幾何学 I 提示資料
2023年度までの数年間、東京大学理学部数学科3年生を対象とする授業「幾何学 I」を担当しました。
幾何学 I は
多様体の入門授業です。さらに、その授業を東京大学学内向けのビデオとして収録しました。ビデオ収録の際の提示資料をここで公開します。
著作権はすべて河澄響矢に帰属します。
第1回: Euclid 空間の開集合上の C^r 写像, Jacobi 行列, chain rule, 逆写像定理, 局所 C^r 微分同相的, 局所同相的, 陰函数定理, Euclid 空間の部分多様体, n 次元球面 S^n, 逐次近似法を保証するものとしての完備性, 縮小写像の原理, 逆写像定理の証明.
第2回: Euclid 空間の部分多様体の定義についての補足, 正則点, 臨界点, 正則値, 臨界値, 特殊線型群, 直交群, 複素多項式写像の Jacobi 行列, 陰函数定理の「dual」, Hausdorff 性の復習.
第3回: C^r 多様体,
開部分多様体, 0 次元多様体, C^r 写像, 微分同相写像, 微分同相, 直積, atlas の同値性, 極大 atlas, 部分多様体.
第4回: 商位相空間の復習, 複素射影空間, 実射影空間, 同次多項式, Lie 群, Hamilton の四元数, 群作用.
第5回: 離散群の作用, 自由作用, 固有不連続, Lie 群の離散部分群, 離散群作用による商多様体,
lens 空間, Fuchs 群, torsion-free. 点 p ¥in M を通る曲線の同値類としての接ベクトル, (¥partial /¥partial x_i)_p, (¥partial f/¥partial x_i)(p),
(df)_p, (dx_i)_p, 余接空間 T_p^*M.
第6回: 接vectorの別の見方,
写像の微分(dF)_p, 直積の接空間,
部分多様体の接空間,
正則点, 臨界点, 正則値, 臨界値, Sard の定理, C^¥infty 函数の極値判定, Hesse 行列とその符号.
第7回: はめ込み, 埋め込み, 陰函数定理の`dual', 埋め込み像は部分多様体である, 隆起函数, compact 多様体の Euclid 空間への埋め込み.
第8回: 古典的な vector 場の定義, 接束,
C^¥infty vector 場, 括弧積, 写像の微分 dF, 部分多様体の接束, 直積の接束.
第9回: 導分, Lie 代数, Lie 代数準同型, C^¥infty(M) とその導分, 積分曲線, Lebesgue 数, Exp(tX), 微分同相の vector 場への作用.
第10回: compact 台をもつ
vector 場は完備である, 1-parameter 変換群, 括弧積と Exp(tX), 可換な vector 場の組, 平面場, 対合的平面場, Frobenius の定理.
第11回: 第二可算公理, paracompact, compact exhaustion, 1 の分割, Riemann 多様体, (局所)等長写像, Riemann 計量の存在, 曲線の長さ.
第12回: 最短線, energy 汎函数,
¥Omega(M; p, q), Christoffel 記号, 測地線の方程式, geodesic spray, 測地線, 測地線の存在, Euclid 空間の超曲面での測地線, 指数写像.
半分冗談ですが、これは多様体を虐待する授業です。多様体を虐待する醜い大人になってはいけないと気持ちの優しい若い皆さんが思ってくれることを期待しています。
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