2010年度数学Ⅰ

松尾担当（理科ⅡⅢ類）

随時更新 2009年度数学Ⅰ 2011年度数学ⅠＡ

連絡事項
- ２０１１年４月９日
  - 冬学期期末試験の追試験は４月２７日（水）１限に行われる予定です。
- １２月２４日
  - 板書した関数 (sin x)/x のグラフの形状が間違っていましたので修正してください。左端は原点ではなく、点 (0,1) から始まり、減少して (π,0) に至ります。この部分のほかは板書のままで大丈夫です。
- １２月２０日
  - 練習問題６について授業終了後に質問がありました。
    質問内容は「問題6.5(1)はどのように考えればよいか」というもので、それに対する私の答は「とにかくいろいろ試してみること。また、グラフを描いてみて、関数が有界にならない部分すなわち小区間 [0,1/n] に注目すること」というものでした。
  - 演習問題の解法について個人的に答えることは、他の学生に対して不公平ですので、そのような質問は、できるだけ授業中にしてください。
  - なお、一般論として「この問題はどうやって解けばよいのですか」というように、相手に下駄を預けて、はじめから説明させようとする態度は慎むべきです。まずは、みずから試みたことや考えたことに基づいて、何が分からないのか、何を聞きたいのか、自分なりの問題意識をはっきりさせるように質問するのが良いでしょう。

科目概要
- この講義は理科Ⅱ・Ⅲ類１４組～１６組を対象とする微分積分学の講義です。
- この講義は月曜日の１限（９：００～１０：３０）に教養学部５２３教室で行われます。
  （例外的に４月３０日（金）、１２月２４日（金）、１月７日（金）にも講義がありますので注意してください。）
- この講義の教科書として次の書籍を指定しています。
  
  難波　誠著　『数学シリーズ　微分積分学』　裳華房
- この講義の演習は片岡俊孝先生の担当で、ほぼ隔週で木曜４限に７２１教室で行われます。
確認事項
- 遅刻厳禁・私語厳禁です。
- 授業内容で理解できない点があれば、その場で手をあげて大きな声で質問してください。板書の書き誤りに気が付いたら、その場ですぐに指摘してください。
- 大人数に対するレポート等の返却を、個人のプライバシーに配慮しつつ、混乱なく速やかに行うために、名前を呼ばれたら、大きく手を挙げて、大きな声で『はい』と返事してアピールしてください。

講義予定
各週の講義内容については、進行状況によって変更する可能性があります。
４月３０日、１２月２４日、１月７日は金曜日の授業を行わずに月曜日の授業を行います。
- 夏学期
  1. ~~2010/04/19 （月）~~ 数学を学ぶ心構え、受講上の注意、多変数関数とそのグラフ、集合と写像の記法
  2. ~~2010/04/26 （月）~~ 定義域と値域、関数の最大値最小値、集合の上限下限、練習問題１配布
  3. ~~2010/04/30 （金）~~ 実数の連続性、局所的な最大最小、極大極小、鞍点
  4. ~~2010/05/10 （月）~~ 集合の内点、点の近傍、極大極小の厳密な定義、開集合、小テスト１実施
  5. ~~2010/05/17 （月）~~ 関数の極限、偏微分係数、偏導関数、多変数関数の注意点
  6. ~~2010/05/24 （月）~~ 多変数関数の極限と連続性
  7. ~~2010/05/31 （月）~~ 多変数関数の連続、連結集合、中間値の定理
  8. ~~2010/06/07 （月）~~ 有界な閉集合、最大値最小値の存在
  9. ~~2010/06/14 （月）~~ 勾配ベクトルと全微分可能性、変数変換と連鎖律
  10. ~~2010/06/21 （月）~~ 高次偏導関数、偏微分作用素
  11. ~~2010/06/28 （月）~~ 平均値の定理の応用
  12. ~~2010/07/05 （月）~~ Taylor の定理
  13. ~~2010/07/12 （月）~~ 近似値の計算
  14. ~~2010/09/01 （水）~~ 期末試験
  15. ~~2010/10/28 （木）~~ 追試験
- 冬学期
  1. ~~2010/10/18 （月）~~ （自習）
  2. ~~2010/10/25 （月）~~ 原始関数と不定積分
  3. ~~2010/11/01 （月）~~ 変数分離型の微分方程式練習問題５配布
  4. ~~2010/11/08 （月）~~ 区分求積法小テスト３実施
  5. ~~2010/11/15 （月）~~ 区分求積法（続）
  6. ~~2010/11/29 （月）~~ Riemann 積分練習問題６配布
  7. ~~2010/12/06 （月）~~ 微分積分学の基本定理
  8. ~~2010/12/13 （月）~~ 広義積分の収束発散
  9. ~~2010/12/20 （月）~~ 広義積分の計算例・ガンマ関数・ガウス積分
  10. ~~2010/12/24 （金）~~ 重積分練習問題７配布
  11. ~~2011/01/07 （金）~~ Fubini の定理
  12. ~~2011/01/17 （月）~~ 変数変換の公式
  13. ~~2011/01/24 （月）~~ 二次形式と多変数関数の極値問題
  14. ~~2011/02/14 （月）~~ 期末試験
  15. 2011/04/27 （水）追試験

授業内容
この授業は、理科Ⅱ・Ⅲ類用の数学１のシラバス（下に転載）に基づいて行いますが、流れを重視しつつ時間を節約するため、説明する順序を入れ替え項目をまとめ直して行います。
　はじめに多変数関数についての説明から入り、一変数関数と多変数関数を可能な範囲でまとめて扱うことが大きな変更点です。高校数学の復習の部分については、講義の流れの中で折に触れて行います。
　そのような進行で書かれた教科書で手頃なものは残念ながらないようです。そのため、指定した教科書と授業進行にはずれが生じるので、予習の際には注意して下さい。

数学１シラバス（理科Ⅱ・Ⅲ類）

解析学は高校数学Ⅲの微分・積分の発展として位置づけられる．目安として１～４を夏学期，５～７を冬学期で学ぶが，実際の進行や順序は担当教員により異なることがある．
1. 初等関数：指数関数・対数関数・三角関数など高校で学んだ初等関数について復習する．また微分や不定積分の直感的定義を確認し，これらの関数の微分や原始関数を求める．
2. 実数の連続性と極限：実数列の極限は，高校においては直感的にとらえられていた．ここでは実数の連続性を説明し，それに基づいて収束や極限の概念をより正確に，より意識的に把握する．このような正確な把握から，「連続関数に関する中間値の定理」や「連続関数は有限閉区間で最大値・最小値をもつこと」などの性質が自然に導かれることを考察する．
3. １変数関数の微分：２で導入した概念に基づいて１変数関数の微分の定義を再考し，その基本的性質を論じる．合成関数の微分，極大・極小，平均値の定理，テーラーの定理，テーラー展開（関数のベキ級数による表示）を学ぶ．接線などの幾何学的概念や，速度や加速度といった物理量との関連にも触れる．
4. 2変数関数の微分：２変数関数の偏微分と合成関数の微分則，およびその応用を学ぶ．特に全微分の定義とその可能性，偏微分の順序交換，２変数関数のテーラー展開，曲面とその接平面，２変数関数の極大・極小問題について考える．
5. １変数関数の積分：密度分布から全体量を求める区分求積法として定積分を導入し，その基本的な性質を学ぶ．定積分の積分区間の端点を動かすことによって不定積分を再定義し，不定積分が原始関数になっていること（微積分学の基本定理）を確認する．不定積分の応用として，変数分離型など簡単な微分方程式とその適用例に触れる．積分の実際の計算法（部分積分・置換積分）や具体的な計算例（指数関数・対数関数・三角関数・有理関数）も重要である．
6. 重積分：２変数関数に対する重積分を区分求積法によって定義する．重積分を１変数の積分の繰り返しによる累次積分として表示し，面積・体積・重心などの計算を行なう．また重積分における変数変換公式（極座標による表示など）とその応用を論じる．
7. 広義積分：無限区間における積分や区間の端で発散する関数の積分が広義積分であり，実際の応用上非常に重要である．広義積分の収束や発散について論じ，具体例（ガウスの正規分布関数など）を計算する．

過去の連絡事項
- １２月６日
  - 練習問題６の問題訂正
    問題6.5 (2) ・・・＝２を示せ。
- １１月８日
  - 微分方程式の例３の直線全体で定義された解の記述で、任意定数の範囲を黒板に書くのを忘れたので、追加してください。
    (1) （c: 0≦c なる定数） (1)′（d: 0≦d なる定数）
- ９月２４日
  ９月２７日追記
  - 期末試験で比較的よく見られた間違いをあげておきます。
    - 問題１(2)
      描くべき図は「関数のグラフ」になっていないといけません。条件 z≧0 を忘れて z＜0 の部分までも書き込んだ答案は不正解です。
    - 問題３
      関数 f(x) の微分可能性や連続性だけでは示すべき結論は導けません。関数 f(x) の導関数の連続性を用いていないものは不正解です。また、連続性を用いる際に「任意のεに対して」と「あるδが存在して」を書く順番を逆にしたものは不正解です。
    - 問題４
      Lagrange の剰余項の具体的な形を書かずに計算したものは不正解です。
    - 問題５(2)
      関数 f(x,4) が 0≦x≦4 で単調であるとしたものや関数 f(4,y) が 0≦y≦4 で単調であるとしたものは不正解です。
    - 問題５(3)
      点 (1,1) において f(x,y) が極大となることを示し、これを用いて f(1,1) が最大値であることを導こうとしたものは不正解です。
  - 期末試験で不合格となった者は、追試験で合格するよう、しっかり勉強して学力を向上させてください。追試験の難易度は、期末試験と同程度か、やや難しめを想定しています。期末試験に出題した問題は追試験には出題しませんので、夏学期の授業で扱った範囲をすべて勉強し直して追試験に備えてください。
- ５月１０日
  - 授業内容に関する疑問点があれば、授業終了後に個人的に質問するのではなく、必ず授業中に大きな声で質問してください。
  - 平面 R² は平面上の点 (a,b) の近傍です。
- ４月２８日
  成績評価に関係する可能性のあることがらについての質問は、不公平を避けるため、授業時間外に個人的に聞かれてもお答えできませんので、悪しからずご了解下さい。

2010年度 数学Ⅰ

松尾担当（理科ⅡⅢ類）

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