数学I (Aコース)+演習
（２０１０年４月から２０１１年１月） Last modified: 2011/1/24

担当　平地 健吾 (研究室は数理科学研究科521)

このページでは数学I (Aコース; １年生理 I) の講義メモをのせます。 参考書： 「微積分学」難波誠著 (裳華房) 一冊しか買わないならこちらを推薦します 「微積分 I」金子 晃著 (サイエンス社) 場所： 講義 721教室 時間：木曜 14:40--16:10

・ディリクレ積分の収束性 ・広義一様収束する関数列の広義積分との順序交換
・ガンマ関数の収束と x Γ(x)=Γ(x+1)の証明
・ゼータ関数の積分表示

・アーベルの連続性定理：log 2とarctan 1の級数表示
・微分方程式の解としてえられるベキ級数 (二項級数展開の計算)
・一変数の広義積分：x^mの広義積分の収束性の分類
・e^(-x^2)は実数全体で広義積分可能

範囲は積分のみです

・上極限と下極限の定義
・収束域の形と収束半径の計算公式（コーシー・アダマール）
・ベキ級数の項別微分可能性
・テイラー級数の収束のための条件

・関数列の極限と微分の順序交換
・級数をもちいた指数関数の定義
・級数の一様収束性の判定：優級数判定法
・ベキ級数の定義と収束域
・ベキ級数の項別積分

・級数Σ log(x) n^(-s)の収束の積分を用いた判定
・関数列の収束と一様収束性
・一様収束性しない関数列の例: x^nと幾何級数
・連続関数列が広義一様収束すれば極限関数も連続
・一様収束する連続関数列の極限と積分の順序交換；一様収束でないと反例がある

・積分を用いた級数Σ n^(-s)の収束の判定
・交項級数の収束
・絶対収束のする級数は和の順序をかえてもよい：指数法則の計算
・絶対収束の判定：コーシーの判定条件とダランベールの判定条件
・収束判定の例題

・重積分の変数変換（証明は略；微分形式をならうと明らかになる）
・極座標を用いた重積分の計算（２次元と３次元）；球の体積の計算
・重積分を用いたガウス積分の計算
・級数の定義
・例：等比級数、調和級数、交代級数

・フビニの定理：重積分は一変数の積分の繰り返し（逐次積分）と一致する。
・重積分の計算例(三角形の上で x2+y2 を積分する)
・逐次積分は積分の順序により簡単になることがある
・３重積分と空間の領域の体積（平面領域の面積と同様）；フビニの定理も成り立つ
・例：偏微分の順序交換を逐次積分の順序交換を用いて証明する

・重積分のRiemann積分としての定義。矩形上の連続関数は積分可能であることの証明；一様連続性を使う議論は一変数のときと同様
・領域上の重積分の定義
・有界閉領域 D の境界がJoradanの意味で面積０であれば D 上の連続関数は可積分
・区分的 C1曲線は面積0

・不定積分の計算方法：部分積分，置換積分
・有理関数の積分（部分分数展開を用いる）；三角関数の有理式の積分

・Riemann積分の定義をあたえ微積分学の基本定理を証明；これで連続関数の積分は原始関数を使って高校のときと同様に計算してよいことがわかる
・Riemann積分可能でない関数の例；連続でない関数では微積分学の基本定理は成り立たないことに注意

・上限の存在からCauchy列の収束を導く
・一様連続性の定義；sin(x^2)で連続だが一様連続でない．
・有界閉区間上の連続関数は一様連続であることの証明
・命題の否定の作り方（一様連続でないことの表し方）

・ヘッセ行列による極値の判定方法
・２変数関数の最大，最小値の探し方

・２変数関数のTaylorの定理
・極値をとる点では偏微分が０になる
・２変数の斉２次多項式の標準形

・全微分なら偏微分可能、C¹-関数は全微分可能
・ベクトル値多変数関数の全微分と Jacobi 行列の定義
・Chain rule の証明と計算例
・極座標をもちいたラプラス作用素の表示の計算

・有界な点列は収束する部分列をもつ
・有界閉集合上の連続関数は最大値をもつ
・偏微分の順序交換

解答例と配点

・Taylor 展開をもちいた極大極小の判定
・多変数の関数のグラフ
・多変数関数の極限
・平面内の開集合と閉集合と境界；閉集合内の点列が収束すれば極限もその集合に含まれる

・Taylor の定理の証明
・Taylor 展開とラグランジュの剰余項の表示；無限小 O(xⁿ) の記号をもちいた計算
・Taylor 展開の例：指数関数、三角関数、対数、二項展開
・漸近解析： sin xとcos xのテーラー展開を用いてtan x の テーラー展開を計算する

・微分の定義；線形性，ライプニッツの公式，合成関数の微分
・微分可能性と一次式による近似の存在の同値性（ランダウの記号 O(h^m) と o(h^m)）
・微分が正なら増加，微分可能な関数が極値をとる点では微分は消える
・C^m級関数の定義；C^m級関数のテーラー展開（証明は来週）

・有界閉区間上の連続関数の最大値の存在証明
・等関数の定義：指数関数、対数関数、三角関数（ただし三角関数は円弧の長さを定義していないのでまだ厳密ではない）

・連続関数の定義；多項式関数，有理関数は連続関数
・連続関数の和，積，商は連続（証明は省略）
・ f(x)がcで連続であればcに収束する数列 {x_n} にたいして f (x_n) は f (c) に収束する
・中間値の定理の証明; 単調な連続関数の逆関数の存在
・上に有界な集合の上限の存在証明（これは連続関数の最大値の存在の証明に使う）

・実数と無限小数（ただし9で循環しない）の一対一対応の証明（極限により不等号が保たれることを使う）
・コーシー列が収束することと実数の連続性の公理の同値性の説明（証明は７月ごろ）
・数列の極限の基本性質（和，積，商と極限の順序交換；商については省略）
・写像と関数の定義

・ε–N 論法での極限の定義
・実数の連続性の公理的（上に有界な単調増大列は収束する）
・eの存在；アルキメデスの原理
・実数の無限小数表示の作り方；すべての実数は有理数列の極限として表される

・なぜε–δ 論法が必要になったのか（歴史的背景）もっと詳しく知りたい人は

Grabiner, Judith V., "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus", American Mathematical Monthly 90 (1983), 185-194.

を参照。
・実数の公理的な定義．体（四則演算）と順序の公理
・1×a = 0, (−1)× (−1)=1, 0≠1, 1>0 の証明
・実数の中の整数と有理数の定義