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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{数学IV・期末テスト}
\medskip
\rightline{1996年2月19日}
\rightline{河東泰之}

\bigskip
この試験は，「自筆のノート持ち込み可」で行います．
本，プリント，人のノートのコピーなどは持ち込み不可です．
時間は，3時から4時30分までの90分です．

解答用紙の裏面を使用しても結構ですが，その時は
表の一番下に，「裏面使用」と明記してください．

\bigskip [1] 
次の2次曲線を図示せよ．
$$13x^2+7y^2+6\sqrt3 xy+(4-16\sqrt3)x-(16+4\sqrt3)y+16=0.$$

\bigskip [2] 
次の行列の$n$乗を求めよ．(ただし，$n$は自然数である．)
$$A=\left(\matrix
-1 & -5 & 3\\
-1 & 0 & 1 \\
-4 & -7 & 6
\endmatrix\right).$$

\bigskip [3] 
$y(0)=0, y'(0)=-2, y''(0)=4$という条件のもとで
次の微分方程式の解を求めよ．
$$y'''-5y''+3y'+9y=0.$$

\bigskip [4] 
数列$a_n$ $(n=1,2,3,\dots)$に対し，
$a_1=2, a_2=4, a_3=-8$という条件のもとで，
次の漸化式を解け．
$$a_{n+3}-6a_{n+2}+12a_{n+1}-8a_n=0.$$

\bigskip [5] 
次の行列$A$が直交行列になるような実数$a, b, c$の
値を求めよ．
$$A=\left(\matrix
a & 0 & -2c\\
a & b & c \\
a & -b & c
\endmatrix\right).$$

\bigskip [6] 3次行列$A$が対角化可能であるとは，ある
3次行列$X$をうまく取ると，$X^{-1}AX$を
$\left(\matrix
\alpha & 0 & 0\\
0 & \beta & 0 \\
0 & 0 & \gamma
\endmatrix\right)$の形にできることである．次の行列$A$
が対角化可能でなくなるような数$a$をすべて求めよ．
$$A=\left(\matrix
-4 & a & 3\\
-2 & 2 & 1 \\
-10 & 2 & 7
\endmatrix\right).$$

\bye