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東京確率論セミナー
過去の記録 ～10/04｜次回の予定｜今後の予定 10/05～
| 開催情報 | 月曜日 17:00～18:30 数理科学研究科棟(駒場) 126号室 |
|---|---|
| 担当者 | 河備浩司 （慶應義塾大学）、中島秀太（明治大学）、佐々田槙子 |
| セミナーURL | https://sites.google.com/view/tokyo-probability-seminar23/2023年度 |
過去の記録
2023年09月25日(月)
17:00-18:30 数理科学研究科棟(駒場) 126号室
Jimmy He 氏 (MIT)
Boundary current fluctuations for the half space ASEP (English)
Jimmy He 氏 (MIT)
Boundary current fluctuations for the half space ASEP (English)
[ 講演概要 ]
The half space asymmetric simple exclusion process (ASEP) is an interacting particle system on the half line, with particles allowed to enter/exit at the boundary. I will discuss recent work on understanding fluctuations for the number of particles in the half space ASEP started with no particles, which exhibits the Baik-Rains phase transition between GSE, GOE, and Gaussian fluctuations as the boundary rates vary. As part of the proof, we find new distributional identities relating this system to two other models, the half space Hall-Littlewood process, and the free boundary Schur process, which allows exact formulas to be computed.
The half space asymmetric simple exclusion process (ASEP) is an interacting particle system on the half line, with particles allowed to enter/exit at the boundary. I will discuss recent work on understanding fluctuations for the number of particles in the half space ASEP started with no particles, which exhibits the Baik-Rains phase transition between GSE, GOE, and Gaussian fluctuations as the boundary rates vary. As part of the proof, we find new distributional identities relating this system to two other models, the half space Hall-Littlewood process, and the free boundary Schur process, which allows exact formulas to be computed.
2023年08月07日(月)
17:00-18:30 数理科学研究科棟(駒場) 123号室
いつもと教室が異なります.
Freddy Delbaen 氏 (Professor emeritus at ETH Zurich)
Approximation of Random Variables by Elements that are independent of a given sigma algebra (English)
いつもと教室が異なります.
Freddy Delbaen 氏 (Professor emeritus at ETH Zurich)
Approximation of Random Variables by Elements that are independent of a given sigma algebra (English)
[ 講演概要 ]
Given a square integrable m-dimensional random variable $X$ on a probability space $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ and a sub sigma algebra $\mathcal{A}$, we show that there exists another m-dimensional random variable $Y$, independent of $\mathcal{A}$ and minimising the $L^2$ distance to $X$. Such results have an importance to fairness and bias reduction in Artificial Intelligence, Machine Learning and Network Theory. The proof needs elements from transportation theory, a parametric version due to Dudley and Blackwell of the Skorohod theorem, selection theorems, … The problem also triggers other approximation problems. (joint work with C. Majumdar)
Given a square integrable m-dimensional random variable $X$ on a probability space $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ and a sub sigma algebra $\mathcal{A}$, we show that there exists another m-dimensional random variable $Y$, independent of $\mathcal{A}$ and minimising the $L^2$ distance to $X$. Such results have an importance to fairness and bias reduction in Artificial Intelligence, Machine Learning and Network Theory. The proof needs elements from transportation theory, a parametric version due to Dudley and Blackwell of the Skorohod theorem, selection theorems, … The problem also triggers other approximation problems. (joint work with C. Majumdar)
2023年07月10日(月)
17:00-18:30 数理科学研究科棟(駒場) 126号室
松井 千尋 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
孤立量子系の熱化と緩和 (日本語)
松井 千尋 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
孤立量子系の熱化と緩和 (日本語)
[ 講演概要 ]
近年，孤立量子系の熱化は統計力学分野において最も興味深い研究対象の一つであり，ミクロな観点からの熱化メカニズム解明に関する研究は目覚ましい進展を遂げている．現在，熱化のメカニズムとして最も有力なものは「固有状態熱化仮説」とよばれる仮説で，その主張は全てのエネルギー固有状態がマクロには熱平衡状態と区別できないというものである．
ほとんどの一般的な孤立量子系で反例が見つかっていない一方，多くの保存量をもつ可積分系では上記の仮説が成立しないことが知られている．
本講演では，可積分系の代表例であるXXZスピン鎖の緩和先について議論する．併せて，研究の動機の説明に必要な量子力学と統計力学の知識も簡単に説明する．
参考文献：
J. Phys. A: Math. Theor. 53 134001 (2020)
近年，孤立量子系の熱化は統計力学分野において最も興味深い研究対象の一つであり，ミクロな観点からの熱化メカニズム解明に関する研究は目覚ましい進展を遂げている．現在，熱化のメカニズムとして最も有力なものは「固有状態熱化仮説」とよばれる仮説で，その主張は全てのエネルギー固有状態がマクロには熱平衡状態と区別できないというものである．
ほとんどの一般的な孤立量子系で反例が見つかっていない一方，多くの保存量をもつ可積分系では上記の仮説が成立しないことが知られている．
本講演では，可積分系の代表例であるXXZスピン鎖の緩和先について議論する．併せて，研究の動機の説明に必要な量子力学と統計力学の知識も簡単に説明する．
参考文献：
J. Phys. A: Math. Theor. 53 134001 (2020)
2023年06月26日(月)
17:00-18:30 数理科学研究科棟(駒場) 126号室
簗島 瞬 氏 (東京都立大学)
δ次元Bessel引越過程の構成方法，サンプルパス生成方法，および汎関数期待値の数値計算法について (日本語)
簗島 瞬 氏 (東京都立大学)
δ次元Bessel引越過程の構成方法，サンプルパス生成方法，および汎関数期待値の数値計算法について (日本語)
[ 講演概要 ]
本講演では，時刻1で初めて所定の値に到達するδ次元Bessel過程(以下，δ次元Bessel引越過程とよぶ)の弱収束による構成方法，サンプルパス生成方法，および汎関数期待値の数値計算法を紹介する．
近年，バリア・オプションの高次Greeks計算において，3次元Bessel引越過程が重要な役割を果たすことが示唆された．δ次元Bessel引越過程は，Williamsの分解の一部分としても現れるため，これまでもその存在は知られていた．しかしながら，この確率過程をバリア・オプションの高次Greeks計算で応用するためには，この確率過程の従来の数学的表現方法だけでは不十分であり，数値計算の観点でより使いやすい別の表現方法が必要となる．本講演ではそれらの別表現と，その別表現を利用した数値計算法を紹介する．
本講演ではまず，δ次元Bessel引越過程が，到達点を超えないよう条件付けられたδ次元Bessel橋の弱収束極限として得られることを説明する．次に，この弱収束の結果と逆関数法を組み合わせることで，3次元Bessel引越過程のサンプルパス生成が可能となることを実証する．更に，この弱収束の結果を用いることで，δ次元Bessel過程とδ次元Bessel引越過程の絶対連続性に関する結果が得られ，対応するラドン・ニコディム微分を用いることで，δ次元Bessel引越過程の汎関数期待値を高速に計算可能となることを説明し，その実証結果を紹介する．
本講演は，石谷謙介氏，林徳福氏との共同研究に基づく．
本講演では，時刻1で初めて所定の値に到達するδ次元Bessel過程(以下，δ次元Bessel引越過程とよぶ)の弱収束による構成方法，サンプルパス生成方法，および汎関数期待値の数値計算法を紹介する．
近年，バリア・オプションの高次Greeks計算において，3次元Bessel引越過程が重要な役割を果たすことが示唆された．δ次元Bessel引越過程は，Williamsの分解の一部分としても現れるため，これまでもその存在は知られていた．しかしながら，この確率過程をバリア・オプションの高次Greeks計算で応用するためには，この確率過程の従来の数学的表現方法だけでは不十分であり，数値計算の観点でより使いやすい別の表現方法が必要となる．本講演ではそれらの別表現と，その別表現を利用した数値計算法を紹介する．
本講演ではまず，δ次元Bessel引越過程が，到達点を超えないよう条件付けられたδ次元Bessel橋の弱収束極限として得られることを説明する．次に，この弱収束の結果と逆関数法を組み合わせることで，3次元Bessel引越過程のサンプルパス生成が可能となることを実証する．更に，この弱収束の結果を用いることで，δ次元Bessel過程とδ次元Bessel引越過程の絶対連続性に関する結果が得られ，対応するラドン・ニコディム微分を用いることで，δ次元Bessel引越過程の汎関数期待値を高速に計算可能となることを説明し，その実証結果を紹介する．
本講演は，石谷謙介氏，林徳福氏との共同研究に基づく．
2023年06月05日(月)
17:00-18:30 数理科学研究科棟(駒場) 126号室
福山克司 氏 (神戸大学)
大きな公比を持つ等比数列の差異量の重複対数の法則について (日本語)
福山克司 氏 (神戸大学)
大きな公比を持つ等比数列の差異量の重複対数の法則について (日本語)
[ 講演概要 ]
１より大きい公比を持つ等比数列の小数部分は、ほとんどすべての初期値に対して一様分布することが知られている。その経験分布函数と一様分布の分布函数の差をsup ノルムで図ったものが差異量（discrepancy) である。ほとんどすべての初期値に対して差異量は0に収束するが、さらに重複大数の法則に従う。ここで上極限として現れる定数は公比の代数的性質を反映した量になっており、公比が有理数の冪根でない場合は定数は1/2 となり一様分布独立確率変数の差異量と同じ挙動となる。また、公比が有理数の冪根である場合はそれが何乗根であるかにかかわらず定数は有理数にのみ依存して定まる。この有理数の分子分母がともに奇数の場合には定数は容易に求まるが、偶数を含む場合は状況が複雑である。以前、定数を記述する公式を与え大きい有理数に対してこれを証明し、また小さい有理数で公式が成立しない例を複数与えた。この公式の成立の閾値に関してかなり精密な結果が得られたのでそれについて報告する。
１より大きい公比を持つ等比数列の小数部分は、ほとんどすべての初期値に対して一様分布することが知られている。その経験分布函数と一様分布の分布函数の差をsup ノルムで図ったものが差異量（discrepancy) である。ほとんどすべての初期値に対して差異量は0に収束するが、さらに重複大数の法則に従う。ここで上極限として現れる定数は公比の代数的性質を反映した量になっており、公比が有理数の冪根でない場合は定数は1/2 となり一様分布独立確率変数の差異量と同じ挙動となる。また、公比が有理数の冪根である場合はそれが何乗根であるかにかかわらず定数は有理数にのみ依存して定まる。この有理数の分子分母がともに奇数の場合には定数は容易に求まるが、偶数を含む場合は状況が複雑である。以前、定数を記述する公式を与え大きい有理数に対してこれを証明し、また小さい有理数で公式が成立しない例を複数与えた。この公式の成立の閾値に関してかなり精密な結果が得られたのでそれについて報告する。
2023年05月15日(月)
17:00-18:30 数理科学研究科棟(駒場) 126号室
岡田いず海 氏 (千葉大学)
Capacity of the range of random walk (JAPANESE)
岡田いず海 氏 (千葉大学)
Capacity of the range of random walk (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
We study the capacity of the range of a simple random walk in three and higher dimensions. It is known that the order of the capacity of the random walk range in n dimensions is similar to that of the volume of the random walk range in n-2 dimensions. We show that this correspondence breaks down for the law of the iterated logarithm for the capacity of the random walk range in three dimensions. We also prove the law of the iterated logarithm in higher dimensions. This is joint work with Amir Dembo.
We study the capacity of the range of a simple random walk in three and higher dimensions. It is known that the order of the capacity of the random walk range in n dimensions is similar to that of the volume of the random walk range in n-2 dimensions. We show that this correspondence breaks down for the law of the iterated logarithm for the capacity of the random walk range in three dimensions. We also prove the law of the iterated logarithm in higher dimensions. This is joint work with Amir Dembo.
2023年05月08日(月)
17:00-18:30 数理科学研究科棟(駒場) 126号室
新井裕太 氏 (千葉商科大学)
On the Chapman-Kolmogorov equation for LPP (JAPANESE)
新井裕太 氏 (千葉商科大学)
On the Chapman-Kolmogorov equation for LPP (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
KPZ普遍クラスに属するいくつかのモデルにおいて，その推移確率等が複素積分形の関数で書き表せることが知られている．しかしながら，複素積分を用いた計算は複雑となることも多く，KPZ普遍クラスに属するモデルにとって重要な確率論的性質を証明するのが困難となっていた．近年，この問題を解決するものとして対称多項式等を用いた組合せ論的手法に注目が集まってきている．本講演では，最先端の組合せ論的アプローチを用いることで，KPZ普遍クラスの基礎的なモデルであるLast Passage Percolation（LPP）において， Chapman-Kolmogorov equationが容易に得られることを紹介する.
KPZ普遍クラスに属するいくつかのモデルにおいて，その推移確率等が複素積分形の関数で書き表せることが知られている．しかしながら，複素積分を用いた計算は複雑となることも多く，KPZ普遍クラスに属するモデルにとって重要な確率論的性質を証明するのが困難となっていた．近年，この問題を解決するものとして対称多項式等を用いた組合せ論的手法に注目が集まってきている．本講演では，最先端の組合せ論的アプローチを用いることで，KPZ普遍クラスの基礎的なモデルであるLast Passage Percolation（LPP）において， Chapman-Kolmogorov equationが容易に得られることを紹介する.
2023年04月24日(月)
17:00-18:30 数理科学研究科棟(駒場) 126号室
Charles Bordenave 氏 (Institut de Mathématiques de Marseille)
Mobility edge, the Poisson Infinite weighted tree of Aldous and Lévy Matrices (English)
Charles Bordenave 氏 (Institut de Mathématiques de Marseille)
Mobility edge, the Poisson Infinite weighted tree of Aldous and Lévy Matrices (English)
[ 講演概要 ]
Anderson's 1958 paper on wave scattering in disordered media is still of central importance in contemporary mathematical physics. In this talk, we will present recent progress in understanding the phenomena of localization / delocalization of eigenwaves for some random operators. These operators are built on random trees introduced by Aldous and these are the scaling limits of heavy-tailed random matrices, the Lévy matrices. The focus will be put on the existence of a mobility edge, that is to say of かn abrupt transition between localization and delocalization of eigenwaves. It is a work in collaboration with Amol Aggarwal (Columbia) and Patrick Lopatto (NYU).
Anderson's 1958 paper on wave scattering in disordered media is still of central importance in contemporary mathematical physics. In this talk, we will present recent progress in understanding the phenomena of localization / delocalization of eigenwaves for some random operators. These operators are built on random trees introduced by Aldous and these are the scaling limits of heavy-tailed random matrices, the Lévy matrices. The focus will be put on the existence of a mobility edge, that is to say of かn abrupt transition between localization and delocalization of eigenwaves. It is a work in collaboration with Amol Aggarwal (Columbia) and Patrick Lopatto (NYU).
2023年04月17日(月)
17:00-18:30 数理科学研究科棟(駒場) 126号室
清水良輔 氏 (早稲田大学)
Construction of Sobolev spaces and energies on the Sierpinski carpet (Japanese)
清水良輔 氏 (早稲田大学)
Construction of Sobolev spaces and energies on the Sierpinski carpet (Japanese)
[ 講演概要 ]
Sierpinski carpetをはじめとした特異的構造を有する「フラクタル」の上では、勾配作用素そのものを定式化することが難しく、一階のSobolev空間W^{1, p}や対応するエネルギー汎関数であるp-エネルギーといった解析的対象物を構成すること自体が非自明な問題となる。実際に、1990年代後半から爆発的に進展した「距離空間上の解析学」の手法はフラクタルのような異常拡散を有する空間とは相性が悪く、この理論が提供するSobolev空間は自明なものとなってしまう。一方で、p = 2の場合はDirichlet形式理論を通じた確率論的解釈があるという意味で特殊であり、「Sierpinski carpet上のBrown運動/Dirichlet形式」の構成はBarlow-Bass (1989)、Kusuoka-Zhou(1992)という2つのアプローチでなされた。本講演ではKusuoka-Zhou(1992)の構成法に立ち返り、全てのp > 1に対するSierpinski carpet上の``canonical''なSobolev空間W^{1, p}とp-エネルギーの構成法に関する講演者の結果について説明する。また、W^{1, p}の正則性（Sobolevの埋め込み）と、Ahlfors正則等角次元と呼ばれる「擬対称不変な次元」との関連についても述べる。本講演の一部はMathav Murugan氏（University of British Columbia）との共同研究に基づく。
Sierpinski carpetをはじめとした特異的構造を有する「フラクタル」の上では、勾配作用素そのものを定式化することが難しく、一階のSobolev空間W^{1, p}や対応するエネルギー汎関数であるp-エネルギーといった解析的対象物を構成すること自体が非自明な問題となる。実際に、1990年代後半から爆発的に進展した「距離空間上の解析学」の手法はフラクタルのような異常拡散を有する空間とは相性が悪く、この理論が提供するSobolev空間は自明なものとなってしまう。一方で、p = 2の場合はDirichlet形式理論を通じた確率論的解釈があるという意味で特殊であり、「Sierpinski carpet上のBrown運動/Dirichlet形式」の構成はBarlow-Bass (1989)、Kusuoka-Zhou(1992)という2つのアプローチでなされた。本講演ではKusuoka-Zhou(1992)の構成法に立ち返り、全てのp > 1に対するSierpinski carpet上の``canonical''なSobolev空間W^{1, p}とp-エネルギーの構成法に関する講演者の結果について説明する。また、W^{1, p}の正則性（Sobolevの埋め込み）と、Ahlfors正則等角次元と呼ばれる「擬対称不変な次元」との関連についても述べる。本講演の一部はMathav Murugan氏（University of British Columbia）との共同研究に基づく。
2019年01月28日(月)
16:00-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 128号室
河本 陽介 氏 (福岡歯科大学)
ランダム行列に関する普遍的な点過程間の遷移関係とその力学版 (JAPANESE)
河本 陽介 氏 (福岡歯科大学)
ランダム行列に関する普遍的な点過程間の遷移関係とその力学版 (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
ランダム行列に関する無限粒子系の点過程として、Bessel点過程、サイン点過程、Airy点過程がよく知られている。これらは最初、Gaussianランダム行列モデルの固有値のスケーリング極限として得られたが、その後様々なモデルのスケーリング極限としても得られるという普遍性が明らかになった。この意味で、上記3つの点過程はランダム行列に関する典型的なモデルといえる。さらに、この3つは互いにスケーリング極限で結びついており、Bessel点過程を親玉とした遷移関係が存在することが知られている。今回の講演では、この点過程間の遷移関係が、点過程に自然に付随する確率力学にも遺伝することを導き、確率力学のレベルにおいてもBessel干渉型確率微分方程式を親玉とする遷移関係があることを紹介する。また時間が許す限り証明についても述べたい。
ランダム行列に関する無限粒子系の点過程として、Bessel点過程、サイン点過程、Airy点過程がよく知られている。これらは最初、Gaussianランダム行列モデルの固有値のスケーリング極限として得られたが、その後様々なモデルのスケーリング極限としても得られるという普遍性が明らかになった。この意味で、上記3つの点過程はランダム行列に関する典型的なモデルといえる。さらに、この3つは互いにスケーリング極限で結びついており、Bessel点過程を親玉とした遷移関係が存在することが知られている。今回の講演では、この点過程間の遷移関係が、点過程に自然に付随する確率力学にも遺伝することを導き、確率力学のレベルにおいてもBessel干渉型確率微分方程式を親玉とする遷移関係があることを紹介する。また時間が許す限り証明についても述べたい。
2018年12月10日(月)
17:00-18:00 数理科学研究科棟(駒場) 号室
東京工業大学（大岡山) 本館 H112講義室での開催となります(いつもと時間・場所が異なりますのでご注意ください). 主催 :東京工業大学 量子物理学・ナノサイエンス先端研究センター
Nikolaos Zygouras 氏 (University of Warwick)
Random polymer models and classical groups (ENGLISH)
https://warwick.ac.uk/fac/sci/statistics/staff/academic-research/zygouras/
東京工業大学（大岡山) 本館 H112講義室での開催となります(いつもと時間・場所が異なりますのでご注意ください). 主催 :東京工業大学 量子物理学・ナノサイエンス先端研究センター
Nikolaos Zygouras 氏 (University of Warwick)
Random polymer models and classical groups (ENGLISH)
[ 講演概要 ]
The relation between polymer models at zero temperature and characters of the general linear group GL_n(R) has been known since the first breakthroughs in the field around the KPZ universality through the works of Johansson, Baik, Rains, Okounkov and others. Later on, geometric liftings of the GL_n(R) characters appeared in the study of positive temperature polymer models in the form of GL_n(R)-Whittaker functions. In this talk I will describe joint works with E. Bisi where we have established that Whittaker functions associated to the orthogonal group SO_{2n+1}(R) can be used to describe laws of positive temperature polymers when their end point is free to lie on a line. Going back to zero temperature, we will also see that characters of other classical groups such as SO_{2n+1}(R); Sp_{2n}(R); SO_{2n}(R) do play a role in describing laws of polymers in various geometries. This occurence might be surprising given the length of time these models have been studied.
[ 参考URL ]The relation between polymer models at zero temperature and characters of the general linear group GL_n(R) has been known since the first breakthroughs in the field around the KPZ universality through the works of Johansson, Baik, Rains, Okounkov and others. Later on, geometric liftings of the GL_n(R) characters appeared in the study of positive temperature polymer models in the form of GL_n(R)-Whittaker functions. In this talk I will describe joint works with E. Bisi where we have established that Whittaker functions associated to the orthogonal group SO_{2n+1}(R) can be used to describe laws of positive temperature polymers when their end point is free to lie on a line. Going back to zero temperature, we will also see that characters of other classical groups such as SO_{2n+1}(R); Sp_{2n}(R); SO_{2n}(R) do play a role in describing laws of polymers in various geometries. This occurence might be surprising given the length of time these models have been studied.
https://warwick.ac.uk/fac/sci/statistics/staff/academic-research/zygouras/
2018年11月19日(月)
16:00-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 128号室
Fabio Toninelli 氏 (University Lyon 1)
Two-dimensional stochastic interface growth (ENGLISH)
http://math.univ-lyon1.fr/~toninelli/
Fabio Toninelli 氏 (University Lyon 1)
Two-dimensional stochastic interface growth (ENGLISH)
[ 講演概要 ]
I will discuss stochastic growth of two-dimensional, discrete interfaces, especially models in the so-called Anisotropic KPZ (AKPZ) class, that has the same large-scale behavior as the Stochastic Heat equation with additive noise. I will focus in particular on: 1) the relation between AKPZ exponents, convexity properties of the speed of growth and the preservation of the Gibbs property; and 2) the relation between singularities of the speed of growth and the occurrence of "smooth" (i.e. non-rough) stationary states.
[ 参考URL ]I will discuss stochastic growth of two-dimensional, discrete interfaces, especially models in the so-called Anisotropic KPZ (AKPZ) class, that has the same large-scale behavior as the Stochastic Heat equation with additive noise. I will focus in particular on: 1) the relation between AKPZ exponents, convexity properties of the speed of growth and the preservation of the Gibbs property; and 2) the relation between singularities of the speed of growth and the occurrence of "smooth" (i.e. non-rough) stationary states.
http://math.univ-lyon1.fr/~toninelli/
2018年11月12日(月)
16:00-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 128号室
Alejandro Ramirez 氏 (Pontificia Universidad Catolica de Chile)
Random walk at weak and strong disorder (ENGLISH)
http://www.mat.uc.cl/~aramirez/
Alejandro Ramirez 氏 (Pontificia Universidad Catolica de Chile)
Random walk at weak and strong disorder (ENGLISH)
[ 講演概要 ]
We consider random walks at low disorder on $\mathbb Z^d$. For dimensions $d\ge 4$, we exhibit a phase transition on the strength of the disorder expressed as an equality between the quenched and annealed rate functions. In dimension $d=2$ we exhibit a universal scaling limit to the stochastic heat equation. This talk is based on joint works with Bazaes, Mukherjee and Saglietti, and with Moreno and Quastel.
[ 参考URL ]We consider random walks at low disorder on $\mathbb Z^d$. For dimensions $d\ge 4$, we exhibit a phase transition on the strength of the disorder expressed as an equality between the quenched and annealed rate functions. In dimension $d=2$ we exhibit a universal scaling limit to the stochastic heat equation. This talk is based on joint works with Bazaes, Mukherjee and Saglietti, and with Moreno and Quastel.
http://www.mat.uc.cl/~aramirez/
2018年10月29日(月)
16:00-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 128号室
Sunder Sethuraman 氏 (University of Arizona)
On Hydrodynamic Limits of Young Diagrams (ENGLISH)
http://math.arizona.edu/~sethuram/
Sunder Sethuraman 氏 (University of Arizona)
On Hydrodynamic Limits of Young Diagrams (ENGLISH)
[ 講演概要 ]
We consider a family of stochastic models of evolving two-dimensional Young diagrams, given in terms of certain energies, with Gibbs invariant measures. `Static' scaling limits of the shape functions, under these Gibbs measures, have been shown by several over the years. The purpose of this article is to study corresponding `dynamical' limits of which less is understood. We show that the hydrodynamic scaling limits of the diagram shape functions may be described by different types of parabolic PDEs, depending on the energy structure.
The talk will be based on the article: https://arxiv.org/abs/1809.03592
[ 参考URL ]We consider a family of stochastic models of evolving two-dimensional Young diagrams, given in terms of certain energies, with Gibbs invariant measures. `Static' scaling limits of the shape functions, under these Gibbs measures, have been shown by several over the years. The purpose of this article is to study corresponding `dynamical' limits of which less is understood. We show that the hydrodynamic scaling limits of the diagram shape functions may be described by different types of parabolic PDEs, depending on the energy structure.
The talk will be based on the article: https://arxiv.org/abs/1809.03592
http://math.arizona.edu/~sethuram/
2018年10月22日(月)
16:00-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 126号室
Trinh Khanh Duy 氏 (東北大学数理科学連携研究センター)
Limit theorems for random geometric complexes in the critical regime (ENGLISH)
Trinh Khanh Duy 氏 (東北大学数理科学連携研究センター)
Limit theorems for random geometric complexes in the critical regime (ENGLISH)
[ 講演概要 ]
Geometric complexes (eg. Cech complexes or Rips complexes) are simplicial complexes defined on a finite set of points in a Euclidean space together with a radius parameter, which can be viewed as a higher dimensional generalization of geometric graphs. This talk concerns with random geometric complexes built over binomial point processes (collections of iid points). Like random geometric graphs, there are three regimes (subcritical(or dust, sparse) regime, critical (or thermodynamic) regime and supercritical regime) which are divided according the growth of the radius parameters in which the limiting behavior of random geometric complexes is totally different. This talk introduces some results on the strong law of large numbers and a central limit theorem in the critical regime.
Geometric complexes (eg. Cech complexes or Rips complexes) are simplicial complexes defined on a finite set of points in a Euclidean space together with a radius parameter, which can be viewed as a higher dimensional generalization of geometric graphs. This talk concerns with random geometric complexes built over binomial point processes (collections of iid points). Like random geometric graphs, there are three regimes (subcritical(or dust, sparse) regime, critical (or thermodynamic) regime and supercritical regime) which are divided according the growth of the radius parameters in which the limiting behavior of random geometric complexes is totally different. This talk introduces some results on the strong law of large numbers and a central limit theorem in the critical regime.
2018年07月30日(月)
16:00-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 126号室
早瀬 友裕 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
自由確率論によるランダム行列モデルのパラメータ推定 (JAPANESE)
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~hayase/
早瀬 友裕 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
自由確率論によるランダム行列モデルのパラメータ推定 (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
ランダム行列モデルにおいて, サンプル行列がひとつしかなければ, 経験尤度関数に基づいたパラメータ推定は様々な（現実的でない）仮定が必要です. 今回, 経験尤度ではなく経験固有値分布に基づいた,そのような仮定を必要としない手法を紹介します. ひとつのポイントは, 経験固有値分布をCauchy noiseで摂動させた分布を使うことです. この摂動された分布を使うのは, (自由確率論のFree Deterministic Equivalentという良い道具に基づき）, それがなめらかでアクセス可能な密度を持つ分布でfittingされるからです.
加えて, 確率的主成分分析などに現れるランダム行列モデルのパラメータ推定, ランク推定に有効であること, 真の信号が極端に低ランクでなくても, 当手法が真のランクを推定することを紹介します.
[ 参考URL ]ランダム行列モデルにおいて, サンプル行列がひとつしかなければ, 経験尤度関数に基づいたパラメータ推定は様々な（現実的でない）仮定が必要です. 今回, 経験尤度ではなく経験固有値分布に基づいた,そのような仮定を必要としない手法を紹介します. ひとつのポイントは, 経験固有値分布をCauchy noiseで摂動させた分布を使うことです. この摂動された分布を使うのは, (自由確率論のFree Deterministic Equivalentという良い道具に基づき）, それがなめらかでアクセス可能な密度を持つ分布でfittingされるからです.
加えて, 確率的主成分分析などに現れるランダム行列モデルのパラメータ推定, ランク推定に有効であること, 真の信号が極端に低ランクでなくても, 当手法が真のランクを推定することを紹介します.
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~hayase/
2018年07月02日(月)
16:00-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 126号室
世良 透 氏 (京都大学大学院理学研究科)
間欠力学系に関する種々の分布極限定理 (JAPANESE)
世良 透 氏 (京都大学大学院理学研究科)
間欠力学系に関する種々の分布極限定理 (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
間欠力学系とは，中立不動点を持つ一次元写像力学系のことである．この力学系は様々な非平衡系に現れる間欠現象のモデルとして，統計物理学などの観点から広く研究されてきた．間欠現象とは，ほぼ周期的かつ持続的な「安定状態」が，非周期的かつ一時的に生ずる「不安定状態」によって繰り返し中断される，という現象を指す．Lorenz(1963)は熱対流の微分方程式モデルを研究し，解軌道の数値プロットから間欠力学系を抽出した．Pomeau--Manneville(1980)は「熱対流の安定状態」を「間欠力学系の中立不動点」と見なして，間欠力学系を介してLorenzの熱対流モデルが持つ間欠性を考察している．
また，間欠力学系は無限エルゴード理論などの観点からも研究され，Markov過程論のアナロジーから種々の分布極限定理が得られてきた．本講演では間欠力学系に関する分布極限定理として，中立不動点から離れた場所(不安定状態)への滞在に関するAaronson(1981)&(1986)，Owada--Samorodnitsky(2015)の結果，および中立不動点近傍(安定状態)への滞在に関するThaler(2002)，S.--Yano(2017+)の結果を紹介する．そしてこれらを統合・精密化した講演者の最近の結果について述べる．間欠力学系の滞在時間のスケール極限として，マルチレイ上を走る歪みBessel拡散過程の原点局所時間や各レイごとの滞在時間が現れる．証明の鍵は周遊理論およびTyran-Kaminska(2010)による定常増分過程の関数型極限定理である．
間欠力学系とは，中立不動点を持つ一次元写像力学系のことである．この力学系は様々な非平衡系に現れる間欠現象のモデルとして，統計物理学などの観点から広く研究されてきた．間欠現象とは，ほぼ周期的かつ持続的な「安定状態」が，非周期的かつ一時的に生ずる「不安定状態」によって繰り返し中断される，という現象を指す．Lorenz(1963)は熱対流の微分方程式モデルを研究し，解軌道の数値プロットから間欠力学系を抽出した．Pomeau--Manneville(1980)は「熱対流の安定状態」を「間欠力学系の中立不動点」と見なして，間欠力学系を介してLorenzの熱対流モデルが持つ間欠性を考察している．
また，間欠力学系は無限エルゴード理論などの観点からも研究され，Markov過程論のアナロジーから種々の分布極限定理が得られてきた．本講演では間欠力学系に関する分布極限定理として，中立不動点から離れた場所(不安定状態)への滞在に関するAaronson(1981)&(1986)，Owada--Samorodnitsky(2015)の結果，および中立不動点近傍(安定状態)への滞在に関するThaler(2002)，S.--Yano(2017+)の結果を紹介する．そしてこれらを統合・精密化した講演者の最近の結果について述べる．間欠力学系の滞在時間のスケール極限として，マルチレイ上を走る歪みBessel拡散過程の原点局所時間や各レイごとの滞在時間が現れる．証明の鍵は周遊理論およびTyran-Kaminska(2010)による定常増分過程の関数型極限定理である．
2018年06月25日(月)
16:00-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 126号室
濱口 雄史 氏 (京都大学大学院理学研究科)
BSDEs driven by cylindrical martingales with application to approximate hedging in bond markets (JAPANESE)
濱口 雄史 氏 (京都大学大学院理学研究科)
BSDEs driven by cylindrical martingales with application to approximate hedging in bond markets (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
金利マーケットや商品先物市場では、フォワードカーブのランダムな時間発展挙動を連続関数空間上の無限次元確率過程として記述する手法が用いられる。このモデルでは形式的に非加算無限個の取引可能財が存在するため、ボンドの満期を表す区間上の符号付測度に値を取るポートフォリオを考えることとなる。本講演では、無限次元マーケットにおけるクレームのヘッジに関連して、無限次元マルチンゲール(連続関数空間上のcylindrical martingale)により駆動するリプシッツ型BSDEの解の存在と一意性を示す。さらに、この解が対応する有限次元BSDEの解によって近似できることを示す。これにより、無限次元マーケットにおけるクレームの形式的なヘッジ戦略が、有限次元部分マーケットにおけるFollmer-Schweizer分解、すなわち局所リスク最少戦略の極限として得られることが従う。
金利マーケットや商品先物市場では、フォワードカーブのランダムな時間発展挙動を連続関数空間上の無限次元確率過程として記述する手法が用いられる。このモデルでは形式的に非加算無限個の取引可能財が存在するため、ボンドの満期を表す区間上の符号付測度に値を取るポートフォリオを考えることとなる。本講演では、無限次元マーケットにおけるクレームのヘッジに関連して、無限次元マルチンゲール(連続関数空間上のcylindrical martingale)により駆動するリプシッツ型BSDEの解の存在と一意性を示す。さらに、この解が対応する有限次元BSDEの解によって近似できることを示す。これにより、無限次元マーケットにおけるクレームの形式的なヘッジ戦略が、有限次元部分マーケットにおけるFollmer-Schweizer分解、すなわち局所リスク最少戦略の極限として得られることが従う。
2018年06月18日(月)
16:00-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 126号室
種村 秀紀 氏 (慶應義塾大学理工学部数理科学科)
相互作用をもつ無限個の剛体球の系 (JAPANESE)
種村 秀紀 氏 (慶應義塾大学理工学部数理科学科)
相互作用をもつ無限個の剛体球の系 (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
粒子間にハードコア相互作用があるとき、その粒子系は剛体球の系と見なすことができ、さらに各々の粒子が独立なブラウン運動により駆動されている場合は、Skorohod 型方程式の解として表すことができる。本講演では、粒子数が無限個であり、剛体球間に長距離相互作用がある場合に、対応する無限次元Skorohod 型方程式を導入し、その解の存在と一意性について議論する。
粒子間にハードコア相互作用があるとき、その粒子系は剛体球の系と見なすことができ、さらに各々の粒子が独立なブラウン運動により駆動されている場合は、Skorohod 型方程式の解として表すことができる。本講演では、粒子数が無限個であり、剛体球間に長距離相互作用がある場合に、対応する無限次元Skorohod 型方程式を導入し、その解の存在と一意性について議論する。
2018年06月04日(月)
16:00-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 126号室
三竹 大寿 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
退化粘性ハミルトン・ヤコビ方程式の一意性集合 (JAPANESE)
三竹 大寿 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
退化粘性ハミルトン・ヤコビ方程式の一意性集合 (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
Hamilton-Jacobi (HJ)方程式の初期値問題の解の長時間挙動を考えた時に現れる定常問題を，加法的固有値問題と呼ぶ．この加法的固有値問題の粘性解は，一意性が成り立たないことがよく知られている．力学系におけるAubry-Mather理論と粘性解理論との関係を整理することで発展した弱Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) 理論において，Mather集合またはAubry集合上で一致する粘性解は一意的であることが証明された．つまり，これらの集合は，加法的固有値問題の粘性解の一意性集合の役割を果たす．
最適確率制御問題を考えると自然に現れる退化粘性HJ方程式は，粘性解理論においてより自然な枠組みとして考えることができるが，従来の弱KAM理論では，決定論的な力学系しか扱えないため，取り扱いが困難であった．この点に注目をして，講演者は偏微分方程式論の立場から取り組むことで，弱KAM理論を発展させてきた．本講演では，特に退化粘性HJ方程式の加法的固有値問題の一意性集合について，最近得られた結果について紹介する．
解析のポイントは，対応する一般化されたMather測度を非線形随伴法で構成する点にある．この点での解析手段は，偏微分方程式論において閉じている話題ではあるが，背景に最適確率制御の問題を抱えているため，確率論において一つの新しい題材を提供できればと思っている．なお，本研究はH. V. Tran氏（U. Wisconsin-Madison)との共同研究である．
Hamilton-Jacobi (HJ)方程式の初期値問題の解の長時間挙動を考えた時に現れる定常問題を，加法的固有値問題と呼ぶ．この加法的固有値問題の粘性解は，一意性が成り立たないことがよく知られている．力学系におけるAubry-Mather理論と粘性解理論との関係を整理することで発展した弱Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) 理論において，Mather集合またはAubry集合上で一致する粘性解は一意的であることが証明された．つまり，これらの集合は，加法的固有値問題の粘性解の一意性集合の役割を果たす．
最適確率制御問題を考えると自然に現れる退化粘性HJ方程式は，粘性解理論においてより自然な枠組みとして考えることができるが，従来の弱KAM理論では，決定論的な力学系しか扱えないため，取り扱いが困難であった．この点に注目をして，講演者は偏微分方程式論の立場から取り組むことで，弱KAM理論を発展させてきた．本講演では，特に退化粘性HJ方程式の加法的固有値問題の一意性集合について，最近得られた結果について紹介する．
解析のポイントは，対応する一般化されたMather測度を非線形随伴法で構成する点にある．この点での解析手段は，偏微分方程式論において閉じている話題ではあるが，背景に最適確率制御の問題を抱えているため，確率論において一つの新しい題材を提供できればと思っている．なお，本研究はH. V. Tran氏（U. Wisconsin-Madison)との共同研究である．
2018年05月14日(月)
16:00-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 126号室
村山 拓也 氏 (京都大学大学院理学研究科)
Chordal Komatu-Loewner equation for a family of continuously growing hulls (JAPANESE)
村山 拓也 氏 (京都大学大学院理学研究科)
Chordal Komatu-Loewner equation for a family of continuously growing hulls (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
Loewner方程式は，複素平面上の単連結な領域における単葉函数族の極値問題に古くから用いられてきた．近年では，統計力学模型のスケーリング極限を記述する確率的Loewner発展(SLE)の構成に応用され，函数論，確率論，数理物理と様々な分野にまたがって注目を受けている．本講演ではこの方程式を多重連結領域へと拡張したKomatu-Loewner方程式について紹介する．特に，先行研究の結果を「連続な」増大殻(hull)へ一般化することで，これまで上手く扱えなかった多重連結領域上の問題に対し新たなアプローチが得られる様子を概説する．
Loewner方程式は，複素平面上の単連結な領域における単葉函数族の極値問題に古くから用いられてきた．近年では，統計力学模型のスケーリング極限を記述する確率的Loewner発展(SLE)の構成に応用され，函数論，確率論，数理物理と様々な分野にまたがって注目を受けている．本講演ではこの方程式を多重連結領域へと拡張したKomatu-Loewner方程式について紹介する．特に，先行研究の結果を「連続な」増大殻(hull)へ一般化することで，これまで上手く扱えなかった多重連結領域上の問題に対し新たなアプローチが得られる様子を概説する．
2018年05月07日(月)
16:00-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 126号室
沙川貴大 氏 (東京大学工学部)
孤立量子多体系における熱力学第二法則
(JAPANESE)
http://www.taksagawa.com
沙川貴大 氏 (東京大学工学部)
孤立量子多体系における熱力学第二法則
(JAPANESE)
[ 講演概要 ]
可逆な量子力学から不可逆な熱力学が如何にして創発するかは、１９世紀以来の物理学の難問の一つである。本講演では、多体系の量子力学に基づいて熱力学を理解する研究の背景と、最近の我々の結果について紹介する。我々は、熱浴の初期状態がエネルギー固有状態で時間発展がユニタリの場合について、熱力学第二法則および「ゆらぎの定理」と呼ばれる関係式を厳密に証明した[1]。その際の重要な概念は、固有状態熱化仮説とLieb-Robinson限界である。本講演では、固有状態熱化仮説に関する我々の数値的な研究の結果[2]も合わせて紹介する。
[1] Eiki Iyoda, Kazuya Kaneko, and Takahiro Sagawa, Phys. Rev. Lett. 119, 100601 (2017).
[2] Toru Yoshizawa, Eiki Iyoda, Takahiro Sagawa, arXiv:1712.07289, accepted by Phys. Rev. Lett. (2018).
[ 参考URL ]可逆な量子力学から不可逆な熱力学が如何にして創発するかは、１９世紀以来の物理学の難問の一つである。本講演では、多体系の量子力学に基づいて熱力学を理解する研究の背景と、最近の我々の結果について紹介する。我々は、熱浴の初期状態がエネルギー固有状態で時間発展がユニタリの場合について、熱力学第二法則および「ゆらぎの定理」と呼ばれる関係式を厳密に証明した[1]。その際の重要な概念は、固有状態熱化仮説とLieb-Robinson限界である。本講演では、固有状態熱化仮説に関する我々の数値的な研究の結果[2]も合わせて紹介する。
[1] Eiki Iyoda, Kazuya Kaneko, and Takahiro Sagawa, Phys. Rev. Lett. 119, 100601 (2017).
[2] Toru Yoshizawa, Eiki Iyoda, Takahiro Sagawa, arXiv:1712.07289, accepted by Phys. Rev. Lett. (2018).
http://www.taksagawa.com
2018年04月23日(月)
16:00-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 126号室
河備 浩司 氏 (慶應義塾大学経済学部)
Functional central limit theorems for non-symmetric random walks on nilpotent covering graphs (JAPANESE)
河備 浩司 氏 (慶應義塾大学経済学部)
Functional central limit theorems for non-symmetric random walks on nilpotent covering graphs (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
ベキ零群を被覆変換群とするような有限グラフの被覆グラフのことをベキ零被覆グラフと呼ぶ。結晶格子(被覆変換群がアーベル群の場合)上のランダムウォークに関してはすでに多くの極限定理が, 離散幾何解析の枠組みで得られている。我々は以前にこれらの研究の延長としてベキ零被覆グラフ上の非対称ランダムウォークの汎関数中心極限定理を考察し,スケール極限として捉えたベキ零Lie群値拡散過程に, ランダムウォークの非対称性からくるドリフト項が現れることをいくつかの技術的な仮定の下で示した。この結果は難波氏が, 2016年7月の本セミナーで報告したが,その後, このドリフト項が実現写像のambiguityによらずに定まる事が分かっただけでなく, 従来の技術的な仮定の多くをはずすことにも成功した。時間があればラフパス理論との関連および証明の概略についても話したい。
本講演の内容は、石渡 聡 氏 (山形大) および 難波 隆弥 氏 (岡山大)との共同研究に基づく。
ベキ零群を被覆変換群とするような有限グラフの被覆グラフのことをベキ零被覆グラフと呼ぶ。結晶格子(被覆変換群がアーベル群の場合)上のランダムウォークに関してはすでに多くの極限定理が, 離散幾何解析の枠組みで得られている。我々は以前にこれらの研究の延長としてベキ零被覆グラフ上の非対称ランダムウォークの汎関数中心極限定理を考察し,スケール極限として捉えたベキ零Lie群値拡散過程に, ランダムウォークの非対称性からくるドリフト項が現れることをいくつかの技術的な仮定の下で示した。この結果は難波氏が, 2016年7月の本セミナーで報告したが,その後, このドリフト項が実現写像のambiguityによらずに定まる事が分かっただけでなく, 従来の技術的な仮定の多くをはずすことにも成功した。時間があればラフパス理論との関連および証明の概略についても話したい。
本講演の内容は、石渡 聡 氏 (山形大) および 難波 隆弥 氏 (岡山大)との共同研究に基づく。
2018年01月29日(月)
16:00-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 128号室
桑江 一洋 氏 (福岡大学 理学部 応用数学教室)
Radial processes on RCD${}^*(K,N)$-spaces (JAPANESE)
桑江 一洋 氏 (福岡大学 理学部 応用数学教室)
Radial processes on RCD${}^*(K,N)$-spaces (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
測度距離空間上において「リッチ曲率が定数K以上かつ次元がN以下」という概念はBakry-Emery の曲率次元条件という定式化で確率論では８０年代半ばから知られている。近年、最適輸送理論を用いた曲率次元条件CD(K,N)の概念がLott-Villani, Sturm 等によって提唱され、微分幾何学との相性がよい形で定式化されてきた。しかしながらこの概念はリーマン多様体だけでなく、フィンスラー多様体なども包含しておりラプラシンも非線形になり得る。Ambrosio-Gigli-SavareはCheegerエネルギーが２次形式になるという解析的な性質から空間がリーマン的という条件を定式化し、曲率次元CD(K,N)と合わせてリーマン的曲率次元といい、そのような空間をRCD(K,N)空間と呼んだ。講演では簡約型RCD空間(RCD*(K,N)と記す)と呼ばれる範疇で、同径過程が半マルチンゲールになることを紹介する。すでに最近のCavalletti-Milman の研究でRCD*(K,N)=RCD(K,N)が判明している。古典的には完備リーマン多様体においてKendall が1987年に同径過程をCut-locus 上の局所時間を用いた表現を導出しているが、我々の結果はKendall と同様の表現ではなく、リッチ曲率がK以上であることに準拠した新しい型の表現公式である。そのためには同径関数の参照点についての条件(R2)が必要になるが、その条件はリーマン多様体や非崩壊のリッチ極限空間アレキサンドロフ空間では満たされる。一般のRCD*(K,N)空間ではa.e. の参照点について条件(R2)が満たされることが証明される。
同径過程の表現式の証明の鍵となるのはGigli によるラプラシアンの比較定理とそのことに基づくラプラシアンの表現公式である。さらに参照点についての条件(R2)の下で表現公式に出現する測度が狭義の滑らかな測度になることを熱核の上からの大域的なガウス型評価を用いて示し、それに基づいて同径過程の表現式を全ての出発点について精密化した。
この講演は東北大学の桑田和正氏との共同研究に基づく。
測度距離空間上において「リッチ曲率が定数K以上かつ次元がN以下」という概念はBakry-Emery の曲率次元条件という定式化で確率論では８０年代半ばから知られている。近年、最適輸送理論を用いた曲率次元条件CD(K,N)の概念がLott-Villani, Sturm 等によって提唱され、微分幾何学との相性がよい形で定式化されてきた。しかしながらこの概念はリーマン多様体だけでなく、フィンスラー多様体なども包含しておりラプラシンも非線形になり得る。Ambrosio-Gigli-SavareはCheegerエネルギーが２次形式になるという解析的な性質から空間がリーマン的という条件を定式化し、曲率次元CD(K,N)と合わせてリーマン的曲率次元といい、そのような空間をRCD(K,N)空間と呼んだ。講演では簡約型RCD空間(RCD*(K,N)と記す)と呼ばれる範疇で、同径過程が半マルチンゲールになることを紹介する。すでに最近のCavalletti-Milman の研究でRCD*(K,N)=RCD(K,N)が判明している。古典的には完備リーマン多様体においてKendall が1987年に同径過程をCut-locus 上の局所時間を用いた表現を導出しているが、我々の結果はKendall と同様の表現ではなく、リッチ曲率がK以上であることに準拠した新しい型の表現公式である。そのためには同径関数の参照点についての条件(R2)が必要になるが、その条件はリーマン多様体や非崩壊のリッチ極限空間アレキサンドロフ空間では満たされる。一般のRCD*(K,N)空間ではa.e. の参照点について条件(R2)が満たされることが証明される。
同径過程の表現式の証明の鍵となるのはGigli によるラプラシアンの比較定理とそのことに基づくラプラシアンの表現公式である。さらに参照点についての条件(R2)の下で表現公式に出現する測度が狭義の滑らかな測度になることを熱核の上からの大域的なガウス型評価を用いて示し、それに基づいて同径過程の表現式を全ての出発点について精密化した。
この講演は東北大学の桑田和正氏との共同研究に基づく。
2018年01月22日(月)
16:00-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 号室
早稲田大学 西早稲田キャンパス 51 号館 18 階 06 室 での開催となります。
佐々田 槙子 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
ランダムな初期状態をもつ箱玉系とPitmanの定理 (JAPANESE)
早稲田大学 西早稲田キャンパス 51 号館 18 階 06 室 での開催となります。
佐々田 槙子 氏 (東京大学大学院数理科学研究科)
ランダムな初期状態をもつ箱玉系とPitmanの定理 (JAPANESE)
[ 講演概要 ]
箱玉系は1990年に高橋-薩摩によって導入されたソリトン的なふるまいを示すセルオートマトンである。その後、箱玉系はKdV方程式や可解格子模型と密接に関係していることが明らかになり、様々な方向からの研究が行われ、また多くの拡張モデルも提案されてきた。箱玉系は$\{0,1\}^{\mathbb{N}}$上の有限個の粒子をもつ配置に対する決定論的な力学系として定式化できる。近年、P. Ferrariらが、$\{0,1\}^{\mathbb{Z}}$上の無限個の粒子をもつ配置に対して箱玉系の定義域を拡張し、ランダムな初期分布の元での系のふるまいの研究を行った。特に彼らは、期待値が$1/2$未満のベルヌーイ直積分布がこの箱玉系の不変分布となることを示し、さらに一般の不変分布について、よいミキシングのもとでは、ソリトンのサイズに応じた直積分解を持つことを示した。
本研究では、箱玉系の状態空間をシンプルランダムウォークのパスの空間に変換することで、無限個の粒子を持つ箱玉系について様々な解析を行った。まず、箱玉系が定義される配置を決定し、さらに系が可逆になるクラス、さらに可逆かつ不変になるクラスの決定を行った。さらに、$\{0,1\}^{\mathbb{Z}}$上の確率測度が不変分布になるための十分条件を与え、ベルヌーイ直積分布を含むいくつかのクラスの確率測度がこの条件を満たすことを示した。さらに、原点でのカレント、tagged particleの漸近挙動についても、いくつかの不変分布の元で解析を行った。さらに、シンプルランダムウォークに対する極限定理によって自然に現れる「$\mathbb{R}$上の箱玉系」を導入した。これは、ブラウン運動に対するピットマンの定理に現れる変換そのものである。$\mathbb{Z}$上の結果からの自然な拡張として、正のドリフト付きのブラウン運動が、$\mathbb{R}$
上の箱玉系の不変分布となることが示されるが、これにより両側無限の場合のピットマンの変換に対する不変分布であることも得られた。
本研究はDavid Croydon氏、加藤毅氏、辻本諭氏との共同研究である。
箱玉系は1990年に高橋-薩摩によって導入されたソリトン的なふるまいを示すセルオートマトンである。その後、箱玉系はKdV方程式や可解格子模型と密接に関係していることが明らかになり、様々な方向からの研究が行われ、また多くの拡張モデルも提案されてきた。箱玉系は$\{0,1\}^{\mathbb{N}}$上の有限個の粒子をもつ配置に対する決定論的な力学系として定式化できる。近年、P. Ferrariらが、$\{0,1\}^{\mathbb{Z}}$上の無限個の粒子をもつ配置に対して箱玉系の定義域を拡張し、ランダムな初期分布の元での系のふるまいの研究を行った。特に彼らは、期待値が$1/2$未満のベルヌーイ直積分布がこの箱玉系の不変分布となることを示し、さらに一般の不変分布について、よいミキシングのもとでは、ソリトンのサイズに応じた直積分解を持つことを示した。
本研究では、箱玉系の状態空間をシンプルランダムウォークのパスの空間に変換することで、無限個の粒子を持つ箱玉系について様々な解析を行った。まず、箱玉系が定義される配置を決定し、さらに系が可逆になるクラス、さらに可逆かつ不変になるクラスの決定を行った。さらに、$\{0,1\}^{\mathbb{Z}}$上の確率測度が不変分布になるための十分条件を与え、ベルヌーイ直積分布を含むいくつかのクラスの確率測度がこの条件を満たすことを示した。さらに、原点でのカレント、tagged particleの漸近挙動についても、いくつかの不変分布の元で解析を行った。さらに、シンプルランダムウォークに対する極限定理によって自然に現れる「$\mathbb{R}$上の箱玉系」を導入した。これは、ブラウン運動に対するピットマンの定理に現れる変換そのものである。$\mathbb{Z}$上の結果からの自然な拡張として、正のドリフト付きのブラウン運動が、$\mathbb{R}$
上の箱玉系の不変分布となることが示されるが、これにより両側無限の場合のピットマンの変換に対する不変分布であることも得られた。
本研究はDavid Croydon氏、加藤毅氏、辻本諭氏との共同研究である。
