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\def\ran{\rangle}
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\centerline{数学IV・期末テスト・略解，解説}
\medskip
\rightline{1996年2月20日}
\rightline{河東泰之}

まず，答案に書いてある左側の赤数字(細字)が期末試験の点数(110点満点)，
右側の赤数字(太字)が，12月の中間テストも考慮した総合的な点数
(100点で頭打ち)です．

期末試験の配点は1番から順に，20, 20, 15, 20, 15, 20点で，110点
満点です．平均点は63.6点，その得点の
分布は次のとおりです．採点ミスがあると思う人は，ただちに申し出て
下さい．（返却する答案は，すべてコピーが取ってあります．）

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&& \omit &&\omit &&\omit
&\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--49 (点) && 50--59 && 60--69
&& 70--79  && 80--89 && 90--99 && 100--110 & \cr
\vsp\t
&  13 (人) && 13 && 9 && 6 && 8 && 6 && 4 & \cr
\vsp\t
}}$$

総合成績の平均点は66.3点，その得点の
分布は次のとおりです．

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&& \omit &&\omit &&\omit
&\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--49 (点) && 50--59 && 60--69
&& 70--79  && 80--89 && 90--99 && 100 & \cr
\vsp\t
&  9(人) && 14 && 11 && 7 && 5 && 9 && 4 & \cr
\vsp\t
}}$$

以下，略解を付けます．

\bigskip [1]
普通に直交対角化すればよい．答は，楕円$4(x-1)^2+(y-1)^2=1$を
正の向きに$\pi/6$回転したもの．(図は略．)

\bigskip [2]
$$
B=\left(\matrix
2 & 1 & 0\\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1
\endmatrix\right),
X=\left(\matrix
1 & -3 & 2\\
0 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 3
\endmatrix\right),
X^{-1}=\left(\matrix
-4 & -7 & 5\\
-1 & -1 & 1\\
1 & 2 & -1
\endmatrix\right).$$
とすれば，$A=XBX^{-1}$である．(つまり$A$のJordan標準型は$B$である．)
$$
B^n=\left(\matrix
2^n & n2^{n-1} & 0\\
0 & 2^n & 0 \\
0 & 0 & 1
\endmatrix\right)$$
だから，
$$A^n=XB^nX^{-1}=
\left(\matrix
-(n+2)2^{n-1}+2 &-(n+8)2^{n-1}+4 & (n+4)2^{n-1}-2\\
-2^n+1  & -2^n+2 & 2^n-1 \\
-(n+6)2^{n-1}+3 &-(n+12)2^{n-1}+6 & (n+8)2^{n-1}-3
\endmatrix\right)$$
である．

\bigskip [3]
普通に3次方程式を解くと，重根3と単根$-1$を得る．あとは係数をあわせて，
答は$y=-e^{3x}+2xe^{3x}+e^{-x}$である．

\bigskip [4]
普通に3次方程式を解くと，3重根2を得る．あとは係数をあわせて，
答は$a_n=2^n(-n^2+3n-1)$である．

\bigskip [5] $A^t A=I$を解けばよい．($A^{-1}={}^t A$を解くのはめんどう．)
答は$a=\dfrac{\pm1}{\sqrt3}$, $b=\dfrac{\pm1}{\sqrt2}$, 
$c=\dfrac{\pm1}{\sqrt6}$である．(複号同順ではない---答は8通り．) 

\bigskip [6]
固有方程式は$x^3-5x^2+(2a+6)x-4a=0$であり，まずこれが重根を持つことが
必要である．これが$(x-2)(x^2-3x+2a)=0$と因数分解できるので，
$x=2$が$x^2-3x+2a=0$を満たすか，または$x^2-3x+2a=0$が重根を持つか
である．これより，$a=1,\dfrac98$を得るが，これらの時実際に対角化
可能ではないことがrankの計算からチェックできるので，これが答である．

\bye