授業の目標・概要：

授業計画：
授業の方法：

成績評価方法：

教科書：

授業の目標・概要：
授業計画：
授業の方法：
成績評価方法：
教科書：

授業の目標・概要：

授業計画：
授業の方法：
成績評価方法：
参考書：

授業の目標・概要：
授業の方法：
成績評価方法：
教科書：
履修上の注意：

授業の目標・概要：数理科学に関する基礎知識の理解を深め、応用力を涵養する。
数学科におけるもっとも重要な科目である。

授業の方法：数理科学における基本的なテキストを選んで、指導教員のもとで定期的に購読を行う。

成績評価方法：出席状況と学習の到達度を基にした総合的判断による。

授業の目標・概要：数理科学における最前線の様々な話題を見聞し、専門にとらわれない多方面の知識を得る。

授業の方法：数学科教員が交代で数理科学の概説を行う（オムニバス形式）。

成績評価方法：出席状況と期末のレポートによる。

※平成24年度はこちら

授業の目標・概要：数理科学に関する基礎知識の理解を深め、応用力を涵養する。
数学科におけるもっとも重要な科目である。

授業の方法：数理科学における基本的テキストを選んで、指導教員のもとで定期的に購読を行う。

成績評価方法：出席状況と学習の到達度を基にした総合的判断による。

授業の目標・概要：

○授業内容：
環と加群、PID上の有限生成加群など、代数学�Tで学んだ群論および環論の初歩をさらに発展させた代数学における基本的な概論を扱う。
＜環上の加群＞
定義、加群の準同型と準同型定理、 自由加群、射影加群
単項イデアル環上の加群（有限生成アーベル群の基本定理、単因子論）
Jordan-Ho"lder(-Schreier) の定理、テンソル積、平坦加群
＜環論＞
Noether環、Hilbert基底定理、Jacobson根基と、中山の捕題、(半)単純環の構造定理

授業の方法：環論と、環が作用する加法群に関する諸定義や諸性質を、黒板での板書や配布資料を中心に講義する。体上の線形代数は環と加群の理論の典型であり、各種定義・定理が一般化された状態ではどのように変わるのかを見る。
　 板書および配布資料による講義では、抽象的概念を導入し、その意味を具体例などを通じて示すほか、特殊な理由がない限り証明も与える。具体的例・演習問題については、代数学特別演習IIを合わせて受講することにより補うことを強く推奨する。

成績評価方法：主に期末試験によるが、小テスト、レポート、授業への参加態度を加味する。

教科書：特に指定しない

参考書：桂利行：代数学II 環上の加群　(東京大学出版会）
堀田良之：代数入門　（裳華房）
山崎圭次郎：環と加群　（岩波書店）
河田敬義：ホモロジー代数　（岩波書店）

関連ホームページ：http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~matumoto/index.html

数理分類番号：312

授業の目標・概要：位相空間および位相空間対の特異ホモロジー群 について基礎的事項を解説する。関連して、基本群、 有限胞体複体、多様体の基本類、特異コホモロジーを扱う。

授業のキーワード：弧状連結成分、 0 次元ホモロジー群、 球面の写像度、 特異ホモロジー群、 特異ホモロジー群のホモトピー不変性、 立方体的特異ホモロジー群、 ホモロジー完全列、 Mayer-Vietoris 完全列、 基本群、 van Kampen の定理、 ホモトピー群、 対のホモトピー群、 対のホモトピー完全列、 ファイバー空間、 空間対のホモロジー群、 写像度、 写像度の局所化、 オイラー数、 有限胞体複体、 多様体の基本類

授業の方法：講義による。

成績評価方法：宿題レポート、中間テストおよび期末テストの結果を基に成績をつける。出席はとらない。

参考書：ホモロジー群に関して:
1) 中岡 稔 「（復刊）位相幾何学 ─ ホモロジー論」　（共立出版）
2) J.W. Milnor and J.D. Stasheff, `Characteristic Classes' (Princeton UP, New Jersey, 1974) の中の
Appendix A: Singular Homology and Cohomology
基本群に関して:
3) 松本 幸夫 「トポロジー入門」　（岩波書店）
全般に渉って:
4) 服部 晶夫 「位相幾何学」　（岩波書店）
5) Allen Hatcher, `Algebraic Topology' (Cambridge UP, Cambridge, 2002)

数理分類番号：322

授業の目標・概要：自然科学、および社会科学の多くの分野において、現象を記述するための基本的な手段である偏微分方程式の理論について、入門的講義を行う。並行して行われるフーリエ解析の講義と重複する部分もあり、今回は、(1)一階偏微分方程式、(2)二階楕円型境界値問題、特にディリクレ問題、と言うふたつのテーマに内容を絞る。

授業計画：

1.偏微分方程式に関する導入
2.一階偏微分方程式の定義と例
3.一階線形偏微分方程式
4.準線形一階偏微分方程式
5.一般の単独一階偏微分方程式
6.Hamilton-Jacobi方程式
7.ラプラス方程式の定義と調和関数
8.ラプラス方程式の基本解
9.ディリクレの原理
10.いくつかの可解な具体例
11.二重層ポテンシャル
12.ディリクレ問題の解決

授業の方法：講義による

成績評価方法：学期末試験による

教科書：なし

参考書：熊ノ郷準「偏微分方程式」（共立出版）
F.ジョン「偏微分方程式」（シュプリンガー・フェアラーク東京）
Gerald B. Folland "Introduction to Partial Differential Equations", 2nd Edition, (Princeton Univ. Press)

履修上の注意：微積分、線形代数、複素関数論などの基本的な数学的知識に加えて、積分論、多様体論を履修していることが望ましい。

数理分類番号：334

授業の目標・概要：本講義では、フーリエ解析と超関数を講ずる。
主な内容は、フーリエ変換、フーリエ級数、フーリエ解析に関連したヒルベルト
空間の基礎事項、緩増加超関数などである。
予備知識としては、微積分と線形代数学は勿論のこと、
ルベーグ積分、位相空間論の初歩、複素関数論を必要とする。

授業の方法：

前半では、フーリエ変換とその応用、フーリエ級数とその応用に関して講ずる。
後半では超関数(distrbution)、特にフーリエ解析に関連の深い緩増加超関数の
基礎事項、ならびに緩増加超関数の立場からフーリエ解析を解説する。時間があればソボレフ空間論の初歩もふれる。

成績評価方法：評価は期末試験によって行う。

教科書：講義中に指示する。

参考書：講義中に指示する。

数理分類番号：335

授業の目標・概要：「5次以上の方程式は四則と根号のみを使った根の公式を持たない」という有名なガロアの定理の証明を一つの目標とするが、現代代数学の基礎としての体の理論をより幅広く学ぶ。正標数の体独特の現象も学ぶ。

授業のキーワード：体、標数、有限体、拡大体、代数拡大、分離拡大、純非分離拡大、ガロア拡大、ガロア群、フロベニウス写像、代数方程式、可解性

授業計画：

１．抽象的な体の定義
２．有限体
３．体の拡大
４．代数拡大
５．分離拡大
６．純非分離拡大
７．ガロア拡大
８．ガロア群
９．フロベニウス写像
１０．代数方程式の可解性

授業の方法：講義による

授業評価方法：試験

参考書：桂：「体とガロアの理論」, 東京大学出版会
関連ホームページ：http://faculty.ms.u-tokyo.ac.jp/~kawamata_lab/

メールアドレス：kawamata@ms.u-tokyo.ac.jp

数理分類番号：313

授業の目標・概要：多様体上の微分形式とその基本的な性質，ド・ラム コホモロジー理論および
それらの応用を解説する.

授業のキーワード：可微分多様体、微分形式、閉形式、完全形式、回転量、接バンドル、余接バンドル、 ベクトル場、 ウェッジ積、微分形式の引き戻し、外微分、 ド・ラム　コホモロジー群、ポアンカレの補題、 ホモトピー作用素、ファンクター、多様体の向き、体積要素、ストークスの定理、写像度、ホモトピー不変性、1径数変換群、フロー、リー微分、カルタンの公式、ラプラシアン、グリーンの定理 、調和関数、ド・ラムの定理、チェックコホモロジー

授業計画：

1. 微分形式の幾何学への入門
2. 多様体の1次微分形式
3. 多様体上の微分形式とその外微分
4. 微分形式のいくつかの性質
5. ド・ラム コホモロジー群の基本性質，ポアンカレの補題
6. 多様体の向き，多様体上の微分形式の積分
7. 境界付き多様体のストークスの定理
8. 体積要素とストークスの定理の応用
9. 球面のド・ラム コホモロジー群と写像度
10. 1径数変換群とリー微分
11. リーマン多様体のグリーンの定理
12. チェイン上の積分とド・ラムの定理
13. チェック=ド・ラムの定理
14. ド・ラムの定理の証明
15. 応用と展望，調和積分論など

授業の方法：黒板による講義形式で行なう．レポート課題を課す．

成績評価方法：期末試験による. レポートついても加味する．

参考書：坪井俊　幾何学III 微分形式　東大出版会
森田茂之　微分形式の幾何学　岩波書店

関連ホームページ：http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kohno/lectures/geom3.html

メールアドレス：kohno@ms.u-tokyo.ac.jp

研究室電話番号：48332

数理分類番号：323

授業の目標・概要：運動方程式の数学的な取り扱いの基礎となる解析力学を概説する。 ニュートン力学と微分方程式 、変分問題、ラグランジュ形式、ハミルトン形式、 ポアソン代数、多様体上の古典力学などについて話す。時間が許せばポアソン代数を用いた可積分系の記述についても触れる。

授業のキーワード：解析力学、ニュートン力学、変分問題、ラグランジュ形式、ハミルトン形式、ポアソン代数

授業計画：数学科生向けに解析力学の概説を行う。ニュートン力学と微分方程式 、変分問題、ラグランジュ形式、ハミルトン形式、 対称性と保存量、正準変換、完全可積分性、シンプレクティック幾何学との関連など。座標を用いた局所理論と多様体の大域的構造の関連、可積分系におけるポアソン代数の構造などについても議論する予定である。

授業の方法：講義では、物理学のアイディアやイメージを把握すること、そして、現代の幾何学や代数学へつながる発展を展望することを主眼とする。

成績評価方法：レポートによる。課題は授業中に提示する。

教科書：V.I. Arnold著, Mathematical methods of classical mechanics, 2nd edition, Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag

数理分類番号：361

授業の目標・概要：線形代数学では、正則な行列を係数行列とする連立一次方程式は、一意な解を持ち、それはクラメールの公式を用いて表現できることを学んだ。しかし、もし、クラメールの公式をそのまま用いて、未知数が30個の連立一次方程式を解こうとすれば、現在利用できる最も速いスーパーコンピュータを用いても、100億年以上かかる見積もりになってしまい、現実的でない。一方、それをガウスの消去法で求めれば、手頃なラップトップ型パーソナルコンピュータを用いても、 1/100秒もかからない。このように、数学的に解が表現できる、あるいは解が存在するということと、実際に数値を得ることの間には、大きな溝があるのである。数学的な概念や方法を通じて、現実問題を研究する際には、当然、数値的な答えが要求される。そのような問題に対処するために、様々な数学的な概念を、具体的に数値を計算するという立場から研究する分野を数値解析と言う。本講義は、数値解析への入門を目的とし、１年および２年次に学んだ微分積分学や線形代数学に現れる諸問題、例えば、連立一次方程式、非線形方程式、定積分、常微分方程式などを、コンピュータを用いて数値的に解くための方法とその背景にある数学理論の解説を行う。

授業のキーワード：数値解析、連立方程式、非線型方程式、数値積分、常微分方程式

numerical analysis, linear system, nonlinear equation, numerical integration, ordinary differential equation

授業計画：

1. 浮動小数点数系
2. 行列のノルム
3. 連立一次方程式（定常反復法）
4. 連立一次方程式（ガウスの消去法とLU分解）
5. 連立一次方程式（安定性解析）
6. 補間多項式
7. Newton-Cotes積分方式
8. 直交多項式
9. Gauss型積分公式
10. 非線型方程式
11. Newton法
12. 常微分方程式の初期値問題
13. Runge-Kutta法
14. 刻み幅の自動調節
15. 共役勾配法

授業の方法： 教室での講義

成績評価方法：試験

教科書：特に指定しない

参考書：

1. 山本哲朗：数値解析入門，サイエンス社（初版1976年，第2版2006年）
2. 森正武：数値解析，共立出版(初版1973年，第2版2002年)
3. 金子晃：数値計算講義，サイエンス社（2009年）
4. 皆本晃弥：C言語による数値計算入門，サイエンス社(2005年)

履修上の注意：

(1)実際の数値計算には知識や論理のみでなく，経験と勘も重要なので，計算数理演習も併せて履修することが望ましい．
(2)本講義は，数理情報学I(教養学部基礎科学科)との合同授業．

関連ホームページ：http://www.infsup.jp/saito/

その他：数理分類番号：353

メールアドレス： norikazu@ms.u-tokyo.ac.jp

数理分類番号：353

授業の目標・概要：関数解析の基本事項について講義する．主に，無限次元のバナッハ空間及びヒルベルト空間と，その上の線型作用素について講義する．

授業のキーワード：関数解析、バナッハ空間、ヒルベルト空間、線型作用素

授業計画：概ね以下の内容を扱う予定である．これらは予定であり，以下の項目を変更（省略，追加，順序の変更等）をする事があり得る．また，以下の各項目は各回の内容に対応するものではない．

1. バナッハ空間
2. バナッハ空間の例
3. ヒルベルト空間，ヒルベルト空間の例
4. ヒルベルト空間に於ける射影定理，完全正規直交系
5. 線型作用素
6. 有界作用素，有界作用素の例
7. 双対空間とその実例
8. ヒルベルト空間に於けるリースの表現定理
9. 閉作用素と前閉作用素
10. ベールのカテゴリー定理
11. 一様有界性の原理
12. 開写像定理，閉グラフ定理
13. ハーン・バナッハの定理とその応用
14. 反射的バナッハ空間
15. 弱収束と汎弱収束

授業の方法：講義を行う．

成績評価方法：レポート

数理分類番号：531

授業の目標・概要：4人の教員がオムニバス形式でさまざまな分野に現れる非線形現象について，それらの数理的記述・解析方法を紹介する．
今年度予定されるトピックは，感染症数理モデル，ソリトン現象，可積分系，セルオートマトンなどである．

授業の方法：４人の教員がオムニバス形式でさまざまな分野に現れる非線形現象について講義する．

成績評価方法：レポート提出．（詳細は授業中に提示する．）

数理分類番号：562

授業の目標・概要：数学科の学生向けに、場の量子論における基礎的な考え方や方法論について講義する。

授業のキーワード：場の古典論、運動方程式、場の量子論、作用汎関数、分配関数、相関関数、経路積分、摂動論、ファインマン図形、ゲージ対称性、行列模型、１／Ｎ展開、リボングラフ、超対称性、非摂動効果、位相的場の理論

classical field theory, equation of motion,quantum field theory, action functional, partition function, correlation function,path integral, perturbation theory, ,Feynman diagram, gauge symmetry, matrix model,1/N expansion, ribbon graph,supersymmetry, nonperturbative effect,topological quantum field theory

授業計画：

１．場の理論の枠組み
２．場の古典論と場の量子論、経路積分
３．自由場の理論とWick の定理
４．経路積分と正準量子化
５．摂動展開と Feynman 図形
６．ゲージ対称性と行列模型
７．平面近似とリボングラフ
８．超対称性
９．非摂動効果と位相的場の理論
１０．場の理論のさまざまな例とその応用

授業の方法：講義による。

成績評価方法：レポートによる。課題は授業中に提示する。

履修上の注意：解析力学および量子力学についての初歩的な知識は仮定する。

メールアドレス：akishi@ms.u-tokyo.ac.jp

研究室電話番号：内線 47049

数理分類番号：563

授業の目標・概要：確率論の基礎について講義を行う。
講義は測度論（特に可測性について）の復習から始まり、
コルモゴロフの公理系、確率変数、確率分布と特性関数、独立性、
大数の法則、中心極限定理、ポアソンの少数の法則などについて講義していく。
また、マルコフ連鎖の入門についても講義を行う。

授業計画：

１．測度論の復習
２．Dynkin の補題
３．確率測度と確率変数
４．期待値
５．独立性
６．確率変数の独立性
７．確率分布
８．特性関数
９．確率測度の弱収束
１０．Levy の定理
１１．確率変数の収束
１２．中心極限定理
１３．大数の法則
１４．マルコフ連鎖
１５．再帰生と極限定理

授業の方法：講義による

成績評価方法：試験による

教科書：適当な教科書はないのでプリントを配る

参考書：西尾真喜子著「確率論」実教出版

履修上の注意：測度論、位相空間論の初歩を予備知識と仮定して講義を行う。

数理分類番号：341

授業の目標・概要：
コンピュータを用いた数値的解析方法は，理工学を超えて，生命科学，臨床医学，金融商品研究などにまで応用範囲を拡げ，幅広く有益な知見をもたらしている．そして，複雑かつ大規模な問題のコンピュータによるシミュレーションが可能になり，実行されるにつれ，それに関わる数学的諸問題の解決への要請は強くなる．実際，シミュレーションは，コンピュータの内部で完結するものではなく，現象のモデル（微分方程式など）化，モデルの数学解析，近似と離散化，アルゴリズムの実装とプログラムの作成，データの可視化，現実データとの照らし合わせ，信頼性の検証などの一連の過程であり，それらが数理という幹で強く繋がっているのである．本講義で扱うのは，上記の「近似と離散化」の部分である．すなわち，様々な物理現象の記述に現れる偏微分方程式を対象にして，数値的方法に基づく近似解法とその数学理論の概要を解説する．なお，具体的な近似方法としては，おもに差分法と有限要素法を取り上げる．

授業のキーワード：数値解析、偏微分方程式、差分法、有限要素法

numerical analysis, partial differential equations, finite difference method, finite element method

授業計画：

1. 熱方程式
2. 熱方程式の差分近似(陽的スキームと陰的スキーム)
3. 熱方程式の差分近似(シータスキームと非斉次問題)
4. 差分法の収束解析
5. Neumann境界条件
6. 半線形反応拡散方程式
7. 変分原理と有限要素法
8. Sobolev空間と弱形式
9. 正則な三角形分割
10. 有限要素法の収束解析
11. 最大値原理
12. FreeFem++による数値計算（基礎編）
13. FreeFem++による数値計算（非線型問題）
14. Lax-Milgramの理論
15. Galerkin近似

授業の方法： 教室における講義

成績評価方法：レポート

教科書： 指定しない

参考書： 1. 菊地文雄・山本昌宏：微分方程式と計算機演習，山海堂, 1991年．
2. 田端正久：偏微分方程式の数値解析，岩波書店, 2010年．
3. G. D. Smith: Numerical Solution of Partial Differential Equations,
Oxford University Press, 1965.
4. S. Larsson and V. Thomee: Partial Differential Equations with Numerical Methods, Springer, 2009.

関連ホームページ：http://www.infsup.jp/saito/

その他：数理分類番号：551

メールアドレス：norikazu@ms.u-tokyo.ac.jp

数理分類番号：551

授業の目標・概要：数理科学に関する自主的な学習を促し、早い時期から専門知識を獲得させる。

授業の方法：指定された基本的テキストの中から一つを選び、数人の受講者のグループで定期的に購読する。

成績評価方法：該当テキストの担当教員が期末に口頭試験を行い、総合的に評価する。

授業の目標・概要：コンピュータを自力で学習・研究に役立てることができるようにするための訓練を行ないます。
実習を中心とし、自分で頭を使い、調べ、手を動かす時間です。

計算数学Iでは、すぐに役立つ数学関連ソフトウェアを紹介する他、たくさんのオープンソースソフトウェアの開発現場であり研究者にも広く使われているLinuxの特徴を知り、使いこなせるようになることを目指します。
コンピュータに仕事をばりばりさせるために必要なプログラミングへのゆるやかな導入も行います。
また、自力でコンピュータを維持管理していくために必要な管理者としての知識技能（特にセキュリティ）なども扱います。ただし、数値計算技法は扱いません。

授業のキーワード：PCハードウェア、Windowsシステム管理、情報セキュリティ、オープンソース数学ソフトウェア、Knoppix、Octave、Maxima、R、Linux活用入門、シェルスクリプト、正規表現、awk、sed、スクリプト言語、Ruby、Python、Perl、PHP、コンピュータネットワーク、Webサーバ、システム構築、システム運用、システム管理

授業計画：

1. イントロダクション
2. PCハードウェア
3. Windowsシステム管理
4. 情報セキュリティ
5. オープンソース数学ソフトウェア（１）
6. オープンソース数学ソフトウェア（２）
7. オープンソース数学ソフトウェア（３）
8. Linux活用入門
9. シェルスクリプト
10. 正規表現
11. スクリプト言語によるプログラミング（１）
12. スクリプト言語によるプログラミング（２）
13. コンピュータネットワーク
14. システム構築・運用・管理
15. まとめ

授業の方法：独自に用意したオンライン教材を用い、各自のペース・関心に従って実習を行います。

教養学部前期課程必修の情報処理の内容は一応前提としますが、受講生の知識・経験がまちまちなことを踏まえ、それをよく理解しなかった（または忘れ去った）人への支援も行います。また、さらに上級を目指す人、特にやってみたいことがある人も相談の上希望に添えるように努めます。

「わからないことはわかっている人に聞くのが一番」なので、経験豊富なTAを多数配置し、親切に指導します。また、受講生相互の情報交換や意見交換を奨励します。

成績評価方法：実習記録・報告（６０％）およびレポート（４０％）による。

教科書：教科書は使いません。

参考書：参考書等は必要に応じて授業中に紹介します。

履修上の注意：主体的に手と頭を動かす時間、これまでやったことがないことや他ではなかなかできないことに挑戦する場所です。意欲と好奇心をもってきてください。

関連ホームページ：http://ks.ms.u-tokyo.ac.jp/

メールアドレス：ichii@ms.u-tokyo.ac.jp

研究室電話番号：数理科学研究科棟５０３号室（内線４７０９１）。メールでアポイントメントを取ってください。

数理分類番号：351

授業のキーワード：TeX、Java、C#、C/C++、３次元グラフィックス、AR (Augumented Reality)、数値解析、PHP、Facebookアプリ、GPGPU、OS自作、プレゼンテーション

授業計画：

1. 過去の発表例や、用意した課題の例を参考に、テーマを決め、グループを構成する。
2. テーマに沿って必要な事項を学習したり、情報を集めたりする。
3. 12月初めに中間発表を行い、進捗状況を確認する。
4. 最終発表に向け、各自のテーマを追求する。
5. 発表会で、成果をアピールし、半年間の進歩を確認する。

授業の方法：各自が設定した課題をじっくり時間を使って追求します。
多数配置するTAと一緒に、新しい事項を勉強したり、試行錯誤してもらいます。
また、受講生相互の情報交換を奨励します。

計算数学Iとは独立に受講できます。

成績評価方法：実習記録・報告（６０％）、最終報告発表（４０％）

教科書：教科書は使いません。

参考書：参考書等は必要に応じて授業中に紹介します。

履修上の注意：主体的に手と頭を動かす時間、これまでやったことがないことや他ではなかなかできないことに挑戦する場所です。意欲と好奇心をもってきてください。

関連ホームページ：http://ks.ms.u-tokyo.ac.jp/

メールアドレス：ichii@ms.u-tokyo.ac.jp

研究室電話番号：数理科学研究科棟５０３号室（内線４７０９１）。メールでアポイントメントを取ってください。

数理分類番号：352

授業の目標・概要：数理統計学の入門講義．線形推測の理論と漸近理論の基礎について解説する．

授業計画：１．確率空間，確率変数，確率分布，期待値，特性関数と積率，多変量分布，多変量正規分布
２．一般化逆行列，射影行列，F分布，ガウス・マルコフモデル，仮説検定，重回帰分析，分散分析
３．大標本理論：最尤推定，大数の法則と一様性，最小コントラスト推定，推定量の漸近正規性

授業の方法：講義をする．

成績評価方法：原則的に試験による．

教科書：吉田朋広：　数理統計学．朝倉書店　2007（第２刷）

参考書： Rao, C.R.: Linear statistical inference and its applications. 2nd ed. Wiley 1973　奥野忠一 他訳．統計的推測とその応用 （原著第2版）: 東京図書 1977　　　
柳井晴夫, 竹内 啓: 射影行列・一般逆行列・特異値分解. UP応用数学選書 10. 東京大学出版会 1983. 　　
柴田義貞: 正規分布--特性と応用. 東京大学出版会 1981　　
Ferguson, Th.S.: A course in large sample theory. London Weinheim New York Tokyo Melbourne Madras: Chapman & Hall 1996　　
Lehmann, E.L.: Elements of large-sample theory. New York Berlin Heidelberg: Springer 1999　　　
赤平昌文：統計解析入門. 森北出版 2003　　
稲垣宣生: 数理統計学. 改訂版 裳華房 2003．　
高松俊朗: 数理統計学入門. 学術図書出版社 1977　　
竹村彰通：現代数理統計学．創文社現代経済選書8. 創文社 1991　　
Ferguson, Thomas S.: Mathematical statistics: A decision theoretic approach. Probability and Mathematical Statistics, Vol. 1 Academic Press, New York-London 1967　　
竹内啓 他編：統計学辞典．東洋経済新報社 1989.

履修上の注意：測度論は仮定する．確率分布の取り扱いについては確率モデルと統計手法で，確率論の基礎についは確率統計学�Tでより詳しく述べられる．

関連ホームページ：http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~nakahiro/hp-naka

数理分類番号：542

授業の目標・概要：確率過程の中の重要なクラスであるマルチンゲールについて講義する。 主に離散時間の場合を扱い，停止時刻と任意抽出定理，各種のマルチンゲール不等式，収束定理とこれらの応用について述べる。連続時間マルチンゲールにも簡単に触れ，その例としてブラウン運動やポアソン過程を取り上げる。時間が許せば，連続時間マルコフ連鎖についても学ぶ。

授業のキーワード：条件付き確率、条件付き期待値、マルチンゲール、Doob分解、停止時刻、任意抽出定理、Doobの不等式、マルチンゲール収束定理、マルチンゲール変換、横断数評価、Burkholderの不等式、一様可積分性、Doob-Meyer分解、2次変分、ブラウン運動、Wiener測度、ポアソン過程、マルコフ連鎖

授業計画：

1.確率論の基礎概念 (確率統計学I の復習)
2.離散時間マルチンゲール，Doob分解，停止時刻
3.Doobの任意抽出定理
4.Doobの不等式
5.劣マルチンゲールの収束定理
6.マルチンゲールのモーメント不等式
7.一様可積分性と L^1-収束
8.連続時間マルチンゲール
9.停止時刻，任意抽出定理，Doobの不等式
10.Doob-Meyer分解，2次変分
11.ブラウン運動の定義
12.ブラウン運動の構成
13.ブラウン運動の性質
14.ポアソン過程
15.連続時間マルコフ連鎖

授業の方法：講義による。

成績評価方法：レポートにより行う。

参考書：

[1] 舟木直久：確率論, 朝倉書店, 2004年
[2] 舟木直久：確率微分方程式, 岩波書店, 2005年 (1997年)

数理分類番号：543

授業の目標・概要：ブラウン運動とマルチンゲールについて簡単に復習した後、確率積分と確率微分方程式について基礎から講義する。受講者が伊藤の公式を使いこなせるようになることが一つの目標である。 受講者には確率過程論・確率統計学IIIの講義内容である（離散時間）マルチンゲールについて、ある程度慣れていることを期待する。

授業のキーワード： ブラウン運動、マルチンゲール、確率積分、伊藤の公式、確率微分方程式、マルコフ性、生成作用素、マルチンゲール問題、強解と弱解、偏微分方程式、ディリクレ問題、角谷の定理、初期値問題、Feynman-Kacの公式、Cameron-Martinの公式、Girsanovの公式、丸山の公式、ドリフト変換公式、エルゴード定理、不変測度、可逆測度、Ornstein-Uhlenbeck過程、Bessel過程、ブラウン橋、ピン止めブラウン運動、Hilbert空間上のブラウン運動、無限次元確率微分方程式、確率偏微分方程式

授業計画：

1. ブラウン運動の復習
2. マルチンゲールの復習
3. 確率積分
4. 伊藤の公式
5. 確率微分方程式、強解の存在と一意性
6. マルコフ性、生成作用素、マルチンゲール問題と弱解
7. 偏微分方程式との関係、Feynman-Kacの公式
8. Cameron-Martin-Girsanov-丸山の公式
9. エルゴード定理、不変測度、可逆測度
10. 確率微分方程式の例
11. Hilbert空間上のブラウン運動、確率積分
12. 無限次元確率微分方程式と確率偏微分方程式

授業の方法： 講義による。

成績評価方法：レポートにより行う。

教科書：なし

参考書：

[1] 舟木直久：確率微分方程式、岩波書店、2005年 (1997年)
[2] I. Karatzas and S.E. Shreve: Brownian Motion and Stochastic Calculus,
Graduate Texts in Math., Volume 113, Springer, 2nd ed., 1991年

数理分類番号：541

授業の目標・概要：数理ファイナンスにおけるデリバティブの価格付け問題を理解することを目的とする．
ポートフォリオ，デリバティブ等の用語の説明をはじめ，ファイナンスにおける基本的事項について解説する．デリバティブの価格付けの原理を理解することを主目的とするため，離散時間モデルにおける説明を丁寧に行い，連続時間モデルについてはモデルの考え方の説明と主たる結果の紹介にとどめる．

授業のキーワード： ファイナンス、証券価格、配当、裁定機会、無裁定、デフレーター、状態価格デフレーター、ニューメレール、同値マルチンゲール測度、完備、自己資本的、ポートフォリオ戦略、ヨーロピアンデリバティブ、アメリカンデリバティブ、オプション、先物価格、先渡し価格、二項モデル、ブラック―ショールズモデル、伊藤の公式、測度変換、確率積分

授業計画：

1.無裁定の考え方，
2.離散時間モデル，
3.離散時間の完備モデルにおけるデリバティブの価格付け，
4.離散時間の非完備モデルにおけるデリバティブ価格，
5.連続時間モデル
授業の方法：講義による

成績評価方法： 課題レポートによる．

教科書：講義の際にレジュメを配布予定．

参考書：ファイナンスの問題の背景や用語の意味を知るためには，ジョンハル著の日本語訳「フィナンシャルエンジニアリング」（きんざい）など

履修上の注意：確率過程論や確率解析学の内容である，マルチンゲール，確率積分，伊藤の公式などにある程度慣れていることが望ましい．

数理分類番号：742

授業の目標・概要：日本の現代数学は明治前の数学と断絶する。断絶するゆえ、直接の継承関係はない。その意味からいえば、明治前の数学について知る必要はないであろう。だがいかなることであれ、現在は過去と無関係でない。そう考えるとき、数学にあっても過去を振り返り、先人たちの数学について一定程度の知識をもつ必要が生じる。ブルバキの数学史が存在するゆえんである。
本講義は以上の視点にもとづいて東アジアの数学史を概観する。漢文による縦書きの数学の発展と終焉の歴史である。
授業のキーワード：算籌、籌算、九章算術、宋元数学、珠算、明の実用数学、清の数学、朝鮮の数学

授業計画：1.東アジア数学史総論、2.算籌と籌算、3.九章算術、4.算経十書、5.宋元数学、6.天元術、7.増乗開方法、8.大衍術、9.クラビウスとマテオ・リッチ、10.清の西算、11.朝鮮数学�T、12朝鮮数学�U、13.算学啓蒙と和算、14.まとめ

授業の方法：集中講義

成績評価方法：レポートによる

参考書：

・銭宝�j主編、川原訳『中国数学史』，みすず書房，1990年
・川原著『朝鮮数学史?朱子学的な展開とその終焉?』，東京大学出版会，2010年

授業の目標・概要：可換環論の基本的な話題をいくつか選択し、幾何学的な意味を意識しながら、学習する。

授業のキーワード：ヒルベルトの零点定理、次元論、正規化、完備化、正則局所環、コーエンマコーレー環

Hilbert Nullstellensatz, dimension theory, normalization, completion, regular local rings, Cohen-Macaulay rings

成績評価方法：レポートによる。課題は講義中に提示する。

参考書：松村英之著　可換環論（共立出版）
後藤四郎・渡辺敬一著　可換環論（日本評論社）

履修上の注意：学部3年生の代数学の知識を仮定する。

数理分類番号：511

授業の目標・概要：代数的整数論の入門的な概説をする
(Introductory course on algebraic number theory)

授業のキーワード：代数的数、代数的整数、代数体、整数環、（分数）イデアル、イデアル類群、単数、判別式、分岐、単数定理、類数の有限性

algebraic numbers, algebraic integer, algebraic number field, the integer ring, (fractional) ideal, ideal class group, units, discriminant, ramification, the unit theorem, finiteness of the class number

授業の方法：通常の講義による

成績評価方法：出席、および適宜に課すレポートで評価する

メールアドレス：Takayuki.Oda@gmail.com

研究室電話番号：47026

数理分類番号：512

本年度は開講せず。　

本年度は開講せず。

授業の目標・概要 ：趣旨；具体的な題材を通じて、組合せ論的な概念や考え方、および組合せ論と他
の分野とに関連する対象のおもしろさを紹介する。
内容：対称群・対称式・ヤング図形などの組合せ論に関連する話題を扱う。今回は、Robinson-Schensted対応の意味づけとして、半順序集合内の鎖や独立部分集合との関係、ある種のベキ零行列のJordan標準形との関係などを中心におく。なお、研究の進展によって変更することもありうる。
授業のキーワード：置換、語、分割、Young図形、Young盤、標準盤、Robinson-Schensted対応、Schensted insertion、row insertion、column insertion、longest increasing subsequence、longest decreasing subsequence、転置、Knuth同値、Schuetzenberger対合、半順序集合、鎖、反鎖、独立部分集合、反鎖分解、k鎖、k反鎖、k族、Sperner k族、束、join、meet、genericベキ零行列、Jordan標準形、有向グラフ

授業計画：

1. 分割・標準Young盤
2. Schensted insertion、 Robinson-Schensted対応
3. 順列の最長増加・減少部分列
4. 順列の左右反転の効果
5. Knuth同値
6. k重増加・減少部分列
7. Schuetzenberger対合
8. 半順序集合内のk鎖とk族
9. 半順序集合の反鎖分解
10. k族の集合に定義される構造
11. Greeneのk鎖とk族(k反鎖)の双対性定理
12. 半順序集合に付随するある種のベキ零行列のJordan標準形
13. Gansnerによる有向グラフへの拡張
14. さらなる拡張
15. ある代数多様体の既約成分との関係

授業の方法：講義による

成績評価方法：レポートにより評価する。

教科書：用いる場合は講義中に提示する。

参考書：用いる場合は講義中に提示する(学術論文等を含む)。

履修上の注意：一部、代数学の基本的な力が要求される、全体において、数学の論理的な詰めの力は要求される。なお、対称群や古典群・Lie環などの表現の知識があれば、より多面的に理解を深めることができると期待される。

数理分類番号：710

授業の目標・概要：普遍的なコホモロジー理論としての混合モチーフの理論において
最も基本的な混合テイトモチーフ及び混合楕円モチーフに関する
話題を取り上げて講義をする。

授業のキーワード：混合テイトモチーフ、混合楕円モチーフ、多重ゼータ値、グロタンディーク・タイヒミュラー群

mixed Tate motif, mixed elliptic motif,multiple zeta values, Grothendieck-Teichmuller group

授業計画：

(0)ホップ代数、DG圏の基本事項
(1)混合テイトモチーフ、多重ゼータ値
(2)ブラウンの結果
(3)混合楕円モチーフの構成と性質

授業の方法：講義形式で行う

成績評価方法：レポートにより評価する

関連ホームページ：http://gauss.ms.u-tokyo.ac.jp

メールアドレス：terasoma@ms.u-tokyo.ac.jp

数理分類番号：710

授業の目標・概要：コンパクト複素曲面の理論においてＫ３曲面は中心的なテーマであった。ハイパー・ケーラー多様体はＫ３曲面の高次元版であり、カラビ・ヤウ多様体やファノ多様体と並んで重要な多様体のクラスである。この講義ではハイパー・ケーラー多様体の理論を初歩から最新の結果までサーベイする。

授業のキーワード： コンパクト複素多様体、コホモロジーのホッジ分解、第一チャーン類、ボゴモロフ分解、ハイパー・ケーラー多様体、カラビ・ヤウ多様体、ファノ多様体、ボーヴィユ形式、藤木関係式、ツウィスター変形族、ケーラー錘、無障害変形、ラグランジアン・ファイバー空間、双有理写像、フロップ、周期写像、トレリの定理

授業計画：

１．コンパクト複素多様体の定義
２．コンパクト・ケーラー多様体のコホモロジーのホッジ分解
３．第一チャーン類が０であるようなコンパクト・ケーラー多様体のボゴモロフ分解
４．ハイパー・ケーラー多様体の定義
５．ボーヴィユ形式と藤木関係式
６．ツウィスター変形族
７．ケーラー錘の構造
８．無障害変形
９．ラグランジアン・ファイバー空間
１０．双有理写像とフロップ
１１．周期写像とトレリの定理

授業の方法：講義による

成績評価方法：課題レポート

教科書：なし

参考書：Gross-Huybrechts-Joyce: Calabi-Yau manifolds and related geometries.
Springer Universitext, 2003. (Part III のみ)

関連ホームページ：http://faculty.ms.u-tokyo.ac.jp/~kawamata_lab/

メールアドレス：kawamata@ms.u-tokyo.ac.jp

数理分類番号：710

授業の目標・概要：代数的整数論で代数体の拡大の分岐の理論は古くから調べられてきた。
これを数論的スキームへ拡張することは懸案であったが、ここ10数年の
研究で満足のいく理論が整備されてきた。その中から、?進層の
リーマン・ロッホ公式や、剰余体が一般の局所体のガロワ群の分岐群
などをとりあげて解説する。

授業のキーワード：分岐、？進層、スキーム、被覆、ガロワ群、導手、エタール・コホモロジー

授業の方法：通常の講義

成績評価方法：レポートによる

教科書：なし

参考書：なし

関連ホームページ：http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/ce.html

数理分類番号：710

授業の目標・概要：基本群と被覆空間、ファイバーバンドルとホモトピー群について 極く初等的な内容を講義する。目標は、van Kampen の定理、 CW 複体の基本群の記述、被覆空間の分類定理、ファイバーバンドルの ホモトピー完全列である。

授業のキーワード：ホモトピー集合、 compact 開位相、 基本群、 ループ空間、 ホモトピー群、 基本亜群、 path 空間、 普遍被覆空間、 被覆空間、 主 G 束、 van Kampen の定理、 コファイブレーション、 ホモトピー完全列、 ホモトピーファイバー、 基本亜群のホモトピー群への作用、 胞体近似定理、 J、H、C、 Whitehead の定理、 Hurewicz 同型定理、 Hurewicz ファイブレーション、 Serre ファイブレーション、 ファイバー束、 Brown の表現定理、 主 G 束の分類空間

授業の方法：講義による。

成績評価方法：中間テスト（６月）と期末テスト（９月）による。

数理分類番号：521

授業の目標・概要：これはリー群および等質空間に関する入門講義である．基本的な定義や例を学んだ後に，リー群とそのリー環との間にある関係について学ぶ．次の話題は等質空間である．等質空間の幾何をそれに付随して得られるリー群やそのリー環を用いて記述する方法について学ぶ．時間が許せば，リーマン対称空間（これは，最も典型的な等質空間である）に対する剛性定理などについても触れたいと考えている．

授業のキーワード：リー群・リー環・等質空間・リーマン対称空間・剛性定理

Lie groups, Lie algebras, homogeneous spaces, rigidity theorems

授業の方法：講義

成績評価方法：講義中に出題した問題を解きレポートとして提出

教科書：なし

参考書：なし

数理分類番号：522

本年度は開講せず。

本年度は開講せず。

授業の目標・概要：楕円型微分作用素の指数についての基本的性質を学ぶ。

授業のキーワード： 楕円型微分作用素、 指数

elliptic operator, index

授業計画：ある程度、解析はブラックボックスとして扱う。
熱核については言及しない。

（１）指数の定義
（２）1次元の場合
（３）切除定理を認めて指数の例を計算する。
（４）積公式を認めて指数の計算をEulcid空間の場合に帰着する。
（５）族の指数の定義
（６）Bott周期性

授業の方法：講義を行い、適宜、演習問題を提示する。

成績評価方法：レポート

教科書：特になし

参考書：Atiyah-Singer の index theorem を証明した論文のシリーズ

Shanahan "Atiyah-Singer index theorem"

古田幹雄　「指数定理Ｉ」岩波書店　およびその参考文献（IIの巻末）

履修上の注意：予備知識としてベクトル束の直和、テンソル積などの構成、
微分形式、主束、接続の概念などを用いる。

メールアドレス：furuta@ms.u-tokyo.ac.jp

数理分類番号：720

授業の目標・概要：複比 (cross ratio) はしばしばその姿を変えて私たちの前に出現する．シュワルツ微分，測地カレント，概ケーラー構造，いずれもが複比のまたの姿である．そもそも，複比は二千年内外にもおよぶ歴史を有すると言われているが，このわずか二十年少々の間にも複比やその仲間たちに関する新たなそして重要な発見が少なからずなされている．どうやらわたしたちの複比に関する理解はいまだに限られているようである．そのような現状について，とくに剛性問題との関わりを中心にお話したい．

授業のキーワード：複比・シュワルツ微分・測地カレント・概ケーラー構造・剛性問題

cross ratio, Schwarzian derivative, geodesic current, paraKaehler structure, rigidity problems

授業の方法：講義形式

成績評価方法：レポートによる

教科書：なし

参考書：なし

数理分類番号：720

授業の目標・概要：

趣旨・内容：幾何的手法による表現論の最近の進展について解説する

内容：幾何的手法による表現論の最近の進展について　タイムリーなトピックを
選んで解説する

授業のキーワード：表現論、リー群・リー環、群作用、等質空間、複素多様体

representation theory,Lie group, Lie algebra,group action,homogeneous space,complex manifold

授業の方法：Lectures on blackboard every week

成績評価方法：Report at the end of semester

履修上の注意：For more details, I plan to add information in my homepage below.

関連ホームページ：http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~toshi/lec/2012summer-a.html

数理分類番号：720

授業の目標・概要：微分幾何学，特にコンパクトリーマン多様体上のディラック型作用素，ラプラス作用素に関わる微分幾何学の入門講義を行う．ベクトル束の接続，リーマン多様体の接続から始めて，ディラック型作用素，ラプラス作用素，ホッジ・小平の定理（調和積分論）などを解説する．また応用としてボホナー・ワイツェンベック型公式から示される多様体の曲率と位相の関係についても解説する．

授業のキーワード：ベクトル束の接続、共変外微分、曲率、リーマン多様体、レビチビタ接続、随伴作用素、ラプラス作用素、ホッジ・小平の定理（調和積分論）、ボホナー・ワイツェンベック型公式、ケーラー多様体、ケーラー恒等式、正則ベクトル束、ドルボー作用素、小平の消滅定理、クリフォード束、ディラック型作用素、ソボレフ空間、レリッヒの補題、先験的評価、正則性、フレドホルム性、ドラーム複体、ドルボー複体、アティヤ・シンガーの指数定理

授業計画：

１．ベクトル束の接続
２．リーマン多様体の接続
３．ラプラス作用素
４．ホッジ・小平の定理（調和積分論）
５．ボホナー・ワイツェンベック型公式
６．ケーラー多様体
７．正則ベクトル束
８．小平の消滅定理
９．ディラック型作用素
１０．ソボレフ空間
１１．ディラック型作用素の解析的性質
１２．ホッジ・小平の定理の証明
１３．アティヤ・シンガーの指数定理

授業の方法：講義による．

成績評価方法：レポートによる．課題は講義中に提示する．

数理分類番号：720

授業の目標・概要：基礎的な偏微分方程式について具体例を中心に学ぶ． 熱方程式，ラプラス方程式，波動方程式の初期値問題・境界値問題の解法を習得し， それぞれの方程式の特質をつかむ事を目標とする．また線形偏微分方程式の一般論への橋渡しとなる，解析的偏微分方程式系に対するCauchy-Kowalevskyの定理とその応用としてのHolmgrenの一意接続定理，およびラプラス方程式の解のヘルダー連続性なども学ぶ．

授業のキーワード：偏微分方程式、熱方程式、ラプラス方程式、波動方程式、初期値問題、境界値問題、初期値-境界値問題、混合問題、パラメータを含む常微分方程式、ホイヘンスの原理、レビ-溝畑の方程式、フーリエ変換、基本解、最大値の原理、平均値の定理、Poissonの積分表示式、解析的偏微分方程式、Cauchy-Kowalevskyの定理、 Holmgrenの一意接続定理、非特性曲面、解析関数、ベキ級数、コーシーリーマンの方程式、優級数、ヘルダー連続

授業計画：

１，パラメータを含む常微分方程式，２変数方程式の例と性質
２，レビ溝畑の解をもたない偏微分方程式
３，１次元波動方程式の初期値問題と初期値-境界値問題
４，３次元波動方程式の初期値問題，ホイヘンスの原理
５，Hadamardのmethod of descentと２次元波動方程式への応用
６，フーリエ変換によるN次元波動方程式の初期値問題の解法
７，熱方程式の初期値問題
８，N次元ラプラス方程式の基本解の構成
９，N次元ラプラス方程式の解の滑らかさ，ヘルダー連続性
１０，ラプラス方程式の境界値問題とPoissonの積分表示式
１１，ラプラス方程式，熱方程式の最大値の原理と解の一意性
１２，多変数解析関数と解析的偏微分方程式系に対する初期値問題，非特性初期曲面
１３，優級数の方法とCauchy-Kowalevsky定理
１４，解析的線形偏微分方程式に対する解の一意接続性(Holmgrenの一意接続定理)
１５，擬微分作用素，エネルギー評価式など

授業の方法：講義形式

成績評価方法：期末レポートによる

教科書：特になし

参考書：熊ノ郷準「偏微分方程式」共立数学講座１４第２版（2001.9）ISBN-10: 4320011058
ISBN-13: 978-4320011052
俣野博・神保道夫著「熱・波動と偏微分方程式」岩波書店現代数学への入門シリーズ ISBN4-00-006876-8

履修上の注意：予備知識は3年までの講義．特にルベーグ積分論，関数論，フーリエ解析など．

関連ホームページ：http://agusta.ms.u-tokyo.ac.jp/microlocal.html

その他：数理分類番号　７３０

メールアドレス：kiyoomi@ms.u-tokyo.ac.jp

研究室電話番号：47029

数理分類番号：532

授業の目標・概要： 多変数複素函数論の入門講義。副題「四回生へおくる岡の連接定理」
1.n変数正則関数の定義、積分公式、解析接続　2.ワイエルシュトラスの予備定理、正則函数局所環基本的性質　3.岡の連接定理　4.層の理論、複素多様体、ドラームの定理、ドルボーの定理　5.正則凸領域におけるクザン問題の解 6.岡-カルタンの基本定理　7.スタイン多様体上の岡-カルタンの基本定理。
岡の連接定理は、多変数函数論だけでなく数学の広い分野での基礎概念となっている。

授業のキーワード： 多変数複素函数論、複素解析、複素多様体

授業計画：

上記７項目を平均2回講義する。岡潔の第�Z論文で証明された連接性定理をまず証明し、そこから岡の第一論文、第二論文で証明されたクザン問題を解決し、更には正則凸領域・スタイン多様体上の岡-カルタンの基本定理を証明する。できるだけわかりやすく、証明は全て付ける。

授業の方法：板書。

成績評価方法：平常点とレポートによる総合評価。

参考書：

多変数解析函数論（一松信著、培風館）、.多変数函数論（西野利雄著、東京大学出版会）、シュタイン空間論（グラウエルト・レンメルト著 宮島公夫訳、シュプリンガージャパン）、多変数複素解析学入門（ヘルマンダー著 笠原乾吉訳、東京図書）、An introduction to complex analysis in several variables（Lars Hormander著、van Nostrand）。

関連ホームページ：http://nogpc4.ms.u-tokyo.ac.jp/nog/　　;　　　http://www.lib.nara-wu.ac.jp/oka/

メールアドレス：noguchi@ms.u-tokyo.ac.jp

研究室電話番号：03-5465-8663

数理分類番号：730

授業の目標・概要：常微分方程式は特殊関数と深く結びついて発展してきたが、複素領域における代数的常微分方程式の研究が近年急速に進展し、従来個々に研究してきた理論の統一的理解ができるようになってきた。講義では、発展中の理論、特にRiemann schemeの一般化とuniversal modelの存在定理(Deligne-Katz-Simpson問題)、接続公式(Gaussの和公式の一般化)、無限次元Kac-Moody Weyl群の作用、不確定特異点と特異点の合流、積分表示、ベキ級数表示、多変数化などについて解説する。理論は構成的でコンピュータ・プログラムで実現できる。

授業のキーワード：常微分方程式、特殊関数、Fuchs型方程式、超幾何関数、確定特異点、不確定特異点、接続問題、Kac-Moodyルート系

ordinay differential equation,special function,Fuchsian differential equation,hypergeometric function,regular singularity,irregular singularity,connection problem,Kac-Moody root system

授業の方法：一昨年の講義内容については，講義録に基づいて簡潔に紹介し，それ以降のより進んだ部分については，より詳しく講義を行う．

成績評価方法：講義中に与えた課題のレポートによる

教科書：なし

参考書：大島利雄著：特殊関数と代数的線型常微分方程式，東京大学数理科学レクチャーノート11, 2011
原岡喜重著：超幾何関数（すうがくの風景），朝倉書店，2002

履修上の注意：仮定する予備知識は、関数論、線形代数、常微分方程式などの理学部数学科の4学期または3年前期に学習する内容程度

メールアドレス：oshima@ms.u-tokyo.ac.jp

研究室電話番号：47046

数理分類番号：732

冬

授業の目標・概要：実解析学および関数解析学の基礎的な話題に関する内容を解説する．本講義では授業計画に記したようないくつかの独立した内容を講ずる．

授業のキーワード：実および関数解析学、測度、ハウスドルフ測度、ハウスドルフ次元、作用素の補間、位相線形空間、バナッハ空間、ヒルベルト空間、自己相似集合、カントル集合

Real and Functional Analysis, measure, Hausdorff measure, Haudorff dimension, interpolation, topological linear spaces, Banach spaces, Hilbert spaces, self-similar set, Cantor set

授業計画：講義の主な内容は順不同で次のものを予定している。ただし内容を変更することもある。1. ハーン分解，2. ジョルダン分解，3. ラドン・ニコディムの定理，4. ルベーグ測度と微分定理，5. 劣線形作用素の補間，6. 位相線形空間，7. 位相線形空間の応用，8. 関数解析における表現定理，9. フラクタル入門，10. 自己相似集合，11. ハウスドルフ測度，12. ハウスドルフ次元．

授業の方法：講義．

成績評価方法：レポート．出席状況も考慮に入れる．

教科書：教科書は使用しない．講義ノートが教科書の代わりになる．

参考書：必要に応じて講義中に指示する．

履修上の注意：ルベーグ積分と関数解析学の初歩を予備知識として仮定する．

数理分類番号：533

授業の目標・概要：スペクトル理論の基本事項について講義する．無限次元ヒルベルト空間上の自己共役作用素のスペクトル分解が主題である．

授業のキーワード：スペクトル理論、自己共役作用素のスペクトル分解、スペクトル、ヒルベルト空間論

授業計画：概ね以下の内容を扱う予定である．これらは予定であり，以下の項目の変更（省略，追加，
順序の変更等）をする事があり得る．また，以下の各項目は各回の内容に対応するものではない．

1. レゾルベント集合，スペクトル，固有値，レゾルベント
2. レゾルベントの性質，スペクトルの性質
3. 共役作用素，ユニタリ作用素
4. 対称作用素と自己共役作用素
5. 自己共役性の判定
6. 自己共役作用素のスペクトル
7. コンパクト作用素とその基本性質
8. コンパクト作用素のスペクトル
9. コンパクトな自己共役作用素のスペクトル分解
10. 単位の分解
11. 単位の分解による作用素解析
12. 自己共役作用素のスペクトル分解定理
13. スペクトル分解の実例，自己共役作用素の関数
14. 自己共役作用素のスペクトルとスペクトル測度との関係
15. 自己共役作用素のスペクトル分解定理の証明（ユニタリ作用素のスペクトル分解，
ケーリー変換等）

授業の方法：講義を行う．

成績評価方法：レポート

履修上の注意：関数解析の基本事項を前提とする．

数理分類番号：731

授業の目標・概要：量子統計力学系をはじめとする、$C^*$-力学系における非可換エントロピーについての話をする。作用素環の初歩的な知識のみ仮定する。

授業のキーワード：非可換エントロピー

授業の方法：講義形式

成績評価方法：レポート

数理分類番号：730

本年度は開講せず。

授業の目標・概要：
数理物理や工学に現れる逆問題の数学解析と数値解析を概説する。
扱う逆問題は、応用上の重要性ならびに数学解析上の意義から、以下のものを予定している： 非破壊検査と関連した未知境界形状決定問題、内部物質係数は表面の観測から決定する係数逆問題、過去の状態を決定する逆問題など。

授業の方法：講義による

成績評価方法：レポート

数理分類番号：730

授業の目標・概要：非線形関数解析についての入門的講義．とくに，不動点定理（バナッハの不動点定理，シャウダーの不動点定理など），ルレ・シャウダーの写像度の理論，分岐理論などを中心に解説する．

授業のキーワード：非線型関数解析、不動点定理、陰関数定理、写像度、ルレ・シャウダーの写像度、分岐理論

授業計画：

１．バナッハの不動点定理
　　 ・定理の概要
　　 ・種々の非線形問題への応用
　　 ・陰関数定理（有限次元，無限次元）
２．シャウダーの不動点定理
　　 ・ブラウアーの不動点定理
　　 ・シャウダーの不動点定理の概要
　　 ・種々の非線形問題への応用
　　 ・関連する話題（ナッシュ均衡など）
３．写像度と不動点指数
　　 ・有限次元の写像度
　　 ・ルレ・シャウダーの写像度と不動点指数
４．分岐理論
　　 ・種々の例
　　 ・リャプノフ・シュミット法による有限次元縮約
　　 ・不動点指数の応用
　　 ・大域的分岐理論

授業の方法：通常の講義形式で行う．また，複数回，レポート問題を出題する．

成績評価方法：レポート
参考書： 「非線型数学」（増田久弥著，朝倉書店）
「Nonlinear Functional Analysis and its Applications I」（E.Zeidler 著，シュプリンガー）

メールアドレス：matano@ms.u-tokyo.ac.jp

数理分類番号：734

授業の目標・概要：Macdonald対称多項式と深い関係を持つあるHopf代数とその表現論について話す。この代数にはSL(2,Z)が作用していて、実はそれがこのHopf代数のtensor表現の構成において特別な役割を果たす。位相的弦理論におけるrefined topological vertexはlocal Calabi-Yau threefoldに対してある不変量を計算する手続きを与えるものであるが、それがこのHopf代数のtensor表現のintertwinerと一致することを示す。

授業のキーワード：Macdonald対称多項式、Hopf代数、topological vertex

授業計画：講義では、Hopf代数の基礎事項、Macdonald対称多項式、Fock表現、SL(2,Z)の作用、tensor表現の構成、refined topological vertexの理論の概説、具体的なintertwinerの計算について話す。必要に応じて、可積分系、位相的弦理論の話題にも触れる予定である。

授業の方法：量子群と呼ばれる可換でも余可換でもないHopf代数は量子可積分系の研究においてDrinfeldと神保によって抽出された概念である。この講義で扱うHopf代数はMacdonald対称多項式と関係がはっきりと現れるような量子群の例となっている。量子群の具体的な扱いを通して可積分系や幾何学の問題の捉え方を伝えることを主眼とする。

成績評価方法：レポートによる。課題は授業中に提示する。

数理分類番号：730

授業の目標・概要：趣旨：離散可積分系と超離散可積分系との関係、特に離散ソリトン系とそれらの超離散極限について説明する。

内容：ソリトン方程式の入門から離散可積分系の対称性とYang-Baxter 写像との関係、及び超離散可積分系とそれに対する初期値問題について説明する。

授業のキーワード：可積分系、ソリトン、離散可積分系、佐藤理論、Darboux 変換、Yang-Baxter 写像、超離散極限、超離散可積分系、初期値問題

integrable systems, solitons, discrete integrable systems, Sato theory, Darboux transformations, Yang-Baxter maps, ultradiscrete integrable systems, initial value problems

授業計画：聴講者の予備知識に合わせて授業の進め方を決めるつもりである。

授業の方法：聴講者の予備知識に合わせて授業の進め方を決めるつもりである。

成績評価方法：レポート提出（詳細を授業中に明示する）

数理分類番号：760番

授業の目標・概要：確率過程の統計学に関係した漸近分布論および統計推測理論について解説する．

授業計画：

１．確率解析
２．極限定理
３．統計推測の漸近理論
４．漸近展開
５．漸近的方法の応用

授業の方法：講義形式．

成績評価方法：原則としてレポートによる．

履修上の注意：確率解析の基礎に関しては，関連講義での履修をすすめる．

関連ホームページ：http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~nakahiro/hp-naka

数理分類番号：740

本年度は開講せず。

本年度は開講せず。

本年度は開講せず。

授業の目標・概要：SP(2,R)上の保型形式の基本的な素材を概説する。これに関連して、Sp(2,R)の表現の球関数について知られていることを概説する。
(We give an overview on the fundamental ingredients about automorphic forms on Sp(2,R). Related to this theme, we overview the known facts on spherical functions on Sp(2,R).)

授業のキーワード：実シンプレクティック群、保型形式、Fourier展開、主系列表現、離散系列表現、表現の実現（あるいは模型）、行列係数、Whittaker模型

The real symplectic group, automorphic forms, Fourier expansion, the principal series representations, the discrete series representations, realizations (or models) of a representation, matrix coefficients, Whittaker model

授業計画：最初の数回：　SL(2,R)を例にして、より大きな群 Sp(2,R) の構造をまず考える。なぜ、保型形式と表現論が結びつくか説明する。表現の実現と保型形式の問題との関連を論ずる。その後、特定の実現を論じる。

授業の方法：通常の講義による。

成績評価方法：出席と、適宜にレポートを課す。

教科書：参考文献等は、講義中に提示する。実半単純群の表現や、通常の（つまり古典的な）正則保型形式に関して多少の知識があれば、最初の部分は親しみが持てるかも。

メールアドレス：Takayuki.Oda@gmail.com

研究室電話番号：47026

数理分類番号：710

本年度は開講せず。

授業の目標・概要：対称群の複素数体上の表現論について解説する．
とくに既約表現を構成する方法をいくつか紹介し，各構成法の比較・検討を行う．

授業の方法：通常の講義の形式で行う．

成績評価方法：レポート課題による．詳細は授業中に口頭で伝える．

教科書：特に指定しない．

参考書：特に指定しない．

関連ホームページ：http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yosihisa/index.html

数理分類番号：710

授業の目標・概要：ｐ進穴あき円板上のｐ進微分加群の理論について講義する．
微分加群を実あるいは複素係数ではなくｐ進数係数で考察する
ことは(それ以前の研究もあるが)Dworkにより本格的に始められた．
それ以来，ｐ進微分加群の研究はDwork, Robba, Christol, Mebkhout,
Andre, Kedlayaらの手により大きく発展した．ｐ進微分加群の研究は
微分加群の研究のｐ進版としても興味深いものであるが，
ｐ進Hodge理論によりｐ進ガロア表現の研究と結び付くため，
数論幾何学においても重要である．
ｐ進穴あき円板上のｐ進微分加群の現代的理論
において重要なことは局所体のガロア表現の理論との類似
である：局所体のガロア表現の分岐break(による分解)，
Hasse-Arf定理，局所monodromy定理に対応して，ｐ進微分加群
においても微分slope(による分解)，Hasse-Arf型定理，局所monodromy
定理が存在する．本講義では，p進微分加群に関する基礎的諸概念
の定義および上に挙げた定理の証明について講義する．時間が許せば
より大域的なｐ進解析空間上のｐ進微分加群に関する結果について
いくつか述べる．

授業のキーワード：完備非アルキメデス体、ニュートン多角形、 勾配、微分環、微分加群、巡回ベクトル、スペクトル半径、作用素ノルム、ガウスノルム、 可視分解定理、ｐ進穴あき円板上の関数環、有限微分加群、収束半径、生成収束半径、移送定理、フロベニウス祖先、フロベニウス子孫、強分解定理、補助半径、ハッセ-アルフ型定理、微分スワン導手、可解微分加群、勾配分解定理、p進リューヴィル数、p進フックス定理、ｐ進指数、フロベニウス構造、ガロア表現、p進局所モノドロミー定理、ロバ環、準冪単性、ｐ進解析空間、形式スキーム、ｐ進相対穴あき円板、対数的微分加群、対数的延長

complete non-Archimedean field, Newton polygon, slope, differential ring, differential module, cyclic vector, spectral norm, operator norm, Gauss norm, visible decomposition theorem, ring of functions over p-adic annulus, finite differential module, radius of convergence, generic radius of convergence, transfer theorem, Frobenius antecedent, Frobenius descendant, strong decomposition theorem, subsidiary radii, Hasse-Arf type theorem, differential Swan condunctor, solvable differential module, slope decomposition theorem, p-adic Liouville number, p-adic Fuchs theorem, p-adic exponent, Frobenius structure, p-adic local monodromy theorem, Robba ring, quasi-unipotence, p-adic analytic space, formal scheme, relative p-adic annulus, log differential module, log extension

授業計画：

1. 完備非アルキメデス体
2. 微分環と微分加群
3. スペクトル半径
4. ｐ進(穴あき)円板上の微分加群
5. 収束半径と生成的収束半径
6. Frobeniusによる順像と逆像
7. 補助半径の変動
8. 補助半径による分解定理
9. p進Fuchs定理
10. p進微分加群上のFrobenius構造
11. Galois表現とp進微分加群
12. p進局所monodromy定理
13. p進解析空間上の微分加群
14. p進相対(穴あき)円板上の微分加群I：対数的延長
15. p進相対(穴あき)円板上の微分加群II：曲線切断

授業の方法：講義形式で行う．

成績評価方法：レポートにより評価する．

参考書：K. S. Kedlaya, p-adic differential equations,
Cambridge University Press, 2010.

数理分類番号：710

授業の目標・概要：葉層構造や関連する事柄について論じる

授業のキーワード：葉層構造

foliations

授業計画：葉層構造や関連する事柄について話題を選んで論じる．詳細は追って掲示する．

授業の方法：黒板を用いる．

成績評価方法：レポートによる予定である．詳細は講義の際指示する．

教科書：なし

数理分類番号：720

本年度は開講せず。　

詳細は追って掲示する

授業の目標・概要：主に有限群やSL_2の不変式論を具体例を重視しながら説明し, 幾何学的対象の分類空間であるモジュライ空間の構成にとって重要な幾何学的不変式論の入り口までを概観することを目標とする. その過程で, 群論, 環論, 体論が如何に有機的に結びつき使われていくかを学んでいくことで, それら代数学の入門も兼ねる.

授業のキーワード：群　環　体　不変式　モジュライ空間

授業計画：講義の概要

可換環論速習コース（イデアル、ネーター性、ヒルベルトの基定理など)

群論速習コース（群の表現, シロ―の定理など）

可換体論速習コース

ポアンカレ級数

不変式環の有限生成性

正多面体群

SL_2の有限部分群の分類

有限群の不変式環

モリエンの公式

SL_2の不変式環

ケイリー・シルベスターの公式

不変式論の基本定理

不変式とモジュライ

点配置のモジュライ

非特異超曲面のモジュライ

授業の方法：講義による.

成績評価方法：レポートによる.

教科書：使用しない.

参考書：アームストロング著　佐藤信哉訳　対称性からの群論入門（シュプリンガー）

Atiyah‐MacDonald著　新妻弘訳 可換代数入門（共立出版）

ロットマン著　関口次郎訳　ガロア理論（シュプリンガー）

向井茂著　モジュライ理論１, 2（岩波書店）

渡辺敬一著　有限群の不変式論（朝倉書店, 群論の進化の第２章)

I. Dolgachev, Lectures on invariant theory (London Mathematical Society Lecture Note Series)

T. Springer, Invariant theory (Springer, LMN 585)

V. Popov and E. Vinberg, Invariant theory (Springer, EMS vol 55, Algebraic Geometry IV)

履修上の注意：予備知識として線形代数は仮定する.

授業の目標・概要：内容は基本的には、「群論と環論の入門」である。具体的には以下のとおりである。
＜群論の部分＞
・ 群の定義と基本性質、部分群、剰余類分割、
・ 正規部分群、商群 、直積、半直積
・ 準同型写像と準同型定理
・ 群と集合への作用、類等式、共役類
＜環論の部分＞
・ 環と体の定義と例、整域、部分環、イデアル、剰余環
・ 準同型写像と準同型定理、極大イデアル、素イデアル
・ 孫子定理（Chinese Remainder）、局所化と商体、可逆元と単数群
・ 有理整数環、多項式環
・ 単項イデアル環、一意分解環の基本性質、群環

授業のキーワード：群論、環論

授業の方法：講義形式で行う．

成績評価方法：主に期末試験による．

数理分類番号：311

授業の目標・概要：多様体の基本的な概念について，具体的な例を挙げながら解説する．
特に，多様体の接空間と，多様体の間の写像の微分の定式化に重点をおく．
また，リーマン幾何学の入門的な話題についてもふれる．

授業のキーワード： ユークリッド空間、曲線、曲面、陰関数定理、逆関数定理、超曲面、可微分多様体、局所座標、球面、射影空間、積多様体、商多様体、接空間、群作用、軌道、接バンドル、多様体の向き、埋め込み、はめ込み、部分多様体、正則値、臨界値、モースの補題、サードの定理、1の分割、リーマン計量、ベクトル場、リー代数、1径数変換群、測地線、変分法、ガウス曲率、双曲幾何

授業計画：

1. 陰関数定理，曲線と曲面の方程式など
2. 多様体の定義と基本的な例
3. 多様体の接空間
4. 多様体間の写像とその微分
5. 群作用と商多様体
6. 接バンドルと多様体の向き
7. 埋め込みとはめ込み，部分多様体
8. 多様体上の写像，正則値と臨界値
9. Sardの定理の証明，写像度
10. 多様体上の1の分割と埋め込み定理
11. 多様体上のリーマン計量
12. ベクトル場と1径数変換群
13. リーマン多様体上の曲線と測地線の方程式
14. 曲面のガウス曲率と接続形式
15. 応用と展望

授業の方法： 黒板による講義形式で行なう．幾何学特別演習 I において
講義の理解を深めるための演習を行なう．

成績評価方法：期末試験による．中間試験を行い，その成績を加味する．

参考書：

坪井俊，「幾何学I--多様体入門」 東京大学出版会
松本幸夫，「多様体の基礎」東京大学出版会
服部晶夫，「多様体」岩波全書

関連ホームページ：http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kohno/lectures/geom1.html

メールアドレス： kohno@ms.u-tokyo.ac.jp

研究室電話番号：48332

数理分類番号：321

授業の目標・概要：本講義では，測度と積分の基礎を講義する．測度と積分の理論は，フーリエ解析学，関数解析学，確率論，偏微分方程式論などの諸分野を学ぶために不可欠なものである．この講義では，ルベーグ測度，一般の測度を学び，続いて測度論に基づいた積分論の基礎を学ぶ．実際に測度と積分の理論を使えるようになるための基礎を身に着けることがこの講義の目標である．

授業のキーワード：ルベーグ外測度、ルベーグ可測集合、ルベーグ測度、σ-集合体、測度、測度空間、カラテオドリの可測性、可測関数、単関数、単調収束定理、Fatouの補題、ルベーグの収束定理、フビニの定理

Lebesgue outer measure, Lebesgue mesurable set, Lebesgue measure, σ-field, measure, measurable function, simple function, monotone convergence theorem, Fatou's lemma, Lebesgue's convergence theorem, Fubini's theorem,

授業計画：下記の内容について講義をする予定である．ただし変更の可能性もある．
1.集合演算，2.ルベーグ外測度，3. ルベーグ測度，4.測度空間，5.可測関数，6.積分の定義と諸性質，7.単調収束定理，Fatouの補題，ルベーグの収束定理，8.ルベーグの収束定理の応用例，9.直積測度，10.Fubiniの定理，11.Fubiniの定理の応用，12.測度の絶対連続性と特異性，13.Radon-Nikodymの定理，14.微分定理，15.補足とまとめ．
授業の方法：講義を行う．演習は「解析学特別演習I」において行う．

成績評価方法：試験による．

教科書：使用しない．講義ノートが教科書の代わりとなる．

参考書：鶴見茂「測度と積分」(理工学社,1965)
伊藤清三「ルベーグ積分入門」(裳華房,1963)
新井仁之「ルベーグ積分講義 -ルベーグ積分と面積0の不思議な図形たち-」(日本評論社,2003)
E.Stein and R.Shakarchi, Real Analysis, Princeton Univ. Press，2005,
G. Folland, Real Analysis, 2nd ed., Wiley, 1996

履修上の注意：本講義の演習を「解析学特別演習I」において行うので，本講義と合わせて履修することが望ましい．

数理分類番号：332

授業の目標・概要：複素解析学Iに引き続き、複素解析学の古典的基礎理論を解説する。
具体的な内容は以下の通りである。
１．調和関数、劣調和関数、Poisson積分
２．解析接続、一価性定理
３．写像としての正則関数、等角性、単葉性、シュワルツの補題
４．リーマンの写像定理、正規族、境界対応
５．楕円関数、ペー関数
６．コーシー・リーマン方程式とクザンの問題
７．ルンゲの近似定理

授業のキーワード：調和関数、解析接続、等角写像、リーマンの写像定理、正規族、楕円関数

harmonic functions, analytic continuation, conformal mapping, Riemann's mapping theorem, normal family, elliptic functions

授業計画：

1 Riemannの写像定理
2 正規族とMontelの定理
3 単連結領域のいくつかの特徴付け
4 双正則写像の境界挙動
5 調和関数と調和関数
6 正則関数の芽の層
7 解析接続とホモトピー
8 楕円関数とモジュラー関数
9コーシー・リーマン方程式とクザンの問題
10ルンゲの近似定理

授業の方法：講義を行う

成績評価方法：期末試験による

教科書：Lars Ahlfors 著 Complex analysiまたは
その日本語訳 アールフォルス 著 「複素解析」 現代数学社

関連ホームページ：http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~hirachi/courses/

メールアドレス：hirachi@ms.u-tokyo.ac.jp

数理分類番号：333

授業の目標・概要：代数学Iの内容に沿った演習を行う．

授業のキーワード：群論、環論

授業の方法：演習形式で行う．

成績評価方法：主に演習時間における解答実績と講義の期末試験の成績による．

数理分類番号：411

河野　俊丈

授業の目標・概要：幾何学 I にそった内容の演習を行う．

授業のキーワード：ユークリッド空間、曲線、曲面、陰関数定理、逆関数定理、超曲面、可微分多様体、局所座標、球面、射影空間、積多様体、商多様体、接空間、群作用、軌道、接バンドル、多様体の向き、埋め込み、はめ込み、部分多様体、正則値、臨界値、モースの補題、サードの定理、1の分割、リーマン計量、ベクトル場、リー代数、1径数変換群、測地線、変分法、ガウス曲率、双曲幾何

授業計画：

1. 陰関数定理，曲線と曲面の方程式など
2. 多様体の定義と基本的な例
3. 多様体の接空間
4. 多様体間の写像とその微分
5. 群作用と商多様体
6. 接バンドルと多様体の向き
7. 埋め込みとはめ込み，部分多様体
8. 多様体上の写像，正則値と臨界値
9. Sardの定理の証明，写像度
10. 多様体上の1の分割と埋め込み定理
11. 多様体上のリーマン計量
12. ベクトル場と1径数変換群
13. リーマン多様体上の曲線と測地線の方程式
14. 曲面のガウス曲率と接続形式
15. 応用と展望

授業の方法： 幾何学Iの講義内容に対応した課題を提出し，学生が黒板で
発表する形式で演習を行なう．レポート問題も課す．

成績評価方法：黒板での発表に，レポート課題を加味する．

参考書：

坪井俊，「幾何学I--多様体入門」 東京大学出版会
松本幸夫，「多様体の基礎」東京大学出版会
服部晶夫，「多様体」岩波全書

関連ホームページ：http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kohno/lectures/geom1.html

メールアドレス：kohno@ms.u-tokyo.ac.jp

研究室電話番号：48332

数理分類番号：421

授業の目標・概要：本講義では，解析学IVで学ぶルベーグ積分に関する演習を行う。

授業のキーワード：ルベーグ外測度、ルベーグ可測集合、ルベーグ測度、σ-集合体、測度、測度空間、カラテオドリの可測性、可測関数、単関数、単調収束定理、Fatouの補題、ルベーグの収束定理、フビニの定理

Lebesgue outer measure, Lebesgue mesurable set, Lebesgue measure, σ-field, measure, measurable function, simple function, monotone convergence theorem, Fatou's lemma, Lebesgue's convergence theorem, Fubini's theorem,

授業計画：

下記の内容について演習をする予定である．ただし変更の可能性もある．
1.集合演算，2.ルベーグ外測度，3. ルベーグ測度，4.測度空間，5.可測関数，6.積分の定義と諸性質，7.単調収束定理，Fatouの補題，ルベーグの収束定理，8.ルベーグの収束定理の応用例，9.直積測度，10.Fubiniの定理，11.Fubiniの定理の応用，12.測度の絶対連続性と特異性，13.Radon-Nikodymの定理，14.微分定理，15.補足とまとめ．

授業の方法： 演習を行う．

成績評価方法：試験、レポート、平常点。

教科書：使用しない

参考書：鶴見茂「測度と積分」(理工学社,1965)
伊藤清三「ルベーグ積分入門」(裳華房,1963)
新井仁之「ルベーグ積分講義 -ルベーグ積分と面積0の不思議な図形たち-」(日本評論社,2003)
E.Stein and R.Shakarchi, Real Analysis, Princeton Univ. Press，2005,
G. Folland, Real Analysis, 2nd ed., Wiley, 1996

履修上の注意： 本講義の演習を「解析学特別演習I」において行うので，本講義と合わせて履修することが望ましい．

数理分類番号：432

授業の目標・概要：複素解析学IIの内容に沿った演習を行う

授業のキーワード：調和関数、解析接続、等角写像、リーマンの写像定理、正規族、楕円関数

harmonic functions, analytic continuation, conformal mapping, Riemann's mapping theorem, normal family, elliptic functions

授業計画：演習問題を配布する

授業の方法：黒板での発表とレポート課題

成績評価方法：複素解析学IIの期末試験の成績及び演習においての発表, レポート等の提出状況により評価する.

教科書：複素解析学IIに準じる

関連ホームページ：http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~hirachi/courses/

数理分類番号：433

授業の目標・概要：代数学IIに並行して行われる演習である。
○授業内容：
環と加群、PID上の有限生成加群など、代数学�Tで学んだ群論および環論の初歩をさらに発展させた代数学における基本的な概論を扱う。
＜環上の加群＞
定義、加群の準同型と準同型定理、 自由加群、射影加群
単項イデアル環上の加群（有限生成アーベル群の基本定理、単因子論）
Jordan-Ho"lder(-Schreier) の定理、テンソル積、平坦加群
＜環論＞
Noether環、Hilbert基底定理、Jacobson根基と、中山の捕題、(半)単純環の構造定理

授業の方法：演習問題を配布する。受講生が（他の受講生と調整しつつ）選んで黒板に板書し、その内容を講義担当者らが検討し、解答者の理解を確認・深めつつ、正しさが確認されれば加点される。
　 問題には、定義の理解を測るもの、計算ができるかを調べるもの、発展的なものなどをとりそろえる。

成績評価方法：解答した問題の難易度と個数を中心とするが、出席状況や授業への態度を加味する。
演習時間中に解答をしなかったものには、単位は与えられない。

教科書：特に指定しない

参考書：

桂利行：代数学II 環上の加群　(東京大学出版会）
堀田良之：代数入門　（裳華房）
山崎圭次郎：環と加群　（岩波書店）
河田敬義：ホモロジー代数　（岩波書店）

関連ホームページ：http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~matumoto/index.html

数理分類番号：412

河澄　響矢

授業の目標・概要：幾何学のしかるべき題材、 とくに位相幾何学の基礎的な題材を選んで演習を行う。

授業の方法：古典的黒板演習による。

成績評価方法：宿題レポートの成績と黒板で「最後まで」解いた問題数によって単位の判定を行う。評価には幾何学 II の成績を加味する。

数理分類番号：422

授業の目標・概要：本講義は解析学V(中村担当)と解析学VI(山本担当)の演習を行う。
数理分類番号434

授業の方法：線形微分方程式論に関する演習(中村担当)とフーリエ解析及び超関数に関する演習(山本担当)を行う。

成績評価方法： 平常点およびレポート等による。

教科書：授業中に指示する。

参考書：授業中に指示する。

数理分類番号：434

授業の目標・概要：計算数理�Tの内容に沿った課題について，受講生が自ら作成したプログラムやソフトウエアなどを用いて，計算実習を行い，計算結果や考察をレポートにまとめる．

授業計画：

1. 準備（端末室の使い方）
2. 準備（プログラミング）
3. 準備（データの可視化）
4. 準備（LaTeXによるレポートの作成）
5. 連立一次方程式に対する反復法 （Jacobi法、Gauss-Seidel法）
6. 連立一次方程式に対する反復法（SOR法）
7. 連立一次方程式に対する直接法（Gaussの消去法）
8. 連立一次方程式に対する直接法（ピボット選択）
9. 非線形方程式
10. 非線形連立方程式系
11. 数値積分（Newton-Cotes積分公式）
12. 数値積分（Gauss型積分公式）
13. 常微分方程式の初期値問題（Euler法）
14. 常微分方程式の初期値問題（Runge-Kutta法）
15. 常微分方程式の初期値問題（RKF45公式）

授業の方法：情報教育棟の端末室における演習形式で行う．プログラミングそのものやソフトウエアの利用は，原則として自習とし，何を利用するのかも受講者の自由とするが，必要に応じて，教員とTA が指導や助言を行う．

成績評価方法：課題に対するレポート

教科書：特に指定しない。

参考書：

1. 皆本晃弥：C言語による数値計算入門，サイエンス社，2005年
2. 金子晃：数値計算講義，サイエンス社，2009年
3. 菊地文雄・山本昌宏：微分方程式と計算機演習，山海堂, 1991年(絶版)
履修上の注意：

(1)計算数理Iを合わせて履修することが望ましい．
(2)本演習は，情報教育棟で行う．受講者はあらかじめ情報教育棟の計算機アカウントを獲得しておくこと．

関連ホームページ：http://www.infsup.jp/saito/

その他：数理分類番号：451

メールアドレス：norikazu@ms.u-tokyo.ac.jp

数理分類番号：451

授業の目標・概要：趣旨：プログラミング言語設計の背後にある基礎理論を学ぶ。

内容：プログラミング言語を用いてプログラムを行う機会は多々あると思うが、言語そのものがどのように設計されているかに関してはあまり知る機会がないかもしれない。 プログラミング言語設計の背後にある基礎理論や実装のアイデアを学ぶことは、実際のプログラミングの際にも役にたつはずである。この講義では、主として数学的な観点から基礎理論を学ぶ。

授業のキーワード：プログラミング言語、ラムダ計算、簡約、型理論、操作的意味論、評価戦略、部分帰納関数、チューリング完全、不動点演算子、チャーチ・ロッサー性、強正規化性、型判定、型安全性

Programming languages, lambda calculus, reduction, type theory, operational semantics, evaluation strategy, partially recursive function, Turing completeness, fixed-point combinator, Church-Rosser property, strong normalizability, typing judgement, type safety

授業計画：1 文法／意味論, 2 ラムダ計算, 3 簡約, 4 結合子, 5 チャーチ・ロッサー性, 6 部分帰納関数, 7 チューリング完全性, 8 単純型付きラムダ計算, 9 強正規化性, 10 評価戦略, 11 操作的意味論, 12 自然意味論, 13 型安全性, 14 体系の拡張

授業の方法：講義による

成績評価方法：授業中に明示する。

参考書：(参考書) 大堀淳, プログラミング言語の基礎理論, 情報数学講座9, (共立出版, 1997).
高橋正子, 計算論, (近代科学社, 1991)

その他：数理分類番号: 353

メールアドレス：ryu@ms.u-tokyo.ac.jp

研究室電話番号：48337

授業の目標・概要：本講義では、逆問題の数理について論ずる。逆問題とは結果から原因を探る問題を広く指しており、非破壊検査、地下探査、医用診断など実用的にも重要な多様な問題を含む。それらの逆問題においては、観測量が対象の表面などに限定されており、解を決定するために十全でない場合が普通であり、その結果、観測から決定される解が一通りでなかったり、結果における微小誤差が解の大きな誤差を生じさせる不安定性がついてまわる。そのために逆問題の数学解析も特別の工夫が必要であり、理論的な設定や方法論が準備されている。本講義ではそのような数理的な側面と時間が許す限り、具体的な逆問題のケーススタデイも行う。

授業計画：以下の項目について触れる予定である（部分的に変更、追加の可能性もある）：逆問題とは、不安定性、非適切性、波動源決定逆問題、汚染源決定逆問題、カーレマン評価による逆問題、
Electrical impedance tomography の数理,画像復元、正則化手法

授業の方法： 講義による

成績評価方法：試験、レポートなどによる。

教科書：講義中に指示する。

参考書：山本昌宏、「逆問題入門」、岩波書店、2002年

山本昌宏、金成煥、「熱方程式で学ぶ逆問題」、サイエンス社、2008年