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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}
\def\supp{\text{supp}}

\centerline{数学IV・中間テスト・略解，解説}
\medskip
\rightline{1995年12月21日}
\rightline{河東泰之}

配点は1番から順に，20, 30, 30, 20点です．平均点は62.5点，得点の
分布は次のとおりです．採点ミスがあると思う人は，ただちに申し出て
下さい．（返却する答案は，すべてコピーが取ってあります．）

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&& \omit &&\omit &&\omit
&\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--49 (点) && 50--59 && 60--69
&& 70--79  && 80--89 && 90--99 && 100 & \cr
\vsp\t
&  13（人) && 10 && 10 && 5 && 14 && 0 && 10 & \cr
\vsp\t
}}$$

期末試験も，難易度，成績の付け方などは今回に準じる予定です．
以下，略解を付けます．

\bigskip [1]
公式通り計算して，
$$
\left(\matrix
-2 & -6 & -3\\
1 & 2 & 1 \\
-2 & -7 & -4
\endmatrix\right)
$$となります．これは単なる計算問題で，検算も容易ですから，1ヶ所でも
答が違っているものは0点にしました．

\bigskip [2]
行列式を0とおくと，
$$48+48-x^3-x^2+12x+12x+16x+16=-(x+4)^2(x-7)=0$$
となります．
$x=-4$の時は，rankが1となり，$x=7$の時，rankが2になるので，
答は$7$です．行列式$=0$という計算はかなりできていましたが，rank
についてだいぶ混乱がありました．

\bigskip [3]
固有方程式は，
$$x^3+x^2-5x+3=(x-1)^2(x+3)=0$$
です．$A-I$のrankが2だから，授業でやった6通りのうち，(3)番の型です．
固有値$1,-3$に対応する固有ベクトルとしてそれぞれ
$$
\left(\matrix
1\\
1 \\
3
\endmatrix\right),
\left(\matrix
1\\
-2 \\
-2
\endmatrix\right)$$
が取れるので，あとは授業でやった方針通り計算して，次の答が出ます．

$$
\left(\matrix
-2 & -3 & 2\\
-4 & -5 & 3 \\
-1 & -2 & 1
\endmatrix\right)
\left(\matrix
1 & 3 & -1 \\
-12 & -20 & 11 \\
-20 & -31 & 18 
\endmatrix\right)
\left(\matrix
1 & -1 & 1\\
1 & 0 & -2\\
3 & -1 & -2
\endmatrix\right)
=
\left(\matrix
1 & 1 & 0\\
0 & 1 &0\\
0 & 0 & -3
\endmatrix\right)
$$

（もちろん，$X,X^{-1}$にはこれと異なる選び方もあります．）

\bigskip [4]
答はたくさんありますが，たとえば
$$
\left(\matrix
1 & -1 & 1\\
2 & 1 &1\\
3 & 2 & 1
\endmatrix\right),
\left(\matrix
1 & -3 & 2\\
-1 & 2 &-1\\
-1 & 5 & -3
\endmatrix\right)
$$
などです．基本的な作戦は，行列式が$\pm1$になるように
$X$を選び，あとは0が出ないように工夫するということです．
[3]で，出てくる$X$がちょうどこれにあてはまるように取れている人が
いましたが，そういうラッキーな人は2人だけでした．正解者は14人，
正解のパターンは13通りでした．

\bye