\magnification=\magstep1
\documentstyle{amsppt}
\def\a{\alpha}
\def\be{\beta}
\def\ga{\gamma}
\def\e{\varepsilon}
\def\Q{\bold Q}
\def\R{\bold R}

\nopagenumbers

\centerline{1998年度理科II, III類1年生 数学IA期末テスト解説}
\rightline{1998年9月10日・河東泰之}
\rightline{数理科学研究科棟310号室 (電話 5465-7024)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{homepage http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}
\bigskip

答案の一番上の赤い数字が，1問35点でつけたこのテストの成績，
その右の丸囲みの数字が，演習の成績も加味したこの科目の
最終成績です．さらに演習を取っている人にはその右に
演習の最終成績が青い数字で書いてあります．
採点に誤りがあると思う人はただちに
e-mailで連絡してください．私はイタリアに
行っているので英文/ローマ字でお願いします．返す答案はすべてコピーが
取ってあります．

演習とこのテストの成績に大きな差があって，片方を落としてしまいそうな
人は，悪い方の点を，両方の点の平均で置き換えました．これを適用した
人の点数には右上にプラス印がついています．この対象者は全部で5人です．

[3], [4]は全滅で1人もできていませんでした．それで点が多くなるように
1問35点(140点満点)でつけました．平均点は60.2点，最高点は135点
(2人)です．
総合成績の平均は61点，得点分布は次のとおりです．

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--49 (点) && 50--59 && 60--69 && 70--79 && 80--89 && 90--99 && 100 & \cr
\vsp\t
& 18(人) &&  13 && 3 && 10 && 8 && 5 && 6 & \cr
\vsp\t
}}$$


\bigskip [1] これはごく標準的な問題です．
$f_x= -6 x + 6 x^2  + 6 x y - 6 y^2$,
$f_y=3 x^2  - 12 x y + 9 y^2$だから，
$f_x=f_y=0$を解くと，$(x,y)=(0,0),(1,1),(9/11,3/11)$となります．
$f_{xx}=-6 + 12 x + 6 y$,
$f_{xy}=f_{yx}=6 x - 12 y$,
$f_{yy}=-12 x + 18 y$となるので，普通の判定法により，
$(1,1)$では極小値$-1$を取り，$(9/11,3/11)$では極値を取らない
ことがわかります．$x=0$とおいて$y$だけ変化させる
ことにより，$(0,0)$では極値を取らない
ことがわかります．

\bigskip [2]
極座標に変換すると，
$$E=\{(r,\theta)\mid 0\le r\le2\sqrt{\cos 2\theta},
-\pi/4\le\theta\le\pi/4,
3\pi/4\le\theta\le5\pi/4\}$$に移ります．(ここで間違えた人が
かなりいました．)
あとは$E$上で$\dsize\int_E r\;dr\;d\theta$を計算すればよくて，
普通の計算で答えは4になります．

\bigskip [3]
大きい番号だけが問題なので$b_n > 0$としてかまいません．
正の$\e > 0$を任意に取ります．仮定より
$$　n > N \Rightarrow | a_n-\a b_n-(a_{n-1}-\a b_{n-1})| < \e (b_n-b_{n-1})$$
となる自然数$N$が取れます．
$ m > n > N$のとき，上の不等式を順番に足して
$$| a_m-\a b_m-(a_{n}-\a b_{n})| < \e (b_m-b_{n})$$
がわかります．($\{b_n\}_n$が単調増大なことを使いました．)
両辺$b_m$で割って
$$| \frac{a_m}{b_m}-\a -\frac{a_{n}-\a b_{n}}{b_m}| <
\e (1-\frac{b_n}{b_m})$$
となります．$m > N$なので$m\to\infty$とすると$\dsize\sup_n b_n=\infty$
より，
$\dsize\limsup_{m\to\infty}\left|\dfrac{a_m}{b_m}-\a\right|\le\e$
がわかります．$\e > 0$は任意だったので，これは
$\dsize\lim_{m\to\infty}\left|\dfrac{a_m}{b_m}-\a\right|=0$
を意味しています．

\bigskip [4] ほとんどの人が「存在しない」ことを
証明しようとしていましたが，それは誤りです．たとえば
$f(x)=\dfrac{\sin x^4}{x^2+1}$が一つの例です．
$\dsize\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0$なので一様連続になり，
もちろん微分可能です．微分すれば有界でないこともすぐに
わかります．直感的には小さい振幅，高い周波数で激しく
振動させればこういう関数が作れます．

\bigskip [5]
(1) 積分の順序を入れ替えれば普通に不定積分できる
ようになります．\hfil\linebreak
$\dsize\int_0^1 \int_{y}^{10y} \sqrt{xy-y^2}\;dy\;dx=6$が
答えです．

(2) $y$で先に積分し，置換積分$y=2x\cos\theta$を行います．(内側の
積分を行う時には$x$は定数です．)
$\dsize\int_0^1\int_0^x \sqrt{4x^2-y^2}\;dy\;dx=
\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\pi}{3}\right)$
が答えです．

\bigskip [6]
$\log(1+t)$の$t=0$のまわりでのTaylor展開に$t=x^2, -x^2$を
代入して引き算すると，問題の関数は
$$2\left(x^2+\frac{x^6}{3}+\frac{x^{10}}{5}+\cdots\right)$$
となります．これはべき級数で収束半径が1なので，これ自身が
$x=0$のまわりでのTaylor展開です．順番に微分しようとすると
泥沼にはまります．

\bye