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\documentstyle{amsppt}

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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{数学IV・中間テスト}
\medskip
\rightline{1999年12月17日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail: yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{ホームページ:{\tt http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip
$$\boxed{\text{裏面にも問題があります}}$$
\bigskip
この試験は，「自筆ノート，プリント持ち込み可」で行います．
本などは持ち込み不可です．
時間は，1時から2時30分までの90分です．
答えだけでなく，計算の経過や理由をきちんと書いてください．

解答用紙は縦に使って，一番上に氏名，
学生証番号を書いてください．裏面を使用しても結構ですが，1枚に
おさまるように書いてください．裏面使用の時は
表の一番下に「裏面使用」と明記してください．

\bigskip [1] 次の行列の逆行列を求めよ．
$$
\left(\matrix
3 & 0 & 1 \\
-6 & 1 & -2 \\
-7 & 1 & -2
\endmatrix\right)
$$

\bigskip [2] 
次の行列$A$に対し，$X^{-1}AX$をJordan標準形にしたい．$X$, $X^{-1}$,
$X^{-1}AX$
を求めよ．

$$A=\left(\matrix
1 & -5 & -1 \\
0 & -1 & 0 \\
1 & 11 & 3 
\endmatrix\right)$$

(答は，
$$
\left(\matrix
-5 & 4 & -2\\
12 & -9 & 5 \\
-3 & 2 & -1
\endmatrix\right)
\left(\matrix
-4 & 4 & -2 \\
-3 & 4 & -1 \\
9 & -6 & 5 
\endmatrix\right)
\left(\matrix
1 & 0 & -2\\
3 & 1 & -1\\
3 & 2 &3
\endmatrix\right)
=
\left(\matrix
2 & 0 & 0\\
0 & 2 &0\\
0 & 0 &1
\endmatrix\right)
$$
のような形で書くこと．)

\bigskip [3]
次の行列のrankを最小にするような実数$t$の値を求めよ．
$$
\left(\matrix
1 & t & -3 \\
-1 & -2 & t+1 \\
t & 4 & -6
\endmatrix\right)
$$

\bigskip [4]
下の行列$A$のJordan標準型が
$\left(\matrix
\alpha & 1 & 0\\
0 & \alpha & 0 \\
0 & 0 & \beta
\endmatrix\right)$の形になるように，
実数$a$の値を定めよ．ただし，
$\alpha$と$\beta$は等しくてもよいものとする．
$$A=\left(\matrix
a & 0 & 0\\
-10 & 3 & -4 \\
-5 & a & -a
\endmatrix\right)$$

\bigskip [5]
$3\times3$行列$A$に対し，$A^2$のJordan標準型が次のものであるとする．
$$\left(\matrix
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\endmatrix\right)$$
このとき，$A$のJordan標準型としてありうるものをすべてあげよ．

\bye