数学I (Aコース)+演習
（２００７年４月〜２００８年１月） Last modified: 2008/1/20

担当　平地 健吾 (研究室は数理科学研究科521)
ＴＡ　三角 淳

このページでは数学I (Aコース; １年生理 I) の講義メモをのせます。 参考者は「微積分 I」金子 晃著 (サイエンス社) および「微積分学」難波誠著 (裳華房) 一冊しか買わないなら後者を推薦します 場所： 講義 164教室、演習 724教室 時間：木曜４限　１４：4０〜１6：1０（演習は火曜日４限）

・演習問題を復習しておくと合格できます。
・講義の定理の証明まで理解しておけば優がとれます。
・微分方程式，ベキ級数の問題は出ません。これらは２年で詳しく勉強します。

・広義積分の例：ガンマ関数とガウス積分
・広義積分と広義一様極限の順序交換 ・重積分における広義積分

・テイラー級数の収束のための条件
・二項級数
・広義積分の定義と収束の判定方法

・ベキ級数の定義と収束域
・収束域の形と収束半径の計算公式
・収束域では項別積分、項別微分が可能
・ベキ級数は収束域上で広義一様収束する（収束域の端での一様収束性もアーベルの連続性定理の証明の中で示した）
・ベキ級数の例

・演習問題のファイル pdf と texファイル
・解説ファイル pdf と texファイル

・連続関数列が一様収束すれば極限関数も連続であることの証明
・関数列の極限と微分・積分の順序交換
・級数をもちいた指数関数の定義
・級数の一様収束性の判定：優級数判定法

・交項級数の収束
・絶対収束のする級数は和の順序をかえてもよい
・絶対収束のする級数の２項展開
・関数列の収束と一様収束性
・一様収束性しない関数列の例
・連続関数列が一様収束すれば極限関数も連続（証明は次週）

・演習問題のファイル pdf と texファイル
・解説ファイル pdf と texファイル

・級数の収束の判定：比較判定法、積分判定法
・絶対収束の判定：コーシーの判定条件とダランベールの判定条件

・重積分の変数変換（証明は略；微分形式をならうと明らかになる）
・極座標を用いた重積分の計算；球の体積の計算
・級数の定義
・例：等比級数、調和級数、交代級数

・演習問題のファイル pdf と texファイル
・解説ファイル pdf と texファイル

・フビニの定理：重積分は一変数の積分の繰り返し（逐次積分）と一致する。
・フビニの定理の証明は省略（ルベーグ積分を勉強すればエレガントに証明できます）
・重積分の計算例(三角形の上で x²+y² を積分する)
・逐次積分は積分の順序により簡単になることがある
・３重積分と空間の領域の体積（平面領域の面積と同様）；フビニの定理も成り立つ
・例：偏微分の順序交換を逐次積分の順序交換を用いて証明する

・演習問題のファイル pdf と texファイル
・解説ファイル pdf と texファイル

・領域上の重積分の定義
・有界閉領域 D の境界の面積が０であれば D 上の連続関数は可積分
・区分的 C¹曲線の面積は0

・簡単な微分方程式：変数分離形、同次形、線形
・重積分のRiemann積分としての定義。矩形上の連続関数は積分可能であることの証明；一様連続性を使う議論は一変数のときと同様。

・演習問題のファイル pdf と texファイル
・解説ファイル pdf と texファイル

・原始関数の例
・有理関数の積分の計算

・Riemann積分の定義をあたえ微積分学の基本定理を証明した；これで連続関数の積分は原始関数を使って高校のときと同様に計算してよいことがわかる
・Riemann積分可能でない関数の例；連続でない関数では微積分学の基本定理は成り立たないことに注意

・演習問題のファイル pdf と texファイル
・解説ファイル pdf と texファイル

・実数の連続性の公理：つぎの４つは同値
　　有界単調数列の収束、上限下限の存在、完備性とアルキメデスの性質、有界数列は収束部分列をもつ
・sin(x²)は一様連続でない. 有界閉集合上の連続関数は一様連続

・板書にミスがありました。最初に書いた標準形1)は X²± Y²ではなく ± (X²+Y²) です。
・ヘッセ行列による極値の判定方法
・２変数関数の最大，最小値の探し方
・偏微分の演習問題のファイル pdf と texファイル

・２変数関数のTaylorの定理
・極値をとる点では偏微分が０になる
・２変数の斉２次多項式の標準形

・C¹-関数は全微分可能であることの証明
・ベクトル値多変数関数の全微分と Jacobi 行列の定義
・Chain rule の証明と計算例
・極座標をもちいたラプラス作用素の表示の計算

・演習問題のファイル pdf と texファイル
・解説ファイル pdf と texファイル

・有界閉集合上の連続関数は最大値をもつ
・偏微分の順序交換
・全微分なら偏微分可能、C¹-関数は全微分可能（証明は来週）

・多変数の関数のグラフ
・多変数関数の極限
・平面内の開集合と閉集合と境界

・演習問題のファイル pdf と texファイル
・解説ファイル pdf と texファイル

・Taylor の定理の証明
・Taylor 展開と剰余項の表示；無限小 O(xⁿ) の記号の導入
・Taylor 展開の例：指数関数、三角関数、対数、二項展開
・漸近解析：tan x の Taylor 展開の計算
・Taylor 展開を用いた関数の増減、極値の判定

・一次近似可能性と微分可能性は同値である。合成関数の微分法の証明
・関数の増減と微分の符号の関係
・三角関数と指数関数の微分についての説明（厳密な扱いはベキ級数のときまで保留）
・平均値の定理とその証明
・Cⁿ-関数とTaylorの定理；証明は次回

・演習問題のファイル pdf と texファイル
・解説ファイル pdf と texファイル

私はニース大学で講演してきます。

・初等関数の定義：指数関数、対数関数、三角関数（ただし三角関数は円弧の長さを定義していないのでまだ厳密ではない）
・微分の定義と計算のための公式（線形性、ライプニッツの法則、合成関数の微分法；証明は次回）
・関数の多項式による近似（０次近似可能性は連続性と同値、１次近似可能性は微分可能性と同値）

・演習問題のファイル pdf と texファイル
・解説ファイル pdf と texファイル

・初回の演習で講義をしたので、演習に振り替えます。
・演習問題のファイル pdf と texファイル;
・略解のファイル pdf と texファイル

・中間値の定理の証明、その応用として狭義単調関数の逆写像の存在
・上限の存在が実数の連続性と同値であることの説明（証明は７月に先送り）
・有界閉区間上の連続関数の最大値の存在証明

・演習問題のファイル pdf と texファイル;
・略解のファイル pdf と texファイル;

・Cauchy列（漸化式で定義される数列の収束）
・連続関数の定義と例（多項式，有理関数）
・無理数で連続，有理数で不連続な関数の例
・関数 f が c で連続である必要十分条件は

「任意の c に収束する数列 {x_n} にたいして f (x_n) は f (c) に収束する」

命題の否定の作り方については演習の時間に説明する。

・ε–δ 論法の練習
・演習問題のファイル pdf と texファイル;
・略解のファイル pdf と texファイル;

・実数の公理（順序と連続性），eの存在
・アルキメデスの性質，実数の小数表示
・数列の極限と和，積の順序交換（ε–δ 論法での証明）；商については省略

（初回が演習なので講義をします；講義のみを選択する人には１９日に講義ノートを配布します）
・なぜε–δ 論法が必要になったのか（歴史的背景）もっと詳しく知りたい人は

Grabiner, Judith V., "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus", American Mathematical Monthly 90:3 (Mar. 1983), pp. 185-194.

を参照。
・実数の公理的な定義．体（四則演算）の公理
・1×a = 0, (−1)× (−1)=1, 0≠1 の証明