\magnification=\magstep1
\documentstyle{amsppt}
\def\a{\alpha}
\def\be{\beta}
\def\ga{\gamma}
\def\Q{\bold Q}
\def\R{\bold R}

\nopagenumbers

\centerline{1998年度理科II, III類1年生 数学IA演習・小テスト(3)}
\rightline{1998年4月28日・河東泰之}
\bigskip

答案の一番上に氏名と学生証番号を書いてください．
(組は書かなくてもけっこうです．)自分のノートを
参照して結構です．実数の割り算，平方根などは
まだ厳密な取扱いをしていないので，これらを使った場合は
減点です．

\bigskip
[1] 数列の極限の定義に基づいて
$\dsize\lim_{n\to\infty} \frac{n^2+2}{n^2-1}=1$を
証明せよ．(ただし$n\ge 2$で考える.)

\bigskip
[2] 数列$\{\a_n\}_n$を，$\a_1=1$, $\a_{n+1}=\dfrac{\a_n}{2}+\dfrac{1}{\a_n}$,
($n\ge1$), で定める．これがCauchy列であることを示せ．

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[3] 次の条件を満たす実数列$\{\alpha_n\}_n$で，Cauchy列ではないものの例を
一つあげよ．きちんと説明をつけること．

$\forall \varepsilon > 0 \;\;\exists N\;\; n > N \Rightarrow |\a_n-\a_{n+1}|
< \varepsilon.$

\bye