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\documentstyle{amsppt}

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\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{1999年度数学IV・期末テスト}
\medskip
\rightline{2000年2月18日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{ホームページ:{\tt http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip
$$\boxed{\text{裏面にも問題があります}}$$
\bigskip
この試験は，「自筆ノート，プリント持ち込み可」で行います．
本などは持ち込み不可です．時間は90分です．
答えだけでなく，計算の経過や理由をきちんと書いてください．

解答用紙の裏面を使用しても結構ですが，その時は
表の一番下に，「裏面使用」と明記してください．

\bigskip [1] 
次の行列$A$に対し，$X^{-1}AX$をJordan標準形にしたい．$X$, $X^{-1}$,
$X^{-1}AX$
を求めよ．

$$A=\left(\matrix
-8 & -10 & 31 \\
-2 & 3 & 2 \\
-3 & -2 & 10 
\endmatrix\right)$$

(答は，
$$
\left(\matrix
-5 & 4 & -2\\
12 & -9 & 5 \\
-3 & 2 & -1
\endmatrix\right)
\left(\matrix
-4 & 4 & -2 \\
-3 & 4 & -1 \\
9 & -6 & 5 
\endmatrix\right)
\left(\matrix
1 & 0 & -2\\
3 & 1 & -1\\
3 & 2 &3
\endmatrix\right)
=
\left(\matrix
2 & 0 & 0\\
0 & 2 &0\\
0 & 0 &1
\endmatrix\right)
$$
のような形で書くこと．)

\bigskip [2] 
次の2次曲線を図示せよ．
$$5x^2+5y^2+6xy-8\sqrt2x-8\sqrt2y+6=0.$$

\bigskip [3] 
$f(0)=1$, 
$\dsize\lim_{t\to\infty} f(t)e^{-2t}=0$という条件のもとで
次の微分方程式の解を求めよ．
$$f'''(t)-5f''(t)+8f'(t)-4f(t)=0.$$

\vfill\eject
\bigskip [4] $a,b$を実数とする．
数列$x_n$ $(n=1,2,3,\dots)$の
漸化式$$x_{n+3}-4x_{n+2}+ax_{n+1}+bx_n=0$$
は，$x_n$が$n$の1次式で表せるような解を持つとする．
このとき$a, b$の値を求めよ．

またこの$a,b$に対し，上の漸化式を
$x_1=3, x_2=6, x_3=11$という条件のもとで解け．

\bigskip [5] 
次の行列の$n$乗を求めよ．(ただし，$n$は自然数である．)
$$A=\left(\matrix
1 & 3 & 3\\
0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 1
\endmatrix\right).$$

\bye