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\documentstyle{amsppt}

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\def\lan{\langle}
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\def\supp{\text{supp}}

\centerline{数学IV・期末テスト}
\medskip
\rightline{1998年2月17日}
\rightline{河東泰之}

\bigskip
この試験は，「自筆のノート持ち込み可」で行います．
本，プリント，人のノートのコピーなどは持ち込み不可です．
時間は，3時から4時30分までの90分です．

解答用紙の裏面を使用しても結構ですが，その時は
表の一番下に，「裏面使用」と明記してください．

\bigskip [1] 
$y(0)=1, y'(0)=2, y''(0)=7$という条件のもとで
次の微分方程式の解を求めよ．
$$y'''-9y''+27y'-27y=0.$$

\bigskip [2] 
数列$a_n$ $(n=1,2,3,\dots)$に対し，
$a_1=2, a_2=30, a_3=-38$という条件のもとで，
次の漸化式を解け．
$$a_{n+3}+3a_{n+2}-4a_n=0.$$

\bigskip [3] 
次の行列$A$と実数$t$に対し，$e^{tA}$を求めよ．
$$A=\left(\matrix
-11 & -14 & 9\\
26 & 29 & -17\\
24 & 24 & -13
\endmatrix\right).$$

\bigskip [4]
$$A=\left(\matrix
7 & 6 & -4\\
-4 & -1 & 2\\
0 & 3 & 0
\endmatrix\right),
B=\left(\matrix
-2 & -3 & 2\\
-10 & -13 & 8\\
-18 & -24 & t
\endmatrix\right)$$
とする．
$X^{-1}AX$, $X^{-1}BX$がともに対角行列となるような
行列$X$が選べるように，実数$t$の値を定めよ．

\bigskip [5]
$$A=\left(\matrix
6 & -14 & 6\\
1 & -2 & 1\\
-1 & 3 & 0
\endmatrix\right)$$
とおいたとき，$A^{10}$のJordan標準型を求めたい．
$X^{-1}A^{10}X$がJordan標準型となるような行列$X$を一つ
と，その時の，$X^{-1}$と$X^{-1}A^{10}X$
を求めよ．

\bigskip [6]
行列$A$を次の式で定める．
$$A=\left(\matrix
0 & 5 & -3 \\
-6t+5 & 15t-9 & -9t+6 \\
-10t+9 & 25t-20 & -15t+13
\endmatrix\right)$$
このとき，$X^{-1}AX$が対角行列になるような行列$X$が選べる
ように，実数$t$の値を定めよ．

\bye