2020年度 常微分方程式

松尾担当

• 連絡事項

  • 2020/07/25 採点講評

    採点基準は公表しない。

    • 問題１(1)

      得られた解がすべての解を尽くすことを示す際に，問で指示された定義域が開区間であることと，そこではt≠0であることに留意する必要がある。

      付随する斉次方程式についての問であるのに，もとの方程式を解いた答案が見られた。 変数分離法を用いないよう指示してあるのに変数分離法を用いた答案が見られた。

      どういうわけかx(t)≡0となる解を別に答えている答案が見られた。例えば変数分離法などでは，必要に応じてx(t)=0となる場合を別に考察することがあり，また，問題によってはx(t)≡0のような解を別に答える必要があることもある。 しかし，この問題ではx(t)=0となる場合を別に考察する必要はないし，x(t)≡0となる解を別に答える必要もない。

    • 問題１(2)

      得られた解が問の条件を満たす唯一の解であることを示していない答案については，程度に応じて減点した。

    • 問題１(3)

      計算なしで答の書かれた答案については，たとえ結果が正しくても，点数は与えられない。

    • 問題２

      変数分離法で解く際に平方根を取る箇所があるが，そこで符号が負のものを忘れたために一部の解しか得られていない答案が見られた。 一方，平方根を考える際に，根号の中身は非負でなければならないが，これに気づかず，あり得ない関数を解として答えた答案も見られた。

      直線Ｒ全体でなく一部の区間でしか定義されない関数を直線Ｒ上の解として答えた答案も見られた。

    • 問題３(1)

      導関数の計算に際してx''とx'''を混同するミスが多かった。 日頃から丁寧に書くよう心がけるのが良いであろう。

      はじめから微分作用素を用いて扱えば，計算は非常に簡単となり，しかも間違えにくい。 実際，右辺の関数は方程式(D-I)²x=0の解なので，方程式の両辺に(D-I)²を施すだけでよい。

      微分作用素を用いた計算法については授業で扱ったが，有効に活用していただけなかったのは残念である。

    • 問題５(2)

      問(1)の相流図は描けているが，問(2)の相流図が間違っている答案が多かった。 行列Pの定める変換による基本単位ベクトルの行き先の確認を怠り，固有ベクトルの張る直線だけに注目して安易に図を描いたためと思われる。

      行列Aの定めるベクトル場を計算用紙に図示すれば，そこから相流を視覚的に読み取ることにより，そのような間違いに気づくことができたであろう。

      固有ベクトルで張られた直線上の相流は，直線の方向ベクトルまたは直線の方程式を記入するなどして正確に描かなければならない。

    • 問題６(2)

      絶対値のついた関数の導関数の計算で間違えた答案が多かった。 絶対値の中身の正負で場合分けして計算するだけのことだが，それを怠ったためと思われる。

    • そのほか

      説明が不足している答案については，書くまでもないから説明を省略したのか，説明できないから書かなかったのか，答案の文面からは区別がつかない。 前者であったとしても，きちんと理解しているのか，理解した気になっているだけなのか区別がつかない。 従って，説明が不足している答案については，たとえ答が正しくても点数が与えられないことがある。 また，注意事項に記した指示に反している答案については，程度に応じて減点した。 そのような答案は，自分ではきちんと書いたつもりであっても，採点者が文面から内容を正確に読み取れなくなっていることが多く，その場合には，たとえ答が正しくても点数が与えられないことがある。

  • 2020/04/08
    • この授業はオンラインで行い、諸連絡は ITC-LMS のお知らせ機能を利用して行います。この授業の ITC-LMS のURL は UTAS のシラバスに記載されています。
    • 現在のところ、講義そのものは事前に準備した動画ファイルの視聴で代替し、ITC-LMS の掲示板を利用するオンデマンド方式のオンライン授業にするつもりです。講義時間をどう活用するかについては考慮中です。

• 科目概要

  • この授業は２年理科生向けの常微分方程式の講義です。 文科生も履修できます。理科生についてはクラス指定により理科II・III類 1—2, 5, 7—11, 17 組が対象となります。

  • シラバスに書かれた授業の目標、概要は次の通りです。

    種々の量の時間発展は，多くの場合，常微分方程式を用いて記述できる．また，電柱の間にぶら下がった電線の形状や屈折する光の経路をはじめ，さまざまな曲線の幾何学的性質を常微分方程式によって特徴付けることができる．常微分方程式は，自然科学や工学，社会科学などの多くの分野で重要な役割を演じている．この講義では，常微分方程式の理論的基礎を学ぶとともに，幾つかの重要な具体例を取り上げ，それぞれの方程式の解法と解の性質について解説する．これらの内容の理解には，微分積分学，および線型代数学で学んだ固有値・固有ベクトルに関する基礎知識が必要となる．したがって，本講義はこれらの知識の総合的応用篇であるとともに，進んで偏微分方程式論を学ぶための入門篇でもある．
    
    授業のキーワード：常微分方程式、特殊解、一般解
    変数分離形、一階線型常微分方程式
    全微分方程式、べき級数、ジョルダン標準形
    定数係数線型常微分方程式系
    自励系、ベクトル場、積分曲線、平衡点
    解の安定性、解の存在と一意性、逐次近似法
    

  • この講義は、木曜日の１限（８：３０〜１０：１５）にオンラインで 行います。

  • この講義は常微分方程式のシラバスの授業計画 （下に転載） に基づいて行います。

  • この講義の成績は期末試験によって判定します。講義のなかで小テストやレポートなどを課すことがありますが、これは純粋に教育目的で行うものですので、その点数・評価は成績には影響しません。 成績判定方法は未定です。 成績はレポートと期末試験によって判定します。

  • この講義の参考書として、以下の書籍を挙げておきます。

    1. 荒井 迅「常微分方程式の解法」共立講座 数学探検 15　共立出版
    2. 渋谷仙吉・内田伏一「常微分方程式」物理数学コース　裳華房
    3. 谷島賢二「数理物理入門」基礎数学11　改訂改題　東京大学出版会
    4. バージェス・ボリー「微分方程式で数学モデルを作ろう」日本評論社
    5. 坂井秀隆「常微分方程式」大学数学への入門　東京大学出版会
    6. E.A. Coddington: An introduction to ordinary differential equations. Dover.

    書籍1は最近出版されたものですが、この授業の立場に近いと思います。書籍2は理工系向けの常微分方程式の伝統的な講義内容に沿った標準的な教科書です。書籍3では、常微分方程式を扱っている部分はわずかに第一章のみですが、理論的内容がうまく手短にまとめられています。書籍4は諸科学への非常に具体的な応用例を通じて微分方程式を学ぼうという興味深い本です。常微分方程式を徹底的に学んで極めたいという方には書籍5を薦めたいと思いますが、実際に読み通すには尋常ならざる努力を要する上に，基礎的な部分で複素関数論を用いているなど、予備知識があったほうが理解しやすい面が散見されるので、もう少し学習が進んでから取り組むほうがよいでしょう。 最後に、書籍6は古典的な入門書です。この講義を行うにあたり，特に講義の前半部分で参考にしました。

• 講義予定（夏学期）
  講義の進行によっては、予定を変更する可能性があります。

  教養学部授業日程

  1. 2020/04/09 （木）  オンライン授業の準備
  2. 2020/04/16 （木）  オンライン授業の準備
  3. 2020/04/23 （木）  第１回　常微分方程式への入門
  4. 2020/04/30 （木）  第２回　一階線型方程式   — 従属変数の変換・定数変化法
  5. 2020/05/07 （木）  第３回　変数分離形方程式   — 変数分離法・微分形式
  6. 2020/05/14 （木）  第４回　定数係数二階線型方程式   — 特性方程式・定数変化法・Wronski 行列式
  7. 2020/05/21 （木）  第５回　定数係数高階線型方程式   — 特性方程式・微分作用素・一般スペクトル分解
  8. 2020/06/04 （木）  第６回　変数係数高階線型方程式   — 解の存在と一意性・巾級数法
  9. 2020/06/11 （木）  第７回　一階方程式系の初期値問題   — 解の存在と一意性・逐次近似法・Lipschitz 条件
  10. 2020/06/18 （木）  第８回　定数係数線型方程式系   — 行列の指数関数・一般固有空間分解・定数係数線型方程式系の解の表示
  11. 2020/06/25 （木）  第９回　Jordan 標準形とその応用   — ジョルダン標準形・ジョルダン基底・定数係数方程式系の解の表示
  12. 2020/07/02 （木）  第１０回　ベクトル場と積分曲線   — ベクトル場と自励系・積分曲線と相流図・定数係数方程式系の解の挙動
  13. 2020/07/09 （木）  第１１回　自励系の解の挙動   — 方程式系の平衡点・平衡点の安定性・平衡点における線型化・全微分方程式・保存量と保存系
  14. 2020/07/16 （木）  期末試験
  15. 2020/08/03 （月）  レポート提出締切

• 注意事項

  • 遅刻厳禁・私語厳禁です。

  • 授業中の写真撮影は禁止です。

  • 授業中の携帯電話・スマートフォン・パソコン等の使用を禁止します。

  • 授業内容に関わる質問は授業中にお願いします。授業内容で理解できない点があれば、その場で手をあげて大きな声で質問してください。 板書の書き誤りに気が付いたら、その場ですぐに指摘してください。

• 授業計画
  
  シラバスに書かれた授業計画を転載しますので、参考にしてください。

  講義内容はおおむね以下の通りであるが，担当教員によっては順序や内容に一部変更が加えられる場合がある．

  1. 常微分方程式の基礎
     常微分方程式を考える動機や，特殊解・一般解など常微分方程式に関する基礎概念について，具体例を用いて解説する．
  2. 常微分方程式の解法
     変数分離型の常微分方程式や，１階線型常微分方程式など，具体的に解が求まる簡単な常微分方程式の解法を解説する．全微分方程式にも触れる．また，べき級数による常微分方程式の解法を解説する．
  3. 定数係数線型常微分方程式系
     定数係数線型常微分方程式系の具体的な解法について，例を交えて解説する．そのために必要となる，行列の対角化の一般化であるジョルダン標準形の理論についても触れる．
  4. 自励系の常微分方程式
     自励系の常微分方程式をベクトル場とみなすと，解はその積分曲線となる．その曲線の基本的性質を調べる．また，自励系の常微分方程式の平衡点の近傍における解の安定性について解説する．
  5. 解の存在と一意性定理
     常微分方程式の解の存在と一意性についての定理を逐次近似法を用いて示す．また，解の大域的な存在や一意性が成り立たない例について触れる．

• 過去の連絡事項