| 講義内容 | 復習問題 | 演習問題 | 問題のＤＶＩファイル | 問題のＰＳファイル | 問題のＰＤＦファイル | ||
| ４月１９日 | １ | 多様体論について、逆写像の定理、陰関数定理、逆写像の定理の証明 | 平面上の関数について陰関数定理、平面から平面への写像についての逆写像定理、２次曲面 | ヤコビ行列のチェインルール、１次元位相多様体（２次元位相多様体）、滑らかな曲線 | ＤＶＩ | ＰＳ | ＰＤＦ |
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講
義の概要 |
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な
ぜ多様体を学ぶか |
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| ４月２６日 | ２ | 曲線、曲面、ユークリッド空間の中の多様体、その接空間 | 空間上の関数、空間から平面への写像についての陰関数定理、滑らかな写像、平面上の関数の最大最小 | 滑らかな写像の合成、滑らかな曲面、カスプ、球面上の関数 | ＤＶＩ | ＰＳ | ＰＤＦ |
| プリント | ユークリッド空間の中の多様 体 | DVI |
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| ５月１０日 | ３ | 多様体の定義、多様体の例 | 位相の復習、コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続単射 | 曲線と接ベクトル、ユークリッド空間の有界閉集合 | ＤＶＩ | ＰＳ | ＰＤＦ |
| ５月１７日 | ４ | 射影空間、有限変換群 | 商空間、ハウスドルフ空間（関数による分離） | ハウスドルフ性、実射影空間、複素射影空間 | ＤＶＩ | ＰＳ | ＰＤＦ |
| ５月２４日 | ５ | 1次元、2次元の多様体、滑らかな写像、多様体上の曲線、接ベクトル、接空間 | ベクトル空間の次元 | ファイバー束のハウスドルフ性、座標近傍の貼り合わせ、 | ＤＶＩ | ＰＳ | ＰＤＦ |
| ５月３１日 | ６ | 接写像、部分多様体、サブマーション、接束、多様体上の関数 | 滑らかな関数、滑らかな写像の像、コンパクトハウスドルフ空間は正規空間、コンパクトハウスドルフ空間の開被覆 | 行列群、直交行列、リーマン球面 | ＤＶＩ | ＰＳ | ＰＤＦ |
| ６月７日 | ７ | コンパクト多様体はユークリッド空間に埋め込まれる。正則値、臨界値、モース関数、関数のレベルサーフェス | 関数の割り算、 最大値、最小値 | リー群、部分多様体の横断的交わり、方向微分 |
ＤＶＩ | ＰＳ | ＰＤＦ |
| プリント |
接束 | ＤＶＩ | PS | ||||
| 参考プリント | サードの定理、モース関数の存在、モースの補題。 | ＤＶＩ | PS | ||||
| ６月１４日 | ８ | 多様体上のフロー、多様体上の常微分方程式、ベクトル場。 | 正規形の常微分方程式、線形常微分方程式 | 軌道、トーラス上のモース関数、常微分方程式の解の初期値に対する微分可能性、多様体の向き付け、円周 | ＤＶＩ | ＰＳ | ＰＤＦ |
| ６月２１日 | ９ | 常微分方程式の解の存在と一意性、初期値に対する連続性、微分可能性 | 行列の指数関数、局所的なフロー | ホップファイバー空間、複素射影空間上のモース関数 | ＤＶＩ | ＰＳ | ＰＤＦ |
| ６月２８日 | １０ | コンパクト多様体上のベクトル場は完備であること。 | 群の作用、テイラー展開、常微分方程式の解の初期値に対するリプシッツ連続性 | 球面上の曲線の長さ、大円の測地性、リーマン計量の存在、有限群作用、法束 | ＤＶＩ | ＰＳ | ＰＤＦ |
| ７月５日 | １１ | リーマン計量、測地線、 | ２次形式の符号、ユークリッド空間の線分の最短性 | グラディエントフロー、リーブラケット、Exponential Map、沈め込みはファイブレーション、リー群のリー代数 | ＤＶＩ | ＰＳ | ＰＤＦ |
| ７月１２日 | １２ | ベクトル場のなすリー代数、リー群、等質空間 | トーラスの写像、写像とベクトル場、フローに横断的な多様体、分解合同 | ＤＶＩ | ＰＳ | ＰＤＦ | |
| ９月１３日 | 試験 | ＤＶＩ | ＰＳ | ＰＤＦ | |||
| １２月６日 | 追試験 | ＤＶＩ | ＰＳ | ＰＤＦ |
講義のノート
多様体論について、逆写像定理陰関数定理
ユークリッド空間の中の多様体
多様体の定義
接空間
多様体上の関数
多様体上のフロー
多様体上の曲線の長さ
多
様体上のベクトル場
演習の時間について
２００４年度 幾何学特別演習 I は原則として、数題の演習問題を解き、その時間中または次の週までに提出すること。
原則としてＴＡが添削し、提出された翌週に返却します。
成績は筆記試験により判定する。このとき、成績が必ずしも良くなかった場合、演習問題の解答の提出状況を大きく考慮する。
| 参考書： | 松島与三 | 多様体入門 | 裳華房 数学選書 | ISBN:4785313056 | 多様体論について、研究者としても必要な事柄はほとんどすべて書かれている |
| 松本 幸夫 | 多様体の基礎 | 東京大学出版会基礎数学〈５〉 | ISBN:4130621033 | 理学部数学科３年生、４年生向けに書かれた教科書 |
予備知識について
教養学部２年生の講義「数理科学Ⅰ」あるいは「数理科学Ⅲ」、 「数理科学Ⅱ」あるいは「数理科学Ⅳ」 の教科書、参考書は適宜参照してください。
また、４学期の「集合と位相」の内容は、復習しながら使っていきますが、 これも教科書、参考書を適宜参照すること。
昨年の講義は、録画されています。https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/video/lecture/2003tsuboi/
で参照することが出来ます。