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Lie Groups and Representation Theory Seminar at the University of Tokyo 2000

Date: April 18 (Tue), 2000, 16:30-17:30
Speaker: Toshiyuki Kobayashi (小林俊行) (University of Tokyo)
Title: a generalization of the Kostant-Schmid formula
Abstract: 有界対称領域の複素部分多様体に関する幾何的な性質を, 再生核の性質に 反映させることによって, 次の定理が証明できる(小林):

「スカラー型の最高ウェイト表現の対称対に関する分岐則は重複度1である」

これは, SL(2) に対するClebsh-Gordan の公式や岡田聡一らによる有限次元表現の ある種の分岐則における重複度1の性質をはじめ, Riemann 対称空間や Hermite 対称空間上の直線束に対する Plancherel 型定理 (Helgason, Harish-Chandra, 示野, Heckman) における無限次元表現の重複度1の性質, GL_m x GL_n 双対における有限次元表現の重複度1の性質などを 同時に説明する抽象的な定理であった。

今回のお話では, 正則離散系列に対して, その分岐則を具体的な一般公式として 証明する。 得られた公式は, 部分群がコンパクトの場合に, Hua, Kostant, Schmid, Johson らによって得られた K-type 公式を一般化した形となっている。 また, 部分群が非コンパクトな場合は, 各既約成分が無限次元表現になり, SU(2,2) などいくつか個別の場合には Jakobsen, Vergne, Xie 等々によって 分岐則が知られていた。

Date: May 16 (Tue), 2000, 16:30-17:30
Speaker: Yoshihisa Saito (斎藤義久) (Hiroshima University)
Title: Double loop 代数の表現論の現状
Abstract: 半単純 Lie 代数と 2 変数 Laurant 多項式環の tensor 積を中心拡大して得られる Lie 代数を Double loop 代数(toroidal Lie 代数)と呼ぶ。 Double loop 代数は定義から、半単純 Lie 代数と 1 変数 Laurant 多項式環の tensor 積を中心拡大して得られる affine Lie 代数の拡張と見る事ができるが、その構造及び 表現論は全く異なった様相を呈する。 講演では Double loop 代数の表現論がどうして affine Lie 代数の表現論と異なる ものになってしまうのか?という説明から始めて、現在 Double loop 代数の表現論に おいて何がどこまでわかっているのかを紹介する。
Date: May 23 (Tue), 2000, 16:30-18:00
Speaker: Tibor Odor (University of Tokyo)
Title: On Kervaire's conjecture on equations over groups
Abstract: We present some old and new results related to the longstanding Kerver conjecture over (that is in some extension of) groups. This conjecture is a group theoretic analogy of polynomial equations over algebraically closed fields.
Date: June 6 (Tue), 2000, 16:30-18:00
Speaker: Hideyuki Ishi (伊師英之) (Yokohama City University)
Title: Siegel 領域上の函数空間と微分作用素
Abstract: 等質 Siegel 領域 D と、その上に affine 変換として単純推移的に作用する 可解 Lie 群 G を考える。領域 D 上の正則函数からなる再生核 Hilbert 空間で 群 G の unitary 表現を実現するものは、双対錐の閉包に含まれる様々な軌道上の 相対不変測度から Fourier - Laplace 変換によって構成される。 今回の講演では、双対錐を含むベクトル空間上に小行列式の一般化に相当する 既約多項式を定義し、各軌道の代数的な特徴付けと その上の相対不変式の構成に ついて説明する。前者の結果から直ちに函数空間の満たす微分方程式が得られ、 後者からは unitary 表現たちの間の intertwining 作用素が得られる。
Date: June 13 (Tue), 2000, 16:30-18:00
Speaker: Toshio Oshima (大島利雄) (University of Tokyo)
Title: 行列の単因子の量子化
Abstract: $C^n$の線型変換は n-次正方行列 A で表せるが、基底の取り方に依らない不変 量すなわち $J_A = \bigcup_{g\in G} Ad(g)A$ (G=GL(n,C)) のJordan標準型 や単因子の量子化を考える。すなわち、$J_A$の定義方程式、あるいは G-不変な イデアルに対し、左不変な G 上の微分作用素環のイデアルを対応させる。パラ メータをつけて "古典極限" と同時に考えて対応を明らかにする。Capelli identity, Verma module との関連、最小多項式の量子化、表現論などへの応用 も述べる。
Date: June 20 (Tue), 2000, 16:30-18:00
Speaker: Hiroshi Oda (織田 寛) (University of Tokyo)
Title: 直交リー環における Generalized Capelli Operators のアナロジー
Abstract: A 型における大島の Generalized Capelli Operators と同様な役割をする微分作 用素を,いくつかの場合に分けて,$U({\mathfrak so}(n))$ 内に構成する. 具体的には,Pfaffian 型の作用素により,

o--o-- --x--x--x=>x

o--o-- --x--x--x--x
                 |
                x

あるいは,

x--x-- --x--x--x--o
                 |
                x

の形の退化系列に対応するものが構成できる(x が退化しているルート).

Pfaffian 型以外に,A型の場合とよく似た determinant 型の作用素があるが,これらか らその他の退化系列に対応するものが構成できると考えられる.現在研究中の,こ の determinant 型の作用素についても,今まで得た結果を報告する.

Date: June 27 (Tue), 2000, 16:30-18:00
Speaker: Kenji Taniguchi (谷口健二) (Aoyama Gakuin University)
Title: Weyl 群不変な可換微分作用素環の一意性について
Abstract: 大島-落合-関口によって調べられた Weyl 群不変な微分作用素の可換族は、二 階の作用素(H とする)と可換な微分作用のなす環、という特徴付けがほぼで きる。 ここではこの特徴付けができない場合を考える。 具体的には

@ H と可換な W-不変でない微分作用素が存在するための H の条件

Aそのようなものの構成、特にポテンシャルが楕円関数であるときの、 "shift type 作用素" ([H, D] = a(x) D を満たす作用素 D)の具体的な構成

について述べる。

Date: July 4 (Tue), 2000, 16:30-18:00
Speaker: Jae-Hyun Yang (Inha University and PIMS)
Title: On the group $SL(2,{\Bbb R}) \ltimes {\Bbb R}^{(m,2)}$
Abstract: In this talk, we present some basic properties of the group $SL_{2,m}({\Bbb R}):=SL(2,{\Bbb R}) \ltimes {\Bbb R}^{(m,2)}$ and study automorphic forms related to the group $SL_{2,m}({\Bbb R}).$
Date: July 11 (Tue), 2000, 17:00-18:00
Speaker: Toshiyuki Tanisaki (谷崎俊之) (Hiroshima University)
Title: Radon transforms on flag manifolds
Abstract: I will talk about my joint work with C. Marastoni [Math. RT/9911095] concerning Radon transforms for quasi-equivariant $D$-modules on generalized flag manifolds.
Date: September 13 (Wed), 2000, 16:30-18:00
Speaker: Gerhard Roehrle (Bielefeld University)
Title: Spherical Orbits and Abelian Ideals
Abstract: This is a report on recent joint work with Dmitri Panyushev \cite{PR}.

Let $G$ be a reductive complex Lie group with Lie algebra $\Lie G = \frakg$. Let $B$ be a Borel subgroup with Lie algebra $\bb$. Let $P$ be a parabolic subgroup of $G$ containing $B$ with unipotent radical $P_u$. We denote the Lie algebra of $P$ and $P_u$ by $\mathfrak p$ and $\mathfrak p_u$, respectively. The group $P$ acts on any ideal of $\pp$ in $\pp_u$ by means of the adjoint representation.

Let $\mathfrak a$ be an abelian ideal of $\pp$ in $\pp_u$. It was shown in \cite[Thm.\ 1.1]{Ro3} that $P$ operates on $\aaa$ with a finite number of orbits. The proof of this result in \cite{Ro3} involved long and tedious case by case considerations. The original proof of this theorem went as follows: it readily reduces to the case of a Borel subalgebra $\bb$ of $\frakg$. It then suffices to only consider the maximal abelian ideals of $\bb$. These were classified in \cite{Ro3} and then it was shown that the number of $B$--orbits is finite in each of these instances.

Using the structure theory for spherical nilpotent orbits \cite{Pa4} we found a short conceptual proof of this fact. The finiteness result for the number of $P$--orbits on such an abelian ideal $\aaa$ is a consequence of one of the main results in \cite{PR}: namely that for $\aaa$ an abelian ideal in $\bb$ and $\OO$ any nilpotent orbit in $\frakg$ meeting $\aaa$ the orbit $\OO$ is a spherical $G$--variety. A $G$--variety is called {\em spherical}, whenever $B$ acts on it with an open dense orbit. By a fundamental theorem, due to M.\ Brion \cite{Br1} and E.B.\ Vinberg \cite{Vi2} independently, $B$ acts on a spherical $G$--variety with a finite number of orbits.

Besides presenting this conceptual proof of the finiteness result, I shall exhibit a natural connection between abelian ideals of $\bb$ and $\ZZ$--gradings of $\frakg$. In particular, all the maximal abelian ideals of $\bb$ stem from certain $\ZZ$--gradings of $\frakg$.

Further, I shall also address the set of maximal abelian ideals $\AAA_{max}$ of $\bb$. I shall present the classification of $\AAA_{max}$ from \cite{Ro3} and will explain the existence of a canonical bijection between $\AAA_{max}$ and the set of long simple roots

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{Br1} {\sc M.~Brion}, {\em Quelques propri\'et\'es des espaces homog\'enes sph\'eriques}, Man.\ Math.\ {\bf 99} (1986), 191--198.

\bibitem{Pa4} D.~Panyushev, {\em On spherical nilpotent orbits and beyond}, Annales de l'Institut Fourier, {\bf 49}(5) (1999), 1453--1476.

\bibitem{PR} {\sc D.~Panyushev, G.R\"ohrle}, {\em Spherical orbits and abelian Ideals}, Preprint 00--052 SFB 343, Diskrete Strukturen in der Mathematik, Universit\"at Bielefeld (2000).

\bibitem{Ro3} {\sc G.~R\"ohrle}, {\em On Normal Abelian Subgroups of Parabolic groups}, Annales de l'Institut Fourier, {\bf 48}(5), (1998), 1455--1482.

\bibitem{Vi2} {\sc E.\,B.~Vinberg}, {\em Complexity of actions of reductive groups}, Funkt. Analiz i Prilozhen. {\bf 20}(1986), {\rus N0}\,1, 1--13 (Russian). English translation: Funct.\ Anal.\ Appl.\ {\bf 20}, (1986), 1--11.

\end{thebibliography}

Date: December 5 (Tue), 2000, 16:30-18:00
Speaker: Kouichi Takemura (竹村剛一) (Yokohama City University)
Title: 楕円型 Calogero-Moser 模型の固有値、固有関数について
Abstract: 可積分な量子力学の模型である楕円型 Calogero-Moser 模型の固有値、 固有関数を Bethe 仮設法を用いて調べると、Bethe 方程式が解ける場合に、固 有値、固有関数が三角極限で得られる三角的 Calogero-Sutherland 模型のもの と正則につながっていることがわかる。 また、東大の小森さんとの共同研究により、Kato-Rellich の摂動の理論などを 適用できることから一般の場合で上記の摂動可能性が解った。 これにより Jack 多項式の楕円変形の1つの候補が実在する関数として考察する ことができる。
Date: March 9 (Fri), 2001, 15:30-17:00
Speaker: Wolfgang Bertram (Université Nancy I)
Title: From linear algebra via affine algebra to projective algebra
Abstract: http://math1.uibk.ac.at/jordan/ からプレプリントが得られます。 以下は、そこに掲載されている説明のコピーです。

We introduce an algebraic formalism, called "affine algebra", which corresponds to affine geometry over a field or ring K in a similar way as linear algebra corresponds to affine geometry with respect to a fixed base point. In a second step, we describe projective geometry over K by a similar formalism, called "projective algebra". We observe that this formalism not only applies to ordinary projective geometry, but also to several other geometries such as, e.g., Grassmannian geometry, Lagrangian geometry and conformal geometry. These are examples of ``generalized projective geometries". The axiomatic definition and general theory of such geometries is given in Part II of this work.

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© Toshiyuki Kobayashi