数理解析I＋演習（２０１０年１０月開講）

担当　平地健吾 (hirachi@ms.u-tokyo.ac.jp) 　 このページでは数理解析Iの講義情報をのせます。 参考書は Lars Ahlfors 著 Complex analysis またはその和訳；講義ではその前半をあつかいます．すばやく概略を学びたい人には神保道夫： 複素関数入門 (現代数学への入門) 岩波書店を勧めます． 場所：16-109教室 時間：金曜3限 13:00〜14:30（演習は4限14:40〜16:10） 左はAhlfors生誕１００年記念会議のポスター

・複素積分の定積分の計算への応用　その２

・複素積分の定積分の計算への応用：留数計算
・演習問題のファイル pdf と texファイル

・ローラン展開の存在証明
・留数定理
・偏角の原理とルーシェの定理
・講義のノート pdf
・演習問題のファイル pdf と texファイル

・正則関数の孤立特異点の分類
・正則関数の一致の定理
・ローラン展開の存在と計算方法
・演習問題のファイル pdf と texファイル

・Cauchyの評価式とリュービルの定理，代数学の基本定理
・正則関数の除去可能特異点
・正則関数のTaylor展開と剰余項の積分表示
・Taylor展開の計算方法
・演習問題のファイル pdf と texファイル

・Greenの定理の証明についての説明
・Cauchyの積分表示の微分
・Cauchyの積分表示をつかった積分の計算例
・演習問題のファイル pdf と texファイル

・Cauchyの積分定理は一点での正則性の仮定を落としてもその点で連続であれば成り立つ
・Cauchyの積分表示（円板の場合）
・正則関数はべき級数展開可能である；とくに正則ならば無限回微分可能
・実平面上の一形式の線積分とGreenの定理（証明は来週）
・Greenの定理をもちいたCauchyの積分定理の証明
・演習問題のファイル pdf と texファイル

・星形領域でのCauchyの積分定理
・星形領域上の正則関数は原始関数をもつ
・複素線積分の計算方法
・演習問題のファイル pdf と texファイル

・ 放物型幾何のワークショップに行っていました．

・指数関数の逆関数としての対数関数の定義とその正則性
・対数関数のベキ級数展開、二項級数
・複素線積分の定義；原始関数をもつ線積分は端点で決定される
・演習問題のファイル pdf と texファイル

・ベキ級数の収束半径と収束域での項別微分可能性
・ベキ級数をもちいた指数関数の定義と微分方程式をもちいた指数関数の特徴付けおよび指数法則の証明）
・演習問題のファイル pdf と texファイル

・正則関数の定義とCauchy-Riemannの方程式
・正則関数の和、積、商（定義できるとき）、合成も正則
・演習問題のファイル pdf と texファイル

・実２次元数ベクトル空間に積を与えて複素数体を定義する。
・ガウス平面と複素数の演算
・演習問題のファイル pdf と texファイル