\magnification=\magstep1
\documentstyle{amsppt}
\def\a{\alpha}
\def\be{\beta}
\def\ga{\gamma}
\def\e{\varepsilon}
\def\Q{\bold Q}
\def\R{\bold R}

\nopagenumbers

\centerline{1998年度理科II, III類1年生 数学IA演習・小テスト(3)解説}
\rightline{1998年5月12日・河東泰之}
\rightline{数理科学研究科棟310号室 (電話 5465-7024)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{homepage http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki}

\bigskip
配点は[1]から順に40, 30, 30点です．[1]は一番簡単なんですが，
点数を上げるために配点を多くしました．
[1]は授業でやった通りの基本問題です．これができなかった人は
よく復習してください．($n\ge2$と書いておくべきでした．)
[2]は$\sqrt2$に収束するわけで，
「$\sqrt2$に収束する事を示せ」と言う問題なら高校生でも
できるでしょうが，ここでは平方根などを使わないで，有理数の
性質だけで，Cauchy列である事を示せ，と言う問題です．
[3]は，下の解答例のように，有理数の範囲内でやってほしかった
んですが，これは少し問題のポイントが[1], [2]とは違うので，
$\a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$や，$\a_n=\log n$と言ったものでも
(ちゃんと書いてあれば)減点はしていません．

平均は49.9点，最高は100点(2人)でした．
下に略解をつけます．

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[1] 
任意の$\e>0$に対し，$0 < r < \e$となる有理数$r$を取る．
$N^2 > 1+3/r$となる自然数$N$を取れば，$n > N$のときに，
$$\left|\frac{n^2+2}{n^2-1}-1\right|=
\left|\frac{3}{n^2-1}\right| < r < \e$$
となるので，
$\dsize\lim_{n\to\infty} \frac{n^2+2}{n^2-1}=1$
が証明された．

\bigskip
[2] まず，$\a_n$はすべて正の有理数である事が
(数学的帰納法で)わかる．次に
$\a_{n+1}^2-2=\left(\dfrac{\a_n}{2}-\dfrac{1}{\a_n}\right)^2\ge0$
なので，$\a_{n+1}^2\ge2$である．(等号は実際は成立しないが
今はそれは問題ではない．)
また，
$$\a_{n+1}-\a_n=\frac{1}{\a_n}-\frac{\a_n}{2}=
\frac{2-\a_n^2}{2\a_n}\le 0$$
でもある．(ここで「下に有界な単調減少数列は収束するから
Cauchy列だ」としたいところだが，それはまだ証明していない
ので，別の工夫をする．)
まず有理数$t$が，$t^2 \ge 2$を満たす時，
$\dfrac{t^2-2}{4t}\ge
\dfrac{\dfrac{t^2}{4}+\dfrac{1}{t^2}-1}{t+\dfrac{2}{t}}$
である事に注意する．(分母をはらえば簡単にわかる．)
これより，
$$\a_n-\a_{n+1}=\frac{\a_n^2-2}{2\a_n}=
\dfrac{-2+\left(\dfrac{\a_{n-1}}{2}+\dfrac{1}{\a_{n-1}}\right)^2}
{2\left(\dfrac{\a_{n-1}}{2}+\dfrac{1}{\a_{n-1}}\right)}
\le \frac{1}{2}\frac{\a_{n-1}^2-2}{2\a_{n-1}}$$
であるから，$\a_2=\dfrac{3}{2}$, $\a_3=\dfrac{17}{12}$
を用いて，$n\ge2$のとき
$$0 \le \a_n-a_{n+1}\le
\frac{1}{2^{n-2}}(\a_2-\a_3)=\frac{1}{3\cdot 2^n}$$
を得る．
これより，$N < n \le m$のとき，
$$0\le \a_n-\a_m\le \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2^n}+\cdots+
\frac{1}{2^{m-1}}\right) < \frac{1}{3\cdot 2^{n-1}}\le
\frac{1}{3\cdot 2^N}$$
なので，任意に$\e > 0$が与えられたときに，これが
$\e$より小さくなるように，自然数$N$を選ぶ事ができる．
つまり，$\{\a_n\}_n$はCauchy列である．

\bigskip
[3] たとえば一つの例は次のとおり．

$n=1,2,3,\dots$に対して，$1/2^n$を$2^n$回並べてできる数列
$$1/2,1/2,1/4,1/4,1/4,1/4, 1/8,\dots$$
を$\{\be_n\}_n$とする．$\a_n=\sum_{k=1}^n \be_k$
と定めるとこれが，以下のように条件を満たす．

任意の$\e > 0$に対し，$0< r <\e$となる有理数$r$を取る．
$r < 2^k$となる自然数$k$を取り，$\be_N=1/2^k$となる
自然数$N$を取る．$n > N$であれば，
$$|\a_n-\a_{n+1}|=|\be_{n+1}|\le 1/2^k < r < \e$$
だから，問題の条件は確かに満たされている．

一方，数列$\{\a_n\}_n$は単調増大で，
$n=2+4+\dots+2^k$に対し，$\a_n=k$だから，$\{\a_n\}_n$は
Cauchy列ではない．

\bye