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\centerline{1998年度理科II, III類1年生 数学IA演習・小テスト(1)の解説}
\rightline{1998年4月21日・河東泰之}
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答案用紙の1番上に，学生証番号と氏名を書いてください!!

4/14の演習の時間の小テストの解説です．これは成績にはありません．
だから点数もつけてありません．次回からはちゃんと点数をつけて返します．
全体の小テストのうち，悪い方から2回分を除いた点数の平均によって，
演習の成績をつけます．欠席の回は0点として扱います．それから，
毎回ノート持ち込み可で行います．

今回の問題は，いずれも「正解」がはっきりあって客観的に
採点できるような試験問題ではありません．
[1]で，面積比較に持ち込んだり，[2]で，平均値の定理からすぐ導いたり
するのは，
教科書にそう書いてあるという意味では「正解」かも知れませんが，論理的に
はいろいろ
問題があるのは，下に説明してある通りです．一方，[1]で微分したり，
[3]で，指数・対数関数の微分を使うのは，普通に考えれば循環論法ですが，
三角関数，指数・対数関数を先に厳密に定義してしまう方法もあり，
そのような方法の下では，きちんと正当化できる方法です．重要なのは
全体的な論理の展開，流れであって，一部だけを取り出したとき，
「正しい証明」というのが一つだけあるわけではない，ということも
理解してほしいと思います．よく見られたパターンについて下で解説します．

なお，これらの問題は
高校で習ったことはけっこう論理的にいいかげんであった，ということを
自覚してもらうだけのためのもので，このような問題がこれから
演習や試験に出るというわけではありませんから，誤解しないでください．

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[1] (1) 微分を使う方法(ロピタルの定理に持ち込むものを含む)
がたくさんありましたが，
通常，$\sin\theta$の微分が$\cos\theta$であることを示すのに，この極限の
式を使いますから，これでは微分の式を何らかの方法で
別に示さない限り，循環論法になってしまいます．

(2) $\theta>0$の時，
面積の比較で，扇型に内接する三角形$<$扇型$<$直角三角形，の式から
$\cos\theta<\dfrac{\sin\theta}{\theta}<1$がでます．ここで
$\theta\to0$として，はさみうちで答えが出ます．（$\theta<0$でも同様．）
これは，教科書に書いてあるのですが，「扇型の面積とは何か?」と考えると，
最終的には積分を持ち出すことになり，上と同様に循環論法の問題があります．

(3) 円弧や弦の長さの比較に持ち込んでも，
$\cos\theta<\dfrac{\sin\theta}{\theta}<1$が出ます．
もともと三角関数における角度は，円弧の長さをもとにしているので，
これのほうが，より「良心的」と言えるでしょう．しかし，それでも
曲線の長さとは何か，と考え始めるとまた積分の話になって
いろいろ微妙になって来ます．
そこまで戻ると，そもそも円周率$\pi$だって怪しい，ということになります．
この様な問題点を避ける方法もこれから授業で説明します．

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[2] (1)
「$f(x)$は，単調増大だから」と書いた人が結構いましたが，それは結論と
同じ事を言い直しているだけで，問題はその単調増大性を「証明」することです．

(2) もっともちゃんとした証明は，平均値の定理から，
$c0$から，$f(c)0$から，$f(x+h)-f(x)>0$を導き，
これを繰り返して使えば，単調増大性が示せる，というものでした．
これは，一見もっともらしいですが，かなりの飛躍があります．問題は，
ここでの$h$が，各$x$に応じて定まる数だ，ということです．たとえば，
まず$x=a$に対して，$h_1$が存在して，$f(a)0$とする方法も
ありました．これももっともらしいのですが，
積分自体いろいろとごまかしているので，また問題があります．
たとえば，$f'(x)$は連続とは限らないので，そのような関数の
積分とはそもそも何か，といったことが問題です．
(区分求積法では一般にできません．)

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[3] (1)もちろん，答は自然対数の底$e$に収束するのですが，その収束先の存在を
証明するというのが問題です．
「この極限は存在することが知られており，
それを$e$という文字で表す．」などと書いてある高校教科書もありますが，
これは見るからに論理的にごまかしています．

答案では，[1]と同様に対数関数の微分などを使っている人がかなりいましたが，通常の
方法では，この極限の存在を示したあとで初めて，自然対数や
$e^x$が定義されるのですから，先にそのような関数の性質を
使ってしまうのは循環論法です．

高校の範囲内で最もきちんとした方法はたぶん次のものでしょう．

まず，$\dsize\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$を二項展開して，
$$1+\cdot\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2\cdot1}\frac{1}{n^2}+
\frac{n(n-1)(n-2)}{3\cdot2\cdot1}\frac{1}{n^3}+\cdots+
\frac{n(n-1)(n-2)\cdots1}{n\cdots3\cdot2\cdot1}\frac{1}{n^n}$$
と表します．すると，これは，
$$1+1+\frac{1}{2\cdot1}+\frac{1}{3\cdot2\cdot1}+
\frac{1}{4\cdot3\cdot2\cdot1}+\cdots++
\frac{1}{n\cdots3\cdot2\cdot1}$$
より小さく，さらに
$$1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+
\frac{1}{2^{n-1}}+\cdots=3$$
より，小さくなります．
一方，上の
$\dsize\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$の表示と
$\dsize\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}$に対する同様の式
$$1+(n+1)\cdot\frac{1}{n+1}+\frac{(n+1)n}{2\cdot1}\frac{1}{(n+1)^2}+
%\frac{(n+1)n(n-1)}{3\cdot2\cdot1}\frac{1}{(n+1)^3}+
\cdots+
\frac{(n+1)n(n-1)(n-2)\cdots1}{(n+1)n\cdots3\cdot2\cdot1}
\frac{1}{(n+1)^{n+1}}$$
を比べると，後者の各項の方が，前者の各項より大きい上に，後者の方が
項の数が一つ多いことがわかります．すべての項は正ですから，
これで，数列$\left\{\dsize\left(1+\frac{1}{n}
\right)^n\right\}_{n=1,2,3,\dots}$
は単調増大で上に有界であることがわかり，収束先の存在がわかります．
これだと，証明しないで使っていることは，「上に有界な単調増大実数列は
収束先を持つ」ということだけになります．これも高校では当たり前のように
使っていますが，厳密な実数の定義に基づく証明はこれから講義で行います．

\bye