LECTURES in 2014

講義・演習のページ（２０１４年度）

公開講座などについては必ずしも数学を専門的に学ぶとは限らない人も念頭に置いて書いた文章などを参照のこと．

最終更新日時：2016年4月29日 1:10頃

注意：このページ（リンク先を含む．以下同様）から得られる足助担当の講義（演習を含む．以下同様）に
関する情報は正式なものではない．正式な指示・説明は講義あるいは掲示（u-taskや ut-mateによる告示を含む）において，
また講義あるいは掲示（u-taskや ut-mateによる告示を含む）においてのみ行う．

原則として，このページには講義に出席している者には知られていると思われることのみを記載する．
特別な指示のない限り，講義に出席した者は閲覧する必要はない（ただし，開講前にはu-taskに
記載されていることと，講義で述べたことを合わせたものよりも多くの情報が記載されていることがある）．
なお，以下の文章（リンク先を含む）には正確を期しているが誤りが含まれている可能性がある．
特に諸手続きに関しては，便覧を参照するか教務課に尋ねるなどして，自己の責任において
必ず確認を取ること．
配布プリントは原則としてこのページでも公開するが，過去の試験問題や講義ノートは公開しない．
特に，試験・演習いずれについても解答は配布しない．
理由は講義において述べた通りである（拙書「線型代数学」v頁中程にも簡単に述べてある）．

2014年度に足助の担当する予定の講義は以下の通りである（夏学期／冬学期）．
教室などが変更されることもあるが，まれである．

夏学期

前期課程

数学II ①
他クラス・文科の学生の履修については便覧などを参照のこと．
また，他クラス・文科の学生であって，受講を希望する者は初回の講義開始以前に申し出ることが望ましい．
連絡の取り方は教養学部前期課程教務課に尋ねること．

理科一類１年生（16,21－22組）向け
月曜３限　523教室
４月１４日開講
線型代数に関する入門講義を行う．本講義は通年で行う．
本講義は演習（数学II演習）と内容的には一体として行う．
演習で扱った事柄に関しては既知とするので注意すること．
本講義と演習は履修科目としては独立である．成績評価は特に明示しない限り独立に行う．
本講義に関する成績評価等については原則として講義あるいは掲示にて告示・指示する．
演習に関するページは
https://sites.google.com/site/todaimuesaka/2014ii
である．必要に応じて参照すること．
教科書は用いない．参考書として，
足助太郎著，線型代数学，東京大学出版会，ISBN 978-4-13-062914-0
齋藤正彦著，線型代数演習，東京大学出版会，ISBN 978-4-13-062025-3
を用いる．
なお，購入を勧める・あるいは強制するものでは全くない．
参考書の選び方に関しては初回の講義で簡単に述べるので，考えている参考書が何であっても
急いで購入しないことを強く勧める（合わない参考書を使うことは躓くことへの第一歩である）．
少し進んだ注：線型代数は数学のほぼ全ての話題に関わる．同じ事柄でも見方はたくさんあるし，
また，講義で扱えない範囲も当然出てくる．それらについては上掲書以外の参考書が必要になる．
これらはしばしば講義の水準を超えるので原則として講義中には示さない．
上記拙書に関していくつか述べておく．
1. 補足や訂正がある．時々更新するので，購入した場合にはこちらも参照のこと．
2. 本書は復習に用いることを重視して著した．本書で適切な予習ができ，そしてそれが
  できていることが自律的かつ正確に判断できるのであれば講義を受講する必要は全くない．
  しかしそのような受講者は極めて少ないと思われる．また，恐らくほとんどの学生
  諸君諸姉には本書を講義で与えられる予備知識抜きで読みこなすのは不可能である．
  しかし，これらは全く自然なことであるので心配には及ばない．
  ※ 数学書は原則として論理的に書かれている．論理判断が正確にできれば（本書に
  限らず）通読は可能である．論理展開が理解できないのであれば，間違いなく
  「適切な予習」はできていない．では論理展開が追い切れれば「適切な予習」が
  できていたり，あるいは「読みこな」せているかといえば残念ながら必ずしもそうではない．
  例えば演習問題（本書や演習書に記載されているものや，演習で配布されるようなもの）が
  大きな困難を伴わずに解けるかどうかが，読みこなせているかの一つの判断材料になると思う．
教科書（参考書）について補足しておく．今年度はまず線型代数について基本的なことを述べ，
それを基に行列の種々の性質を扱うことにしている．この方針に沿った教科書（参考書）は皆無ではないが，
水準が高すぎ（低すぎ）たり，記述が簡潔に過ぎて初学者向けでなかったりするなど，紹介すべきものに
思い当たらない．今年度については板書を参考にするのが一番良いと思う．
配布物（解答は配布しない．理由は講義で述べる（述べた）通りである．）
- 演習問題１（'14/6/9）
  この演習問題は講義のものであって，数学II演習とは（演習において特別な指示がなければ）無関係である．
  ただし，内容的にはもちろん強い関係がある．
  '14/6/10：問 1.3を修正（見やすさに配慮して記号を変更したほか，3)を追加）．
  　また，定義 1.32と1.35について，やや曖昧な記述があったので加筆の上修正．
  '14/6/11：問 1.37に加筆．
  '14/9/13：問 1.36 1)の誤植を修正．
講義は終了した．
9月2日に実施した期末試験の問４ 4)の条件 a)にある
f(W)⊂W
は
ψ(W)⊂W
の誤りであったので訂正する．
ほぼ正答していた者が複数名いたのでそのまま採点し，誤植が元で誤答に至ったと考えられる
解答に関しては別途基準を設けて採点することとした（基準や人数は公開しない）．
なお，白紙の答案に関しては（評価のしようがないので）評価しない（9/8）．
試験問題は冬学期以降の内容も意識して作成しているので，よく復習しておくこと（もちろん出題範囲は夏学期で扱った内容である）．
例えば問３や問４は後期で扱う「対角化」や「三角化」，さらにその先にある数学につながっていくことの`toy model'（おもちゃ：
とても簡単且つ重要な例）の側面がある．もう少し踏み込んで言えば：
- 問３は定数係数（時間不変かつ空間不変（平行移動等について不変））な常微分方程式の特別な場合でもある（少し解釈が要り，直結はしない）．
  また，「f_X」で表した写像は「（Xに関する）Lie微分」と呼ばれる，ベクトル解析では決定的に重要な作用素である
  （これらについては二年生の講義（数理科学II：来年度からは講義名自体は変わる予定である）で扱うので
  履修することを強く勧める）．専門的な数学の用語を用いて更に先の展望も述べると「（半）単純Lie環の表現」の
  極めて初歩の更に入門，あるいは球面などの「（局所）等質空間」上の（通常は左）「不変ベクトル場」も意識している．
- 問４は Fourier解析などに関する初歩の入り口とも言えるし，あるいは「群作用に関して不変な部分空間の
  幾何（＝全体の状態を保つ線型変換に関して，（なぜか特別に）常に保たれる部分的な状態がある場合の
  取り扱い）の入り口である．問４に限らず，幾何（私の専門である）に関して本気になることは避けた．
- 問１・問２に関しては応用は非常に多いが，試験問題として述べるのであれば講義・演習で扱った極めて初歩的な
  事柄なので，できていないのであれば猛省されたい．
- 試験問題全体として，数学を特別に専門に扱う場合のみ大切なこととはとても考えられないことを主題にして問うた．
  単なる復習ではなく，体得する（多分数年かかる：試験云々を問題にしているのではない）ことを薦める．
夏学期の期末試験に関するごく簡単な解説を冬学期の冒頭に行う．
線型代数は簡単と言われることは多いが，私はそうは思わない．どこまでも難しい．

数理科学II
他クラス・文科の学生の履修については便覧などを参照のこと．
また，他クラス・文科の学生であって，受講を希望する者は初回の講義開始以前に申し出ることが望ましい．
連絡の取り方は教養学部前期課程教務課に尋ねること．

理科一類２年生（18-24組）向け
水曜２限　722教室
４月９日開講
常微分方程式を中心に，微分方程式の初歩的な事柄について講義する．
理科一類向けの数学I（A,Bは問わない）及び数学IIの講義内容に関しては既知とする．
不安のある者はよく復習しておくこと．
成績評価等については原則として講義あるいは掲示にて告示・指示する．
参考書は
南部隆夫著，微分方程式入門，朝倉書店，ISBN 978-4-25-411078-4
ポントリャーギン著，木村俊房校閲，千葉克裕訳，常微分方程式　新版，共立出版，ISBN 978-4-320-01038-3
とする．微分方程式は大きな広がりを持つ話題であるため，講義の範囲に限っても，ある教科書
それのみによって全ての範囲を覆うことは不可能である．上掲書以外の参考書については追って
指示する．なお，教科書は用いない．
７月９日は水曜日であるが，金曜日の講義が行われるため本講義は開講しない．
配布物
- 演習問題（'14/6/18）
  '14/6/18（23:30頃）一部加筆の上細かい修正
  '14/6/18（23:40頃）再度一部加筆
  '14/6/23 誤植の修正及び問題の追加
  '14/7/13 誤植の修正及びコメントの変更
  '14/7/19 誤植の修正
  '14/7/20：一部加筆の上細かい修正（3:00頃）
  '14/7/20：記号・用語の細かい修正（16:30頃，17:30頃）
講義は終了した．

後期課程・大学院

数学講究ＸＢ（数理科学概説）

理学部数学科向け（オムニバス形式）
6月4日（水）15:50～16:50
「複素力学系と擬群」と題して幾つかの複素力学系について極簡単に紹介した．
履修登録や単位の取得方法については便覧等を参照のこと．足助担当分については講義での指示に従ってレポートを作成・提出すること．

冬学期

前期課程

数学II ②
※ 日程に関して変更があるので注意すること（９月９日）
他クラス・文科の学生の履修については便覧などを参照のこと．
また，他クラス・文科の学生であって，受講を希望する者は初回の講義開始以前に申し出ることが望ましい．
連絡の取り方は教養学部前期課程教務課に尋ねること．

理科一類１年生（16,21－22組）向け
月曜３限　741教室
~~１０月１５日開講~~　１０月６日開講
１０月１５日（水）~~および１１月４日（火）~~は~~それぞれ~~月曜日ではないが，特に月曜日と看做して開講する予定である．
線型代数に関する入門講義を行う．本講義は夏学期の続きである．
講義・演習のそれぞれについて，夏学期に扱ったことは既知とする．
不安のある者はよく復習しておくこと．特に，何らかの事情により冬学期から本講義を履修する場合，
夏学期までの進度を何らかの方法で把握して復習しておくか，把握する必要がない程度の範囲について
復習しておく必要があるので注意すること．
本講義は演習（数学II演習）と内容的には一体として行う．
演習で扱った事柄に関しては既知とするので注意すること．
本講義と演習は履修科目としては独立である．成績評価は特に明示しない限り独立に行う．
本講義に関する成績評価等については原則として講義あるいは掲示にて告示・指示する．
演習に関するページは
https://sites.google.com/site/todaimuesaka/2014ii
である．必要に応じて参照すること．
教科書は用いない．参考書として，
足助太郎著，線型代数学，東京大学出版会，ISBN 978-4-13-062914-0
齋藤正彦著，線型代数演習，東京大学出版会，ISBN 978-4-13-062025-3
を用いる．
なお，購入を勧める・あるいは強制するものでは全くない．
参考書を改めて購入する場合には，夏学期初回の講義で述べたことを是非参考にして欲しい．
上記拙書に関しては補足や訂正がある．時々更新するので，購入した場合にはこちらも参照のこと．
初回の講義では夏学期開講の数学II ①の期末試験に関する簡単な解説を行う（通常の講義も行う）．受験した者は試験問題を持参のこと．
配布物（解答は配布しない．理由は講義で述べた通りである．）
- 演習問題２（'14/10/6）[14/12/10] 問の番号を 1.*から 2.*に変更．
- 演習問題３（'14/10/15）[14/10/16] 注3.2を修正，問3.3を追加．
  [14/10/30] 問3.8と3.9がそれぞれ問4.1と4.2と重複していたので削除．問3.10は3.9に繰り上げて新たに定義3.10以下を追加．
  [14/11/2] 定義3.10の誤植を修正．
- 演習問題４（'14/10/20）[14/10/21] 一部記号が重複していたので誤植と合わせて修正．
- 演習問題５（'14/11/10）最後の２頁は「お話」と考えて読み流せばよい．
- 演習問題６（'14/11/17）
- 演習問題７（'14/12/1）配布した物は11/24付けであるが，12/1付けとする．
- 演習問題８（'14/12/8）[14/12/10] 問 8.1の 3)，問 8.5の 5)，問 8.8の 2), 4), 5)の誤植を修正．
  特に，2)と 5)に関しては量化子（∀,∃）の使い方が不適切であったので注意すること．
  また，問 8.8の 3)の表現を変更．ほかにも細かい字句を修正した．
  '14/12/10（再）：問 8.5の 2)と 5)を再修正．量化子の使い方について，元の方がより適切であったので戻した．
  また，問 8.1にコメントと問，番号をつけずに問 8.1の後に追加した（結構長い）．
  '14/12/14：問の 6), 7)の誤植を修正．ノルムの定義をより正確にした．
  '15/1/16：問 8.1のコメントの誤植を修正．
- 演習問題９（'14/12/15）
- 演習問題10（'14/12/22）
- 補足資料（'15/1/26）[16/2/12] 脚注27を修正．
  ['16/4/29] 問 11.2.1の 5)と脚注 21を修正．
演習問題は 1) できることが当然に期待されるもの，2) 頑張ればできる，できて欲しいもの，3) ちっともできるとは思っていないもの，に大別される．
分類については講義で述べたので必要に応じて参考にすること．講義中に明確に述べたことなので再度の問い合わせには一切応じない
（異なる分類を避けるためである）．また，講義に出席していない等の理由により判別が付かない場合でも全部解けるようになれば特段の問題は
生じないはずである．
講義は終了した．

後期課程・大学院

幾何学XE（後期課程）・大域幾何学概論（大学院）

月曜２限（１０：４０～１２：１０）　数理棟128
１０月１５日（水）開講（水曜であるが特に月曜日とみなして講義を行う．）
１０月６日開講の予定であったが台風の接近のため休講とした．
de Rhamコホモロジーと特性類について，入門的な講義を行う．
微分形式やde Rhamコホモロジーの定義といった基本的なことに関しては知っていた方がよい．
成績評価はレポートによる予定である．詳しくは講義において指示する．掲示を行わない可能性が
あるので注意せよ．
１月３０日（木）は特別に月曜日と見做して講義を行った．
２月２日（月）は休講とする．
講義は終了した．

冒頭にもあるとおり，ここにある情報はすべて非公式なものであって，正式なものではない．
正式な指示・説明は講義あるいは掲示（u-taskや ut-mateによる告示を含む）において，また講義あるいは
掲示（u-taskや ut-mateによる告示を含む）においてのみ行う．

過去の講義
2013年度
 2012年度 / 2011年度 / 2010年度 / 2009年度
 2008年度 / 2007年度 / 2006年度 / 2005年度 / 2004年度
これらのページは原則として講義終了時のままである．記述が古かったり，リンクが切れていたりすることがあるので注意すること．

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