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\def\lan{\langle}
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\def\supp{\text{supp}}

\centerline{数学IV・中間テスト}
\medskip
\rightline{1997年12月19日}
\rightline{河東泰之}

\bigskip
この試験は,「ノート,プリント持ち込み可」で行います.
本などは持ち込み不可です.
時間は,1時から2時30分までの90分です.

解答用紙は,A4版の紙(小さい方)です.B4版の紙(大きい方)
は計算用紙です.解答用紙は,縦に使って,一番上に氏名,
学生証番号を書いてください.裏を使用しても結構ですが,その時は
表の一番下に,「裏面使用」と明記してください.

\bigskip [1] 次の行列の逆行列を求めよ.
$$
\left(\matrix
1 & 3 & -1\\
2 & 1 & 0 \\
1 & -5 & 2
\endmatrix\right)
$$

\bigskip [2] 次の行列$A$について,
$Ax=0$となる3次元ベクトル$x$の全体が直線となるように
実数$t$を定めよ.さらにこのとき,$Ax=0$となる3次元ベクトル$x$を
すべて求めよ.
$$A=\left(\matrix
1 & 2t & -1 \\
-1 & -2 & t \\
2t & 4 & -2
\endmatrix\right)$$

\bigskip [3] 次の行列のrankはいくつか.実数$t$の値によって
場合分けして答えよ.
$$A=\left(\matrix
1 & 1 & 2 \\
2 & 2t & 2t+2 \\
t & 1 & t+1
\endmatrix\right)$$

\bigskip [4]
次の行列の固有方程式が2重根および他の1根を持つように実数$a$の
値を定めよ.
$$A=\left(\matrix
12 & -9 & 6 \\
4 & -3 & 2-a \\
-20 & 15 & -10 
\endmatrix\right)$$

\bigskip [5]
次の行列$A$について,
$\dsize\lim_{n\to\infty} A^n$を求めよ.
$$A=\left(\matrix
-3 & 7 & 2 \\
1 & -\frac32 & -\frac12 \\
-10 & 20 & 6 
\endmatrix\right).$$
ただし,行列の列$A_n$が,$n\to\infty$のときに行列$B$
に収束するとは,各$j,k$について$A_n$の$(j,k)$-成分が$B$
の$(j,k)$-成分に収束することである.

\bye