基本文献紹介 「数学基礎」 

形態変動解析学を研究するための基礎的な書籍を、微分方程式分野、関数解析分野を中心に、和書を中心にいくつか挙げます。網羅的ではありませんが参考になれば幸いです。

A.

微分方程式

形状や形態の変動を記述するのに便利な数学的道具として微分方程式があります。独立変数が1つの場合は常微分方程式、複数であるものは偏微分方程式とよばれます。なお常微分方程式については、微分積分学の教科書に入門的記述があることもあります。

[1]

H. Anton, S. Davis and I. Bivens, 西田 吾郎 監修, 微積分学講義 [原書第7版], 上, 中, 下, 京都大学学術出版会, 2014

[2]

M. ブラウン 著, 一樂 重雄・河原 正治・河原 雅子・一樂 祥子 訳, 微分方程式, 上, 下, 丸善出版, 2012.

[3]

神保 秀一, 微分方程式入門, 共立出版, 2006.

[4]

白岩 謙一, 常微分方程式論序説, サイエンス社, 1992.

[5]

高橋 陽一郎, 微分方程式入門, 東京大学出版会, 1988.

[6]

熊ノ郷 準, 偏微分方程式, 共立出版, 1978.

[7]

井川 満, 偏微分方程式論入門, 裳華房, 1996.

[8]

溝畑 茂, 偏微分方程式論, 岩波書店, 2002.

[9]

村田 實・倉田 和浩, 楕円型・放物型偏微分方程式, 岩波書店, 2006.

[10]

神保秀一, 偏微分方程式入門, 共立出版, 2006.

[11]

儀我 美一・儀我 美保, 非線形偏微分方程式, 共立出版株式会社, 1999.

[12]

D. Gilbarg and N. S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order. Reprint of the 1998 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001.

[13]

O. A. Ladyzhenskaya and N N. Ural'tseva, Linear and quasilinear elliptic equations. Translated from the Russian by Scripta Technica, Inc. Translation editor: Leon Ehrenpreis Academic Press, New York-London 1968.

[14]

O. A. Ladyzhenskaya, V. A. Solonnikov and N N. Ural'tseva, Linear and quasilinear equations of parabolic type, "Nauka", Moskow, 1967: English transl., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1968.

[15]

L. C. Evans, Partial differential equations, Second edition, Graduate Studies in Mathematics, 19. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010.

[16]

Q. Han and F.-H. Lin, Elliptic Partial Differential Equations, Courant Institute Lecture
Notes, Volume 1, American Mathematical Society, Providence, RI, 2000.

[17]

N. V.  Krylov, Lectures on elliptic and parabolic equations in Hölder spaces. Graduate Studies in Mathematics, 12. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996.

[18]

F. ジョン 著, 佐々木 徹・示野 信一・橋本 義武 訳, 偏微分方程式, 上, 下, 丸善出版, 2003.

[19]

M. Bardi and I. Capuzzo-Dolcetta, Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman Equations, Birkhäuser Basel, 1997.

B.

関数解析

偏微分方程式は、特に非線形方程式の場合、具体的関数を用いて解を表すことは容易ではありません。そのため組織的に扱うには、しばしば関数解析的抽象論が必要になってきます。一方、抽象論を具体的な問題に適用するためには、実解析学やフーリエ解析学の手法が必要となります。

[1]

田辺 広城, 発展方程式, 岩波書店, 1989.

[2]

田辺 広城, 問題解析, 上, 下, 実教出版, 1981.

[3]

H. Tanabe, Functional analytic methods for partial differential equations, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 204. Marcel Dekker, Inc., New York, 1997.

[4]

黒田 成俊, 関数解析, 共立出版, 1980.

[5]

八木 厚志, 放物型発展方程式とその応用―可解性の理論, 上, 下, 岩波書店, 2011.

[6]

A. Lunardi, Analytic semigroups and optimal regularity in parabolic problems [2013 reprint of the 1995 original], Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel, 1995.

[7]

H. Amann, Linear and quasilinear parabolic problems, Vol. I, Abstract linear theory, Monographs in Mathematics, 89. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1995.

[8]

T. Kato, Perturbation theory for linear operators, Reprint of the 1980 edition, Classics in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, 1995.

[9]

加藤 敏夫 著, 丸山 徹 訳, 行列の摂動, 丸善出版, 2012.

[10]

K. Yosida, Functional analysis. Reprint of the sixth (1980) edition, Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1995.

[11]

岡本 久・中村 周, 関数解析, 岩波書店, 2006.

[12]

村松 寿延, 補間空間論と線型作用素, 紀伊国屋書店, 1985.

[13]

小川 卓克, 非線型発展方程式の実解析的方法, 丸善出版, 2013.

[14]

宮島 静雄, ソボレフ空間の基礎と応用, 共立出版, 2006.

[15]

R. A. Adams, Sobolev spaces, Pure and Applied Mathematics, Vol. 65, Academic Press [A subsidiary of Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York-London, 1975.

[16]

V. G. Maz'ja, Sobolev spaces, Translated from the Russian by T. O. Shaposhnikova, Springer Series in Soviet Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, 1985.

C.

微分幾何学、幾何学的測度論

形態変動解析学では形状の変化という問題を扱うので、曲率をはじめとする微分幾何学的扱いが欠かせません。しかも、滑らかではない形状の理論を展開しなければならないことも多くあります。このため幾何学的測度論が必要になることがあります。

[1]

小林 昭七, 曲線と曲面の微分幾何, 裳華房, 1995.

[2]

村上 信吾, 多様体, 共立出版, 1989.

[3]

フランク・モーガン 著, 時田 節 訳, リーマン幾何学, トッパン, 1993.

[4]

フランク・モーガン 著, 儀我 美一 監訳, 幾何学的測度論―石けん膜の数理解析, 共立出版, 1997.

[5]

M. P. do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces, Translated from the Portuguese, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1976.

[6]

H. Federer, Geometric measure theory, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153 Springer-Verlag New York Inc., New York 1969.

[7]

E. Giusti, Minimal surfaces and functions of bounded variation, Monographs in Mathematics, 80. Birkhäuser Verlag, Basel, 1984.

[8]

L, Ambrosio, N. Fusco and D. Pallara, Functions of bounded variation and free discontinuity problems, Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 2000.