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\documentstyle{amsppt}

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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{数学IV・中間テスト解答・解説}
\medskip
\rightline{1999年12月24日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{ホームページ:{\tt http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}

\bigskip
配点は1番から順に，30, 30, 20, 20, 10点の110点満点です．
平均点は79.6点，最高点は105点でした．
得点の分布は次のとおりです．採点はティーチングアシスタントの
勝良君です．採点ミスがあると思う人は，ただちに申し出て
下さい．(返却する答案は，すべてコピーが取ってあります．)

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&& \omit &&\omit &&\omit
&\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--49 (点) && 50--59 && 60--69
&& 70--79  && 80--89 && 90--99 && 100--105 & \cr
\vsp\t
&  5(人) && 4 && 8 && 10 && 21 && 19 && 12 & \cr
\vsp\t
}}$$

配点，採点はだいぶ甘くなっています．
期末試験は，もっと厳しくつけることになるでしょう．
たとえば，1番から順に，20, 30, 20, 30, 10点の配点にして，
[1]の計算ミスは0点，[2]〜[4]の部分点ももっと厳しくするといった
感じです．

以下，略解を付けます．

\bigskip [1]
公式どおり計算して，
$$
\left(\matrix
0 & 1 & -1 \\
2 & 1 & 0 \\
1 & -3 & 3
\endmatrix\right)
$$
となる．

\bigskip [2]
決まったやり方どおりにやればよい．答えはたとえば，
$$
\left(\matrix
1 & -1 & 0\\
-1 & -2 & -1 \\
0 & 1 & 0
\endmatrix\right)
\left(\matrix
1 & -5 & -1 \\
0 & -1 & 0 \\
1 & 11 & 3 
\endmatrix\right)
\left(\matrix
1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1\\
-1 & -1 & -3
\endmatrix\right)
=
\left(\matrix
2 & 1 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & -1
\endmatrix\right)
$$
である．

\bigskip [3]
行列式を求めると$(t-2)^2(t+5)$を得るので，
$t=2,-5$ではないときは，rankは3である．
$t=2,-5$のときは直接チェックするとそれぞれrankは
$1, 2$である．よって，rankを最小にする$t$の値は$2$
である．

あるいはrankが0にならないことは明らかなので，1になる
ような$t$を探してもよい．

\bigskip [4]
固有方程式は $(t-a)(t^2+(a-3)t+a)=0$なので，
これが重根を持たなければ問題の行列は対角化可能である．
これが重根を持つような$a$の値は$a=0,1,9$であり，それぞれ
について調べれば，いずれの
場合もJordan標準型は求める形であることがわかるので，
これらが答えである．

\bigskip [5]
まず，$A$が対角化可能ならば$A^2$も対角化可能となって，Jordan
標準型は問題のようにはならないことに注意する．次に$A^2$の固有値が
単根$0$と2重根$1$であることより，$A$の固有値は単根の$0$と，
あと2つは$\pm1$である．この2つが$1$と$-1$であれば$A$は対角化可能
になってしまうので，そのような場合はおこらない．$1$が重根の場合，
$A$のJordan
標準型は2通り考えられるが，対角化可能ではないはずなので，1通りに
絞られて，また，これは確かにO.K.であることがわかる．
$-1$が重根の場合も同様だから，結局，答は次の2つである．
$$\left(\matrix
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\endmatrix\right),
\left(\matrix
-1 & 1 & 0\\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\endmatrix\right)$$

\bye