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Lie Groups and Representation Theory Seminar 2017

List of speakers:
Lizhen Ji, Hideko Sekiguchi, Reiko Miyaoka #1, Reiko Miyaoka #2,
Date: March 10 (Fri), 2017, 17:00-18:30
Place: Room 056, Graduate School of Mathematical Sciences, the University of Tokyo
Speaker: Lizhen Ji (University of Michigan, USA)
Title: Satake compactifications and metric Schottky problems
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The quotient of the Poincare upper half plane by the modular group SL(2, Z) is a basic locally symmetric space and also the moduli space of compact Riemann surfaces of genus 1, and it admits two important classes of generalization:
  1. Moduli spaces M_g of compact Riemann surfaces of genus g>1,
  2. Arithmetic locally symmetric spaces \Gamma \ G/K such as the Siegel modular variety A_g, which is also the moduli of principally polarized abelian varieties of dimension g.
There have been a lot of fruitful work to explore the similarity between these two classes of spaces, and there is also a direct interaction between them through the Jacobian (or period) map

J: M_g --> A_g.

In this talk, I will discuss some results along these lines related to the Stake compactifications and the Schottky problems on understanding the image J(M_g) in A_g from the metric perspective.

(joint with topology seminar)

Date: September 26 (Tue), 2017, 17:00-18:30
Place: Room 056, Graduate School of Mathematical Sciences, the University of Tokyo
Speaker: Hideko Sekiguchi (The University of Tokyo, Japan)
Title: Representations of Semisimple Lie Groups and Penrose Transform
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The classical Penrose transform is generalized to an intertwining operator on Dolbeault cohomologies of complex homogeneous spaces $X$ of (real) semisimple Lie groups.
I plan to discuss a detailed analysis when $X$ is an indefinite Grassmann manifold.
To be more precise, we determine the image of the Penrose transform, from the Dolbeault cohomology group on the indefinite Grassmann manifold consisting of maximally positive $k$-planes in ${\mathbb{C}}^{p,q}$ ($1 \le k \le \min(p,q)$) to the space of holomorphic functions over the bounded symmetric domain.
Furthermore, we prove that there is a duality between Dolbeault cohomology groups in two indefinite Grassmann manifolds, namely, that of positive $k$-planes and that of negative $k$-planes.

(joint with topology seminar)

Date: October 24 (Tue), 2017, 17:30-18:30
Place: Room 056, Graduate School of Mathematical Sciences, the University of Tokyo
Speaker: Reiko Miyaoka (Tohoku University, Japan)
Title: Approach from the submanifold theory to the Floer homology of Lagrangian intersections
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The Gauss map images of isoparametric hypersurfaces in the spheres supply a rich family of minimal Lagrangian submanifolds of the complex hyperquadric Q_n(C). In simple cases, these are real forms of Q_n(C), and their Floer homology is known. In this talk, we consider the case when the number of distinct principal curvatures is 3,4,6, and report our results. This is a joint work with Hiroshi Iriyeh (Ibaraki U.), Hui Ma (Tsinghua U.) and Yoshihiro Ohnita (Osaka City U.).
球面の等径超曲面のガウス写像による像は,複素2次超曲面Q_n(C)の極小ラグラ ンジュ部分多様体の豊富な例を与える.簡単な場合,これはQ_n(C)の実形とな り,そのフレアホモロジーは既知である.ここでは相異なる主曲率の個数が 3,4,6の場合に得られた結果を報告することを述べる.当研究は,入江博(茨城 大),Hui Ma(清華大学),大仁田義裕(大阪市大)との共同研究である.

(joint with topology seminar)

集中講義が月曜日から行われます。 セミナーの開始時刻はいつもと異なります。

Date: October 23 (Mon)-27 (Fri), 2017
Place: 東京大学大学院数理科学研究科 数理科学特別講義II,数理科学続論B
Speaker: 宮岡礼子 (東北大学大学院理学研究科)
Title: 等径超曲面論入門とその応用
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豊富な例をもつ等径超曲面を学ぶことにより,部分多様体論の 基本を身につける.そのガウス写像の像からなるラグランジュ部分多様体の 交叉理論を考え,フレアホモロジーを論じる.
等径超曲面族とは,20 世紀初頭のイタリアにおける幾何光学に端を発す る,進行波面のつくる超曲面族のことである.古くから解析的にも熱伝導の 立場から論じられている.ユークリッド空間と双曲空間では簡単なものしか 現れないが,球面では多くの非自明な例が存在し,特にClifford 環の表現か ら構成されるものは重要である.
一般リーマン多様体の中でも考えられるが,本講義では球面の等径超曲面 族に的をしぼり,その基本性質,既知の分類を述べる.
応用として,等径超曲面のガウス写像の像として得られる複素2次超曲面 Qn(C) のラグランジュ部分多様体について,ラグランジュ交叉のフレアホモ ロジーに関する最近の結果を紹介する(この部分は火曜のトポロジー・リー 群論・表現論合同セミナーでも話します).

1.  導入
  (1) 等径超曲面論の歴史と背景
  (2) 等径関数と等径超曲面の簡単な例
  (3) Cartan の公式と応用
  (1) 平行超曲面族の型作用素
  (2) 焦部分多様体の型作用素とCartanの公式
  (3) 球面の等径超曲面のガウス写像
  (1) Munzner の定理
  (2) 等径超曲面の位相構造
  (1) Hisang-Lawson の定理,等質超曲面のファイバー束構造
  (2) Clifford 環の表現とOT-FKM 型等径超曲面の構成
  (1) 既知の例と分類
  (2) 等径超曲面のガウス像とラグランジュ部分多様体の交叉理論
成績評価方法: 講義中に出す問題を数題解き,レポートとして提出すること.


© Toshiyuki Kobayashi