この授業は、理科�砧爍横諺函腺械柿箸鯊仂櫃箸掘�基礎理論を重視する微分積分学の講義と演習です。木曜4限の講義は531教室で、火曜4限の演習は523教室で行います。
連絡事項
12月4日
講義予定を変更しました。
11月13日
証明を行う際には、与えられた仮定を利用して示すべき結論を論証するという形式で述べること。
11月8日(演習について)
問題9.2について、どのように答えれば良いのかという質問がありました。質問したい気持ちはわかりますが、問題の数学的な内容を考慮して、どのように答えるのが望ましいのかを考えるのも問題のうちでしょう。
10月26日(演習について)
演習問題 8.3 (1) についての確認
積分する区間: [0,1]
被積分関数: cos2(πx /2)
原始関数の一つ: F(x) = x/2 + (sin πx)/(2π)
積分する区間: [0,π]
被積分関数: (1/π)cos2(x/2)
原始関数の一つ: F(x) = x/(2π) + (sin x)/(2π)
9月20日(期末試験について)
さらに気が付いた点について述べます。
問題5の条件 (B) は次のようなものでした。
(B) 任意の実数θに対して, ある正数δが存在して, 0≦t<δとなる任意の実数tに対して (a+t cosθ,b+t sinθ)∈S となる。従って、(1) で条件 (B) が成立することを示すに当っては、条件 (B) で述べられている順序に従って、まず「θを実数とする」と書き、その次に「正数δをどのように取るか」を述べるべきです。 これが明確になされていない場合には、条件 (B) の論理的内容を正しく理解して答案が書かれているのかどうかが文面から読み取れませんから、不正解として扱いました。
問題5の条件 (A) に現われる「内点である」という条件を内点の定義に従って書き下せば、条件 (A) は次のように述べられます。
(A)′ある正数δが存在して, 任意の実数θおよび0≦t<δとなる任意の実数tに対して (a+t cosθ,b+t sinθ)∈S となる。これを条件 (B) と見比べてみると、条件 (B) では、正数δの選び方が実数θによって違っていても良いのに対して、 条件 (A)′では、実数θによらず同一の正数δが取れなければなりません。 条件 (A)′が成立すれば条件 (B) も成立しますが、条件 (B) が成立したからといって条件 (A)′も成立するとは限りません。
問題1(A) の求める範囲は、それぞれ (1) 0≦a (2) 0<a となるので、これらを数直線上に図示すれば正解です。 そのほかの解答、例えば (2) を x≦a としたものなどは不正解です。
問題3(1) の仮定は (x,y)≠(0,0)ですから、x≠0 かつ y=0 となる場合があります。これを考慮せずに不等式を扱ったものは不正解です。
問題3(2) では、求めるべき偏微分係数は fx(0,0)=0, fy(0,0)=0 ですが、 偏微分係数の定義に基づいて計算して求めなければなりませんので、(x,y)≠(0,0)のときに fx(x,y) と fy(x,y) を計算し、それらの (x,y)→(0,0)での極限値を計算した答案は不正解です。 なお、関数 fy(x,y)は原点で不連続です。
問題3(3) では「f(x,y)が全微分可能ならば・・・・となる。そこで・・・・を示す。」という流れで書かれた答案が若干見られました。 ・・・・の部分が正しく書かれていれば、この文章の前半で言っていることは間違いではありませんが、この問題では f(x,y)の全微分可能性を示すことが問われているのですから、述べるべき因果関係が逆です。 例えば 「・・・・となるならばf(x,y)は全微分可能である。そこで・・・・を示す。」 「f(x,y)が全微分可能となるためには・・・・となればよい。そこで・・・・を示す。」 などと書くべきです。
講義予定
各週の講義内容については、進行状況によって変更する可能性があります。
冬学期
木曜4限の講義は531教室で、火曜4限の演習は523教室で行います。
理科�砧爐凌�学�気旅峙舛砲蓮⊃�学�毅舛反�学�毅造瞭鷦鑪爐�あり、
数学�毅繊� 実数の性質やεδ論法といった基礎理論を重視する
数学�毅臓� 実際の例や具体的計算を数多く扱うことに重きをおく
数学�毅舛反�学�毅造琉磴い蓮�講義に際して重視する方向性の違いにありますから、数学�毅舛里曚Δ�難しいとは言えませんし、数学�毅造老彁擦靴�しないというわけでもありません。 数学�毅造任癲⊆尊櫃領磴箒饌療�計算を扱うに際しては、きちんとした論証を行うことが求められるでしょう。 これに対して、数学�毅舛任蓮⊇�概念の意味を深く掘り下げ、定理や公式そのものを論理的に理解することに重点がおかれるでしょう。
以下の書籍を参考書としてあげておきます。
難波 誠『数学シリーズ 微分積分学』(裳華房)
杉浦光夫『解析入門�機戞陛豕�大学出版会)
三村征雄『微分積分学�記供戞粉簀判馘后�
杉浦光夫『解析入門�機戮麓蠍気肪屬い読�要に応じて参照するのに良いでしょう。 三村征雄『微分積分学�記供戮歪牝匹靴匿�学的内容を理解するのに良いでしょう。 どうしても「教科書で勉強したい」という人には、難波 誠『数学シリーズ 微分積分学』を薦めます。 いずれにしても、現在の東京大学の数学�気離轡薀丱垢砲蓮△覆�なか合致しません。
数学�汽轡薀丱后瞥�科�砧燹�
理科�砧爐紡个垢訖�学�気旅峙粗睛討漏砧�以下の通りである.
予備知識としては高校の数学�靴瞭睛討魏渉蠅垢襦�
目安として1〜3を夏学期,4〜6を冬学期で学習するが,順序や進め方は担当教員によって異なることがある.
実数の連続性と数列の極限:高校では実数列の収束を感覚的に把握したが,ここでは「実数の連続性」を説明し,それに基づいて数列の収束や極限の概念をより正確にとらえる.これによって種々の数列や級数が収束する条件が明らかとなる.またこの定式化により,「連続関数に関する中間値の定理」や「連続関数が有限閉区間で最大値・最小値をもつこと」などの性質が自然に導かれることを見る.
1変数の微分:1で定義した概念に基づいて1変数の関数の微分を正確に定義し,その基本的な性質を論じる.初等関数(指数関数・三角関数)の微分,合成関数・逆関数の微分,関数の増減,平均値の定理,2階微分と凸性,高階の微分,テーラーの定理,テーラー展開(関数のベキ級数による表示)を中心に学ぶ.また接線などの幾何学的概念や,速度や加速度といった物理量との関連にも触れる.
多変数の微分:2変数の場合を中心に,多変数の関数の偏微分と合成関数の微分,およびその応用を学ぶ.特に全微分の定義とその可能性,偏微分の順序交換,多変数関数のテーラー展開や極大・極小問題,曲面の接平面などについて考える.
1変数関数の積分:密度分布から全体の量を求める方法(区分求積法)である定積分の性質を論じる.定積分を行なう区間の端点を動かすことによって不定積分を導入し, 「不定積分はもとの関数の原始関数である」という微分積分学の基本定理を得る.不定積分の発展として,変数分離型など簡単な微分方程式について,その意味と応用例を考える.積分の計算法(部分積分と置換積分)や具体的計算(指数関数・対数関数・三角関数・逆三角関数・有理関数)にも時間を割く.
多変数関数の積分:2変数の場合を中心に多重積分を扱う,区分求積によって多重積分を定義し,1変数積分の繰り返しによる累次積分として表示する.またヤコビ行列式を用いた変数変換公式(極座標・円筒座標による計算)とその応用(面積・体積・質量など)について論じる.
無限級数と広義積分:ベキ級数など関数列の収束(判定条件,収束半径)や一様収束について学び,極限と微分・積分の順序交換がどのような場合に許されるか考察する.さらに応用上重要な広義積分(無限区間での積分・区間の端で発散する関数の積分)とその応用について論じる.
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→ |
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こと |
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して, |
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して x≦u−ε となる。 |
小テスト2の答案に見られた点についてコメントします。
問(1)(2)で論理記号∀∃→を用いて答えた答案がありましたが、特に指示のない限り、試験の答案は自然な文章になるように答えるものです。 論理記号は使わないで答えましょう。
証明問題の答案の最後に「よって題意は示された。」と書くことは、受験参考書などではよく見られますが、適切な表現とは思えません。 証明問題は、与えられた条件の下で示すべき主張を論証できるかどうかを見るものですから、端的に言えば、与えられた条件の下で示すべき主張を「示せ」というのが題意です。
一般に、証明は定義に基いて行うものですから、問(1)(2)の答に基いて問(4)を答えるべきです。強いて言えば、「問(1)(2)の答に基いて問(4)に答えてください」というのが、この問題の「題意」ということになります。
なかなかオリジナリティーあふれる書き方の答案も見られますが、オリジナリティーは答案の書き方で発揮するのではなく、もっと有意義なところで発揮してください。 決まりきった書き方を強要されるのは窮屈かも知れませんが、これは致し方ありません。
私が望ましいと考える学習態度について述べます。
授業終了後に個人的に質問に来る人があとを絶ちません。 授業内容に関わる質問かどうかは聞いてみないと分からないので、質問に来た人の話は聞くようにしていますが、授業内容に関わる質問は授業中にしてください。 授業中に質問する時間がなかった場合は、質問内容をメモしておいて、次回の授業の冒頭で質問してください。
授業中に口頭で述べたことを聞きそびれているケースが多いように思われます。ノートを取りながら、話もしっかり聞くようにしてください。また、それができるようになってください。
口頭の説明で済ませるのではなく、黒板にちゃんと書いて欲しいという意見もあるでしょうけど、それをすると、なおさら板書量が増えてしまい、ともすれば授業範囲を終えることができなくなります。 私は現在の板書量は適切であると考えています。
「任意の」「存在する」を含む条件や主張の否定の仕方については、4月の授業のなかで例をあげて繰り返し説明しましたし、演習の小テストでもやりましたので、すでに問題なくできるようになっているものとして先に進んでいます。 よくわからないという人は、各自で意味を考えながら、4月の授業内容をよく復習してください。
「局所的に最大」と「極大」の違いについては、感覚的にも論理的にも理解できるように図を用いて口頭で説明し、そのうえで得られた結論を板書しました。 これについては授業で十分に説明したと思いますので、よくわからないという人は、各自でノートの図を見ながら意味をよく考えて理解してください。
授業中に述べましたが、授業では主として二変数関数の場合を扱います。 二変数関数の場合が正確に理解できれば、一変数関数でも三変数以上の関数でもほとんど同様だからです。 そのうえで一変数関数について成立する事柄を詳しく調べ、それを利用して多変数関数を調べていきます。 その際に、一変数関数の場合が理解できたからと言って、二変数以上の関数でも同様であるとは言えませんので、注意してください。
本日の講義の例(1)の証明で、δ=εと取ったあと、δ>0であることを書くのを忘れたような気がするので、忘れていたら追加してください。 取り方からδ>0なのはあたりまえですが、確認すべき条件の一つですから、述べておくべきなのです。
本日の講義の定理の証明のなかの条件 (i)(ii) を念のため書いておきます。
(i) 任意の x ∈ I2(-)∩K に対して、ある y∈ I2(+)∩K が存在して f(x)≦f(y) となる
(ii) ある x ∈ I2(-)∩K が存在して、任意の y∈ I2(+)∩K に対して f(x)>f(y) となる
言うまでもないことですが、演習問題に取り組む際には、まずは講義で説明した内容を復習し、講義でやってみせた方法を素直に適用してみてください。 これは数学の学習の基本です。 黒板発表や小テストの出来具合いから判断する限り、それをしていない人が非常に多いと思われます。
記号 ||(x,y)−(a,b)|| を「(x,y)と(a,b)のノルム」と読むのが間違いであることは、以前の発表の際に指摘しましたが、今日もまた同じ間違いが見られました。 このように、同じ間違いを繰り返すことが多々見られますので、過去の講評をしっかりと活用して、間違いを繰り返さないようにしてください。 なお、言うまでもないことですが、演習での発表内容と講評内容はノートに取って活用してください。
演習問題の模範解答の配布は教育的配慮により行いません。
演習問題は、講義で説明した内容を理解し、講義でやってみせた方法を素直に適用すれば解ける問題と、それに高校で学んだ知識を加え、若干の機転を効かせれば十分に解ける問題からなっていますから、模範解答が必要なレベルのものではありません。
黒板発表に対する講評や添削によって、陥りやすい勘違いなどを把握し、数学的な内容の理解を深めることができます。
模範解答を通じて答案の書き方を学びたいという人のために、小テストで出題した分については模範解答を出していますから、十分に参考にしてください。 また、講義で配布したプリントの記述も参考になるでしょう。
演習問題で出題した問題は期末試験には出題しませんから、演習問題の解答を手にいれても直接的な期末試験対策にはなりません。
どうしても解答のある問題を解きたいという人は、難波 誠『数学シリーズ 微分積分学』(裳華房)などの参考書を購入して、そこに掲載されている問題を解いてください。 (だからといって演習をやらなくて良いというわけではありません。)
「解答がないと不安になる」という人は学習が不足しているか、または学習の方向性を誤っています。 自分の解答の正誤が自分で判断できるようになることを目指して着実に学んでください。 それでも、自分の解答に100%の確信が持てるまでにはなかなか至りませんが、それは健全な証拠です。 むしろ、模範解答を無批判に受け入れることは非常に不健全ですから、模範解答を手にいれることで不安を解消しようとするのは間違っています。
すでに述べた通り、演習の成績は基本的に小テストのみで付けます。
夏学期講義内容
各週の講義内容については、進行状況によって変更する可能性があります。
夏学期