担当 平地健吾 ([my last name]@ms.u-tokyo.ac.jp) TＡ 松尾信一郎 (exotic (at) ms.u-tokyo.ac.jp) 塚本泰三
・ A. N. Varchenko and P. I. Etingof: Why the Boundary of a Round Drop Becomes a Curve of Order Four の１から３章を解説します。 この本は AMS から無料でダウンロードできます。５章以降は見た目より難しい。 ・演習問題のファイル pdf と texファイル; 解答のファイル pdf と texファイル
・留数計算その２：主値積分、Logの分枝を用いた計算 ・共役調和関数の存在 ・演習問題のファイル pdf と texファイル
・Laurent展開の存在と留数の定義 ・留数定理：１点とhomotopicな閉曲線の場合と境界が連続微分可能な曲線である場合 ・偏角の原理とルーシェの定理 ・留数計算その１：三角関数の有理式の定積分、有理関数の定積分 ・演習問題のファイル pdf と texファイル; 解答のファイル pdf と texファイル
・領域内の曲線がhomotopicであることの定義; homotopyは同値関係である ・γとμがhomotopicであることとγーμが１点とhomotopicであることは同値 ・１点とhomotopicである曲線に対するCauchyの積分定理 ・単連結領域の定義；星形領域は単連結 ・単連結領域上では正則関数は原始関数をもつ ・単連結性と穴のない領域の関係 (同値性の説明のみ) ・演習問題のファイル pdf と texファイル
・1212教室、13:00--16:00の予定
・正則関数の零点の個数を対数微分の積分で表示する ・定数でない正則写像は局所的にはn対1である ・定数でない正則写像は開写像である ・正則写像の逆写像定理 ・最大値の原理 ・シュワルツの補題 ・円板を円板にうつす双正則写像は一次変換である ・演習問題のファイル pdf と texファイル
・弧状連結であれば連結であり、開集合であればその逆も正しいことの証明 ・孤立特異点の分類 ・Riemannの除去可能特異点定理 ・真性特異点でのCasorati-Weierstrassの定理 ・Riemann球面に値をとる正則関数は有理型関数である ・無限遠点での正則性と極の定義 ・Riemann 球面全体で定義された有理型関数は有理関数である ・演習問題のファイル pdf と texファイル; 解答のファイル pdf と texファイル
・モレラの定理 ・Greenの公式を用いた、正則と限らないC^1関数へのCauchyの積分表示の一般化(重積分を含む) ・Taylorの定理；剰余項の線積分による表示；ベキ級数展開の収束 ・Wierstrassの二重級数定理 ・正則関数の零点の位数；定数でない正則関数の零点は有限位数である ・コーシーの評価とその応用：リュービルの定理と代数学の基本定理 ・演習問題のファイル pdf と texファイル; 解答のファイル pdf と texファイル
・複素積分をもちいた対数の定義 ・星形領域の閉曲線に関するコーシーの積分表示と回転数 ・回転数は整数であり曲線のきめる領域上で定数である ・回転数を半直線を横断する曲線の方向の符号の和として表す ・連続曲線の回転数の定義 (Jordanの曲線定理の様々な証明はここからダウンロードできます) ・コーシーの評価とその応用：リュービルの定理と代数学の基本定理 ・演習問題のファイル pdf と texファイル; 解答のファイル pdf と texファイル
・複素線積分をリーマン積分の類似として定義する方法；弧長による積分 ・複素線積分と原始関数の関係 ・C^1級であることを仮定せずにコーシーの積分定理を証明 ・演習問題のファイル pdf と texファイル; 解答のファイル pdf と texファイル
・ベキ級数の収束半径；収束ベキ級数は正則関数であることの証明 ・線積分とグリーンの定理の復習 ・グリーンの定理を用いたコーシーの積分定理の証明 ・演習問題のファイル pdf と texファイル; 解答のファイル pdf と texファイル
・一次変換とSL(2,C)の関係を射影空間を使って説明 ・一次変換の性質（３点の値によって決定される；非調和比を保つ；円を円に移す；対称の原理） ・正則性と等角性は同値であることの証明 ・上極限の復習 ・演習問題のファイル pdf と texファイル; 解答のファイル pdf と texファイル
・序：複素変数の対数の定義について ・複素微分可能の定義とCauchy-Riemann方程式 ・正則関数の例：多項式関数と有理関数の零点と極の位数 ・有理関数はRiemann球面の間の連続写像を定義する；その位数をmとすると重複度をこめてm対1対応になる ・演習問題のファイル pdf と texファイル; 解答のファイル pdf と texファイル
