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Lie Groups and Representation Theory Seminar

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Place: Graduate School of Mathematical Sciences, the University of Tokyo [ Access ]
集中講義 (数理科学特別講義II)
Date: June 6 (Mon)-10 (Fri), 2016, 15:00-17:00
Place: Room 123, Graduate School of Mathematical Sciences, the University of Tokyo
Speaker: Hidenori Fujiwara (藤原英徳) (Kinki University)
Title: 指数型可解リー群上の調和解析
Abstract: 授業の目標:可解リー群の表現論において基本的な軌道の方法を理解し、具体的な問題の 研究能力を拡げる。

講義概要:可解リー群の表現論は半単純リー群に対する膨大な研究と趣を異にしている。 コンパクト部分群やルート系などの道具立てに欠ける可解リー群の研究においては数学 的帰納法が唯一の手法である。この手法はある種の問題に対してはとてもに有効であり美 しい結果を提供してくれるが、その結果に至る過程は闇の中である。構成的な議論をする には材料不足なのが現状である。

 いずれにしても可解リー群の表現論においてはA.A. Kirillov 創始の軌道の方法が欠か せない。既約ユニタリ表現の同値類と余随伴表現の軌道とを1対1に対応させるというも のであるが、その根幹をなすのは群の半直積の誘導表現に対するMackey 理論である。誘 導表現の理論は有限群に対するFrobenius の研究に始まるが、Rから出発して半直積を繰 り返して得られる連結・単連結な可解リー群の表現論にとってMackey 理論は基本である。

可換リー群、冪零リー群、可解リー群と世界が広がるとき、それぞれのカテゴリー間 のギャップは大きい。我々は冪零リー群と可解リー群の間に指数型可解リー群のクラスを 定義しよう。次に局所コンパクトな位相群に対し閉部分群のユニタリ表現からの誘導表現 を定義し、その基本的性質を述べる。更に、群のユニタリ表現が閉部分群のユニタリ表現 からの誘導表現に同値であるための条件をMackey に従って論じよう。ある閉部分群の1 次元ユニタリ表現から誘導された表現を単項表現といい、任意の既約ユニタリ表現が単項 表現に同値であるとき、その群は単項であるという。実は、指数型可解リー群は単項であ るが、一般の可解リー群は単項ではなく、それに応じてAuslander-Kostant や Pukanszky により軌道の方法は一般化されている。

最後に次元の低い典型例として、Heisenberg 群(冪零リー群)、ax+b 群(完全可解リー 群)、Grélaud 群(指数型可解リー群)を取り上げ、具体的な解析を行い、それぞれの段階で生じる現象を確認するとともに、これらの群のユニタリ双対を決定する。

成績評価方法:レポート提出による。

6月6日(月) は全体的な話として下記の講義を行い,(指数型可解リー群の離散型重複度 をもつ単項表現)7日(火) から self-contained な講義を行う.

Date: June 6 (Mon), 2016, 15:00-17:00
Place: Room 123, Graduate School of Mathematical Sciences, the University of Tokyo
Speaker: Hidenori Fujiwara (藤原英徳) (Kinki University)
Title: Monomial representations with multiplicities of discrete type of an exponential solvable Lie group (指数型可解リー群の離散型重複度をもつ単項表現)
Abstract:
[ pdf ]
Let $G=\exp {\mathfrak {g}}$ be a connected and simply connected exponential solvable Lie group with Lie algebra ${\mathfrak {g}}$. By the orbit method the unitary dual $\hat G$ is realized as the orbit space ${\mathfrak {g}}^{\ast}/G$ of the coadjoint representation of $G$. In this framework we study some monomial representations of $G$. Let $H$ be a closed connected subgroup of $G$ and $\chi$ a unitary character of $H$. We consider the induced representation $\tau=\operatorname{ind}_H^G \chi$ of $G$. When the irreducible decomposition of $\tau$ has multiplicities of discrete type, we describe explicitly the Penney’s Plancherel formula for $\tau$ and show the commutativity of the algebra $D_{\tau}(G/H)$ of the $G$-invariant differential operators on the line bundle over the base space $G/H$ associated with data $(H,\chi)$. We also give an example which replies negatively to a related Duflo's question.

$G= \exp {\mathfrak{g}}$ をリー環 ${\mathfrak {g}}$ をもつ連結かつ単連結な指数型可解リー群とする。軌道の方法により、$G$ のユニタリ双対 $\hat G$ は $G$ の余随伴表現の軌道空間 ${\mathfrak {g}}^{\ast}/G$ により実現される。この枠組みの中で $G$ のある種の単項表現を調べよう。 $H$ を $G$ の連結閉部分群、$\chi$ を $H$ のユニタリ指標として $G$ の誘導表現 $\tau = \operatorname{ind}_H^G \chi$ を考える。$\tau$ の既約分解が離散型重複度をもつとき、 $\tau$ に対するPenneyのPlancherel公式を具体的に記述し、データ $(H,\chi)$ に伴い底空間 $G/H$ をもつ直線束上の $G$-不変微分作用素環 $D_{\tau}(G/H)$ の可換性を示す。また関連するDufloの問題に否定的な例を与えよう。

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© Toshiyuki Kobayashi