\magnification=\magstep1
\documentstyle{amsppt}
\def\a{\alpha}
\def\be{\beta}
\def\ga{\gamma}
\def\e{\varepsilon}
\def\Q{\bold Q}
\def\R{\bold R}

\nopagenumbers

\centerline{1998年度理科II, III類1年生 数学IA演習・小テスト解説(14)}
\rightline{1998年7月24日・河東泰之}
\rightline{数理科学研究科棟310号室 (電話 5465-7024)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{homepage http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}
\bigskip

赤で書いてあるのが今回のテストの点，青で書いてあるのが
「悪い方から2回分を除いた残りの平均点の1.25倍」です．
これが基本的に演習の点になります．前に言ったとおり，
期末テストの点がこれよりずっとよければ演習の方にプラス
アルファの点がつきます．期末テストが悪くても，演習の点が
これより下がることはありません．演習のテストを
10回以上受けた人についての青い点数の分布は
次のとおりです．最高点は122点でした．
(演習を登録しないでテストだけ受けている人には青い点数
は書いてありません．100点を超えている人は実際につく成績は
100点です．)

$$\vbox{\offinterlineskip
\def\vsp{height 2pt &\omit &&\omit &&\omit &&\omit
&& \omit &&\omit &&\omit
&\cr}
\def\t{\noalign{\hrule}}
\def\h{\hfil}

\halign{& \vrule # & \strut \;\;\hfil # \; \cr
\t\vsp
& 0--49 (点) && 50--59 && 60--69
&& 70--79  && 80--89 && 90--99 && 100--125  & \cr
\vsp\t
&  10 (人) && 9 && 8 && 4 && 5 && 6 && 5 & \cr
\vsp\t
}}$$

今回の配点は[1]から順に$15\times3$, 15, $20\times2$点です．
平均点は62.1点，最高は100点(2人)でした．

\bigskip
[1] (1) 極座標に変換するのが一番楽です．答は$(p+q)\pi/4$.

(2) 極座標では，
$$\int_0^{2\pi}\int_0^\infty r^2 e^{-r^4}r\;dr\;d\theta=
\int_0^{2\pi}\left[\frac{-1}{4}e^{-r^4}\right]_0^\infty\;d\theta=
\frac{\pi}{2}$$
となります．（これで，広義積分がちゃんと収束していることも
わかります．）

(3) $x=(u+v)/2$, $y=(u-v)/2$で，$J(u, v)=-1/2$
としてもいいし，直接普通にやってもできます．答は1.

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[2] 極座標に変換すればすぐできます．

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[3] 問題に出ているのは
ベータ関数，ガンマ関数と言われる有名な関数です．
$p, q$は自然数という意味ではありません．正の実数です．

(1) $0 < x < 1$と$x\ge1$にわけてそれぞれ評価します．
この両方をしないと行けません．

(2) $\Gamma(p)$, $\Gamma(q)$をかけて極座標に変換するとできます．

\bye