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\centerline{数学IV・期末テスト・解答/解説}
\medskip
\rightline{1998年2月19日}
\rightline{河東泰之}

\bigskip
みんな計算で引っかかっているので，配点は[1]から順に
20, 20, 30, 30, 30, 30点の合計160点満点にしました．つまり，
[1], [2]を解いて後残りのうち2問できれば100点と言うわけです．
正しい方針でやっているものには，計算ミスがあったり途中で終わっていたり
しても部分点を
かなりつけてあります．この点数$x_2$が上に赤で書いてあります．
中間テストの点数を$x_1$とすると，最終成績$x$は前に予告したとおり，
$x=0.3\max(x_1,x_2)+0.7x_2$として計算します．(100点を超えたら100点
で頭打ちです.)これが青で書いてある点数です．

期末テスト自体の最高点は120点，平均点は63.5点，その得点の
分布は次のとおりです．採点ミスがあると思う人は，ただちに申し出て
下さい．(返却する答案は，すべてコピーが取ってあります．)

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&& \omit &&\omit &&\omit
&\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--49 (点) && 50--59 && 60--69
&& 70--79  && 80--89 && 90--99 && 100--120 & \cr
\vsp\t
&  22 (人) && 11 && 14 && 8 && 15 && 2 && 7 & \cr
\vsp\t
}}$$

最終成績(青い数字)の平均点は66.5点，その得点の
分布は次のとおりです．

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&& \omit &&\omit &&\omit
&\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--49 (点) && 50--59 && 60--69
&& 70--79  && 80--89 && 90--99 && 100 & \cr
\vsp\t
&  17(人) && 10 && 17 && 8 && 16 && 4 && 7 & \cr
\vsp\t
}}$$

以下略解と解説です．

\bigskip [1] 3次方程式を解くと3重根$3$を得るので，
解は$y=(ax^2+bx+c)e^{3x}$の形です．係数を合わせて，
答は$y=(2x^2-x+1)e^{3x}$となります．係数の計算ミスは10点減点です．

\bigskip [2] 
$t^3+3t^2-4t=(t-1)(t+2)^2=0$を解いて重根$-2$と単根$1$
が出るので，解は$a_n=(an+b)(-2)^n+c$の形です．
係数を合わせて$a_n=(n+3)(-2)^n+10$となります．
係数の計算ミスは10点減点です．

\bigskip [3] まず固有値は3(重根)と$-1$です．
普通の方法でやると，
$$X=\left(\matrix
1 & 2 & 1 \\
-1 & -4 & -2 \\
0 & -3 & -2
\endmatrix\right),
X^{-1}=\left(\matrix
2 & 1 & 0 \\
-2 & -2 & 1 \\
3 & 3 & -2
\endmatrix\right)$$で，このとき，
$$B=X^{-1}AX=\left(\matrix
3 & 1 & 0\\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & -1
\endmatrix\right)$$
だから，
$$e^{tA}=Xe^{tB}X^{-1}=
\left(\matrix
 3e^{-t}-2e^{3t}-2te^{3t} & 3e^{-t}-3e^{3t}-2te^{3t}
& -2e^{-t}+2e^{3t}+te^{3t} \\
 -6e^{-t}+6e^{3t}+2te^{3t} & -6e^{-t}+7e^{3t}+2te^{3t}
& 4e^{-t}-4e^{3t}-te^{3t} \\
 -6e^{-t}+6e^{3t} & -6e^{-t}+6e^{3t}
& 4e^{-t}-3e^{3t}
\endmatrix\right)$$
となります．

これは一番計算がめんどうです．$A$のJordan標準型までだと
10点，$e^{tB}$までで20点です．

\bigskip [4]
$AB=BA$とならなくてはいけないので，$t=15$が必要なことは
すぐわかります．一方，$A$の固有値は$1,2,3$で，このとき，
$$
X=\left(\matrix
1 & 0 & 1 \\
1 & -2 & -2 \\
3 & -3 & -2
\endmatrix\right), X^{-1}=\left(\matrix
-2 & -3 & 2 \\
-4 & -5 & 3 \\
3 & 3 & -2
\endmatrix\right)$$
より
$$X^{-1}AX=
\left(\matrix
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3
\endmatrix\right),
X^{-1}BX=
\left(\matrix
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\endmatrix\right)$$
となっているのでこれが答です．

いきなり$A$の対角化から始めても$t=15$と言う答が出ますが，
それでは論理的に不十分なので5点減点です．つまり，
$X$の選び方は一通りではないので，自分の選んだ$X$について
$X^{-1}BX$が対角行列でなくても，別の$X$については
$X^{-1}BX$が対角行列になるかもしれないからです．(本当は
そういうことはおきないんですが，それを主張するにはちゃんとした
根拠が必要です．)また実は，$AB=BA$になるようにして，$A$の
固有値が3つとも違うことをチェックすればそれだけでよくて，
そうやっている人もいましたが，
これにもちゃんと理由を書かないと減点です．

$A$の対角化で終わっていれば15点です．

\bigskip [5] $A$の固有値は1(重根)，2なので，
$$Y=
\left(\matrix
-4 & -2 & 5\\
-1 & 0 & 1\\
1 & 1 & -1
\endmatrix\right), Y^{-1}=
\left(\matrix
1 &-3 & 2\\
0 & 1 & 1\\
1 & -2 & 2
\endmatrix\right)$$
として，
$$B=Y^{-1}AY=\left(\matrix
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\endmatrix\right)$$
となります．
これより，
$$A^{10}=YB^{10}Y^{-1}=
Y\left(\matrix
1 & 10 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1024
\endmatrix\right)Y^{-1}$$
ですが，
$$\left(\matrix
1 & 0 & 0\\
0 & 10 & 0\\
0 & 0 & 1
\endmatrix\right)
\left(\matrix
1 & 10 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1024
\endmatrix\right)
\left(\matrix
1 & 0 & 0\\
0 & 1/10 & 0\\
0 & 0 & 1
\endmatrix\right)
=
\left(\matrix
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1024
\endmatrix\right)$$
であることより，
$$Z=\left(\matrix
1 & 0 & 0\\
0 & 1/10 & 0\\
0 & 0 & 1
\endmatrix\right), X=YZ$$
とおけば，
$$
X=\left(\matrix
-4 & -1/5 & 5\\
-1 & 0 & 1\\
1 & 1/10 & -1
\endmatrix\right),
X^{-1}=
\left(\matrix
1 & -3 & 2\\
0 & 10 & 10\\
1 & -2 & 2
\endmatrix\right),
X^{-1}A^{10}X=
\left(\matrix
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1024
\endmatrix\right)$$
となります．

上の
$$\left(\matrix
1 & 10 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1024
\endmatrix\right)$$
を答にしている人がたくさんいましたが，これはJordan標準型では
ありません．この形の人は20点です．

また，$X$を求めなくてよければ，固有値を求めたあとほとんど計算しなくても
Jordan標準型が上の形であることはすぐにわかってしまいます．そうやって，
正しいJordan標準型に到達している人は25点です．

\bigskip [6]
固有方程式は$t$にかかわりなく
$x^3-4x^2+5x-2=0$だから，その解は$x=1$ (重根)と$x=2$です．
問題の条件を満たすための必要十分条件は，
$A-I$のrankが1となることです．
$$A-I=\left(\matrix
-1 & 5 & -3 \\
-6t+5 & 15t-10 & -9t+6 \\
-10t+9 & 25t-20 & -15t+12
\endmatrix\right)$$
なので，この条件は2行目と3行目が1行目に平行，ということ
で，この条件を解くと
$t=1$となります．

これは固有方程式が$t$と無関係なんですが，計算の結果そうならなかった
人がたくさんいました．「固有値が3つとも異なる」ための条件を求めよう
としている人がたくさんいましたが，それは違います．

\bye