\magnification=\magstep1
\documentstyle{amsppt}
\def\a{\alpha}
\def\be{\beta}
\def\ga{\gamma}
\def\e{\varepsilon}
\def\Q{\bold Q}
\def\R{\bold R}

\nopagenumbers

\centerline{1998年度理科II, III類1年生 数学IA演習・小テスト(11)}
\rightline{1998年6月30日・河東泰之}
\rightline{数理科学研究科棟310号室 (電話 5465-7024)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{homepage http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}
\bigskip

答案の一番上に氏名と学生証番号を書いてください．
(組は書かなくてもけっこうです．)自分のノートを
参照してもけっこうです．

\bigskip [1]
広義積分$\dsize\int_0^{\pi/2} \log\sin x\;dx$は収束することを
示せ．

\bigskip [2]
自然数$n$に対し，
$$I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\;dx$$
とおく．この値を求めよ．
(ヒント: 部分積分を使えばできる．他の方法で
できればこのヒントに従う必要はない．)

\bigskip [3]
(1) 次の不等式を示せ．（ただし，$n$は自然数である．）
$$\int_0^1 (1-x^2)^n\;dx<
\int_0^\infty e^{-nx^2}\;dx<
\int_0^\infty\frac{1}{(1+x^2)^n}\;dx.$$

(2) 第一の積分で$x=\cos t$, 第二の積分で
$x=t/\sqrt n$, 第三の積分で$x=1/\tan t$という
変数変換を行って得られる不等式を書け．

(3) (2)と[2]の結果を使って，
積分$\dsize\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\;dx$
の値を求めよ．

\bye