講義・演習のページ（２０１５年度）
公開講座などについては必ずしも数学を専門的に学ぶとは限らない人も念頭に置いて書いた文章などを参照のこと．
最終更新日時：2015年12月16日 6:00頃
注意：このページ（リンク先を含む．以下同様）から得られる足助担当の講義（演習を含む．以下同様）に
関する情報は正式なものではない．正式な指示・説明は講義あるいは掲示（u-taskや ut-mateによる告示を含む）において，
また講義あるいは掲示（u-taskや ut-mateによる告示を含む）においてのみ行う．
2015年度に足助が担当する予定の講義は以下の通りである（夏学期／秋学期）．
教室などが変更されることもあるが，まれである．
なお，まだ変更の可能性は皆無ではないので注意されたい．
特に，前期課程の講義については流動的な部分が
残されているので，ここでの記述は'15/4/2現在のものと考えられたい．特に，成績評価に関する事項はあくまで
予定である．
前期課程
数理科学基礎I（S1ターム）
他クラス・文科の学生の履修については便覧などを参照のこと．
また，他クラス・文科の学生であって，受講を希望する者は初回の講義開始以前に申し出ることが望ましい．
連絡の取り方は教養学部前期課程教務課に尋ねること．
- 理科一類１年生（32～35組）向け
- 月曜４限 721教室
- ４月６日開講予定
- 教科書・参考書は指定するかどうか含めて未定である．
「教科書」「参考書」の意味づけについては初回の講義で述べる．
なお，講義に関する情報が数理科学基礎のページ（前期課程数学部会による）に記載されている．
ここには参考資料が掲載されていて，学内から入手できる．
この資料の扱いに関しては初回講義にて述べる．
なお，
この資料は（残念ながら）完璧ではなく，使用にあたっては注意が必要である．
- ４月１３日は講義を行うつもりであったが，入学式のために講義が設定されていなかった．
- ５月１８日休講とする．
- この講義は木曜に開講される数理科学基礎IIと一体である．
評点は原則としてこれらを総合してつける．
- 諸事情により，S2ターム「微分積分学」に関する参考書に関する説明を４月２０日に行う．
- 配布物（解答は配布しない．理由は講義で述べる（述べた）通りである．）
- 演習問題１（'15/4/20）
'15/4/20 問題を追加．
'15/4/21 誤植の修正と問題の追加（最終更新は17:50頃）．
'15/6/26 誤植の修正．
- 演習問題２（'15/4/27）
'15/4/28 誤植の修正．
'15/5/22 体裁の一部変更
'15/6/2 問2.13を修正．
- 演習問題３（'15/5/11）
'15/5/17 誤植の修正．
'15/5/22 体裁の一部変更
'15/6/2 コーシーの平均値の定理の説明を修正
- 演習問題４（'15/5/22）
'15/5/25 配布
この演習問題は講義のものであって，数理科学基礎演習とは（演習において特別な指示がなければ）無関係である．
ただし，内容的にはもちろん強い関係がある．
訂正のいくつかは学生の指摘による．指摘してくれた学生に感謝する．
- 今のところ解答を配布する予定はない．
次のようにすることを勧める．
- まずは自力で解いてみる．
- その際，必ずしも一人で解く必要はない．同級生や友達と一緒に考えてみるのも良いことである．
- 参考書や，講義で扱っている定理などに似たものが見つかるはずである．
その証明や説明を問題に合わせて
うまく改変したり，組み合わせたりするのも一つの手である．
- どうしても分からない場合には，まず自分なりにはどこまで分かるのか，何が分からないのか整理してみると
良い．
何が分からないかはっきりすると，その時点で問題が解決することも少なくない．
- それでも分からなければ，足助なり，場合によっては他の先生や学修相談室に質問すると良い．
4.の時点で
何が分からないか，大分はっきりしているはずである．
慌てて解答を暗記することには実りが少ない．
時間は限られているが，腰を据えて勉強して欲しい．
- S2ターム開講の「微分積分学」と共通の参考書として
難波誠著，微分積分学，裳華房，ISBN 978-4785314088
杉浦光夫著，解析入門１，東京大学出版会，ISBN 978-413062005-5
を挙げておく．
後者の方が内容は高度である．また，演習書として
杉浦光夫，清水英男，金子晃，岡本和夫著，解析演習，東京大学出版会，ISBN 978-4-13-062105-2
福田安蔵・鈴木七緒・安岡善則・黒崎千代子共編，詳解微積分演習I・II，共立出版，ISBN 978-4-320-01028-4/978-4-320-01029-1
を挙げておく．
- 講義は終了した．
微分積分学（S2ターム）
他クラス・文科の学生の履修については便覧などを参照のこと．
また，他クラス・文科の学生であって，受講を希望する者は初回の講義開始以前に申し出ることが望ましい．
連絡の取り方は教養学部前期課程教務課に尋ねること．
- 理科一類１年生（32～35組）向け
- 月曜４限 721教室
- ６月８日開講予定
- 教科書は用いない．
参考書として
難波誠著，微分積分学，裳華房，ISBN 978-4785314088
を用いる．原則として講義は本書を踏まえて行う．一方，より高度な参考書として
杉浦光夫著，解析入門１，東京大学出版会，ISBN 978-413062005-5
を挙げておく．また，演習書として
杉浦光夫，清水英男，金子晃，岡本和夫著，解析演習，東京大学出版会，ISBN 978-4-13-062105-2
福田安蔵・鈴木七緒・安岡善則・黒崎千代子共編，詳解微積分演習I・II，共立出版，ISBN 978-4-320-01028-4/978-4-320-01029-1
を挙げておく．
講義におけるこれらの参考書の位置づけについては，S1ターム 数理科学基礎に
おいても述べるが，初回の講義においても極簡単に述べる．このほかの参考書は必要に
応じて講義中に示す．
- 本講義は，S1タームの「数理科学基礎」（上述）の内容を踏まえるという意味でこの講義の
続きではあるが，独立のものである．特に成績評価は別個に行う．一方，「微分積分学」は
Aセメスターまで続く．最終的な成績評価は3ターム合わせて行う予定であるが，範囲が
あまりに広大になるので S2ターム末あるいは A1ターム冒頭に中間評価を行う予定である．
S2ターム末に中間評価を行う．
- ６月２９日は休講とする．補講を行うかどうかは未定である．
- ７月１７日（金）は特に月曜日とみなして講義する．
- ７月２９日（水）に中間試験を行う．試験の結果は成績評価に用いる．
- 配布物（解答は配布しない．理由は講義で述べる（述べた）通りである．）
- 演習問題１（'15/6/8）
'15/6/17 誤って演習問題２を演習問題１として上げていたので，差し替え．
混乱を防ぐためにファイル名を普段と変えてある．
- 演習問題２（'15/6/15）
'15/6/17 「演習問題１」となっていたのを修正．また，曲線が接することの定義を追加．
- 演習問題３（'15/6/22）
- 演習問題４（'15/7/6）
誤植を訂正してあるが，配布した物と同一の物と考えて良い．
- 演習問題５（'15/7/13）
'15/7/22 用語を一箇所修正
- 演習問題６（'15/7/17）
- 講義は終了した．
後期課程・大学院
幾何学XC（本郷）
- 理学部向け（他学部の学生の履修・聴講も歓迎する．下記参照のこと）．
- 理学部数学科の学生は制度上履修できない．聴講は妨げないが時間割の都合上難しいと思われる．
なお，駒場で開講される理学部数学科の講義「幾何学XC」と混同しないこと．
- 学部により履修に関する扱いに差違があるので各自で確認すること．
- 金曜１限 理学部
１号館207教室 ４号館１２２０教室
- 過去において講義の妨害となる行為が散見された．例年通りこれらには厳しく臨む．
- 物理学科の「現代物理学入門I」と曜限が重なっていたが，当該講義は水曜1限に移動されたので
重複しないことになった．
関係各位のご配慮に感謝いたします．
- 成績評価は期末試験により行う．
試験範囲は講義で扱ったこと全般とし，持ち込みは不可とする．
試験は７月２４日（金）１限に行う．
詳細については掲示を参照のこと．
- ４月１０日開講
- ５月１５日（五月祭準備のため）・２２日，６月２６日，７月３日は休講とする．
- 補講を７月３１日（金）１限に行う．
- 多様体に関する事柄を扱う．
参考までに2013年度の講義で扱った内容を再掲する．
- 多様体の定義とごく簡単な性質
- ベクトル場と微分形式（特に1-形式）
- ベクトル束の定義，ベクトル場や微分形式との関係
- ベクトル束（上）の計量
- 計量を用いた，いわゆる添え字の上げ下げ
- Hodge star作用素
時間に余裕があればこれらに加えて以下の事項について述べたいと考えていた．
- （ベクトル束の）アフィン接続
- 複素ベクトル束，特に複素線束の特性類，特にChern類（のChern-Weil構成）
見て分かるように内容は多い．多くの学生は消化不良に終わったと思われる．
今年度の講義内容はこれらのことを踏まえて検討中である．
- 集合や位相に関する知識が無くとも表面的には理解可能な講義であると思われるが，
実際には肝心なことが全く理解できないで終わる可能性が高いので注意すること．
次の注も参照のこと．
- ３学期末に記載した事項を参考までに再掲する（改行等の表記上の変更はあるが，内容は当時の
ままである）．
- 既に多様体について学んだことがあるか否かに拘わらず，
もし位相（位相空間）に関して系統的な学習をしたことが無いのであれば４学期に駒場に
おいて（理学部数学科の講義として）開講される
集合と位相
を聴講，できれば履修することを非常に強く勧める．
多様体は２年生までに扱ってきたユークリッド空間と一般には大きく異なり，直感的に
把握することは難しい．例えば「平面上の，原点を通る直線全体のなす集合（空間）」などを
考える．このような集合（空間）を扱うためには集合に関する慣れが一定程度必要である．
また，例えば「多様体上の連続函数」を定めるだけでも位相に関する知識が必要になる．
集合や位相について詳細に理解している必要はないが，これらを扱う際に現れる基本的な
用語やその意味については知っていることが望ましい．加えて，基本的な（簡単な）例も
知っていればなお良い．
- 多様体それ自体に関して既習であることは求めない．一方，基礎をおろそかにすることを
避けつつ，一定程度「使える」ようになることを目指すので，講義の進行はそれなりに
速いものとなる．「使う」場面としては，例えば種々の物理法則を，ユークリッド空間に
限らず，宇宙などの一般の空間（宇宙がユークリッド空間であるかは問わないことにする）に
おいてテンソル（テンソル場）を用いて表し，扱うことなどが挙げられる．残念ながら時間と私の
能力の制約により，このように物理や，その他の分野，例えば統計などに多様体をどのように
用いるかについては恐らく触れられない．最低限の数学的な道具立てについて講義する
予定である．
-
上では物理に関する例について述べたが，多様体は物理以外でも様々な場面で用いられる．
物理以外を専攻する，例えば理学部の物理学科以外に所属する学生，あるいは他学部，
例えば経済学部や文学部等の学生でまじめに数理的な対象を扱うことを望む者の履修も
大いに歓迎する．なお，評価の方法は主に履修する学生の数により２０１５年の５月を
目処に決める予定である（恐らく履修が確定してからになるので注意すること）．また，
専攻により評価の基準を変えることは今のところ考えていないが，これも状況をみて決める．
幾何学XH（後期課程）・複素多様体（大学院）
- 主な対象は理学部数学科４年生・大学院数理科学研究科所属の院生である．
月曜２限 月曜３限 数理118講義室
- ４月６日開講予定
- 複素ベクトル場（や複素解析的な写像）の定める力学系・葉層構造に関する講義を行う予定である．
通常「複素多様体」で予想される内容とは恐らく大分異なるので注意されたい．
- ５月１８日は休講とする．
- ７月１３日に補講を行った．
- 講義は終了した．
数学講究ＸＢ（数理科学概説）
- 理学部数学科向け（オムニバス形式）
- 6月3日（水） 15:55～16:55
- 「複素解析的なベクトル場と葉層構造」と題して講義した．
前期課程
微分積分学
他クラス・文科の学生の履修については便覧などを参照のこと．
また，他クラス・文科の学生であって，受講を希望する者は初回の講義開始以前に申し出ることが望ましい．
連絡の取り方は教養学部前期課程教務課に尋ねること．
数学II
- 文科の学生（１年生・２年生）向け
- 水曜１限 532教室
- ９月１６日開講
- 線型代数のうち，数ベクトル空間と行列と呼ばれるもので話が済む部分の，特に入門的なことについて扱う．
多少進んだ事柄は「数理科学概論II（文科生）」で扱われるが，本格的に線型代数を学びたいのであれば，
自習するかあるいは理系向けの「線型代数学」を履修する必要がある．
- 教科書は用いない予定である．さしあたり
村上他著，教養の線形代数 五訂版，培風館，ISBN 9784563003760
川久保著．線形代数学（新装版），日本評論社， ISBN 9784535786547
を参考書として挙げておく．
講義における位置づけについては初回講義にて述べる．
なお，経済学など数学を本格的に
用いる分野に進みたい，あるいは場合によっては理転することを念頭に置くならば上掲の二冊程度の理解では不足である．
例えば
足助著，線型代数学，東京大学出版会，ISBN 9784130629140 （補足（正誤表を含む）のページ）
程度の理解が無難である．
- 10月28日は休講とした．
- 12月9日（最終回）に学期末試験を行う．
教室などは後日u-task webなどで告知されるので注意すること．
試験自体の概要は講義で示した．再度は示さない
（複数回示すと内容にぶれが生じる可能性があるためである）．
- 演習問題
- 演習問題１（'15/9/16）
'15/9/16 配布した物から問1.1を削除．また，問1.6（旧1.7）の表現を一部変更．
'15/9/17：問~1.6が1.5と重複していた上に誤りであったので削除．以降の問番号を変更．
- 演習問題２（'15/9/23）
- 演習問題３（'15/9/30）
- 演習問題４（'15/10/7）
- 演習問題５（'15/10/14）
- 演習問題６（'15/10/21）講義で述べた訂正は反映してある．
- 演習問題７（'15/11/4）
- 演習問題８（'15/11/11）
- 演習問題９（'15/11/18）
※ 演習問題は概ね講義の進度に合わせてあるが，多少ずれることがある．
そのため，定義などを説明していない場合がある．
- 多くの学生にとって，復習抜きに本講義の内容を習得することは不可能である．
心すること．
一方，予習は必ずしも必要ではない．
- 学修相談室が１０月５日（月）から開設される．
曜限は月曜，水曜，金曜の５限である．また，
場所は駒場国際教育研究棟（旧６号館）１０９号室（１階）である．
必要に応じて利用すること．
- 講義は終了した．
後期課程・大学院
なし．
過去の講義
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これらのページは原則として講義終了時のままである． 記述が古かったり，リンクが切れていたりすることがあるので注意すること．
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