等質空間$G/H$とその不連続群$\Gamma\subset G$に対し，商多様体$\Gamma\backslash G/H$ は$G/H$のClifford-Klein形と呼ばれる．Clifford-Klein形の研究において， コンパクトClifford-Klein形を持つ等質空間の分類問題は1980年代に小林俊行氏によって提起された重要な未解決問題である． この問題を，符号$(n,2)$の分解不可能かつ可約な擬リーマン対称空間に対して考察する． いくつかの系列の対称空間に対し，コンパクトClifford-Klein形の非存在を示し，また，可算無限個の5次元(符号$(3,2)$)の対称空間に対し，新たに見つかったコンパクトClifford-Klein形を実際に構成する．

今世紀になり，Cartan-Hartogs 領域やそのヴァリエーションが，Bergman 核や Kahler-Einstein 計量が計算できる複素領域として活発に研究されている． 計算がうまくいく根拠として強可視的作用の存在があるのではないかという推測のもと， Cartan-Hartogs 領域に類似した新しいタイプの領域を導入し，その上の調和解析を構想する．

簡約型等質多様体$G/H$の不連続群$\Gamma$が、 $G/H$に固有に作用する$G$の簡約部分群に含まれる時、 Clifford-Klein 形$\Gamma\backslash G/H$はスタンダードであると呼ばれる。 今回の講演では、小林・吉野により与えられた12系列のスタンダードなコンパクト Clifford-Klein 形に対して、 (1) 局所剛性を持たないものが存在するか、(2) スタンダードではないものへの変形が存在するか、 (3) $G$の中で Zariski 稠密なものへの変形が存在するか、を議論する。 これらの問いに関する小林やKasselによる研究を簡単に説明した後、 今回新たに得られた結果を説明する。

Chen-Sunは概線形Nash群の滑らかな緩増加Fréchet表現に対して、Schwartzホモロジーという、適切な位相が入ったホモロジーを導入した。相対ホモロジーとの自然な同型を介して、表現の短完全列から長完全列が構成できるが、一般には連結準同型が連続となるとは限らないことをお話しする。

I. Losevによるハミルトニアン$G$-代数多様体の構造に関する結果(Math. Z. 2009)を概観する。 特に、central-nilpotentという簡単な場合に帰着させる方法について解説する。 また、この結果の分岐則への応用について述べる。

小林俊行氏によって導入された複素多様体に対する可視的な作用の理論では、リー群がコンパクトであるか非コンパクトであるかを問わず、また、表現が有限次元であるか無限次元であるかを問わず、リー群の表現の無重複性を統一的に扱うことができます。 さて、実半単純リー群の有限次元表現の性質は、Weylのユニタリトリックを通じて、コンパクトリー群のそれへと帰着することができます。このセミナーでは、可視的作用を通じて、コンパクトリー群の有限次元表現の無重複性から実半単純リー群の無限次元表現の無重複性を得ることについてお話させていただきたく思います。

簡約対称対に関して極小表現を制限したときの様相について いくつかの性質について述べる。

局所コンパクト可換群における古典的なHausdorff-Young定理は，Kunzeによりユニモジュラー局所コンパクト群を対象とする定理に一般化された．特に群$G$がI型の場合は，abstract Plancherel 定理により 正則表現の既約分解がFourier変換を介して与えられるが，Kunzeにより一般化されたHausdorff-Young定理により， 指数 $p$ $(1< p \leq 2)$，$p'=p/(p-1)$ に対してFourier変換は有界線形写像$\mathcal{F}^p: L^p(G)\to L^{p'}(\widehat{G})$をひきおこす． ここで$L^{p'}(\widehat{G})$は$G$のユニタリ双対$\widehat{G}$上の$p'$-Schatten 作用素値可測場 が定める$L^{p'}$空間である． この設定の下，$L^p$-Fourier 変換 $\mathcal{F}^p$ のノルム $\|\mathcal{F}^p(G)\|$ を求める問題を考える．
$G$を可分，ユニモジュラー，I型の局所コンパクト群とし， $N$をユニモジュラー，I型の閉正規部分群で $G/N$がコンパクトであるとする． このとき，任意の指数$p$ $(1< p \leq 2)$ に対して 不等式$\|\mathcal{F}^p(G)\|\leq\|\mathcal F^p(N)\|$ が成り立つという結果についてお話しする． この結果はAli Baklouti氏との共同研究による． (J. Fourier Anal. Appl. 26 (2020), Paper No. 26)

$X$を$C^\infty$級多様体とし，$Y$を$X$の$C^\infty$級部分多様体とする．$ G' \subset G$をそれぞれ$Y \subset X$に作用するLie群の組とし，$X$上の$ G$-同変ベクトル束の滑らかな切断のなす空間から$Y$上の$G'$-同変ベクトル束の滑らかな切断のなす空間への$G'$-絡微分作用素$\mathcal{D}$を考える．小林俊行氏はこのような微分作用素$\mathcal{D}$を「微分対称性破れ作用素」と呼んだ． ([T. Kobayashi, Differential Geom. Appl. (2014)])
[Kobayashi-K-Pevzner, Lecture Notes in Math. 2170 (2016)]において，我々はリーマン球面$S^{n}$上の微分$i$形式のなす空間$\mathcal{E}^i(S^n)$から全測地的超球面$S^{n-1}$上の微分$j$形式のなす空間$\mathcal{E}^i(S^{n-1})$への微分対称性破れ作用素を完全に分類し，またその明示式を与えた． 本講演では小林俊行氏，Michael Pevzner氏との共同研究に基づき，上記のリーマン多様体の設定における結果を拡張させる形で，反ド・ジッター空間，双曲空間のような擬リーマン多様体の設定での微分対称性破れ作用素の分類ならびに構成についてお話する．

Lie群$G$が多様体$X$に推移的に作用するとき，$L^2(X)$の既約 部分表現は$X$の離散系列表現とよばれる．等質空間$X$がいつ離散系列表現をも つかという問題を考える．簡約対称空間については，Flensted-Jensen氏，松木敏 彦氏，大島利雄氏の結果より，離散系列表現が存在する必要十分条件はランクに 関する条件で与えられる．一般の簡約等質空間に対する離散系列表現の存在問題 は小林俊行氏により考えられ，表現の離散分解の理論を用いて十分条件が得られ ている．この講演では，一般の等質空間やその上の直線束の場合に，余随伴軌道 の方法を用いて得られる離散系列表現の存在の十分条件についてお話しする．

有界等質領域に推移的に作用する代数群の単位元成分の, 同変正則直線束に対し て, 正則切断の空間に実現されるユニタリ化を考える. 今回は主に, このようなユニタリ表現の分類法についてお話ししたい. 分類法を具体的に理解 する為に, 五次元の特定の非対称有界等質領域に対する明示的な分類の記述も紹介しなが ら, 解説する(K. Arashi, "Holomorphic multiplier representations for bounded homogeneous domains", Journal of Lie Theory 30, 1091-1116 (2020)).

$\mathbb{R}$上で古くから知られている畳み込み不等式（Youngの不等式・逆 Youngの不等式・Hausdorff-Youngの不等式）は任意のユニモジュラー局所コンパ クト群$G$上に一般化できる． 本セミナーではこれらの不等式の最適定数（不等式が最適となるような両辺の比） の上下からの評価を与え，これらの評価は$G = \mathbb{R}$のときに最良となる ことについて説明する．

$(G,G_1)=(G,(G^\sigma)_0)$ を正則型の対称対とし， Hermite対称空間の組 $D_1=G_1/K_1\subset D=G/K$ をそれぞれ複素ベクトル空間 $\mathfrak{p}^+_1:=(\mathfrak{p}^+)^\sigma\subset\mathfrak{p}^+$ 内の 有界対称領域として実現する． このとき，$G$ の普遍被覆群 $\widetilde{G}$ が $D$ 上の重み付きBergman空間 $\mathcal{H}_\lambda(D)\subset\mathcal{O}(D)=\mathcal{O}_\lambda(D)$ に ユニタリに作用する．これを部分群 $\widetilde{G}_1$ に制限したものは 離散かつ無重複に分解し，その分岐則は $\mathfrak{p}^+_2:=(\mathfrak{p}^+)^{-\sigma}\subset\mathfrak{p}^+$ 上の 多項式の空間 $\mathcal{P}(\mathfrak{p}^+_2)$ の $\widetilde{K}_1$-分解を 用いたHua-Kostant-Schmid-小林の公式によって具体的に与えられる． 私たちの目標はこの制限 $\mathcal{H}_\lambda(D)|_{\widetilde{G}_1}$ の分解 を， $\mathcal{P}(\mathfrak{p}^+_2)\subset\mathcal{H}_\lambda(D)$ の 各 $\widetilde{K}_1$-タイプ上で重み付きBergman内積を計算することによって 理解することである．本講演では主に対称対 $(G,G_1)=(Sp(2r,\mathbb{R}),Sp(r,\mathbb{R})\times Sp(r,\mathbb{R}))$ の 場合を扱う．