\magnification=\magstep1
\documentstyle{amsppt}
\def\a{\alpha}
\def\be{\beta}
\def\ga{\gamma}
\def\e{\varepsilon}
\def\Q{\bold Q}
\def\R{\bold R}

\nopagenumbers

\centerline{1998年度理科II, III類1年生 数学IA演習・小テスト(4)解説}
\rightline{1998年5月19日・河東泰之}
\rightline{数理科学研究科棟310号室 (電話 5465-7024)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{homepage http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}
\bigskip

配点は[1]から順に$10\times 4$, $15\times 2$, 30点です．[1]は
言葉の定義が分かっているかどうかだけの問題です．間違えた
人はよく復習しておいてください．
平均は61.3点，最高は100点(9人)でした．
下に略解をつけます．

\bigskip
[1] それぞれ簡単な例$\{\a_n\}_n$を一つずつあげます．実際の
答案ではもっと説明が必要です．

(1) $\a_1=0$, $\a_n=1, (n \ge 2)$.

(2) $\a_1=\a+1$, $\a_2=\a-1$, $\a_n=\a, (n \ge 3)$.
(この問題の文章は，$\a$が1つ与えられているのかどうか曖昧でした．
だから，特定の$\a=0$等で作ったものでも正解です．どちらにしろ
問題の本質は同じです．)

(3) $\a_n=1/n$.

(4) $1,0,-1$の3つを無限に繰り返した数列．

\bigskip[2]
(1) Cauchy列の定義どおりにやってもできるし，
単調増大なので，「上に有界(たとえば1が上界) $\Rightarrow$ 収束する 
$\Rightarrow$ Cauchy列だ」とやってもできます．

(2) $\a_n=1-1/10^n$だから，簡単にできます．(収束の
証明にはまだ厳密に扱っていない$\log$などは使わないでやってほしかったんですが，
使ってあっても減点はしていません．$10^n > n$を
使えば$\log$はいりません．)

\bigskip [3] 0以上の整数$k$に対し，
$\be_k=\dsize\sup_n \a_{k+n}$とおく．仮定より
$\be_0=\a$であり，また$\{\be_k\}_{k\ge0}$は下に有界な
単調減少数列である．背理法で
$\dsize\limsup_{n\to\infty} \a_n =\a$を示すため，
この等式が成り立たないと仮定しよう．すると，どこかの
$k$で，$\be_k < \a$となっていなくてはならない．
このとき，
$\a=\dsize\sup \a_n=\sup\{\a_1,\a_2,\dots,\a_k,\be_k\}$
だが，$\a_n=\a$となる番号$n$は存在しないと言う仮定と，
$\be_k < \a$により，$k+1$個の数$\a_1,\a_2,\dots,\a_k,\be_k$
は，すべて$\a$より小さいので，これは矛盾である．
よって，$\dsize\limsup_{n\to\infty} \a_n =\a$が証明された．

\bigskip
\bigskip
5月12日の演習の時間にも言いましたが，
参考書で有名なものとしては，高木貞治「解析概論」(岩波書店)
と小平邦彦「解析入門」(岩波書店)があります．実数の切断に
ついてはこの2つが詳しく，他の本では切断のことをあまり書いて
いないこともよくありますが，それ以降の話題(極限/微分/積分など)
については，
どの解析学の本でも，ほぼ同様の内容が書いてあります．

よくわからない，ということを何人かの学生に言われましたが，
最大の理由は，抽象的な厳密理論というものに慣れていないと言うこと
でしょう．実数，極限などと言うものについて当然すでに
かなりのイメージを持っているわけで，そういうイメージは当然重要
ですが，何かを証明する時には，定義とすでに証明したことしか
使ってはいけないわけです．それから，背理法や，対偶を証明する
ということをたびたび使っていますが，そういう否定の取り方に
慣れていないと言うこともあると思います．たとえば，
$\dsize\lim_{x\to a}f(x)=\a$の否定は，
$$\exists \e > 0 \;\;\forall \delta > 0\;\;
\exists x \;\;[\; 0< |x-a| < \delta \hbox{\ and\ }
|f(x)-\a|\ge \e\;]$$
ですが，こういうのに慣れることも必要です．

演習の点のつけ方は，前にも言ったとおり，
全体の小テストのうち，悪い方から2回分を除いた点数の平均によって，
演習の成績をつけます．(欠席の回は0点として扱います．)
その平均そのものでは多分点数として低すぎるので，プラスアルファを
考慮しますが，それについては，講義の方の期末試験の成績も加味します．
小テストの点数が低いのは，難しめの問題も出しているからですが，
そういう問題を出す理由は次のとおりです．(今回のはそんなに難しく
ない方ですが．)

演習の形態としては，問題を配って，それを学生が黒板で解いて
説明すると言うのが伝統的な方法で，私も前に数学IAを理科I類で
教えた時はそうしていました．しかし，学生が50〜100人と言った
人数でいると，そういうやり方では全然順番がまわらなくて
効果があがりません．そこで，今年のように毎回テストと言う方式に
しています．ですが，やはり基本は自分でゆっくり考えるということ
なので，試験時間中にわからなかったことは，あとでゆっくり自分で
考えてもらって，それで身につけばいいというつもりで問題を
出しています．もちろん，その場で全部わかる人はそれでいいんですが，
そういう人がたくさんいるつもりではやっていません．だから，
別にその場ですぐにできなくても，試験のあとで，または答案・
解説を返してもらった後で理解してくれれば，それでけっこうです．

\bye