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解析学火曜セミナー
過去の記録 ～10/21｜次回の予定｜今後の予定 10/22～
| 開催情報 | 火曜日 16:00～17:30 数理科学研究科棟(駒場) 号室 |
|---|---|
| 担当者 | 石毛 和弘，宮本 安人，Neal Bez，坂井 秀隆，平良 晃一，高田 了 |
| セミナーURL | https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/seminar/analysis/ |
今後の予定
2026年11月10日(火)
16:00-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
高橋 仁 氏 (東京科学大学)
Existence of a separating norm for the semilinear heat equation (Japanese)
高橋 仁 氏 (東京科学大学)
Existence of a separating norm for the semilinear heat equation (Japanese)
[ 講演概要 ]
べき乗型の非線形項をもつ半線形熱方程式の初期値問題を考える．初期値は非負かつ有界とし，非線形項の指数は藤田優臨界とする．このとき，初期値に関する一つの量の大小によって，対応する解が時間大域的に存在するか，有限時間で爆発するかを判定できるか，という問題がある．本発表では，次の性質をもつノルムを紹介する：初期値のノルムが十分小さければ対応する解は時間大域的に存在し，十分大きければ有限時間で爆発する．さらに，このノルムは方程式から定まるスケール変換に関して不変である．
べき乗型の非線形項をもつ半線形熱方程式の初期値問題を考える．初期値は非負かつ有界とし，非線形項の指数は藤田優臨界とする．このとき，初期値に関する一つの量の大小によって，対応する解が時間大域的に存在するか，有限時間で爆発するかを判定できるか，という問題がある．本発表では，次の性質をもつノルムを紹介する：初期値のノルムが十分小さければ対応する解は時間大域的に存在し，十分大きければ有限時間で爆発する．さらに，このノルムは方程式から定まるスケール変換に関して不変である．
2026年12月01日(火)
16:00-17:30 数理科学研究科棟(駒場) 002号室
髙棹 圭介 氏 (京都大学理学研究科)
連立Allen-Cahn方程式のBrakkeの多相平均曲率流への収束 (Japanese)
髙棹 圭介 氏 (京都大学理学研究科)
連立Allen-Cahn方程式のBrakkeの多相平均曲率流への収束 (Japanese)
[ 講演概要 ]
フェイズフィールド法を用いた平均曲率流の導出、即ちAllen-Cahn方程式の解の特異極限として平均曲率流が得られることは良く知られている。例えば、1993年にIlmanenはフェイズフィールド法を用いてBrakke flow(平均曲率流の幾何学的測度論による弱解)の時間大域存在を示した。弱解のクラスをより一般化した、曲面がジャンクションを含むような多相問題については、Brakke, Kim-Tonegawa, Stuvard-Tonegawa等によって時間大域存在が得られている。その構成手法は、時間パラメータ付きのヴァリフォールドに関する一種の変分的時間離散近似解法といえるものであり、現在までこの手法以外に時間大域的な多相Brakke flowを構成する結果は得られていなかった。この多相問題に対してフェイズフィールド法を用いる場合は、連立Allen-Cahn方程式の解の特異極限から多相Brakke flowが得られると予想できるものの、ベクトル値の解に対しては最大値原理が成り立たないため、証明の鍵となるAllen-Cahn方程式におけるHuiskenの単調性公式やdiscrepancy measureと呼ばれる測度の消滅が未解明であった。それゆえこの問題はIlmanenが1993年に言及してから長い間未解決であったが、我々はこれらの鍵となる評価が自然と得られるようなある特殊なポテンシャルを新しく導入することでこの問題を初めて解決した。本講演では、このポテンシャルを組み込んだ連立Allen-Cahn方程式からどのように解の評価、単調性公式、収束定理が得られるのかを中心に解説する。本講演は、Tim Laux氏(Heidelberg University)との共同研究である。
フェイズフィールド法を用いた平均曲率流の導出、即ちAllen-Cahn方程式の解の特異極限として平均曲率流が得られることは良く知られている。例えば、1993年にIlmanenはフェイズフィールド法を用いてBrakke flow(平均曲率流の幾何学的測度論による弱解)の時間大域存在を示した。弱解のクラスをより一般化した、曲面がジャンクションを含むような多相問題については、Brakke, Kim-Tonegawa, Stuvard-Tonegawa等によって時間大域存在が得られている。その構成手法は、時間パラメータ付きのヴァリフォールドに関する一種の変分的時間離散近似解法といえるものであり、現在までこの手法以外に時間大域的な多相Brakke flowを構成する結果は得られていなかった。この多相問題に対してフェイズフィールド法を用いる場合は、連立Allen-Cahn方程式の解の特異極限から多相Brakke flowが得られると予想できるものの、ベクトル値の解に対しては最大値原理が成り立たないため、証明の鍵となるAllen-Cahn方程式におけるHuiskenの単調性公式やdiscrepancy measureと呼ばれる測度の消滅が未解明であった。それゆえこの問題はIlmanenが1993年に言及してから長い間未解決であったが、我々はこれらの鍵となる評価が自然と得られるようなある特殊なポテンシャルを新しく導入することでこの問題を初めて解決した。本講演では、このポテンシャルを組み込んだ連立Allen-Cahn方程式からどのように解の評価、単調性公式、収束定理が得られるのかを中心に解説する。本講演は、Tim Laux氏(Heidelberg University)との共同研究である。
