1$-分解を 用いたHua-Kostant-Schmid-小林の公式によって具体的に与えられる. 私たちの目標はこの制限 $\mathcal{H}_\lambda(D)|_{\widetilde{G}_1}$ の分解 を, $\mathcal{P}(\mathfrak{p}^+_2)\subset\mathcal{H}_\lambda(D)$ の 各 $\widetilde{K}_1$-タイプ上で重み付きBergman内積を計算することによって 理解することである.本講演では主に対称対 $(G,G_1)=(Sp(2r,\mathbb{R}),Sp(r,\mathbb{R})\times Sp(r,\mathbb{R}))$ の 場合を扱う.

© Toshiyuki Kobayashi