解析学紹介

 解析学は,伝統的には極限や微分積分に関わる数学上の諸問題を研究する学問であるが,時代の移り変わりととも に解析学が扱うテーマは大きく広がり,近年では従来の解析学の枠に入らない新しい手法も数多く用いられている. 本研究科における解析学関係の教員の研究分野も非常に幅広く,微分方程式論,作用素環論,実関数論,表現論,複 素解析,確率論,と多岐にわたっている.微分方程式論はさらに,線形偏微分方程式論,非線形偏微分方程式論,可 積分系,逆問題,等に大別される.また,手法で分けるならば,複素解析的手法,特異積分作用素を含む実解析的手法, 加藤敏夫や吉田耕作の流れを汲む関数解析的手法,変分法や不動点定理を含む非線形解析の手法,無限次元力学系の 手法,佐藤幹夫の代数解析的手法を含む超局所解析の手法,確率論的手法,可積分系や表現論で用いられる代数的手法, 等々が挙げられる.これらの分類は,決して明確な,あるいは排他的なものではなく,多くの場合複数の手法の組み 合わせで目的の問題を研究することになる.
 具体的な研究テーマを述べよう.複素解析学では,主にベルグマン核やCR多様体といった多変数複素解析を中心に, 複素代数多様体といった代数幾何学の研究対象をも扱っている.常微分方程式分野では代数的手法によって,重要な 非線形方程式であるパンルベ方程式の研究が行われている.偏微分方程式分野では,数理物理に現れるシュレディン ガー方程式をはじめとする分散型方程式や,ナヴィエ・ストークス方程式だけではなく,数理生物学に現れる反応拡 散方式,材料科学に現れる曲面の発展方程式,最適制御理論のハミルトン・ヤコビ方程式など,線形,非線形の応用 上も重要な方程式が研究されている.また,解から方程式の構造を決定する逆問題の研究も盛んに行われている.作 用素論およびその量子統計力学への応用面の研究も充実している.確率論の分野では,確率微分方程式や,確率過程 論にとどまらず,無限次元空間上の確率解析も研究されている.数学分野にとどまらず,物理学,材料科学,生命科 学等の諸科学や,産業技術分野への応用も意識されている.そのほか代数解析的手法による表現論の課題である無限 次元表現や,ペンローズ変換の研究や,離散群の測度同値性やエルゴード理論に関連する研究など,その研究範囲は 広い.                                         
(文責 儀我 美一)