2009年度数学Ⅰ

松尾担当（理科ⅡⅢ類）

随時更新 2008年度数学Ⅰ 2010年度数学Ⅰ

連絡事項
- ３月１６日
  追試験は４月２３日（金）１限に実施される予定です。
  期末試験で残念ながら不合格となった人は、きちんと勉強して、学ぶべきことをしっかりと学び、実力を向上させた上で受験するようにしてください。
- ２月１４日（３月１６日改訂）
  レポートや答案で論理記号を使用しないように指示している点について、若干の説明を書いておきますので、参考にしてください。
  1. 論理記号∀∃∧∨⇒⇔は、板書やメモ書き等では略記法として頻繁に用いられるものの、論理そのものを説明する目的で使用される場合を除き、数学の論文や書籍で用いられることは稀です。実際、この講義で指定した教科書では論理記号はまったく使用されていません。
  2. 論理記号をむやみに多用している答案や、論理記号が適切に使われていない答案は、議論の論理的な流れが文章から読み取れなくなり、採点や添削に支障を来たしますので、レポートや試験の答案では論理記号を使用しないように指示しています。
  3. 日頃の学習でノートに記述をする際には、いたずらに丁寧な文章で書いていると、学習に時間が掛かる上、かえってノートの紙面から意味が読み取りづらくなることもあるので、論理記号を的確に用いることで、見やすくまとまったノートにするのが良いでしょう。
  4. ただし、自分の書いたノートがあとで読み取れなくなって学習に支障を来たすことのないよう、論理記号を不用意に不適切な形で使用したり、むやみに多用したりすることは避け、また学習の要所々々ではしっかりとした文章で数学を記述するように心掛けるのが良いでしょう。
- １月１６日
  期末試験は次の要領で実施される予定です。
  - 日時：２月１２日（金）２限（１０：５５～１２：２５）
  - 場所：１１０２教室
  - 持込：不可
  注意事項
  - 講義が終了してから試験実施までの期間が短いので、早めに準備することを心掛けてください。
  - 収束冪級数は理科II・III類のシラバスにはないので試験範囲からは除外します。
  - 試験問題は概ね冬学期の範囲から出題しますが、夏学期の内容も含めた総合的な問題も出題する可能性があります。
- １２月１４日
  １２月７日にレポートを出せなかった人は、１２月２１日の授業時間中に提出しても構いません。ただし、すでに返却したレポートとの採点上の公平性を確保できないため、本日以降に提出されたレポートはすべて再提出扱いとします。（たとえ１２月７日が病欠であっても特別扱いはできません。レポートを提出しなくても期末試験で普通の成績を獲得すれば成績に影響しないので、このことは特段の不利益ではありません。）
- １２月１４日
  授業終了時のレポート返却の際に、まわりが騒がしかったため、名前を呼ばれたことに気づかなかったとのクレームがありましたので、静粛を保つように注意してください。
- １１月２日
  他の学生の受講の妨げにならぬよう自らの行動を律してください。

科目概要
- この講義は理科２３類１７組～１９組を対象とする微分積分学の講義です。
- この講義は月曜日の１限（９：００～１０：３０）に教養学部５２４教室で行われます。
  （例外的に５月７日（木）と１月７日（木）の１限にも講義がありますので注意してください。）
- この講義の教科書として次の書籍を指定しています。
  
  難波　誠著　『数学シリーズ　微分積分学』　裳華房
- この講義の演習は片岡俊孝先生の担当で、ほぼ隔週で木曜４限に７２４教室で行われます。
確認事項
- 講義中は私語厳禁・遅刻厳禁です。
- 大人数に対するレポート等の返却を、個人のプライバシーに配慮しつつ、混乱なく速やかに行うために、名前を呼ばれたら、大きく手を挙げて、大きな声で『はい』と返事してアピールしてください。

講義予定
６月１８日変更
進行状況により変更の可能性があるので、注意してください。５月７日と１月７日は木曜日の授業を行わずに月曜日の授業を行います。
- 夏学期
  - ~~2009/04/16 （木）~~ — 演習 —
  - ~~2009/04/20 （月）~~ 多変数の関数（P136-139，p157）
  - ~~2009/04/27 （月）~~ 関数の極限
  - ~~2009/04/30 （木）~~ — 演習 —
  - ~~2009/05/07 （木）~~ 関数の極限（続）、
  - ~~2009/05/11 （月）~~ 関数の連続性（P25-27，p138）
  - ~~2009/05/18 （月）~~ 関数の連続性（続）
  - ~~2009/05/21 （木）~~ — 演習 —
  - ~~2009/05/25 （月）~~ 導関数と偏導関数
  - ~~2009/06/01 （月）~~ 導関数と偏導関数（続）
  - ~~2009/06/04 （木）~~ — 演習 —
  - ~~2009/06/08 （月）~~ 多変数の微分可能性（p145-p153）
  - ~~2009/06/15 （月）~~ 変数変換と連鎖律（p149-153）
  - ~~2009/06/18 （木）~~ — 演習 —
  - ~~2009/06/22 （月）~~ 平均値の定理の応用と関数の展開
  - ~~2009/06/29 （月）~~ Taylor の定理と剰余項の評価（p54-61）
  - ~~2009/07/02 （木）~~ — 演習 —
  - ~~2009/07/06 （月）~~ 極値問題の解法（p153-155，p157-164）
  - ~~2009/07/13 （月）~~ 極値問題の解法（続）
  - ~~2009/09/01 （火）~~ 期末試験（２限）
- 冬学期（演習の詳しい日程は未定です）
  - ~~2009/10/05 （月）~~ 原始関数
  - ~~2009/10/08 （木）~~ — 演習 —
  - ~~2009/10/19 （月）~~ 不定積分と微分方程式
  - ~~2009/10/22 （木）~~ — 演習 —
  - ~~2009/10/26 （月）~~ 微分方程式（続）
  - ~~2009/11/02 （月）~~ Riemann 積分（p88-100，p182-195）
  - ~~2009/11/05 （木）~~ — 演習 —
  - ~~2009/11/09 （月）~~ Riemann 積分（続）（p88-100，p182-195）
  - ~~2009/11/16 （月）~~ 微積分学の基本定理（p96）
  - ~~2009/11/19 （木）~~ — 演習 —
  - ~~2009/11/30 （月）~~ 重積分と累次積分
  - ~~2009/12/03 （木）~~ — 演習 —
  - ~~2009/12/07 （月）~~ 積分の変数変換
  - ~~2009/12/14 （月）~~ 重積分の計算
  - ~~2009/12/17 （木）~~ — 演習 —
  - ~~2009/12/21 （月）~~ 広義積分の収束発散（p113-121）
  - ~~2010/01/07 （木）~~ 広義積分の収束発散（続）
  - ~~2010/01/18 （月）~~ 広義積分の計算例
  - ~~2010/01/21 （木）~~ — 演習 —
  - ~~2010/01/25 （月）~~ 補遺
  - ~~2010/02/12 （月）~~ 期末試験（２限）

授業内容
この授業は、理科II・III類用の数学１のシラバス（下に転載）に基づいて行いますが、流れを重視しつつ時間を節約するため、説明する順序を入れ替え項目をまとめ直して行います。
　はじめに多変数関数についての説明から入り、一変数関数と多変数関数を可能な範囲でまとめて扱うことが大きな変更点です。高校数学の復習の部分については、講義の流れの中で折に触れて行います。
　そのような進行で書かれた教科書で手頃なものは残念ながらないようです。そのため、指定した教科書と授業進行にはずれが生じるので、予習の際には注意して下さい。

数学１シラバス（理科II・III類）

解析学は高校数学IIIの微分・積分の発展として位置づけられる．目安として１～４を夏学期，５～７を冬学期で学ぶが，実際の進行や順序は担当教員により異なることがある．
1. 初等関数：指数関数・対数関数・三角関数など高校で学んだ初等関数について復習する．また微分や不定積分の直感的定義を確認し，これらの関数の微分や原始関数を求める．
2. 実数の連続性と極限：実数列の極限は，高校においては直感的にとらえられていた．ここでは実数の連続性を説明し，それに基づいて収束や極限の概念をより正確に，より意識的に把握する．このような正確な把握から，「連続関数に関する中間値の定理」や「連続関数は有限閉区間で最大値・最小値をもつこと」などの性質が自然に導かれることを考察する．
3. １変数関数の微分：２で導入した概念に基づいて１変数関数の微分の定義を再考し，その基本的性質を論じる．合成関数の微分，極大・極小，平均値の定理，テーラーの定理，テーラー展開（関数のベキ級数による表示）を学ぶ．接線などの幾何学的概念や，速度や加速度といった物理量との関連にも触れる．
4. 2変数関数の微分：２変数関数の偏微分と合成関数の微分則，およびその応用を学ぶ．特に全微分の定義とその可能性，偏微分の順序交換，２変数関数のテーラー展開，曲面とその接平面，２変数関数の極大・極小問題について考える．
5. １変数関数の積分：密度分布から全体量を求める区分求積法として定積分を導入し，その基本的な性質を学ぶ．定積分の積分区間の端点を動かすことによって不定積分を再定義し，不定積分が原始関数になっていること（微積分学の基本定理）を確認する．不定積分の応用として，変数分離型など簡単な微分方程式とその適用例に触れる．積分の実際の計算法（部分積分・置換積分）や具体的な計算例（指数関数・対数関数・三角関数・有理関数）も重要である．
6. 重積分：２変数関数に対する重積分を区分求積法によって定義する．重積分を１変数の積分の繰り返しによる累次積分として表示し，面積・体積・重心などの計算を行なう．また重積分における変数変換公式（極座標による表示など）とその応用を論じる．
7. 広義積分：無限区間における積分や区間の端で発散する関数の積分が広義積分であり，実際の応用上非常に重要である．広義積分の収束や発散について論じ，具体例（ガウスの正規分布関数など）を計算する．

過去の連絡事項
- ６月８日
  板書の最後の部分で φ と ψ を書き間違えたような気がするので、念のため下に記します。
  微分可能な関数ｚ＝f（ｘ, ｙ）, ｘ＝φ（ｕ, ｖ）, ｙ＝ψ（ｕ, ｖ）に対して合成関数ｚ＝ｆ（φ（ｕ, ｖ）, ψ（ｕ, ｖ））を考えると
  ∂ｚ/∂ｕ＝ φ_ｕ（ｕ, ｖ）f_ｘ（ｘ, ｙ）＋ ψ_ｕ（ｕ, ｖ）f_ｙ（ｘ, ｙ）
  
  ∂ｚ/∂ｖ＝ φ_ｖ（ｕ, ｖ）f_ｘ（ｘ, ｙ）＋ ψ_ｖ（ｕ, ｖ）f_ｙ（ｘ, ｙ）
- ６月２２日
  名前を呼ばれたら大きく手を挙げて大きな声で返事をするよう、一回目のレポート返却の際に口頭で注意を促しましたが、周知徹底するため、上の確認事項に追加しました。
- ７月６日
  すでにお気づきと思いますが、配布した練習問題４・５の問題 4.3 (1) の式が間違っていたので修正してください。
  f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) ＝ a(x) f⁽ⁿ⁾(x) ＋ b(x) f^(n-1)(x) （＝ 0 は削除）
- ９月２４日
  数学１の夏学期期末試験の追試験は１０月２９日（木）１０：５５から実施されます。
- １０月１９日
  練習問題9.1(5)右辺の分子の訂正： 2y → 2xy
- １０月１９日
  口頭での説明が混乱していたような気がしますので、念のため書いておきます。つるかめ算を方程式で解くときは「鶴がx匹、亀がy匹」などとおきます。足の本数などについて x と y の満たすべき条件を書き下したものが方程式で、そこに現われる x と y を未知数と呼びます。
  同様に、求めたい関数を y=f(x) などとおいて、x と y および導関数 y', y'',...,y⁽ⁿ⁾ が満たすべき条件を書き下したものが微分方程式で、そこに現われる y=f(x) を未知関数と呼びます。

2009年度 数学Ⅰ

松尾担当（理科ⅡⅢ類）

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