\magnification=\magstep1
\documentstyle{amsppt}
\def\a{\alpha}
\def\be{\beta}
\def\ga{\gamma}
\def\Q{\bold Q}
\def\R{\bold R}

\nopagenumbers

\centerline{1998年度理科II, III類1年生 数学IA演習・小テスト(4)}
\rightline{1998年5月12日・河東泰之}
\rightline{数理科学研究科棟310号室 (電話 5465-7024)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{homepage http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki}
\bigskip

答案の一番上に氏名と学生証番号を書いてください．
(組は書かなくてもけっこうです．)自分のノートを
参照して結構です．

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[1] 以下の(1)〜(4)のそれぞれについて，
条件を満たす有理数列を1つずつあげよ．答を書くだけでなく，
説明をきちんとつけること．

(1) 有界数列で，上限と上極限は同じだが，下限と下極限が
違うもの．

(2) 有界数列で，上極限と下極限は同じ値$\a$だが，
上限と下限はどちらも$\a$ではないもの．

(3) 有界数列$\{\a_n\}_n$で，どのように部分列を選んでもその
部分列の上極限は0だが，$n\neq m$ならば常に$\a_n\neq\a_m$
であるもの．

(4) 上極限が1, 下極限が$-1$で，0に収束する部分列を持つ数列．

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[2] (1) 整数の列$\{a_n\}_{n=1,2,3,\dots}$で，すべての$n$について，
$a_n\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$となるものを取る．この時，
$\alpha_n=\dsize\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{10^k}$とおけば，数列
$\{\alpha_n\}_n$は，Cauchy列になることを示せ．

(2) 上の極限を，$a_n$を``0.''のあとに順に並べて
得られる無限小数の定義とする．この定義に基づいて，
$1=0.999\cdots$を証明せよ．ただし，右辺では，9が無限に続いている．

\bigskip
[3] $\{\a_n\}_n$を有界な数列とする．$\a=\dsize\sup_n \a_n$とし，
$\a_n=\a$となる番号$n$は存在しないとする．このとき，
$\dsize\limsup_{n\to\infty} \a_n =\a$であることを示せ．

\bye