連絡事項
2月20日 採点に際して気づいた点について
第５問で「f(x) は有界だから f(1)-f(0) は定数である」のように書かれた答案がありましたが，f(x) が有界であろうがなかろうが f(1)-f(0) は定数です。また「f(x) は有界だから f(1)-f(0) は有界である」と書かれた答案がありましたが，そもそも一つの定数である f(1)-f(0) に対して有界という言葉を使うのは変です。
12月16日 板書の訂正について
関数 f(x) の積分と関数 1/xλ の積分の大小を比較するところで、h から ε まで積分すべきところを h から b まで積分するように書いた箇所がありましたので、各自で修正して下さい。
11月22日 来週の授業について
黒板に「来週」と書きましたが、正しくは「次回」でした。
１１月２５日（月）午前は授業休止日ですので、講義はありません。
11月 6日 「べき」の字について
黒板に書くときに字体を間違えたような気がするので、訂正してください。
| 冪 | 羃 |
10月22日 一意性という言葉について
誤解があるといけないので，注意を述べます。条件を満たすものが一意的であるとは，その条件を満たすものが存在すればただ一つであることを意味します。 この意味では，原始関数は一意的ではありません。しかし，開区間上の関数が原始関数を持てば，二つの原始関数の差は定数です。 このことを数学では「定数差を除いて一意的である」と言います。 同様に，ある種の微分方程式の解に対して「定数倍を除いて一意的である」という言い方もあります。
10月22日 原始関数の計算練習
プリントを作りましたので、ここから（PDF20KB） ダウンロードして取り組んでください。 量が多いとは思いますが、パズルだと思って楽しく取り組んでみてください。
10月28日に確認のための小テストをしますので、それまでにやっておいてください。遅刻しないように。
注意事項（10月2日修正）
遅刻厳禁・私語厳禁です。
授業中は携帯電話・スマートフォン・パソコン等の電子機器類の使用および録音・録画・撮影・中継等を禁止します。
授業内容に関わる質問は授業中にお願いします。授業内容で理解できない点があれば、その場で手をあげて大きな声で質問してください。 板書の書き誤りに気が付いたら、その場ですぐに指摘してください。
大人数に対するレポート等の返却を、個人のプライバシーに配慮しつつ、混乱なく速やかに行うために、名前を呼ばれたら、大きく手を挙げて、大きな声で『はい』と返事してアピールしてください。
提出物の名前には必ずふりがなを振ってください。
この授業は理科 II・III 類の15組−17組を対象とする微分積分学の講義です。
この講義は月曜１限に５３１教室で行います。
この講義は、理科 II・III 類用の数学 I のシラバス （下に転載） に基づいて行います。
この講義の教科書として次の書籍を指定します。
出版社のウェブサイトにある この本のページ から正誤表(PDF)がダウンロードできます。難波 誠 著 『数学シリーズ 微分積分学』 裳華房
この講義の成績は期末試験によって判定します。講義のなかで行う小テストやレポートなどは純粋に教育目的で行うものですので、その点数・評価は成績には影響しません。
この講義に対応する演習の担当教員は片岡俊孝先生です。その成績は、講義の成績とは独立に，担当教員である片岡先生がつけます。 演習で行う小テストやレポートなどは演習の成績に影響することがありますので注意してください。
演習は下記の木曜日の第４限に７２１教室で行われます。
10月10日（木），10月24日（木），11月7日（木），11月28日（木），12月12日（木），1月9日（木），1月23日（木）
講義予定（冬学期）
講義の進行によっては、予定を変更する可能性があります。
演習日程： 10月10日（木），10月24日（木），11月7日（木），11月28日（木），12月12日（木），1月9日（木），1月23日（木）
シラバス
理科 II・III 類向けの数学 I のシラバスを転載しますので、参照してください。
数学 I シラバス（理科 II・III 類）
理科II・III類に対する数学Iの講義内容は概略以下の通りである．解析学は高校数学IIIの微分・積分の発展として位置づけられる．目安として１〜４を夏学期，５〜７を冬学期で学ぶが，実際の進行や順序は担当教員により異なることがある．
初等関数：指数関数・対数関数・三角関数など高校で学んだ初等関数について復習する．また微分や不定積分の直感的定義を確認し，これらの関数の微分や原始関数を求める．
実数の連続性と極限：実数列の極限は，高校においては直感的にとらえられていた．ここでは実数の連続性を説明し，それに基づいて収束や極限の概念をより正確に，より意識的に把握する．このような正確な把握から，「連続関数に関する中間値の定理」や「連続関数は有限閉区間で最大値・最小値をもつこと」などの性質が自然に導かれることを考察する．
１変数関数の微分：２で導入した概念に基づいて１変数関数の微分の定義を再考し，その基本的性質を論じる．合成関数の微分，極大・極小，平均値の定理，テーラーの定理，テーラー展開（関数のベキ級数による表示）を学ぶ．接線などの幾何学的概念や，速度や加速度といった物理量との関連にも触れる．
2変数関数の微分：２変数関数の偏微分と合成関数の微分則，およびその応用を学ぶ．特に全微分の定義とその可能性，偏微分の順序交換，２変数関数のテーラー展開，曲面とその接平面，２変数関数の極大・極小問題について考える．
１変数関数の積分：密度分布から全体量を求める区分求積法として定積分を導入し，その基本的な性質を学ぶ．定積分の積分区間の端点を 動かすことによって不定積分を再定義し，不定積分が原始関数になっていること（微積分学の基本定理）を確認する．不定積分の応用として，変数分離型など簡単な微分方程式とその適用例に触れる．積分の実際の計算法（部分積分・置換積分）や具体的な計算例（指数関数・対数関数・三角関数・有理関数）も重要である．
重積分：２変数関数に対する重積分を区分求積法によって定義する．重積分を１変数の積分の繰り返しによる累次積分として表示し，面積・体積・重心などの計算を行なう．また重積分における変数変換公式（極座標による表示など）とその応用を論じる．
広義積分：無限区間における積分や区間の端で発散する関数の積分が広義積分であり，実際の応用上非常に重要である．広義積分の収束や発散について論じ，具体例（ガウスの正規分布関数など）を計算する．
4月15日 配布問題１について
問題1.1 (a) は，問題1.2を参考にして考えてみてください。
問題1.3 (2) は「最大元の定義と上限の特徴付けを用いて示せ」として下さい。
問題1.6は難問ですので，いますぐ解けなくても問題ありませんが，関心のある人はチャレンジしてみると良いでしょう。
4月22日 配布問題１の略解と解説について
問題1.5 の（参考）の記述を間違えましたので訂正します。 奇数番目の項が単調増加になるという記述は誤りで、２番目以降の項が単調減少になります。 従って、奇数番目の項として現れる数全体の集合は求める条件を満たしませんが、A ＝ ｛ ２／a2 ，２／a3 ，２／a4 ，・・・｝とすれば、これが求める集合の一つになります。
6月10日 講義内容について
定理の証明の直前に「証明の準備」と書いた内容は，省略した後半部分で，数学的帰納法によって証明する際に用いる予定のものでした。
定理の証明の前半で，l'Hospital の定理を用いましたが，その際に分母子を次々と微分して得られる式が ｘ→ａ とするときに極限値０を持つことの確認を忘れていましたので，各自でノートに追加しておいてください。
6月17日 プリントの訂正（追加修正あり）
本日配布のプリントで，絶対値を付け忘れていた箇所があるので，訂正して下さい。
１枚目の 「従って，これは次のように評価される。」 の次の式で，Rn+1 を ｜Ｒn+1｜ に修正してください。
その右の場合分けの下の式の ｘ に絶対値を付けて，ｘn+1 を ｜ｘ｜n+1 に修正してください。
２枚目の 「ここで，剰余項の絶対値は」 の次の式で，中辺と右辺の ｘ に絶対値を付けてください。
7月 2日 期末試験について（8月9日追記）
この科目の夏学期の期末試験は９月２日（月）１０：５５から行われます。
言うまでもありませんが，指示のない限り，授業で扱った範囲が試験範囲です。
8月27日 学生との質疑応答について
ある学生からメールで質問があり、質問内容を見たうえで応答しました。その内容を ここに 書いておきましたので、参考にしてください。
9月 2日 期末試験に関するコメント
お疲れ様でした。証明問題以外の問題について答を書いておきます。
問題１ (1), (2)
(1) Ｌ＝（−∞，ａ] (2) Ｕ＝［ｂ，∞）
(2) (a) ｓ≦ｔ (b) ｓ＜ｔ
問題２
(1) λ＝３ (2) ｚ＝５ｘ＋３ｙ＋２−π
(3) ∂/∂ｘ＝２∂/∂ｕ＋６ｕ∂/∂ｖ，∂/∂ｙ＝３∂/∂ｖ
問題３ (1) および (2) の略解
Ｈ（０，０） ＝ （成分は順に４，−８，−８，４）： 極大とも極小ともならない
Ｈ（１，１） ＝ （成分は順に１６，−８，−８，１６）： 極小となる
Ｈ（−１，−１） ＝ （成分は順に１６，−８，−８，１６）： 極小となる
問題１ (3) 例えば次のように答えればよいでしょう。
ある正数 ｒ であって，もちろん、これ以外にも正解となる文は沢山あります。例えば 「ある正数 ｒ が存在して，０＜｜ｘ−ａ｜＜ｒ となる任意の実数 ｘ に対してｆ（ｘ）＜ｆ（ａ） となる」 でも構いません。しかし 「ある実数 ｒ が存在して，０＜｜ｘ−ａ｜＜ｒ となる任意の実数 ｘ に対してｆ（ｘ）＜ｆ（ａ） となる」 としたものは，論理的に異なることを述べているので不正解です。実際 ｒ≦０ のときには，条件 「０＜｜ｘ−ａ｜＜ｒ となる任意の実数 ｘ に対してｆ（ｘ）＜ｆ（ａ） となる」 は真になります。従って，例えば ｒ＝０ と取ることによって，「ある実数 ｒ が存在して，０＜｜ｘ−ａ｜＜ｒ となる任意の実数 ｘ に対してｆ（ｘ）＜ｆ（ａ） となる」 は，如何なる関数 ｆ（ｘ） と如何なる点 ａ についても成立することになります。
０＜｜ｘ−ａ｜＜ｒ を満たす任意の実数 ｘ に対して
ｆ（ｘ）＜ｆ（ａ） となるものが存在する。
9月 2日 期末試験に関するコメント
問題３ (2) ですが，ヘッセ行列の性質と極大極小の関係が正しく把握できていない人が見られました。もし，この関係が分からなくなってしまったら，例えば，関数 ｚ＝ｘ2＋ｙ2 の原点でのヘッセ行列を書いてみて，この関数が原点で極小となるという事実と突き合わせてみると良いでしょう。また，関数 ｚ＝ｘｙ の原点でのヘッセ行列を書いてみて，この関数が原点で極小とも極大ともならないという事実と突き合わせてみると良いでしょう。
問題３ (2) では，ヘッセ行列と極値に関する一般的な事柄を答案に詳しく書いても，この問題の場合に得られた結果が正しいことが論証されるわけではありません。むしろ (1) で得られたヘッセ行列について，例えば行列式や跡を具体的に調べ，その結果に基づき，一般論を引用して論証しつつ，結論を導くという方向で答案を書くのが良いでしょう。
行列式と跡（トレース）という２つのデータのみによる極値判定は二変数関数の場合に特有なものです。三変数以上の場合に，二変数の場合の判定条件を形式的に当てはめると誤った結論に至ってしまいますので，注意してください。
9月 4日 期末試験に関するコメント
記述式問題である問題３ (2)，問題４，問題５について，注意事項に従っていない答案は程度に応じて減点しました。なかには，字が雑で式が正確に読み取れないものがあり，これについては遺憾ながら零点としました。
関数に関する語句：
× すべての実数上の関数
○ すべての実数に対して定義された関数
○ すべての実数全体の集合 Ｒ 上の関数
関数 ｆ(ｘ) の第 ｎ 次導関数の記号：
○ ｆ (n)(ｘ)
× ｆ n(ｘ)
× ｆ(ｘ) n
9月 4日 問題４に関するコメント（9月7日加筆修正）
問題４は，まともに解けている答案が数えるほどしかなく，非常に残念な結果となりました。テイラーの定理を具体的な関数に適用する問題は，学期中に小テストで取り扱い，詳しい模範解答と講評を配布して注意を喚起したにも関わらず，このような結果となり，まことに遺憾です。
テイラーの定理の内容を一般的な形で答案に書いただけでは点数はありません。与えられた関数にテイラーの定理を具体的に適用してはじめて点数になります。また，テイラーの定理を適用する際に 「存在する」 という語句を適切に使用するように指示してありますので，この指示に従っていない答案は不正解です。問題文には 「ラグランジュの剰余項を評価することによって」 との指示もありますので，剰余項（の絶対値）を不等式で評価する式の書かれていない答案は不正解です。
テイラーの定理を適用する際に，定理の条件を満たす ｃ の値（あるいは θの値）は，ｘ の値にも ｎ の値にも依存します。つまり，ｘ の値と n の値を固定すると，それに対して定理の条件を満たす c の値が存在しますが，ｘ の値や ｎ の値が違えば，定理の条件を満たす c の値も一般には違う値になってしまいます。ですから，あたかも ｘ や ｎ に無関係に ｃ の値が決まっているかのように読み取れる答案は不正解です。
この点については，授業でも注意しましたし，小テストの講評でも指摘されていましたが，期末試験で同じ轍を踏む答案があったことは非常に残念です。（せっかく小テストをして注意を喚起したのに！）
例えば，一般の ｘ についてテイラーの定理を適用した形の式を書き，その式に 「ｘ＝π を代入する」 と書くのは，上記の理由により不適切です。 まず ｘ の値を π に固定してテイラーの定理を適用すべきです。 ただし，ｘ＝π とは限らずに ｘ の値を一つ固定してテイラーの定理を適用し，剰余項を ｃ に依らない不等式で評価することによってテイラー展開の ｎ→∞ における極限が存在することを示した上で，特に ｘ＝π の場合を考えるというのであれば，きちんとできていれば正解になります。（途中で ｘ と ｎ に依存する ｃ が現れたとしても，議論の末に得られた式が ｃ に依らなければ，その式で ｘ＝π を代入するのは構いません。）
例えば，「cos ｃ は定数だから」 として計算を進めた答案も，上記の理由により不正解です。また，「｜ｆ 2n+2(ｃ)｜＝｜± cos ｃ｜＜１ だから ｜ｆ 2n+2(ｃ)｜ は ｎ→∞ のとき収束する」 とした答案がありましたが，これは正しくありません。テイラーの定理を利用して ｎ→∞ のときの極限値を考える際には，｜剰余項｜≦（ｎの式）の形で剰余項を評価し，ｎ→∞ のとき （ｎの式）→０ となることを示すのが基本的な方法です。ただし，上記の理由により，（ｎの式）は ｃ を含んでいてはいけません。
この問題の場合，ラグランジュの剰余項の形は ｆ 2n+2(ｃ) ｘ2n+2／(2n+2)！ などとなりますが，ｘ2n+2 を忘れた答案がありました。このように，剰余項の形が間違っているものは当然ながら不正解です。 また，剰余項 Ｒ2n+2 の値は正であるとは限りません。（事実として，剰余項は正負の値を交互に取ります。従って，評価に際して ０＜Ｒ2n+2 とするのは誤りで，絶対値を取ってから評価すべきです。（絶対値を取らずに上下から評価しても構いませんが，スペースと労力の無駄です。）
テイラーの定理を適用する際に，剰余項を o(x2n) と書いている答案がありました。記号 o(xn) は剰余項を表すための記号ではなく，ｘ→０ での関数の振る舞いを記述する記号ですので，テイラーの定理を適用する際に使用するのは不適切です。
テイラー展開の ｎ→∞ における極限をはじめから用いて示そうとした答案がありましたが，これは不正解です。なぜなら，テイラー展開は ｎ→∞ のときに収束するとは限らず，収束する場合についても，それを示すため通常はテイラーの定理を利用して剰余項を評価する必要があるからです。
ただし，すでに述べたように ｘ の値を一つ固定し、テイラー展開の ｎ→∞ のときの極限が存在することを剰余項の評価によって示し，特に ｘ＝π の場合を考えるというのであれば，きちんとできていれば正解になります。
いわゆる 「はさみうちの原理」 に相当することは，大学の微分積分では日常茶飯事なので，きちんと運用できていれば，いちいち 「はさみうちの原理により」 と断らなくても結構です。答案に 「はさみうちの原理により」 と書くのは，間違いではありませんが，いかにも高校生の答案のような感じがしますので，やめましょう。
数列の極限を論じる際には，予想される極限値 λ に対して，差の絶対値 ｜ａ ｎ−λ｜ を不等式で評価するのが基本です。 この問題の場合も，上に述べたように，
｜第 ｎ 項までの和 −（−１）｜＝｜剰余項｜≦（ｎの式）という形で評価し，右辺の（ｎの式）が ｎ→∞ のとき ０ に収束することを示せば良いわけです。右辺の（ｎの式）が ｃ を含んでいなければ，途中の ｜剰余項｜ が ｃ を含んでいても問題は生じません。このようにすれば，答案の記述も簡潔で明解なものになるでしょう。
｜第 ｎ 項までの和 −（−１）｜≦（ｎの式）→０ となることが言えた段階で直ちに （第 ｎ 項までの和）→ −１ が言えたことになります。このあと （第 ｎ 項までの和）＝（−１）−（剰余項） と変形して極限を取るのは無駄です。
9月 6日 問題５に関するコメント（9月7日加筆修正・9月23日訂正）
極限値は存在し，その値は ０ となります。従って，０ が極限値であることを答案で証明すれば良いのですが，それを実行するに際して、不等式の扱いに工夫が要る問題です。ほとんどの答案は，安易な変形で誤った不等式を導いていましたので，その段階で不正解となりました。
εδ論法を誤解している答案が若干見られました。例えば 「任意の正数εに対して，正数 δ であって， ０ ＜ || (ｘ ，ｙ)−(０ ，０) || ＜δ となり ｜ｆ (ｘ ，ｙ)−０｜＜ε となるものが存在すれば良い」 と書いている答案がありましたが，これは正しくありません。正しくは 「任意の正数εに対して，正数 δ であって， ０ ＜ || (ｘ ，ｙ)−(０ ，０) || ＜δ ならば ｜ｆ (ｘ ，ｙ)−０｜＜ε となるものが存在すれば良い」 です。ただし，εδ論法による極限の定義そのものを答案に書く必要はありませんし，書いても点数になりません。
εδ論法による証明を行う際には，何はともあれ，答案の冒頭に 「ε＞０ とする。」 と書きます。（もちろん，これに匹敵する別の文言でも構いませんが，簡潔明瞭に 「ε＞０ とする。」 と書くことを推奨します。）次に，都合の良い δ の値を ε を用いて与え，その値が正であることを確認します。（どのように δ を与えれば都合が良いかは下書きの段階で考えます。答案に書いても点数になりません。）その上で，点 (ｘ ，ｙ) が ０ ＜ || (ｘ ，ｙ)−(０ ，０) || ＜δ を満たすと仮定します。この仮定のもとで，｜ｆ (ｘ ，ｙ)−０｜＜ε となることを示せば証明の完成です。
このような証明の流れが読み取れる答案については，たとえ計算が間違っていても，部分的に点数を与えました。
証明の途中で極座標を利用するのは構いませんが，δ が ｒ や θ や ｘ や ｙ に依存していてはいけません。なお，この問題の場合，極座標を利用して解くとすれば，ｘ2＋ｙ2≦１ のときに ｜ｙ｜≦１ となり，よって ｘ2＋ｙ4≦ｘ2＋ｙ2≦１ となることに注意して，ｘ＝ｒ cos θ，ｙ2＝ｒ sin θ となるような ｒ，θ を取って議論するとよいでしょう。（もっとも，極座標を用いたからといって解くのが容易になるわけではなく，極座標を用いても用いなくても，解答に大した違いはありません。）
「ｒ→０ のときの極限値が θ に依らないので，(ｘ ，ｙ) → (０ ，０) のときの極限値が存在する」と書いた答案がありましたが，これは正しくありません。（その理由は授業で反例を挙げて詳しく説明しました。）
講義予定（夏学期）
講義の進行によっては、予定を変更する可能性があります。
演習日程： 4月18日（木），5月2日（木），5月16日（木），5月30日（木），6月13日（木），6月27日（木）