授業の目標・概要： コンパクト複素曲面の理論においてＫ３曲面は中心的なテーマであった。ハイパー・ケーラー多様体はＫ３曲面の高次元版であり、カラビ・ヤウ多様体やファノ多様体と並んで重要な多様体のクラスである。この講義ではハイパー・ケーラー多様体の理論を初歩から最新の結果までサーベイする。

キーワード：コンパクト複素多様体、コホモロジーのホッジ分解、第一チャーン類、ボゴモロフ分解、ハイパー・ケーラー多様体、カラビ・ヤウ多様体、ファノ多様体、ボーヴィユ形式、藤木関係式、ツウィスター変形族、ケーラー錘、無障害変形、ラグランジアン・ファイバー空間、双有理写像、フロップ、周期写像、トレリの定理

授業計画：

１．コンパクト複素多様体の定義

２．コンパクト・ケーラー多様体のコホモロジーのホッジ分解

３．第一チャーン類が０であるようなコンパクト・ケーラー多様体のボゴモロフ分解

４．ハイパー・ケーラー多様体の定義

５．ボーヴィユ形式と藤木関係式

６．ツウィスター変形族

７．ケーラー錘の構造

８．無障害変形

９．ラグランジアン・ファイバー空間

１０．双有理写像とフロップ

１１．周期写像とトレリの定理

授業の方法：講義による

成績評価方法： 課題レポート

参考書：Gross-Huybrechts-Joyce: Calabi-Yau manifolds and related geometries.

Springer Universitext, 2003. (Part III のみ)

関連ホームページ ：http://faculty.ms.u-tokyo.ac.jp/~kawamata_lab/

メールアドレス：kawamata@ms.u-tokyo.ac.jp

数理分類番号：710

授業の目標・概要：代数的整数論で代数体の拡大の分岐の理論は古くから調べられてきた。これを数論的スキームへ拡張することは懸案であったが、ここ10数年の研究で満足のいく理論が整備されてきた。その中から、?進層のリーマン・ロッホ公式や、剰余体が一般の局所体のガロワ群の分岐群などをとりあげて解説する。

キーワード：分岐、?進層、スキーム、被覆、ガロワ群、導手、エタール・コホモロジー

授業の方法：通常の講義

成績評価方法：レポートによる

関連ホームページ：http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/ce.html

数理分類番号：710

授業の目標・概要：SP(2,R)上の保型形式の基本的な素材を概説する。これに関連して、Sp(2,R)の表現の球関数について知られていることを概説する。

(We give an overview on the fundamental ingredients about automorphic forms on Sp(2,R). Related to this theme, we overview the known facts on spherical functions on Sp(2,R).)?

キーワード：実シンプレクティック群、保型形式、Fourier展開、主系列表現、離散系列表現、表現の実現（あるいは模型）、行列係数、Whittaker模型

授業計画：最初の数回：　SL(2,R)を例にして、より大きな群 Sp(2,R) の構造をまず考える。なぜ、保型形式と表現論が結びつくか説明する。表現の実現と保型形式の問題との関連を論ずる。その後、特定の実現を論じる。

授業の方法：通常の講義による。

成績評価方法：出席と、適宜にレポートを課す。

教科書：参考文献等は、講義中に提示する。実半単純群の表現や、通常の（つまり古典的な）正則保型形式に関して多少の知識があれば、最初の部分は親しみが持てるかも。

メールアドレス：Takayuki.Oda@gmail.com

研究室電話番号：47026

数理分類番号：710

 本年度開講なし

授業の目標・概要：代数的整数論の入門的な概説をする

キーワード：代数的数、代数的整数、代数体、整数環、（分数）イデアル、イデアル類群、単数、判別式、分岐、単数定理、類数の有限性

授業の方法：通常の講義による

成績評価方法：出席、および適宜に課すレポートで評価する

メールアドレス：Takayuki.Oda@gmail.com

研究室電話番号：47026

数理分類番号：512

授業の目標・概要：これはリー群および等質空間に関する入門講義である．基本的な定義や例を学んだ後に，リー群とそのリー環との間にある関係について学ぶ．次の話題は等質空間である．等質空間の幾何をそれに付随して得られるリー群やそのリー環を用いて記述する方法について学ぶ．時間が許せば，リーマン対称空間（これは，最も典型的な等質空間である）に対する剛性定理などについても触れたいと考えている．

キーワード：リー群・リー環・等質空間・リーマン対称空間・剛性定理

授業の方法：講義

成績評価方法：講義中に出題した問題を解きレポートとして提出

数理分類番号：522

授業の目標・概要：基本群と被覆空間、ファイバーバンドルとホモトピー群について 極く初等的な内容を講義する。目標は、van Kampen の定理、 CW 複体の基本群の記述、被覆空間の分類定理、ファイバーバンドルの ホモトピー完全列である。

キーワード：ホモトピー集合、 compact 開位相、 基本群、 ループ空間、 ホモトピー群、 基本亜群、 path 空間、 普遍被覆空間、 被覆空間、 主 G 束、 van Kampen の定理、 コファイブレーション、 ホモトピー完全列、 ホモトピーファイバー、 基本亜群のホモトピー群への作用、 胞体近似定理、 J、H、C、 Whitehead の定理、 Hurewicz 同型定理、 Hurewicz ファイブレーション、 Serre ファイブレーション、 ファイバー束、 Brown の表現定理、 主 G 束の分類空間

授業の方法：講義による。

成績評価方法：中間テスト（６月）と期末テスト（９月）による。

数理分類番号：521

授業の目標・概要：葉層構造や関連する事柄について論じる

キーワード：葉層構造

授業計画：葉層構造や関連する事柄について話題を選んで論じる．詳細は追って掲示する．

授業の方法：黒板を用いる．

成績評価方法：レポートによる予定である．詳細は講義の際指示する．

数理分類番号：720

本年度開講なし

本年度開講なし

授業の目標・概要：楕円型微分作用素の指数についての基本的性質を学ぶ。

キーワード：楕円型微分作用素、 指数

授業計画：ある程度、解析はブラックボックスとして扱う。熱核については言及しない。

（１）指数の定義

（２）1次元の場合

（３）切除定理を認めて指数の例を計算する。

（４）積公式を認めて指数の計算をEulcid空間の場合に帰着する。

（５）族の指数の定義

（６）Bott周期性

授業の方法：講義を行い、適宜、演習問題を提示する。

成績評価方法：レポート

参考書：Atiyah-Singer の index theorem を証明した論文のシリーズ

Shanahan "Atiyah-Singer index theorem"

古田幹雄　「指数定理Ｉ」岩波書店　およびその参考文献（IIの巻末）

履修上の注意：予備知識としてベクトル束の直和、テンソル積などの構成、微分形式、主束、接続の概念などを用いる。

メールアドレス：furuta@ms.u-tokyo.ac.jp

数理分類番号：720

授業の目標・概要：基礎的な偏微分方程式について具体例を中心に学ぶ． 熱方程式，ラプラス方程式，波動方程式の初期値問題・境界値問題の解法を習得し， それぞれの方程式の特質をつかむ事を目標とする．また線形偏微分方程式の一般論への橋渡しとなる，解析的偏微分方程式系に対するCauchy-Kowalevskyの定理とその応用としてのHolmgrenの一意接続定理，およびラプラス方程式の解のヘルダー連続性なども学ぶ．

キーワード：偏微分方程式、熱方程式、ラプラス方程式、波動方程式、初期値問題、境界値問題、初期値-境界値問題、混合問題、パラメータを含む常微分方程式、ホイヘンスの原理、レビ-溝畑の方程式、フーリエ変換、基本解、最大値の原理、平均値の定理、Poissonの積分表示式、解析的偏微分方程式、Cauchy-Kowalevskyの定理、 Holmgrenの一意接続定理、非特性曲面、解析関数、ベキ級数、コーシーリーマンの方程式、優級数、ヘルダー連続

授業計画：

１，パラメータを含む常微分方程式，２変数方程式の例と性質

２，レビ溝畑の解をもたない偏微分方程式

３，１次元波動方程式の初期値問題と初期値-境界値問題

４，３次元波動方程式の初期値問題，ホイヘンスの原理

５，Hadamardのmethod of descentと２次元波動方程式への応用

６，フーリエ変換によるN次元波動方程式の初期値問題の解法

７，熱方程式の初期値問題

８，N次元ラプラス方程式の基本解の構成

９，N次元ラプラス方程式の解の滑らかさ，ヘルダー連続性

１０，ラプラス方程式の境界値問題とPoissonの積分表示式

１１，ラプラス方程式，熱方程式の最大値の原理と解の一意性

１２，多変数解析関数と解析的偏微分方程式系に対する初期値問題，非特性初期

曲面

１３，優級数の方法とCauchy-Kowalevsky定理

１４，解析的線形偏微分方程式に対する解の一意接続性(Holmgrenの一意接続定理)

１５，擬微分作用素，エネルギー評価式など

授業の方法：講義形式

成績評価方法：期末レポートによる。

参考書：熊ノ郷準「偏微分方程式」共立数学講座１４第２版（2001.9）ISBN-10: 4320011058

ISBN-13: 978-4320011052

俣野博・神保道夫著「熱・波動と偏微分方程式」岩波書店現代数学への入門シリーズ ISBN4-00-006876-8

履修上の注意：予備知識は3年までの講義．特にルベーグ積分論，関数論，フーリエ解析など．

関連ホームページ：http://agusta.ms.u-tokyo.ac.jp/microlocal.html

メールアドレス：kiyoomi@ms.u-tokyo.ac.jp

研究室番号：47029

数理分類番号：532

授業の目標・概要：スペクトル理論の基本事項について講義する．無限次元ヒルベルト空間上の自己共役作用素のスペクトル分解が主題である．

キーワード：スペクトル理論、自己共役作用素のスペクトル分解、スペクトル、ヒルベルト空間論

授業計画：概ね以下の内容を扱う予定である．これらは予定であり，以下の項目の変更（省略，追加，順序の変更等）をする事があり得る．また，以下の各項目は各回の内容に対応するものではない．

1. レゾルベント集合，スペクトル，固有値，レゾルベント

2. レゾルベントの性質，スペクトルの性質

3. 共役作用素，ユニタリ作用素

4. 対称作用素と自己共役作用素

5. 自己共役性の判定

6. 自己共役作用素のスペクトル

7. コンパクト作用素とその基本性質

8. コンパクト作用素のスペクトル

9. コンパクトな自己共役作用素のスペクトル分解

10. 単位の分解

11. 単位の分解による作用素解析

12. 自己共役作用素のスペクトル分解定理

13. スペクトル分解の実例，自己共役作用素の関数

14. 自己共役作用素のスペクトルとスペクトル測度との関係

15. 自己共役作用素のスペクトル分解定理の証明（ユニタリ作用素のスペクトル分解，ケーリー変換等）

授業の方法：講義を行う．

成績評価方法：レポート

履修上の注意：関数解析の基本事項を前提とする．

数理分類番号：731

授業の目標・概要：常微分方程式は特殊関数と深く結びついて発展してきたが、複素領域における代数的常微分方程式の研究が近年急速に進展し、従来個々に研究してきた理論の統一的理解ができるようになってきた。講義では、発展中の理論、特にRiemann schemeの一般化とuniversal modelの存在定理(Deligne-Katz-Simpson問題)、接続公式(Gaussの和公式の一般化)、無限次元Kac-Moody Weyl群の作用、不確定特異点と特異点の合流、積分表示、ベキ級数表示、多変数化などについて解説する。理論は構成的でコンピュータ・プログラムで実現できる。

キーワード：常微分方程式、特殊関数、Fuchs型方程式、超幾何関数、確定特異点、不確定特異点、接続問題、Kac-Moodyルート系

授業の方法：一昨年の講義内容については，講義録に基づいて簡潔に紹介し，それ以降のより進んだ部分については，より詳しく講義を行う．

成績評価方法：講義中に与えた課題のレポートによる

参考書：大島利雄著：特殊関数と代数的線型常微分方程式，東京大学数理科学レクチャーノート11, 2011

原岡喜重著：超幾何関数（すうがくの風景），朝倉書店，2002

履修上の注意：仮定する予備知識は、関数論、線形代数、常微分方程式などの理学部数学科の4学期または3年前期に学習する内容程度

メールアドレス：oshima@ms.u-tokyo.ac.jp

研究室電話番号：47046

数理分類番号：732

授業の目標・概要：関数解析の基本事項について講義する．主に，無限次元のバナッハ空間及びヒルベルト空間と，その上の線型作用素について講義する．

キーワード：関数解析、バナッハ空間、ヒルベルト空間、線型作用素

授業計画：概ね以下の内容を扱う予定である．これらは予定であり，以下の項目を変更（省略，追加，順序の変更等）をする事があり得る．また，以下の各項目は各回の内容に対応するものではない．

1. バナッハ空間

2. バナッハ空間の例

3. ヒルベルト空間，ヒルベルト空間の例

4. ヒルベルト空間に於ける射影定理，完全正規直交系

5. 線型作用素

6. 有界作用素，有界作用素の例

7. 双対空間とその実例

8. ヒルベルト空間に於けるリースの表現定理

9. 閉作用素と前閉作用素

10. ベールのカテゴリー定理

11. 一様有界性の原理

12. 開写像定理，閉グラフ定理

13. ハーン・バナッハの定理とその応用

14. 反射的バナッハ空間

15. 弱収束と汎弱収束

授業の方法：講義を行う．

成績評価方法：レポート

数理分類番号：531

授業の目標・概要：ブラウン運動とマルチンゲールについて簡単に復習した後、確率積分と確率微分方程式について基礎から講義する。受講者が伊藤の公式を使いこなせるようになることが一つの目標である。 受講者には確率過程論・確率統計学IIIの講義内容である（離散時間）マルチンゲールについて、ある程度慣れていることを期待する。

キーワード：ブラウン運動、マルチンゲール、確率積分、伊藤の公式、確率微分方程式、マルコフ性、生成作用素、マルチンゲール問題、強解と弱解、偏微分方程式、ディリクレ問題、角谷の定理、初期値問題、Feynman-Kacの公式、Cameron-Martinの公式、Girsanovの公式、丸山の公式、ドリフト変換公式、エルゴード定理、不変測度、可逆測度、Ornstein-Uhlenbeck過程、Bessel過程、ブラウン橋、ピン止めブラウン運動、Hilbert空間上のブラウン運動、無限次元確率微分方程式、確率偏微分方程式

授業計画：

1. ブラウン運動の復習

2. マルチンゲールの復習

3. 確率積分

4. 伊藤の公式

5. 確率微分方程式、強解の存在と一意性

6. マルコフ性、生成作用素、マルチンゲール問題と弱解

7. 偏微分方程式との関係、Feynman-Kacの公式

8. Cameron-Martin-Girsanov-丸山の公式

9. エルゴード定理、不変測度、可逆測度

10. 確率微分方程式の例

11. Hilbert空間上のブラウン運動、確率積分

12. 無限次元確率微分方程式と確率偏微分方程式

授業の方法：講義による。

成績評価方法：レポートにより行う。

参考書：

[1] 舟木直久：確率微分方程式、岩波書店、2005年 (1997年)

[2] I. Karatzas and S.E. Shreve: Brownian Motion and Stochastic Calculus,

Graduate Texts in Math., Volume 113, Springer, 2nd ed., 1991年

数理分類番号：541

授業の目標・概要：実解析学および関数解析学の基礎的な話題に関する内容を解説する．本講義では授業計画に記したようないくつかの独立した内容を講ずる．

キーワード：実および関数解析学、測度、ハウスドルフ測度、ハウスドルフ次元、作用素の補間、位相線形空間、バナッハ空間、ヒルベルト空間、自己相似集合、カントル集合

授業計画：講義の主な内容は順不同で次のものを予定している。ただし部分的に内容を変更することもある。

1. ハーン分解

2. ジョルダン分解

3. ラドン・ニコディムの定理

4. ルベーグ測度と微分定理

5. 劣線形作用素の補間

6. 位相線形空間

7. 位相線形空間の応用

8. 関数解析における表現定理

9. フラクタル入門

10. 自己相似集合

11. ハウスドルフ測度

12. ハウスドルフ次元．

授業の方法：講義．

成績評価方法：レポート．出席状況も考慮に入れる．

教科書：教科書は使用しない．講義ノートが教科書の代わりになる．

参考書：必要に応じて講義中に指示する．

履修上の注意：ルベーグ積分と関数解析学の初歩を予備知識として仮定する．

数理分類番号：533

授業の目標・概要：可換環論の基本的な話題をいくつか選択し、幾何学的な意味を意識しながら、学習する。

キーワード：ヒルベルトの零点定理、次元論、正規化、完備化、正則局所環、コーエンマコーレー環

授業の方法：講義による

成績評価方法：レポートによる。課題は講義中に提示する。

数理分類番号：511

本年度開講なし

本年度開講なし

本年度開講なし

授業の目標・概要：多変数複素函数論の入門講義。

1.n変数正則関数の定義、積分公式、解析接続

2.ワイエルシュトラスの予備定理、正則函数局所環基本的性質

3.岡の連接定理

4.層の理論、複素多様体、ドラームの定理、ドルボーの定理

5.正則凸領域におけるクザン問題の解

6.岡-カルタンの基本定理

7.スタイン多様体上の岡-カルタンの基本定理。

岡の連接定理は、多変数函数論だけでなく数学の広い分野での基礎概念となっている。

キーワード：多変数複素函数論、複素解析、複素多様体

授業計画：上記７項目を平均2回講義する。岡潔の第�Z論文で証明された連接性定理をまず証明し、そこから岡の第一論文、第二論文で証明されたクザン問題を解決し、更には正則凸領域・スタイン多様体上の岡-カルタンの基本定理を証明する。できるだけわかりやすく、証明は全て付ける。

授業の方法：板書。

成績評価方法：平常点とレポートによる総合評価。

参考：多変数解析函数論（一松信著、培風館）、.多変数函数論（西野利雄著、東京大学出版会）、シュタイン空間論（グラウエルト・レンメルト著 宮島公夫訳、シュプリンガージャパン）、多変数複素解析学入門（ヘルマンダー著 笠原乾吉訳、東京図書）、An introduction to complex analysis in several variables（Lars Hormander著、van Nostrand）。

関連ホームページ：http://nogpc4.ms.u-tokyo.ac.jp/nog/

http://www.lib.nara-wu.ac.jp/oka/

メールアドレス：noguchi@ms.u-tokyo.ac.jp

研究室電話番号：48663

数理分類番号：730

本年度開講なし

授業の目標・概要：幾何的手法による表現論の最近の進展について　タイムリーなトピックを選んで解説する

キーワード：表現論、リー群・リー環、群作用、等質空間、複素多様体

授業の方法：Lectures on blackboard every week

成績評価方法：Report at the end of semester

履修上の注意：For more details, I plan to add information in my homepage below.

関連ホームページ：http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~toshi/lec/2012summer-a.html

数理分類番号：720

授業の目標・概要：４人の教員がオムニバス形式でさまざまな分野に現れる非線形現象について，それらの数理的記述・解析方法を紹介する．今年度予定されるトピックは，感染症数理モデル，ソリトン現象，可積分系，セルオートマトンなどである．

授業の方法：４人の教員がオムニバス形式でさまざまな分野に現れる非線形現象について講義する．

成績評価方法：レポート提出．（詳細は授業中に提示する．）

数理分類番号：562

授業の目標・概要：確率過程の中の重要なクラスであるマルチンゲールについて講義する。 主に離散時間の場合を扱い，停止時刻と任意抽出定理，各種のマルチンゲール不等式，収束定理とこれらの応用について述べる。連続時間マルチンゲールにも簡単に触れ，その例としてブラウン運動やポアソン過程を取り上げる。時間が許せば，連続時間マルコフ連鎖についても学ぶ。

キーワード：条件付き確率、条件付き期待値、マルチンゲール、Doob分解、停止時刻、任意抽出定理、Doobの不等式、マルチンゲール収束定理、マルチンゲール変換、横断数評価、Burkholderの不等式、一様可積分性、Doob-Meyer分解、2次変分、ブラウン運動、Wiener測度、ポアソン過程、マルコフ連鎖

授業計画：

1.確率論の基礎概念 (確率統計学I の復習)

2.離散時間マルチンゲール，Doob分解，停止時刻

3.Doobの任意抽出定理

4.Doobの不等式

5.劣マルチンゲールの収束定理

6.マルチンゲールのモーメント不等式

7.一様可積分性と L^1-収束

8.連続時間マルチンゲール

9.停止時刻，任意抽出定理，Doobの不等式

10.Doob-Meyer分解，2次変分

11.ブラウン運動の定義

12.ブラウン運動の構成

13.ブラウン運動の性質

14.ポアソン過程

15.連続時間マルコフ連鎖

授業の方法：講義による。

成績評価方法：レポートにより行う。

参考書：　　　　

[1] 舟木直久：確率論, 朝倉書店, 2004年

[2] 舟木直久：確率微分方程式, 岩波書店, 2005年 (1997年)

数理分類番号：543

授業の目標・概要：コンピュータを用いた数値的解析方法は，理工学を超えて，生命科学，臨床医学，金融商品研究などにまで応用範囲を拡げ，幅広く有益な知見をもたらしている．そして，複雑かつ大規模な問題のコンピュータによるシミュレーションが可能になり，実行されるにつれ，それに関わる数学的諸問題の解決への要請は強くなる．実際，シミュレーションは，コンピュータの内部で完結するものではなく，現象のモデル（微分方程式など）化，モデルの数学解析，近似と離散化，アルゴリズムの実装とプログラムの作成，データの可視化，現実データとの照らし合わせ，信頼性の検証などの一連の過程であり，それらが数理という幹で強く繋がっているのである．本講義で扱うのは，上記の「近似と離散化」の部分である．すなわち，様々な物理現象の記述に現れる偏微分方程式を対象にして，数値的方法に基づく近似解法とその数学理論の概要を解説する．なお，具体的な近似方法としては，おもに差分法と有限要素法を取り上げる．

キーワード：数値解析、偏微分方程式、差分法、有限要素法

授業計画：

1. 熱方程式

2. 熱方程式の差分近似(陽的スキームと陰的スキーム)

3. 熱方程式の差分近似(シータスキームと非斉次問題)

4. 差分法の収束解析

5. Neumann境界条件

6. 半線形反応拡散方程式

7. 変分原理と有限要素法

8. Sobolev空間と弱形式

9. 正則な三角形分割

10. 有限要素法の収束解析

11. 最大値原理

12. FreeFem++による数値計算（基礎編）

13. FreeFem++による数値計算（非線型問題）

14. Lax-Milgramの理論

15. Galerkin近似

授業の方法：教室における講義

成績評価方法：レポート

参考書：

1. 菊地文雄・山本昌宏：微分方程式と計算機演習，山海堂, 1991年．

2. 田端正久：偏微分方程式の数値解析，岩波書店, 2010年．

3. G. D. Smith: Numerical Solution of Partial Differential Equations,

Oxford University Press, 1965.

4. S. Larsson and V. Thomee: Partial Differential Equations with Numerical Methods, Springer, 2009.

関連ホームページ：http://www.infsup.jp/saito/

メールアドレス：norikazu@ms.u-tokyo.ac.jp

数理分類番号：551

授業の目標・概要：数理統計学の入門講義．線形推測の理論と漸近理論の基礎について解説する．

授業計画：

１．確率空間，確率変数，確率分布，期待値，特性関数と積率，多変量分布，多変量正規分布

２．一般化逆行列，射影行列，F分布，ガウス・マルコフモデル，仮説検定，重回帰分析，分散分析

３．大標本理論：最尤推定，大数の法則と一様性，最小コントラスト推定，推定量の漸近正規性

授業の方法：講義をする．

成績評価方法：原則的に試験による．

教科書：吉田朋広：　数理統計学．朝倉書店　2007（第２刷）

参考書：Rao, C.R.: Linear statistical inference and its applications. 2nd ed. Wiley 1973　奥野忠一 他訳．統計的推測とその応用 （原著第2版）: 東京図書 1977　　　

柳井晴夫, 竹内 啓: 射影行列・一般逆行列・特異値分解. UP応用数学選書 10. 東京大学出版会 1983. 　　

柴田義貞: 正規分布--特性と応用. 東京大学出版会 1981　　

Ferguson, Th.S.: A course in large sample theory. London Weinheim New York Tokyo Melbourne Madras: Chapman & Hall 1996　　

Lehmann, E.L.: Elements of large-sample theory. New York Berlin Heidelberg: Springer 1999　　　

赤平昌文 統計解析入門. 森北出版 2003　　

稲垣宣生 数理統計学. 改訂版 裳華房 2003．　

高松俊朗 数理統計学入門. 学術図書出版社 1977　　

竹村彰通：現代数理統計学．創文社現代経済選書8. 創文社 1991　　

Ferguson, Thomas S.: Mathematical statistics: A decision theoretic approach. Probability and Mathematical Statistics, Vol. 1 Academic Press, New York-London 1967　　

竹内啓 他編：統計学辞典．東洋経済新報社 1989.

履修上の注意：測度論は仮定する．確率分布の取り扱いについては確率モデルと統計手法で，確率論の基礎についは確率統計学�Tでより詳しく述べられる．

関連ホームページ：http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~nakahiro/hp-naka

数理分類番号：542

本年度開講なし

授業の目標・概要：数学科の学生向けに、場の量子論における基礎的なや方法論について講義する。

キーワード：場の古典論、運動方程式、場の量子論、作用汎関数、分配関数、相関関数、経路積分、摂動論、ファインマン図形、ゲージ対称性、行列模型、１／Ｎ展開、リボングラフ、超対称性、非摂動効果、位相的場の理論

授業計画：

１．場の理論の枠組み

２．場の古典論と場の量子論、経路積分

３．自由場の理論とWick の定理

４．経路積分と正準量子化

５．摂動展開と Feynman 図形

６．ゲージ対称性と行列模型

７．平面近似とリボングラフ

８．超対称性

９．非摂動効果と位相的場の理論

１０．場の理論のさまざまな例とその応用

授業の方法：講義による。

成績評価方法：レポートによる。課題は授業中に提示する。

数理分類番号：563

本年度開講なし

本年度開講なし

授業の目標・概要：趣旨：具体的な題材を通じて、組合せ論的な概念や考え方、および組合せ論と他の分野とに関連する対象のおもしろさを紹介する。

内容：対称群・対称式・ヤング図形などの組合せ論に関連する話題を扱う。今回は、Robinson-Schensted対応の意味づけとして、半順序集合内の鎖や独立部分集合との関係、ある種のベキ零行列のJordan標準形との関係などを中心におく。なお、研究の進展によって変更することもありうる。

キーワード：置換、語、分割、Young図形、Young盤、標準盤、Robinson-Schensted対応、Schensted insertion、row insertion、column insertion、longest increasing subsequence、longest decreasing subsequence、転置、Knuth同値、Schuetzenberger対合、半順序集合、鎖、反鎖、独立部分集合、反鎖分解、k鎖、k反鎖、k族、Sperner k族、束、join、meet、genericベキ零行列、Jordan標準形、有向グラフ

授業計画：

1. 分割・標準Young盤

2. Schensted insertion、 Robinson-Schensted対応

3. 順列の最長増加・減少部分列

4. 順列の左右反転の効果

5. Knuth同値

6. k重増加・減少部分列

7. Schuetzenberger対合

8. 半順序集合内のk鎖とk族

9. 半順序集合の反鎖分解

10. k族の集合に定義される構造

11. Greeneのk鎖とk族(k反鎖)の双対性定理

12. 半順序集合に付随するある種のベキ零行列のJordan標準形

13. Gansnerによる有向グラフへの拡張

14. さらなる拡張

15. ある代数多様体の既約成分との関係

授業の方法：講義による

成績評価方法：レポートにより評価する。

教科書：用いる場合は講義中に提示する。

参考書：用いる場合は講義中に提示する(学術論文等を含む)。

履修上の注意：一部、代数学の基本的な力が要求される、全体において、数学の論理的な詰めの力は要求される。なお、対称群や古典群・Lie環などの表現の知識があれば、より多面的に理解を深めることができると期待される。

数理分類番号：710

授業の目標・概要：対称群の複素数体上の表現論について解説する．

とくに既約表現を構成する方法をいくつか紹介し，各構成法の比較・検討を行う．

授業の方法：通常の講義の形式で行う．

成績評価方法：レポート課題による．詳細は授業中に口頭で伝える．

関連ホームページ：http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yosihisa/index.html

数理分類番号：710

授業の目標・概要：非線形関数解析についての入門的講義．とくに，不動点定理（バナッハの不動点定理，シャウダーの不動点定理など），ルレ・シャウダーの写像度の理論，分岐理論などを中心に解説する．

キーワード：非線型関数解析、不動点定理、陰関数定理、写像度、ルレ・シャウダーの写像度、分岐理論

授業計画：

１．バナッハの不動点定理

　　　　　　　　　　　・定理の概要

　　　　　　　　　　　・種々の非線形問題への応用

　　　　　　　　　　　・陰関数定理（有限次元，無限次元）

２．シャウダーの不動点定理

　　　　　　　　　　　・ブラウアーの不動点定理

　　　　　　　　　　　・シャウダーの不動点定理の概要

　　　　　　　　　　　・種々の非線形問題への応用

　　　　　　　　　　　・関連する話題（ナッシュ均衡など）

３．写像度と不動点指数

　　　　　　　　　　　・有限次元の写像度

　　　　　　　　　　　・ルレ・シャウダーの写像度と不動点指数

４．分岐理論

　　　　　　　　　　　・種々の例

　　　　　　　　　　　・リャプノフ・シュミット法による有限次元縮約

　　　　　　　　　　　・不動点指数の応用

　　　　　　　　　　　・大域的分岐理論

授業の方法：通常の講義形式で行う．また，複数回，レポート問題を出題する．

成績評価方法：レポート

参考書：

「非線型数学」（増田久弥著，朝倉書店）

「Nonlinear Functional Analysis and its Applications I」（E.Zeidler 著，シュプリンガー）

メールアドレス：matano@ms.u-tokyo.ac.jp

数理分類番号：734

授業の目標・概要：日本の現代数学は明治前の数学と断絶する。断絶するゆえ、直接の継承関係はない。その意味からいえば、明治前の数学について知る必要はないであろう。だがいかなることであれ、現在は過去と無関係でない。そう考えるとき、数学にあっても過去を振り返り、先人たちの数学について一定程度の知識をもつ必要が生じる。ブルバキの数学史が存在するゆえんである。

本講義は以上の視点にもとづいて東アジアの数学史を概観する。漢文による縦書きの数学の発展と終焉の歴史である。　

キーワード：算籌、籌算、九章算術、宋元数学、珠算、明の実用数学、清の数学、朝鮮の数学

授業計画：

1.東アジア数学史総論

2.算籌と籌算

3.九章算術

4.算経十書

5.宋元数学

6.天元術

7.増乗開方法

8.大衍術

9.クラビウスとマテオ・リッチ

10.清の西算

11.朝鮮数学�T

12朝鮮数学�U

13.算学啓蒙と和算

14.まとめ

授業の方法：集中講義

成績評価方法：レポートによる

参考書：

・銭宝�j主編、川原訳『中国数学史』，みすず書房，1990年

授業の目標・概要：普遍的なコホモロジー理論としての混合モチーフの理論において最も基本的な混合テイトモチーフ及び混合楕円モチーフに関する話題を取り上げて講義をする。

キーワード：混合テイトモチーフ、混合楕円モチーフ、多重ゼータ値、グロタンディーク・タイヒミュラー群

授業計画：

(0)ホップ代数、DG圏の基本事項

(1)混合テイトモチーフ、多重ゼータ値

(2)ブラウンの結果

(3)混合楕円モチーフの構成と性質

授業の方法：講義形式で行う

成績評価方法：レポートにより評価する

関連ホームページ：http://gauss.ms.u-tokyo.ac.jp

メールアドレス：terasoma@ms.u-tokyo.ac.jp

数理分類番号：710

授業の目標・概要：ｐ進穴あき円板上のｐ進微分加群の理論について講義する．

微分加群を実あるいは複素係数ではなくｐ進数係数で考察することは(それ以前の研究もあるが)Dworkにより本格的に始められた．

それ以来，ｐ進微分加群の研究はDwork, Robba, Christol, Mebkhout, Andre, Kedlayaらの手により大きく発展した．ｐ進微分加群の研究は微分加群の研究のｐ進版としても興味深いものであるが，ｐ進Hodge理論によりｐ進ガロア表現の研究と結び付くため，数論幾何学においても重要である．

ｐ進穴あき円板上のｐ進微分加群の現代的理論において重要なことは局所体のガロア表現の理論との類似である：局所体のガロア表現の分岐break(による分解)，

Hasse-Arf定理，局所monodromy定理に対応して，ｐ進微分加群においても微分slope(による分解)，Hasse-Arf型定理，局所monodromy定理が存在する．本講義では，p進微分加群に関する基礎的諸概念の定義および上に挙げた定理の証明について講義する．時間が許せばより大域的なｐ進解析空間上のｐ進微分加群に関する結果についていくつか述べる．

キーワード：完備非アルキメデス体、ニュートン多角形、 勾配、微分環、微分加群、巡回ベクトル、スペクトル半径、作用素ノルム、ガウスノルム、 可視分解定理、ｐ進穴あき円板上の関数環、有限微分加群、収束半径、生成収束半径、移送定理、フロベニウス祖先、フロベニウス子孫、強分解定理、補助半径、ハッセ-アルフ型定理、微分スワン導手、可解微分加群、勾配分解定理、p進リューヴィル数、p進フックス定理、ｐ進指数、フロベニウス構造、ガロア表現、p進局所モノドロミー定理、ロバ環、準冪単性、ｐ進解析空間、形式スキーム、ｐ進相対穴あき円板、対数的微分加群、対数的延長

授業計画：

1. 完備非アルキメデス体

2. 微分環と微分加群

3. スペクトル半径

4. ｐ進(穴あき)円板上の微分加群

5. 収束半径と生成的収束半径

6. Frobeniusによる順像と逆像

7. 補助半径の変動

8. 補助半径による分解定理

9. p進Fuchs定理

10. p進微分加群上のFrobenius構造

11. Galois表現とp進微分加群

12. p進局所monodromy定理

13. p進解析空間上の微分加群

14. p進相対(穴あき)円板上の微分加群I：対数的延長

15. p進相対(穴あき)円板上の微分加群II：曲線切断

授業の方法：講義形式で行う．

成績評価方法：レポートにより評価する．

参考書：K. S. Kedlaya, p-adic differential equations, Cambridge University Press, 2010.

数理分類番号：710

授業の目標・概要：微分幾何学，特にコンパクトリーマン多様体上のディラック型作用素，ラプラス作用素に関わる微分幾何学の入門講義を行う．ベクトル束の接続，リーマン多様体の接続から始めて，ディラック型作用素，ラプラス作用素，ホッジ・小平の定理（調和積分論）などを解説する．また応用としてボホナー・ワイツェンベック型公式から示される多様体の曲率と位相の関係についても解説する．

キーワード：ベクトル束の接続、共変外微分、曲率、リーマン多様体、レビチビタ接続、随伴作用素、ラプラス作用素、ホッジ・小平の定理（調和積分論）、ボホナー・ワイツェンベック型公式、ケーラー多様体、ケーラー恒等式、正則ベクトル束、ドルボー作用素、小平の消滅定理、クリフォード束、ディラック型作用素、ソボレフ空間、レリッヒの補題、先験的評価、正則性、フレドホルム性、ドラーム複体、ドルボー複体、アティヤ・シンガーの指数定理

授業計画：

１．ベクトル束の接続

２．リーマン多様体の接続

３．ラプラス作用素

４．ホッジ・小平の定理（調和積分論）

５．ボホナー・ワイツェンベック型公式

６．ケーラー多様体

７．正則ベクトル束

８．小平の消滅定理

９．ディラック型作用素

１０．ソボレフ空間

１１．ディラック型作用素の解析的性質

１２．ホッジ・小平の定理の証明

１３．アティヤ・シンガーの指数定理

授業の方法：講義による．

成績評価方法：レポートによる．課題は講義中に提示する．

数理分類番号：720

金　井　 雅　彦

授業の目標・概要：数理物理や工学に現れる逆問題の数学解析と数値解析を概説する。扱う逆問題は、応用上の重要性ならびに数学解析上の意義から、以下のものを予定している： 非破壊検査と関連した未知境界形状決定問題、内部物質係数は表面の観測から決定する係数逆問題、過去の状態を決定する逆問題など。

授業の方法：講義による

成績評価方法：レポート

数理分類番号：730

授業の目標・概要：量子統計力学系をはじめとする、$C^*$-力学系における非可換エントロピーについての話をする。作用素環の初歩的な知識のみ仮定する。

キーワード：非可換エントロピー

授業の方法：講義形式

成績評価方法：レポート

数理分類番号：730

授業の目標・概要：Macdonald対称多項式と深い関係を持つあるHopf代数とその表現論について話す。この代数にはSL(2,Z)が作用していて、実はそれがtensor表現の構成において特別な役割を果たす。位相的弦理論におけるrefined topological vertexはlocal Calabi-Yau threefoldに対してある不変量を計算する手続きを与えるものであるが、それがこのHopf代数のtensor表現のintertwinerと一致することを示す。

キーワード：Macdonald対称多項式、Hopf代数、topological vertex

授業計画：講義では、Hopf代数の基礎事項、Macdonald対称多項式、Fock表現、SL(2,Z)の作用、tensor表現の構成、refined topological vertexの理論の概説、具体的なintertwinerの計算について話す。必要に応じて、可積分系、位相的弦理論の話題にも触れる予定である。

授業の方法：量子群と呼ばれる可換でも余可換でもないHopf代数は量子可積分系の研究においてDrinfeldと神保によって抽出された概念である。この講義で扱うHopf代数はMacdonald対称多項式と関係がはっきりと現れるような量子群の例となっている。量子群の具体的な扱いを通して可積分系や幾何学の問題の捉え方を伝えることを主眼とする。

成績評価方法：レポートによる。課題は授業中に提示する。

数理分類番号：730

授業の目標・概要：この講義では，「特異積分」の理論を「加重の理論」と共に解説してゆきます．正則関数の実部または虚部が調和関数になることは良く知られていますね．その逆に，与えられた調和関数からそれを実部または虚部に持つような正則関数を構成するときには，Hilbert変換が必要となります．また，Fourier変換の像に対して制限を加える等の「細工」をしたいときにも，このHibert変換は必須なものとなります．

Hilbert変換は，原点と遠方とに特異性を持つ積分核により表現される積分作用素です．このような作用素は「特異積分作用素」と呼ばれており，その理論は，調和解析の分野の一つの中心テーマを成すものです．特異積分は別なところにも表れます．滑らかで台がコンパクトな関数fに対して，Poisson方程式�冰=fを満たす関数uは，次元が3以上であれば，Newton核による分数積分作用素をfに施すことで得られます．このuを微分したとき，特に∇^2uは，特異積分作用素による表現を持ち，その評価を通して多くの有用な結果を導くことができます．特異積分の理論は，通常ユークリッド空間上で展開されますが，それを加重付きという設定の下に展開することができて，この「加重の理論」は調和解析に深みを加え豊かなものとする理論になっています．

この講義では，これら二つのテーマについて紹介したいと思います．

この分野はいくつかの統一原理に基づいて発展してきたのではなく，いくつかの根幹をなす計算手法の発見によって発展してきたという側面があるのではないかと思っています．これらの手法を理解して，ぜひ自身の研究の参考としてくだされば幸いです．この分野は「数学として面白い数学である」と確信しています．その「面白さ」を皆さんと共有できれば嬉しく思います．

私は視覚障害者です．講義は資料を配布し，スライドを用意して板書なしで行います．受講者の皆さんとの対話を通して進めていければよいと願っています．今までに受けてこられた授業とは少し趣を異にするものであるかもしれませんが，受講してくだされば幸いです．

キーワード：Hardy-Littlewood最大関数と微分定理、 Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式、 Calderon-Zygmund分解、 シャープ最大関数とHardy-Littlewoodの最大関数の関係、 特異積分（合成積型）の理論、 重み付きノルム不等式の理論、 特異積分（非合成積型）の理論、 T1定理、 概直交性補題

授業の方法：資料を配布し，スライドを用いて板書なしで行います．

成績評価方法：成績評価はレポートにより行います．

教科書：薮田 公三著，『特異積分』 (岩波数学叢書)

参考書：L.Grafakos, “Classical and Modern Fourier Analysis”,Pearson Education, Inc..

S.Z.Lu,“Four Lectures on Real H^p Spaces”,World Scientific Publishing,

Singapore.

関連ホームページ：http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~htanaka/

メールアドレス：htanaka@ms.u-tokyo.ac.jp

授業の目標・概要：詳細は追って掲示する

授業の方法：集中講義による

授業の目標・概要：詳細は追って掲示する

授業の方法：集中講義による

授業の目標・概要：詳細は追って掲示する

授業の方法：集中講義による

授業の目標・概要：詳細は追って掲示する

授業の方法：集中講義による

授業の目標・概要　趣旨：離散可積分系と超離散可積分系との関係、特に離散ソリトン系とそれらの超離散極限について説明する。

内容：ソリトン方程式の入門から離散可積分系の対称性とYang-Baxter 写像との関係、及び超離散可積分系とそれに対する初期値問題について説明する。

キーワード　　　　可積分系、ソリトン、離散可積分系、佐藤理論、Darboux 変換、Yang-Baxter 写像、超離散極限、超離散可積分系、初期値問題

授業計画　　　　　聴講者の予備知識に合わせて授業の進め方を決めるつもりである。

授業の方法　　　　聴講者の予備知識に合わせて授業の進め方を決めるつもりである。

成績評価方法　　　レポート提出（詳細を授業中に明示する）

数理分類番号：760

授業の目標・概要：詳細は追って掲示する

授業の方法：集中講義による

授業の目標・概要：詳細は追って掲示する

授業の方法：集中講義による

901-57

冬

集中

授業の目標・概要：詳細は追って掲示する

授業の方法：集中講義による

授業の目標・概要：詳細は追って掲示する

授業の方法：集中講義による

授業の目標・概要：詳細は追って掲示する

授業の方法：集中講義による

授業の目標・概要：詳細は追って掲示する

授業の方法：集中講義による

授業の目標・概要：詳細は追って掲示する

授業の方法：集中講義による

授業の目標・概要：詳細は追って掲示する

授業の方法：集中講義による

授業の目標・概要：詳細は追って掲示する

授業の方法：集中講義による

授業の目標・概要：詳細は追って掲示する

授業の方法：集中講義による

冬

集中

授業の目標・概要：詳細は追って掲示する

授業の方法：集中講義による

夏

集中

授業の目標・概要：詳細は追って掲示する

授業の方法：集中講義による

授業の目標・概要：確率過程の統計学に関係した漸近分布論および統計推測理論について解説する．

授業計画：

１．確率解析

２．極限定理

３．統計推測の漸近理論

４．漸近展開

５．漸近的方法の応用

授業の方法：講義形式．

成績評価方法：原則としてレポートによる．

履修上の注意：確率解析の基礎に関しては，関連講義での履修をすすめる．

関連ホームページ：http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~nakahiro/hp-naka

数r分類番号：740

本年度開講なし

本年度開講なし

901-72〜73

授業の目標・概要：修士論文作成の指導を行う．

授業の方法：セミナーによる．

901-86〜88

授業の目標・概要：博士論文作成の指導を行う．

授業の方法：セミナーによる．

授業の目標・概要：数理ファイナンスにおけるデリバティブの価格付け問題を理解することを目的とする．ポートフォリオ，デリバティブ等の用語の説明をはじめ，ファイナンスにおける基本的事項について解説する．デリバティブの価格付けの原理を理解することを主目的とするため，離散時間モデルにおける説明を丁寧に行い，連続時間モデルについてはモデルの考え方の説明と主たる結果の紹介にとどめる．

キーワード：ファイナンス、証券価格、配当、裁定機会、無裁定、デフレーター、状態価格デフレーター、ニューメレール、同値マルチンゲール測度、完備、自己資本的、ポートフォリオ戦略、ヨーロピアンデリバティブ、アメリカンデリバティブ、オプション、先物価格、先渡し価格、二項モデル、ブラック―ショールズモデル、伊藤の公式、測度変換、確率積分

授業計画：

1.無裁定の考え方，

2.離散時間モデル，

3.離散時間の完備モデルにおけるデリバティブの価格付け，

4.離散時間の非完備モデルにおけるデリバティブ価格，

5.連続時間モデル

授業の方法：講義による

成績評価方法：課題レポートによる．

教科書：講義の際にレジュメを配布予定．

参考書：ファイナンスの問題の背景や用語の意味を知るためには，ジョンハル著の日本語訳「フィナンシャルエンジニアリング」（きんざい）など

履修上の注意：確率過程論や確率解析学の内容である，マルチンゲール，確率積分，伊藤の公式などにある程度慣れていることが望ましい．

数理分類番号：742

授業の目標・概要：貨幣的効用関数の考え方と性質を理解することを目的とし，アクチュアリーに関する基本的な事項について講義する．

なお，アクチュアリー資格試験に対応するものではないので注意されたい．

キーワード：保険、リスク、ポートフォリオ、効用関数、証券価格、配当、CAPM、ベーター値、バリューアットリスク、貨幣的効用関数、リスク尺度、キャッシュフロー、条件付き期待値、分散、キャッシュフロー

授業計画：

１．保険会社や金融機関におけるリスクなど，問題の背景説明

２．１期間のポートフォリオ理論

３．貨幣的効用関数とその性質

４．確定キャッシュフローの現在価値とリスク

５．保険のモデル

授業の方法：講義による

成績評価方法：課題レポートによる．

教科書：講義の際にレジュメを配布予定．

履修上の注意：確率論の基礎的知識を前提とする．

数理分類番号：740

山内・本多・杉田

授業の目標・概要：生命保険・年金・損害保険の３つの話題について、実務に携わる３人の講師により５回ずつ計１５回の講義を行っていく。それぞれの講義の目標・概要は以下の通り生命保険：生命保険の基本的な商品類型を通して、生命保険の契約についての概論をなす。そのため、生命保険商品についての概要を説明し、契約の基礎ならびに生命保険契約の契約法上の特性についても説明する。

年金：われわれの老後の生活を支える年金制度について、公的年金・企業年金・個人年金の概要と、その基礎となる年金数理を実務に即して解説する。また、年金資産運用についても年金負債との関連性を意識しつつ論じる。

損害保険：損害保険の基本的な商品及び数理的考え方を生命保険と対比して解説する。損害保険の料率計算の基礎、決算、再保険等の説明をした上で、保険デリバティブについても簡単に紹介する。

キーワード：生命保険、契約、保険法、判例、生命保険数学、年金、公的年金、企業年金、個人年金、年金ＡＬＭ、退職給付会計、損害保険、支払備金、再保険、保険デリバティブ、損保数理

授業計画：

１. 生命保険商品と登場人物

２. 保険法概説1　契約の成立・効力

３. 保険法概説2　契約の履行

４. 保険法概説3　契約の終了

５.　生命保険の今後の広がりとまとめ

６. 様々な年金制度

７．年金数理の考え方、基礎率、現価

８．年金財政運営

９．年金財政と退職給付会計

10. 年金資産運用と年金ＡＬＭ

11. 損害保険商品の解説

12.料率計算の基礎

13.支払備金の考え方

14.再保険形態

15.保険デリバティブ

授業の方法：講義による

成績評価方法：出席点およびレポートによる

教科書：授業中にプリントを配布する

数理分類番号：740

授業の目標・概要：確率過程の統計学への入門講義である．確率過程の様々な例を通じ，統計推測の漸近理論における基礎的な概念について解説する．

授業計画：確率過程の統計推測の漸近理論になにが必要か，AR(1)過程，マルチンゲール中心極限定理，マルコフ連鎖，点過程，推定量の一致性，漸近正規性，古典的時系列解析入門，線形過程，ARMA過程，自己共分散関数，統計推測の一般形式，可測選択定理，最小コントラスト推定，M推定，一致性，漸近分布，確率微分方程式の推定

授業の方法：講義形式

成績評価方法：原則としてレポートによる

履修上の注意：前半でマルチンゲールを使う．定義と極限定理について説明するが，マルチンゲールに関して詳しくは確率統計学III・確率過程論で学ばれるとよい．

後半で確率微分方程式を扱う．確率積分，伊藤の公式等については適宜説明するが，確率解析の基礎については確率統計学XA・確率解析学の履修をすすめる．

関連ホームページ：http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~nakahiro/hp-naka

数理分類番号：740

授業の目標・概要：複数の特徴量・特性量を持つデータの構造を統計的に解析する方法である多変量解析法について学ぶ．

本講義では，以下に挙げる基本的な方法に的を絞り，計算機を用いた演習を通してその考え方を修得することを目的とする．

多次元の特徴量の線形結合によって新たな特徴量を構成しデータの構造をより鮮明に捉えるための手法として回帰分析および主成分分析を取り上げる．多次元の変量の間に内在する関係を探り出し，それを手掛りにデータを分類する手法として判別分析およびクラスタ分析を学ぶ．また時系列データのモデルとして基本的な自己回帰モデル・移動平均モデルを取り上げ，時系列の平滑化や予測についても学ぶ．

キーワード：多変量解析、回帰分析、主成分分析、判別分析、クラスタ分析、自己回帰モデル、移動平均モデル

授業計画：

1．多変量データの取り扱い

2．確率の基礎

3．線形代数

4．回帰分析

5．主成分分析

6．判別分析

7．階層的クラスタ分析

8．多次元尺度構成法

9．時系列とその性質

10．自己回帰モデル・移動平均モデルの推定と予測

授業の方法：講義，計算機を用いた演習

成績評価方法：レポート(70%)，演習(30%)

教科書：教科書は特に指定しない．必要に応じて資料を配布する．

参考書：参考書としては以下のものを挙げておくので，適宜参照すること．

竹内啓「数理統計学 - データ解析の方法」東洋経済新報社

吉田朋広「数理統計学 (講座 数学の考え方)」 朝倉書店

永田靖・棟近雅彦「多変量解析法入門」サイエンス社

田中勝人「現代時系列分析」岩波書店

履修上の注意：確率論と線形代数の基礎を学んでいることが望ましい．

数理分類番号：740

授業の目標・概要：人口学は人間の誕生から死に至るライフコースの定量的理解のもとに人間集団の形成と再生産のダイナミクスを理解しようとする学際的学問領域であり、すべての人間科学、社会科学の基礎であるとともに、生物学的な個体群動態学と密接に関連している。この講義では、人口学のコアとなっている数理モデル、とくに安定人口モデルとその拡張・応用について講義する。

キーワード：人口、人口学、出生力、死力、生残率、寿命、生命表、安定人口モデル、安定年齢分布、ロトカの特性方程式、内的成長率、マルサスパラメータ、基本再生産数、レスリー行列モデル、両性問題、結婚モデル、人口推計、多状態人口モデル

授業の方法：講義による。

成績評価方法：平常点およびレポートによる。

数理分類番号：740

授業の目標・概要：所謂ミクロ的経済理論の骨格をなす一般均衡理論の主要内容とその解析学的背景について述べる．

授業の方法：講義による

成績評価方法：レポート

数理分類番号：740

授業の目標・概要：Fourier級数の収束をめぐるCarleson-Huntの理論．

授業の方法：講義による

成績評価方法：レポート

数理分類番号：740

授業の目標・概要：企業経営では、収益とコストのバランスだけでなく、リスクのコントロールが重要である。もっと積極的な言い方をすれば、企業は何らかのリスクを取ることで、ビジネス機会を得ている。リスクは、利益やコストの不確実性であるが、これを計量化しない限りビジネス上の判断はできない。本講義では、リスクなどを計量化するためのモデルの概念を学び、モデル構築と評価、さらにはそれらを用いたリスクコントロールの具体的な方法、それを実用化するためのプロセスなどを学ぶ。理論の導出よりも理論の利用法・応用を重視し、その理論を実務で適用する具体的な手順などについて解説する。

キーワード：リスク評価、信用リスク、市場リスク、デリバティブ

授業計画：ビジネス上の以下の問題を、どのようにモデル化し、ビジネス性をどのように評価するかを学ぶ。

(1)金利と現在価値

(2)リスクとは何か

(3)確率論の基礎

(4)金融商品の基礎

(5)スワップ取引

(6)割引債とリスク評価

(7)金融統計

(8)市場リスク評価とポートフォリオ理論

(9)信用リスク評価モデル

授業の方法：ビジネス・モデルというものの概念を学び、モデル構築、評価、さらにはそれらを用いたリスクコントロールの具体的な方法、それを実用化するためのプロセスなどを学ぶ。なお、ここで学ぶモデルは金融機関に限定したものではなく、全企業共通の概念であり、企業経営の判断に必要な基礎概念である。

授業では、理論の実践を重視する立場から、Excelによる評価ツールの作成などを行う。

成績評価方法：成績は中間レポート５０％、期末試験５０％のウエイトで評価。出席点は取らないが、講義の内容にはテキストには含まれていない部分も多くあるので、出席が望ましい。また、中間レポートの未提出、期末試験の未受験者については、履修放棄として取り扱う。中間レポート、期末試験ともに、形式的な計算や証明ではなく、経営上の実際の問題を想定し、経営者の立場で自分なりの評価手法を立案する形式の問題となる。

教科書：レジュメを配布

青沼君明・村内佳子,『Excel&VBAで学ぶVaR』,金融財政事情研究会, 2009年

青沼君明・村内佳子,『Excel&VBAで学ぶ信用リスク評価の基礎』,金融財政事情研究会, 2010年

参考書　　　　　　木島正明・青沼君明,『Excel&VBAで学ぶファイナンスの数理』,金融財政事情研究会,2003年

青沼君明・市川伸子,『Excelで学ぶ金融統計の基礎』,金融財政事情研究会,2009年

青沼君明・市川伸子,『Excelで学ぶバーゼル�Uと信用リスク評価手法』,金融財政事情研究会, 2008年

青沼君明・村内佳子,『Excelで学ぶ確率統計の基礎』,金融財政事情研究会,2011年

青沼君明・村内佳子,『Excelで学ぶ金融数理の基礎』,金融財政事情研究会,2012年

履修上の注意：金融理論は、金融機関だけでなくあらゆる事業会社にとって、経営判断をする際の不可欠な理論となっている。経営には決まった方法はないが、選択可能性としてどのようなものがあり、どのように理論化されているかという実践的な知識の深さが、経営にとって不可欠であることは言うまでもない。

理論を実践で活用する力をつけたい意欲ある学生を望む。

メールアドレス：mufgyuki3240@cap.ocn.ne.jp

数理分類番号：740

授業の目標・概要：企業や年金基金等の組織が直面するリスクを統合的にマネージする ＥＲＭ（Enterprise Risk Management、統合リスク管理）の理論・実務が発展しつつあり、本科目はその内容を解説するもの。ＥＲＭに関しては、世界各国のアクチュアリー会が共同でグローバルな資格であるＣＥＲＡを設けており、本科目はその履修内容を包含するが、それに限定せず幅広い視点から講義を行う。

キーワード：リスク、ＥＲＭ、ＣＯＳＯ、信用リスク、市場リスク、オペレーショナルリスク、バーゼル規制、ソルベンシー�U、ＳＯＸ法、コピュラ、極値理論、VaR(バリュー・アット・リスク)、tail-VaR、ＤＦＡ(ダイナミック・ファイナンシャル・アナリシス)、ＫＲＩ（キー・リスク・インディケータ）

授業計：

１．ERMの基礎

２．ERMのプロセス

３．ERMのための基礎数理

４．コピュラ

５．極値理論

６．金融時系列のモデル化

７．金融商品とリスクマネージメント

８．市場リスク　

９．信用リスク　

１０．オペレーショナルリスク　

１１．リスクの統合的マネージメント　

１２．事例研究（１）銀行　

１３．事例研究（２）保険会社　

１４．事例研究（３）事業会社　

１５．事例研究（４）年金基金

授業の方法：講義による

成績評価方法：レポートによる

教科書：授業中に配布するプリント

参考書：ジェームズ・ラム「統合リスク管理入門−ERMの基礎から実践まで」ダイヤモンド社　

Paul Sweeting "Financial Enterprise　Risk? Management" Cambridge　University Press

数理分類番号：740

本年度開講なし

本年度開講なし

901-104

本年度開講なし

授業の目標・概要：本特別講義では、高度な数学が社会の中でどのように使われているかを学ぶことを目的とする。数学・数理科学を現場で用いて活躍する方々を各界より講師として招聘しオムニバス型式で講義は行われる。大学院生がドクターコースレベルの数・数理科学が社会の中で使われている様子を身近に学ぶことにより識見を広め、将来的に職業選択の幅をより広げられるようにする。　高度な数学・数理科学の知識・素養を持った人材を広く社会に送り出すことを最終目的とするグローバルＣＯＥプログラム「数学新展開の研究教育拠点」の一環でもある。

授業の方法：オムニバス型式で講義を行う

稙田・深谷・河野

授業の目標・概要：ファイナンス、アクチュアリー、数理統計学の専門的な課題を選びオムニバス形式で講義を行う

キーワード：ファイナンス、アクチュアリー、生命保険数理、生命保険会計、リスク評価、国際会計基準

授業の方法：講義による

成績評価方法：出席点およびレポートによる

教科書：講義中にプリントを配る

数理分類番号：740

授業の目標・概要：アクチュアリー・数理統計学の専門的な課題を選び、セミナー形式で学習する．

授業の方法：オムニバス形式で行う

成績評価方法：レポート

数理分類番号：740