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\documentstyle{amsppt}
\def\a{\alpha}
\def\be{\beta}
\def\ga{\gamma}
\def\e{\varepsilon}
\def\Q{\bold Q}
\def\R{\bold R}

\nopagenumbers

\centerline{1998年度理科II, III類1年生 数学IA演習・小テスト(9)}
\rightline{1998年6月16日・河東泰之}
\rightline{数理科学研究科棟310号室 (電話 5465-7024)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{homepage http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}
\bigskip

答案の一番上に氏名と学生証番号を書いてください．
(組は書かなくてもけっこうです．)自分のノートを
参照してもけっこうです．

\bigskip [1] $\R^2$の上の2変数関数$f(x,y)$を次のように定める．
$$f(x,y)=\cases \dfrac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2},\quad&\hbox{$(x,y)\neq(0,0)$
の時．}\\
0,\quad&\hbox{$(x,y)=(0,0)$の時．}\endcases$$

(1) この関数は$(x,y)=(0,0)$で全微分可能であるか．理由をつけて答えよ．

(2) $f_{xy}(0,0)$, $f_{yx}(0,0)$を求めよ．


\bigskip [2]
$\R^2$で定義された2変数の$C^2$級関数$f(x,y)$が，
すべての実数$t$に対して
$f(tx,ty)=t^3 f(x,y)$を満たしているとする．
このとき，
$$x^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x,y)+
2xy\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}f(x,y)+
y^2\frac{\partial^2}{\partial y^2}f(x,y)$$
を$f(x,y)$で表せ．

\bigskip [3]
$f(x,y)=e^{x^2+y^2}$は，
$(x,y)=(0,0)$のまわりで無限級数にTaylor展開できる
ことを示し，その無限級数を求めよ．

\bigskip
\bigskip
[おまけ] 前回の[2] (2)の解答で，(授業でまだやっていない)
積分を使っているのではないかと言う質問が出ました．そう見えるのは
確かにもっともですが，使っているわけではありません．
使ったことは，「区間$(a,b)$で$f'(x)=0$
ならば$f(x)$は定数」ということで，これは
平均値の定理からわかります．
\bye