\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts}
\setlength{\textheight}{45\baselineskip}
\setlength{\textwidth}{15cm}
\setlength{\voffset}{-3\baselineskip}
\setlength{\oddsidemargin}{21pt}
\setlength{\evensidemargin}{21pt}

\begin{document}
\def\emptyset{\varnothing}
\def\empty{\varnothing}
\def\setminus{\smallsetminus}
\def\phi{{\varphi}}
\def\epsilon{{\varepsilon}}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}

\centerline{解析学XD・スペクトル理論レポート問題}
\medskip
\rightline{2021年12月22日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

\bigskip
以下の問題を解いて，1月21日までにレポートをITC-LMSで提出してください．

\bigskip [1]
$H=\ell^2$ 上の作用素 $A, B$ を次のように定義する．

\begin{align*}
D(A)&=D(B)=\{x=(x_n)\in\ell^2\mid \sum_{n=1}^\infty n^2 |x_n|^2 < \infty\},\\
(Ax)_n&=\begin{cases}
x_1+\sum_{n=1}^\infty x_n, & n=1\hbox{の時},\\
n x_n, & n>1\hbox{の時},
\end{cases}
\\
(Bx)_n&=-n x_n.
\end{align*}

(1) $A,B$ はいずれも稠密に定義された閉作用素であることを示せ．

(2) $A+B$ は可閉でないことを示せ．

\bigskip [2]
$\mathbb R$ 上の複素数値 Lebesgue 可測関数で，その本質的値域が
複素平面全体になるものの例を挙げよ．

\bigskip [3]
$\mathbb R$ 上の Lebesgue 測度を $\mu$ とし，$H=L^2({\mathbb R},\mu)$ とする．
$F(x)$ を $\mathbb R$ 上の複素数値連続関数とし，それによる $H$ 上の
掛け算作用素を $M_F$ とする．
このとき $\sigma(M_F)=\overline{F({\mathbb R})}$ であることを示せ．

\bigskip [4]
$\R$ 上の Lebesgue 測度を考える．
$\R$ 上の実数値可測関数 $F(x)$を取り，
$$D(A)=\{f\in L^2(\R)\mid Ff \in L^2(\R)\}$$
とおいて，
$f\in D(A)$ のとき，$(Af)(x)=F(x)f(x)$ とおくことにより，
線形作用素 $A$ を定める．この $A$ のスペクトル分解に現れる
単位の分解 $\{E(\lambda)\}$ はどのようなものか，
記述せよ．

\bigskip [5]
$H=L^2(\R)$, $D(A)=C_0^\infty(\R)\subset H$ とする．
$D(A)$ を定義域とする作用素 $A$ を，
$(Af)(x)=f''(x)$ で定める．このとき $A$ は可閉であって，
その閉包が自己共役になることを示せ．

\bigskip [6]
$A$ を Hilbert 空間 $H$ 上の有界線型作用素とし，$A\ge0$ とする．
$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\lambda \;dE(\lambda)$ 
をそのスペクトル分解としたとき，
$\displaystyle\int_0^\infty \lambda^{1/2} \;dE(\lambda)$ 
は $A^{1/2}$ に等しいことを示せ．

\bigskip [7]
複素平面の開単位円板の上の正則関数 $f(z)$ で，
$\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$ と Taylor 展開した時に
$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty |c_n|^2 < \infty$ となるようなもの全体のなす
空間を $H^2$ と書く．このような $f(z)$ を $\{c_n\}_n \in \ell^2$
と同一視することにより，$H^2$ は Hilbert 空間になる．
\[
D(A)=\left\{f\in H^2\mid i \frac{1+z}{1-z}f(z)\in H^2\right\}
\]
とおき，$f\in D(A)$ に対して
$(Af)(z)=i \displaystyle\frac{1+z}{1-z}f(z)$ とおく．

(1) $D(A)$ は $H^2$ で稠密で，$A$ は対称作用素であることを示せ．

(2) $A$ の Cayley 変換を求めよ．

\end{document}