基本文献紹介  「現代解析学」 ～ 平均曲率流方程式を中心に  ～

A.

粘性解析

平均曲率流方程式や、より一般の曲面の発展方程式に対しては、曲面をある関数の等高面とみなす、いわゆる「等高面の方法」は、解析的にも数値的にも有効です。これは、特異点発生以降も解を追跡できる特徴があります。数学的に厳密に記述しようとすると、最適制御理論で有用なハミルトン・ヤコビ方程式の価関数のような、必ずしも微分可能でない関数を微分方程式の解とみなす、粘性解の概念が必要になります。これは最大値原理に基づいた弱解の概念です。

[1]

儀我 美一・陳 蘊剛, 動く曲面を追いかけて, 日本評論社, 1996（新版出版予定）.

[2]

L. Ambrosio and N. Dancer, Calculus of variations and partial differential equations, Topics on geometrical evolution problems and degree theory, Papers from the Summer School held in Pisa, September 1996. Edited by G. Buttazzo, A. Marino and M. K. V. Murthy. Springer-Verlag, Berlin, 2000.
（特に L. Ambrosio, Geometric evolution problems, distance function and viscosity solutions, 5-94を参照）

[3]

Y. Giga, Surface evolution equations: A level set approach, Monographs in Mathematics, 99. Birkhäuser Verlag, Basel, 2006.

[4]

G. Bellettini, Lecture notes on mean curvature flow, barriers and singular perturbations. Lecture Notes, Scuola Normale Superiore di Pisa (New Series), 12. Edizioni della Normale, Pisa, 2013. 

B.

変分解析

平均曲率流方程式の弱解の概念のひとつに、超関数の意味（バリフォールド解）の弱解の概念があります。また、特異点解析も進んできています。ここでは、Brakke（1972）に始まる幾何学的測度論的アプローチおよび微分幾何アプローチについて単行本を中心に挙げます。

[1]

K. A. Brakke, The motion of a surface by its mean curvature, Princeton Univ. Press, New Jersey, 1978.

[2]

K.-S. Chou and X.-P. Zhu, The curve shortening problem, (English summary) Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2001.

[3]

儀我 美一・儀我 美保, 非線形偏微分方程式, 共立出版株式会社, 1999.

[4]

X.-P. Zhu, Lectures on mean curvature flows, (English summary) AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, 32. American Mathematical Society, Providence, RI; International Press, Somerville, MA, 2002.

[5]

K. Ecker, Regularity theory for mean curvature flow, Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, 57. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2004.

[6]

C. Mantegazza, Lecture notes on mean curvature flow, Progress in Mathematics, 290. Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel, 2011.

[7]

T. H. Colding, W. P. Minicozzi II and E. K. Pedersen, Mean curvature flow, (English summary)
Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 52 (2015), no. 2, 297–333.

[8]

K. Kasai and Y. Tonegawa, A general regularity theory for weak mean curvature flow. (English summary) Calc. Var. Partial Differential Equations 50 (2014), no. 1-2, 1–68. 

C.

数値計算法、近似法

「等高面の方法」は始めは数値計算法として提唱され、さまざまな問題に応用されてきています。しかし、その数学的基礎は、曲面の発展方程式を除き、確立されていない部分が多くあります。今後の解析が期待されます。

[1]

J. A. Sethian, Level set methods and fast marching methods, Evolving interfaces in computational geometry, fluid mechanics, computer vision, and materials science. Second edition. Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 3. Cambridge University Press, Cambridge, 1999.

[2]

S. Osher and R. Fedkiw, Level set methods and dynamic implicit surfaces, Applied Mathematical Sciences, 153. Springer-Verlag, New York, 2003.

[3]

R. V. Kohn and S. Serfaty, A deterministic-control-based approach to motion by curvature, Comm. Pure Appl. Math. 59 (2006), no. 3, 344–407. 

D.

特異摂動による方法

平均曲率流方程式は反応拡散方程式であるAllen-Cahn方程式の特異極限として得られます。周辺分野の書籍をいくつか挙げさせていただきます。

[1]

西浦 廉政, 非線形問題1--パターン形成の数理, 岩波書店, 1999.

[2]

三村昌泰 編集, パターン形成とダイナミクス, 東京大学出版会, 2006.

E.

その他

[1]

小薗 英雄・三沢 正史・小川 卓克 編集, これからの非線形偏微分方程式, 日本評論社, 2007.

[2]

増田 久弥 編集, 応用解析ハンドブック, 丸善出版, 2012.